第二章幾何量測量基礎課件正式

第二章幾何量測量基礎課件正式第一頁，共八十三頁，2022年，8月28日基本內(nèi)容概述：檢測的意義、測量的基本要素、檢測的一般步驟；長度、角度量值的傳遞：長度單位及其基準、量塊、長度的量值傳遞；測量誤差

：測量誤差的基本概念、誤差的來源及減小其影響的措施、誤差的分類、測量精度的分類；各類測量誤差的處理：測量中隨機誤差的處理、系統(tǒng)誤差的處理、粗大誤差的處理。

第二頁，共八十三頁，2022年，8月28日檢測的意義

為了滿足機械產(chǎn)品的功能要求，在正確合理地完成了可靠性、使用壽命、運動精度等方面的設計以后，還須進行加工和裝配過程的制造工藝設計，即確定加工方法、加工設備、工藝參數(shù)、生產(chǎn)流程及檢測手段。其中，特別重要的環(huán)節(jié)就是質(zhì)量保證措施中的精度檢測。

“檢測”就是確定產(chǎn)品是否滿足設計要求的過程，即判斷產(chǎn)品合格性的過程。第三頁，共八十三頁，2022年，8月28日

檢測的方法可以分為兩類：定性檢驗和定量測試。

定量測試的方法是在對被檢驗對象進行測量后，得到其實際值并判斷其是否合格的方法。

定性檢驗的方法只能得到被檢驗對象合格與否的結(jié)論，而不能得到其具體的量值。因其檢驗效率高、檢驗成本低而在大批量生產(chǎn)中得到廣泛應用。第四頁，共八十三頁，2022年，8月28日測量的基本要素

“測量”是以確定量值為目的的全部操作。測量過程實際上就是一個比較過程，也就是將被測量與標準的單位量進行比較，確定其比值的過程。若被測量為L，計量單位為U，確定的比值為R，則測量可表示為

一個完整的測量過程應包含被測量、計量單位、測量方法（含測量器具）、測量人員和測量精度五個要素。L=R?U第五頁，共八十三頁，2022年，8月28日被測量

被測量在機械精度的檢測中主要是有關(guān)幾何精度方面的參數(shù)量，其基本對象是長度和角度。但是，長度量和角度量在各種機械零件上的表現(xiàn)形式卻是多種多樣的，表達被測對象性能的特征參數(shù)也可能是相當復雜的。因此，認真分析被測對象的特性，研究被測對象的含義是十分重要的。例如，表面粗糙度的各種評定參數(shù)，齒輪的各種誤差項目，尺寸公差與形位公差之間的獨立與相關(guān)關(guān)系等等。第六頁，共八十三頁，2022年，8月28日計量單位

計量單位（簡稱單位）是以定量表示同種量的量值而約定采用的特定量。

我國規(guī)定采用以國際單位制為基礎的“法定計量單位制”。它是由一組選定的基本單位和由定義公式與比例因數(shù)確定的導出單位所組成的。如“米”、“千克”、“秒”、“安”等為基本單位。第七頁，共八十三頁，2022年，8月28日

在測量過程中，測量單位必須以物質(zhì)形式來體現(xiàn)，能體現(xiàn)計量單位和標準量的物質(zhì)形式有：光波波長、精密量塊、線紋尺、各種圓分度盤等。

機械工程中常用的長度單位有“毫米”、“微米”和“納米”，常用的角度單位是非國際單位制的單位“度”、“分”、“秒”和國際單位制的輔助單位“弧度”、“球面度”。第八頁，共八十三頁，2022年，8月28日測量方法

測量方法是根據(jù)一定的測量原理，在實施測量過程中對測量原理的運用及其實際操作。

廣義地說，測量方法可以理解為測量原理、測量器具（計量器具）和測量條件（環(huán)境和操作者）的總和。

在實施測量過程中，應該根據(jù)被測對象的特點（如材料硬度、外形尺寸、生產(chǎn)批量、制造精度、測量目的等）和被測參數(shù)的定義來擬定測量方案、選擇測量器具和規(guī)定測量條件，合理地獲得可靠的測量結(jié)果。第九頁，共八十三頁，2022年，8月28日測量精度

