自控第二章4第四節(jié)信號流圖

2/18/20231第四節(jié)控制系統(tǒng)的信號流圖2/18/20232

信號流圖可以表示系統(tǒng)的結構和變量傳送過程中的數學關系。它也是控制系統(tǒng)的一種數學模型。在求復雜系統(tǒng)的傳遞函數時較為方便。一、信號流圖組成：信號流圖由節(jié)點和支路組成的信號傳遞網絡。見下圖：信號流圖的概念-+2/18/20233上圖中，兩者都具有關系：y(s)=G(s)x(s)。支路對節(jié)點x來說是輸出支路，對節(jié)點y來說是輸入支路。

節(jié)點：節(jié)點表示變量。以小圓圈表示。支路：連接節(jié)點之間的有向線段。支路上箭頭方向表示信號傳送方向，傳遞函數標在支路上箭頭的旁邊，稱支路傳輸。信號流圖的概念2/18/20234信號流圖的術語[幾個術語]：

輸出節(jié)點(阱點)：只有輸入支路的節(jié)點。如：X8。

混合節(jié)點：既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點。如:X2，X3，X4，X5，X6，X7。混合節(jié)點相當于結構圖中的信號相加點和分支點。它上面的信號是所有輸入支路引進信號的代數和。

通路：沿支路箭頭方向穿過各個相連支路的路線，起始點和終點都在節(jié)點上。若通路與任一節(jié)點相交不多于一次，且起點和終點不是同一節(jié)點稱為開通路。如:X1→X2→X3→X4。

輸入節(jié)點(源點)：只有輸出支路的節(jié)點。如：X1。前向通路：起點在源點，終點在阱點的開通路叫前向通路。如：X1→X2→X3→X4→X5→X6→X7→X8。2/18/20235

回路(閉通路)：通路與任一節(jié)點相交不多于一次，但起點和終點為同一節(jié)點的通路稱為回路。如：X2→X3→X4→X2。

互不接觸回路：回路之間沒有公共節(jié)點時，這種回路稱為互不接觸回路。如：X2→X3→X4→X2和X5→X6→X7→X5。信號流圖的術語

或：X3→X4→X5→X6→X3。

互相接觸回路：回路之間有公共節(jié)點時，這種回路稱為互相接觸回路。如：X2→X3→X4→X2與X3→X4→X5→X3。2/18/20236信號流圖的術語

通路傳輸(增益)：通路中各支路傳輸的乘積稱為通路傳輸或通路增益。如通路:X1→X2→X3→X4的通路傳輸為G1G2G3。

回路傳輸(增益)：回路上各支路傳輸的乘積稱為回路傳輸或回路增益。如回路：X5→X6→X7→X5的回路傳輸為－G5G6H2。

前向通路中各支路傳輸的乘積稱為前向通路傳輸或前向通路增益。如前向通路:X1→X2→X3→X4→X5→X6→X7→X8的通路傳輸為G1G2G3G4G5G6G7。

互不接觸回路傳輸(增益)積：互不接觸回路傳輸的乘積。如互不接觸回路：X2→X3→X4→X2和X5→X6→X7→X5的互不接觸回路傳輸積為(－G2G3H1)(－G5G6H2)=G2G3H1G5G6H2

。2/18/20237信號流圖的性質節(jié)點表示系統(tǒng)的變量。一般，節(jié)點自左向右順序設置，每個節(jié)點標志的變量是所有流向該節(jié)點的信號之代數和，而從同一節(jié)點流向各支路的信號均用該節(jié)點的變量表示。支路相當于乘法器，信號流經支路時，被乘以支路增益而變換為另一信號。信號在支路上只能沿箭頭單向傳遞，即只有前因后果的因果關系。對于給定的系統(tǒng),節(jié)點變量的設置是任意的，因此信號流圖不是唯一的信號流圖的性質2/18/20238信號流圖的繪制[信號流圖的繪制]：⒈根據結構圖繪制例1已知結構圖如下，可在結構圖上標出節(jié)點，如上圖所示。然后畫出信號流圖如下圖所示。2/18/20239信號流圖的繪制⒉按微分方程拉氏變換后的代數方程所表示的變量間數學關系繪制。如前例按方程可繪制信號流圖所對應的代數方程為2/18/202310梅遜公式的推導二、信號流圖拓撲結構與傳遞函數的關系如前例已知信號流圖如圖所示，所對應的代數方程為以R為輸入，V2為輸出則方程可整理為寫成矩陣形式為根據克萊姆法則，于是要求該方程組的系數行列式2/18/202311和