測量結(jié)果與真值的一致程度稱為測量精度。不考慮測量精度而得到的測量結(jié)果是沒有任何意義的。

真值的定義：當某量能被完善地確定并能排除所有測量上的缺陷時，通過測量所得到的量值。

由于測量會受到許多因素的影響，其過程總是不完善的，即任何測量都不可能沒有誤差。對于每一個測量值都應給出相應的測量誤差范圍，說明其可信度。第十頁，共八十三頁，2022年，8月28日檢測的一般步驟確定被檢測項目

認真審閱被測件圖紙及有關(guān)的技術(shù)資料，了解被測件的用途，熟悉各項技術(shù)要求，明確需要檢測的項目。設計檢測方案根據(jù)檢測項目的性質(zhì)、具體要求、結(jié)構(gòu)特點、批量大小、檢測設備狀況、檢測環(huán)境及檢測人員的能力等多種因素，設計一個能滿足檢測精度要求，且具有低成本、高效率的檢測預案。選擇檢測器具按照規(guī)范要求選擇適當?shù)臋z測器具，設計、制作專用的檢測器具和輔助工具，并進行必要的誤差分析。第十一頁，共八十三頁，2022年，8月28日檢測的一般步驟（續(xù)）檢測前準備清理檢測環(huán)境并檢查是否滿足檢測要求，清洗標準器、被測件及輔助工具，對檢測器具進行調(diào)整使之處于正常的工作狀態(tài)。采集數(shù)據(jù)安裝被測件，按照設計預案采集測量數(shù)據(jù)并規(guī)范地作好原始記錄。數(shù)據(jù)處理對檢測數(shù)據(jù)進行計算和處理，獲得檢測結(jié)果。填報檢測結(jié)果將檢測結(jié)果填寫在檢測報告單及有關(guān)的原始記錄中，并根據(jù)技術(shù)要求作出合格性的判定。第十二頁，共八十三頁，2022年，8月28日

在國際單位制及我國法定計量單位中，長度的基本單位名稱是“米”，其單位符號為“m”。

“米”的定義于18世紀末始于法國，當時規(guī)定“米等于經(jīng)過巴黎的地球子午線的四千萬分之一”。19世紀“米”逐漸成為國際通用的長度單位。1889年在法國巴黎召開了第一屆國際計量大會，從國際計量局訂制的30根米尺中，選出了作為統(tǒng)一國際長度單位量值的一根米尺，把它稱之為“國際米原器”。長度單位與計量基準長度、角度量值的傳遞第十三頁，共八十三頁，2022年，8月28日1983年第17屆國際計量大會又更新了米的定義，規(guī)定：“米”是光在真空中在1/299792458s的時間間隔內(nèi)行進路程的長度。第十四頁，共八十三頁，2022年，8月28日量塊

使用波長作為長度基準，雖然可以達到足夠的精確度，但因?qū)同F(xiàn)的條件有很高的要求，不便在生產(chǎn)中直接用于尺寸的測量。因此，需要將基準的量值按照定義的規(guī)定，復現(xiàn)在實物計量標準器上。常見的實物計量標準器有量塊（塊規(guī)）和線紋尺。

量塊用鉻錳鋼等特殊合金鋼或線膨脹系數(shù)小、性質(zhì)穩(wěn)定、耐磨以及不易變形的其它材料制成。其形狀有長方體和圓柱體兩種，常用的是長方體。第十五頁，共八十三頁，2022年，8月28日量塊的構(gòu)成

長方體的量塊有兩個平行的測量面，其余為非測量面。測量面極為光滑、平整，其表面粗糙度Ra值達0.012μm以上，兩測量面之間的距離即為量塊的工作長度（標稱長度）。標稱長度小于或等于5.5mm的量塊，其公稱值刻印在上測量面上；標稱長度大于5.5mm的量塊，其公稱長度值刻印在上測量面左側(cè)較寬的一個非測量面上。第十六頁，共八十三頁，2022年，8月28日量塊的用途1、作為長度尺寸標準的實物載體，將國家的長度基準按照一定的規(guī)范逐級傳遞到機械產(chǎn)品制造環(huán)節(jié)，實現(xiàn)量值統(tǒng)一。