梅遜公式的推導2/18/202312由克萊姆法則得

于是傳遞函數為

分析上式可以看到，傳遞函數的分子和分母取決于方程組的系數行列式，而系數行列式又和信號流圖的拓撲結構有著密切的關系。從拓撲結構的觀點，信號流圖的主要特點取決于回路的類型和數量。而信號流圖所含回路的主要類型有兩種：單獨的回路和互不接觸回路。梅遜公式的推導2/18/202313圖中所示信號流圖共含有五個單獨回路和三對互不接觸回路（回路Ⅰ和Ⅲ、Ⅰ和Ⅳ、Ⅱ和Ⅳ）

所有單獨回路增益之和為兩兩互不接觸回路增益乘積之和為

而△值恰好為

可見，傳遞函數的分母△取決于信號流圖的拓撲結構特征。

梅遜公式的推導2/18/202314

如果把△中與第k條前向通道有關的回路去掉后，剩下的部分叫做第k條前向通道的余子式，并記為△k。由圖可得，從輸入到輸出的前向通道和其增益以及相應的余子式如下表所示前向通道前向通道增益余子式R→V1→V3→V2→CP1=bde△1=1R→V2→CP2=f△2=1－m－ldR→V1→V2→CP3=bg△3=1梅遜公式的推導2/18/202315故用信號流圖拓撲結構的術語，系統(tǒng)的傳遞函數可表示為

梅遜公式的推導傳遞函數的分子等于系數行列式△2除以R(s)。而恰好為

前向通道前向通道增益余子式R→V1→V3→V2→CP1=bde△1=1R→V2→CP2=f△2=1－m－ldR→V1→V2→CP3=bg△3=12/18/202316梅遜公式

用梅遜公式可不必簡化信號流圖而直接求得從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點之間的總傳輸。（即總傳遞函數）其表達式為：式中：總傳輸（即總傳遞函數）；從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點的前向通道總數；第k個前向通道的總傳輸；流圖特征式；其計算公式為：三、梅遜公式（正負號間隔）2/18/202317（正負號間隔）式中：流圖中所有不同回路的回路傳輸之和；

所有互不接觸回路中，每次取其中兩個回路傳輸乘積之和；

所有互不接觸回路中，每次取其中三個回路傳輸乘積之和；第k個前向通道的特征式的余子式；其值為中除去與第k個前向通道接觸的回路后的剩余部分；梅遜公式總之，傳遞函數的分母△取決于信號流圖中回路的拓撲結構。分子取決于前向通路及與該前向通路無關的回路的拓撲結構。2/18/202318梅遜公式例[解]：先在結構圖上標出節(jié)點，再根據邏輯關系畫出信號流圖如下：[例]：繪出兩級串聯(lián)RC電路的信號流圖并用Mason公式計算總傳遞函數。---2/18/202319圖中，有一個前向通道：有一對互不接觸回路；（因為三個回路都與前向通道接觸。）總傳輸為：梅遜公式例有三個回路：，，2/18/202320梅遜公式例討論：信號流圖中，a點和b點之間的傳輸為1，是否可以將該兩點合并？不能合并。因為a、b兩點的信號值不一樣。上圖中，ui和ue，I1和I，a和b可以合并。為什么？

若合并將使得兩個不接觸回路變?yōu)榻佑|回路，從而導致特征式改變，總傳輸將改變。2/18/202321例：某系統(tǒng)的結構圖如圖所示。試求系統(tǒng)的傳遞函數。-+-++++2/18/202322梅遜公式注意事項注意：梅遜公式只能求系統(tǒng)的總增益，即輸出對輸入的增益。而輸出對混合節(jié)點（中間變量）的增益就不能直接應用梅遜公式。也就是說對混合節(jié)點，不能簡單地通過引出一條增益為一的支路，而把非輸入節(jié)點變成輸入節(jié)點。對此問題有兩種方法求其傳遞函數：