2、作為標準長度標定量儀，檢定量儀的示值誤差。

3、相對測量時以量塊為標準，用測量器具比較量塊與被測尺寸的差值。

4、也可直接用于精密測量、精密劃線和精密機床的調(diào)整。第十七頁，共八十三頁，2022年，8月28日量塊的精度（級）

按《長度計量器具（量塊部分）檢定系統(tǒng)JJG2056-90》的規(guī)定，量塊按制造精度分6級，即00、0、K、1、2、3級，其中00級精度最高，3級最低，K級為校準級，用于對量塊檢定時校準0、1、2級量塊的。量塊分“級”主要根據(jù)量塊長度極限偏差和量塊的長度變動量的允許值。第十八頁，共八十三頁，2022年，8月28日

量塊生產(chǎn)企業(yè)大都按“級”向市場銷售量塊。用量塊長度極限偏差（中心長度與標稱長度允許的最大誤差）控制一批相同規(guī)格量塊的長度變動范圍；用量塊長度變動量（量塊最大長度與最小長度之差）控制每一個量塊兩測量面間各對應點的長度變動范圍。用戶則按量塊的標稱尺寸使用量塊。因此，按“級”使用量塊必然受到量塊長度制造偏差的影響，將把制造誤差帶入測量結(jié)果。第十九頁，共八十三頁，2022年，8月28日量塊的精度（等）

制造高精度的量塊的工藝要求高、成本也高，而且即使制造成高精度量塊，在使用一段時間后，也會因磨損而引起尺寸減小，使其原有的精度級別降低。因此，經(jīng)過維修或使用一段時間后的量塊，要定期送專業(yè)部門按照標準對其各項精度指標進行檢定，確定符合哪一“等”，并在檢定證書中給出的標稱尺寸的修正值。第二十頁，共八十三頁，2022年，8月28日

標準規(guī)定了量塊按其檢定精度分為六等，即1、2、3、4、5、6等，其中1等精度最高，6等精度最低，“等”主要依據(jù)量塊中心長度測量的極限誤差（測量的總不確定度）和平面平行性允許偏差來劃分的。第二十一頁，共八十三頁，2022年，8月28日量塊的“級”與“等”

量塊的“級”和“等”是從成批制造和單個檢定兩種不同的角度出發(fā)，對其精度進行劃分的兩種形式。

按“級”使用時，以標記在量塊上的標稱尺寸作為工作尺寸，該尺寸包含其制造誤差。

按“等”使用時，必須以檢定后的實際尺寸作為工作尺寸，該尺寸不包含制造誤差，但包含了檢定時的測量誤差。第二十二頁，共八十三頁，2022年，8月28日

就同一量塊而言，檢定時的測量誤差要比制造誤差小得多。所以，量塊按“等”使用時其精度比按“級”使用要高，且能在保持量塊原有使用精度的基礎上延長其使用壽命。第二十三頁，共八十三頁，2022年，8月28日量塊的選用

量塊是定尺寸量具，一個量塊只有一個尺寸。為了滿足一定范圍的不同要求，量塊可以利用其測量面的高精度所具有粘合性，將多個量塊研合在一起，組合使用。根據(jù)標準GB6093—85規(guī)定，我國成套生產(chǎn)的量塊共有17種套別，每套的塊數(shù)分別為91、83、46、12、10、8、6、5等。下表所列為83塊組和91塊組一套的量塊的尺寸系列。第二十四頁，共八十三頁，2022年，8月28日第二十五頁，共八十三頁，2022年，8月28日

粘合性：測量層表面有一層極薄的油膜，在切向推合力的作用下，由于分子間吸引力，使兩量塊研合在一起的特性。第二十六頁，共八十三頁，2022年，8月28日量塊的組合

為了減少量塊的組合誤差，應盡量減少量塊的組合塊數(shù)，一般不超過4塊。選用量塊時，應從所需組合尺寸的最后一位數(shù)開始，每選一塊至少應減去所需尺寸的一位尾數(shù)。第二十七頁，共八十三頁，2022年，8月28日例如，從83塊一套的量塊中選取尺寸為36.745mm的量塊組，選取方法為：

36.745…………所需尺寸

－1.005…………第一塊量塊尺寸

35.74

－1.24…………第二塊量塊尺寸

34.5

－4.5…………第三塊量塊尺寸

30.0………第四塊量塊尺寸第二十八頁，共八十三頁，2022年，8月28日量塊使用的注意事項1、量塊必須在使用有效期內(nèi)，否則應及時送專業(yè)部門檢定。2、使用環(huán)境良好，防止各種腐蝕性物質(zhì)及灰塵對測量面的損傷，影響其粘合性。3、分清量塊的“級”與“等”，注意使用規(guī)則。4、所選量塊應用航空汽油清洗、潔凈軟布擦干，待量塊溫度與環(huán)境溫度相同后方可使用。

第二十九頁，共八十三頁，2022年，8月28日5、輕拿、輕放量塊，杜絕磕碰、跌落等情況的發(fā)生。6、不得用手直接接觸量塊，以免造成汗液對量塊的腐蝕及手溫對測量精確度的影響。7、使用完畢，應用航空汽油清洗所用量塊，并擦干后涂上防銹脂存于干燥處。第三十頁，共八十三頁，2022年，8月28日長度的量值傳遞

我國長度量值傳遞系統(tǒng)如圖所示，從最高基準譜線向下傳遞，有兩個平等的系統(tǒng)，即端面量具（量塊）和刻線量具（線紋尺）系統(tǒng)。其中尤以量塊傳遞系統(tǒng)應用最廣。

量值傳遞是“將國家計量基準所復現(xiàn)的計量值，通過檢定（或其它方法）傳遞給下一等級的計量標準（器），并依次逐級傳遞到工作計量器具上，以保證被測對象的量值準確一致的方式”。第三十一頁，共八十三頁，2022年，8月28日第三十二頁，共八十三頁，2022年，8月28日量值的傳遞

量值系統(tǒng)的建立和執(zhí)行，保證了國家計量行政機關(guān)自上而下的對量值進行合理的統(tǒng)一控制。企業(yè)要確保產(chǎn)品質(zhì)量，增強市場競爭力，必須主動采取措施，保證量值的可靠。因此，在GB/T9000“質(zhì)量管理和質(zhì)量保證”系列標準中，對企業(yè)的測量設備（器具）提出了“溯源性”的要求，即測量結(jié)果必須具有能與國家計量基準或國際計量基準相聯(lián)系的特性。所用計量器具要獲得這一特性，就必須經(jīng)過具有較高準確度的計量標準的檢定，而該計量標準又需受到上一級計量標準的檢定，逐級往上溯源，直至國家計量基準或國際計量基準，實現(xiàn)企業(yè)的量值在國際范圍內(nèi)的合理的統(tǒng)一。第三十三頁，共八十三頁，2022年，8月28日

為了檢定和測量需要，仍然要建立角度度量的基準。角度的量值傳遞

角度基準與長度基準有本質(zhì)的區(qū)別。角度的自然基準是客觀存在的，不需要建立，因為一個整圓所對應的圓心角是定值（2πrad或360°）。因此，將整圓任意等分得到的角度的實際大小，可以通過各角度相互比較，利用圓周角的封閉性求出，實現(xiàn)對角度基準的復現(xiàn)。

第三十四頁，共八十三頁，2022年，8月28日第三十五頁，共八十三頁，2022年，8月28日測量方法分類直接測量間接測量單項測量綜合測量第三十六頁，共八十三頁，2022年，8月28日測量器具分類標準量具極限量規(guī)通用測量器具檢驗夾具主要技術(shù)指標第三十七頁，共八十三頁，2022年，8月28日測量器具主要技術(shù)指標刻度間距與分度值示值范圍與測量范圍示值誤差與示值穩(wěn)定性靈敏度與靈敏限回程誤差測量力第三十八頁，共八十三頁，2022年，8月28日

測量誤差的基本概念

對于任何測量過程來說，由于計量器具和測量條件的限制，不可避免地會出現(xiàn)或大或小的測量誤差。因此，每一個實際測得值，往往只是在一定程度上近似于被測幾何量的真值，這種近似程度在數(shù)值上則表現(xiàn)為測量誤差。測量誤差可用絕對誤差或相對誤差來表示。測量誤差第三十九頁，共八十三頁，2022年，8月28日

絕對誤差

指被測幾何量的量值與其真值之差，即

式中

——絕對誤差；

Li——被測幾何量的量值；

L0——被測幾何量的真值。

絕對誤差可正可負。被測幾何量的真值可以下表示：

第四十頁，共八十三頁，2022年，8月28日

測量誤差的絕對值越小，被測幾何量的量值就越接近于真值，測量精度就越高。

用絕對誤差表示測量精度，適用于評定或比較大小相同的被測幾何量的測量精度。對于大小不相同的被測幾何量，則需要用相對誤差來評定或比較它們的測量精度。第四十一頁，共八十三頁，2022年，8月28日相對誤差

指絕對誤差(取絕對值)與真值之比。由于被測幾何量的真值無法得到，實際應用中常以被測幾何量的測得值代替真值進行估算，即式中f—相對誤差。常用百分比表示。第四十二頁，共八十三頁，2022年，8月28日例如，測得兩個孔的直徑大小分別為50．86mm和20．97mm，它們的絕對誤差分別為+0．02mm和+0．01mm，相對誤差分別為f1=0．02／50．86=0．0393％，f2=0．01／20．97=0．0477％，因此前者的測量精度比后者高。第四十三頁，共八十三頁，2022年，8月28日1、計量器具的誤差

指計量器具本身所具有的誤差，包括計量器具的設計、制造和使用過程中的各項誤差，這些誤差的總和反映在示值誤差和測量的重復性上。

A、設計計量器具的誤差a、為了簡化結(jié)構(gòu)而采用近似設計的方法會產(chǎn)生測量誤差。（例如，機械杠桿比較儀的結(jié)構(gòu)中測桿的直線位移與指針杠桿的角位移不成正比，而其標尺卻采用等分刻度就是近似設計的例子，測量時它會產(chǎn)生測量誤差。）測量誤差產(chǎn)生的原因第四十四頁，共八十三頁，2022年，8月28日b、設計的計量器具不符合阿貝原則時也會產(chǎn)生測量誤差。

如果測微螺桿軸線的移動方向與被測直徑方向間有一夾角，則由此產(chǎn)生的測量誤差為：（阿貝原則是指測量長度時，為了保證測量的準確，應使被測零件的尺寸線(簡稱被測線)與量儀中作為標準的刻度尺(簡稱標準線)重合或順次排成一條直線。例如用千分尺測量軸的直徑時，千分尺的標準線(測微螺桿軸線)與工件被測線(被測直徑)在同一條直線上。）第四十五頁，共八十三頁，2022年，8月28日因角很小，

展開成級數(shù)后取前兩項可得則

設=30mm，，則

可見，符合阿貝原則的測量引起的測量誤差很小，可以略去不計。式中

x—應測長度；

x‘—實測長度。第四十六頁，共八十三頁，2022年，8月28日

設s=30mm，

rad，由于卡尺結(jié)構(gòu)不符合阿貝原則而產(chǎn)生的測量誤差可見，不符合阿貝原則的測量引起的測量誤差頗大。

在測量過程中，卡尺活動量爪傾斜一個角度，產(chǎn)生的測量誤差按下式計算：第四十七頁，共八十三頁，2022年，8月28日B、計量器具零件的制造和裝配誤差例如，游標卡尺標尺的刻線距離不準確、指示表的分度盤與指針回轉(zhuǎn)軸的安裝有偏心等皆會產(chǎn)生測量誤差。C、計量器具在使用過程中的誤差零件的變形、滑動表面的磨損等會產(chǎn)生測量誤差。

此外，相對測量時使用的標準量(如量塊)的制造誤差也會產(chǎn)生測量誤差。第四十八頁，共八十三頁，2022年，8月28日2、方法誤差指測量方法的不完善(包括計算公式不準確，測量方法選擇不當，工件安裝、定位不準確等)引起的誤差，它會產(chǎn)生測量誤差。第四十九頁，共八十三頁，2022年，8月28日式中x——被測長度；

——被測零件、計量器具的線膨脹系數(shù)；t1、t2——測量時被測零件、計量器具的溫度(℃)。（因此，測量時應根據(jù)測量精度的要求，合理控制環(huán)境溫度，以減小溫度對測量精度的影響。）

3、環(huán)境誤差指測量時環(huán)境條件不符合標準的測量條件所引起的誤差，它會產(chǎn)生測量誤差。由溫度引起的測量誤差按下式計算：第五十頁，共八十三頁，2022年，8月28日4、人員誤差指測量人員人為的差錯，它會產(chǎn)生測量誤差。（例如，測量人員使用計量器具不正確、測量瞄準不準確、讀數(shù)或估讀錯誤等，都會產(chǎn)生測量誤差。）

第五十一頁，共八十三頁，2022年，8月28日1、系統(tǒng)誤差

在相同條件下多次測量同一量值時，誤差值保持恒定；或者當條件改變時，其值按某一確定的規(guī)律變化的誤差，統(tǒng)稱為系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差按其出現(xiàn)的規(guī)律又可分為定值系統(tǒng)誤差和變值系統(tǒng)誤差。

測量誤差的分類第五十二頁，共八十三頁，2022年，8月28日2、隨機誤差

在相同條件下，以不可預知的方式變化的測量誤差，稱為隨機誤差。在一定測量條件下對同一值進行大量重復測量時，總體隨機誤差的產(chǎn)生滿足統(tǒng)計規(guī)律，即具有有界性、對稱性、抵償性、單峰性。因此，可以分析和估算誤差值的變動范圍，并通過取平均值的辦法來減小其對測量結(jié)果的影響。

第五十三頁，共八十三頁，2022年，8月28日3、粗大誤差

某種反常原因造成的、歪曲測得值的測量誤差，稱為粗大誤差。粗大誤差的出現(xiàn)具有突然性，它是由某些偶爾發(fā)生的反常因素造成的。這種顯著歪曲測得值的粗大誤差應盡量避免，且在一系列測得值中按一定的判別準則予以剔除。

第五十四頁，共八十三頁，2022年，8月28日1、正確度

正確度反映測量結(jié)果中系統(tǒng)誤差的影響程度。若系統(tǒng)誤差小，則正確度高。

測量精度的分類2、精密度

精密度反映測量結(jié)果中隨機誤差的影響程度。它是指在一定測量條件下連續(xù)多次測量所得的測得值之間相互接近的程度。若隨機誤差小，則精密度高。

第五十五頁，共八十三頁，2022年，8月28日3、準確度準確度反映測量結(jié)果中系統(tǒng)誤差和隨機誤差的綜合影響程度。若系統(tǒng)誤差和隨機誤差都小，則準確度高。第五十六頁，共八十三頁，2022年，8月28日

對于具體的測量，精密度高的測量，正確度不一定高；正確度高的測量，精密度也不一定高；精密度和正確度都高的測量，準確度就高。第五十七頁，共八十三頁，2022年，8月28日目的通過對某一被測幾何量進行連續(xù)多次的重復測量，得到一系列的測量數(shù)據(jù)(測得值)測量列，可以對該測量列進行數(shù)據(jù)處理，以消除或減小測量誤差的影響，提高測量精度。各類測量誤差的處理第五十八頁，共八十三頁，2022年，8月28日

隨機誤差不可能被修正或消除，但可應用概率論與數(shù)理統(tǒng)計的方法，估計出隨機誤差的大小和規(guī)律，并設法減小其影響。測量列中隨機誤差的處理第五十九頁，共八十三頁，2022年，8月28日1．隨機誤差的特性及分布規(guī)律

對某一被測幾何量在一定測量條件下重復測量N次，得到測量列的測得值為xl、x2、…、xN。設測量列中不包含系統(tǒng)誤差和粗大誤差，被測幾何量的真值為xo，則可得出相應各次測得值的隨機誤差分別為：

第六十頁，共八十三頁，2022年，8月28日

通過對大量的測試實驗數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計后發(fā)現(xiàn)，隨機誤差通常服從正態(tài)分布規(guī)律

第六十一頁，共八十三頁，2022年，8月28日

正態(tài)分布曲線（下圖）(橫坐標表示隨機誤差，縱坐標y表示隨機誤差的概率密度)。

第六十二頁，共八十三頁，2022年，8月28日(1)單峰性

誤差絕對值越小的隨機誤差出現(xiàn)的概率越大，反之則越小；(2)對稱性

絕對值相等的正、負隨機誤差出現(xiàn)的概率相等；(3)有界性

在一定測量條件下，隨機誤差的絕對值不會超過一定的界限；(4)抵償性

隨著測量次數(shù)的增加，各次隨機誤差的算術(shù)平均值趨于零，即各次隨機誤差的代數(shù)和趨于零。該特性是由對稱性推導而來的，它是對稱性的必然反映。正態(tài)分布曲線具有如下四個基本特性第六十三頁，共八十三頁，2022年，8月28日正態(tài)分布曲線的數(shù)學表達式為式中

y——概率密度；

σ——標準差；

δ——隨機誤差；

——以自然對數(shù)的底e為底的指數(shù)函數(shù)。第六十四頁，共八十三頁，2022年，8月28日

上式可見，概率密度y的大小與隨機誤差δ、標準偏差σ有關(guān)。當δ=0時，概率密度y最大，，概率密度最大值隨標準偏差大小的不同而異。第六十五頁，共八十三頁，2022年，8月28日

圖示的三條正態(tài)分布曲線l、2和3中，σ1<σ2<σ3，則y1max>y2max>y3max。可見，σ越小，曲線越陡，隨機誤差的分布就越集中，測量精度就越高；反之，σ越大，則曲線就越平坦，隨機誤差的分布就越分散，測量精度就越低。

第六十六頁，共八十三頁，2022年，8月28日隨機誤差的標準偏差σ用下式計算：式中

δ1、δ2、…..、δN——測量列中各測得值相應的隨機誤差；N——測量次數(shù)。標準偏差σ是反映測量列中測得值分散程度的一項指標，它是測量列中單次測量值

(任一測得值)的標準偏差。

第六十七頁，共八十三頁，2022年，8月28日

由概率論可知，正態(tài)分布曲線和橫坐標軸間所包含的面積等于所有隨機誤差出現(xiàn)的概率總和，倘若隨機誤差區(qū)間落在(－∞～+∞)之間時，則其概率為如果隨機誤差區(qū)間落在(—δ～+δ)之間時，則其概率為第六十八頁，共八十三頁，2022年，8月28日

為了化成標準正態(tài)分布，將上式進行變量置換，設，，上式化為令，則

函數(shù)稱為拉普拉斯函數(shù)，也稱正態(tài)概率積分。

第六十九頁，共八十三頁，2022年，8月28日

上表給出t=1、2、3、4等四個特殊值所對應的值和[1—2]值。當t=3時，在δ=±3σ范圍內(nèi)的概率為99.73％，δ超出該范圍的概率僅為0.27％，即連續(xù)370次測量中，隨機誤差超出±3σ的(隨機誤差的極限值)只有一次。隨機誤差的極限值，記作δlim=土3σ

第七十頁，共八十三頁，2022年，8月28日δlim也是測量列中單次測量值的測量極限誤差。隨機誤差在±tσ范圍內(nèi)出現(xiàn)的概率稱為置信概率，t稱為置信因子或置信系數(shù)。在幾何量測量中，常取置信因子t=3，則置信概率取99.73％

如某次測量的測得值40.002mm，若已知標準偏差σ=0．0003mm，置信概率取99.73％，則測量結(jié)果應為

即被測幾何量的真值有99.73％的可能性在40.0011～

40.0029mm之間。第七十一頁，共八十三頁，2022年，8月28日2、測量列中隨機誤差的處理步驟

(1)計算測量列中各個測得值的算術(shù)平均值設測量列的各個測得值分別為x1、x2、…、xN，則算術(shù)平均值為式中

N——測量次數(shù)。第七十二頁，共八十三頁，2022年，8月28日(2)計算殘差用算術(shù)平均值代替真值后，計算各個測得值xi與算術(shù)平均值之