第一講變化方程組傳遞過程的理論基礎(chǔ)

第一講變化方程組傳遞過程的理論基礎(chǔ)第一頁，共一百零二頁，2022年，8月28日教學(xué)安排

教學(xué)環(huán)節(jié)由三部分組成：

1、授課：

15次課堂講授

2、作業(yè)與學(xué)習(xí)報告：

15次課外作業(yè)，每周第一次課前交。

1份學(xué)習(xí)報告，考試前交。

3、課程考試分?jǐn)?shù)分布1、

作業(yè)15%2、

學(xué)習(xí)報告15%3、

考試70%第二頁，共一百零二頁，2022年，8月28日課程網(wǎng)站網(wǎng)址：賬號：學(xué)號s初始密碼：12345第三頁，共一百零二頁，2022年，8月28日變化方程組—傳遞過程的理論基礎(chǔ)EquationsofChange第四頁，共一百零二頁，2022年，8月28日變化方程組--傳遞過程的理論基礎(chǔ)傳遞過程的基本概念第五頁，共一百零二頁，2022年，8月28日第一個問題專業(yè)術(shù)語

“傳遞過程”

代表的是什么自然現(xiàn)象

?第六頁，共一百零二頁，2022年，8月28日答案：一個定義“傳遞過程”代表了

“由于物質(zhì)所具有的三種基本性質(zhì)：動量、能量和質(zhì)量在空間中的非均勻分布而導(dǎo)致其在時空中的遷移過程?！钡谄唔?，共一百零二頁，2022年，8月28日觀點

1根據(jù)這個定義,“傳遞過程是發(fā)生在非平衡態(tài)下的動態(tài)過程暨速率過程。”第八頁，共一百零二頁，2022年，8月28日觀點

2根據(jù)這個定義,“傳遞過程進(jìn)行的方向合理且自然地確定為：當(dāng)其自發(fā)進(jìn)行時，從非平衡態(tài)趨向于平衡態(tài)?！钡诰彭摚惨话倭愣?，2022年，8月28日關(guān)于能量的說明

在傳遞過程領(lǐng)域里,被傳遞的能量特指物質(zhì)的內(nèi)能,而引起傳遞過程的推動力所涉及的能量則可能包含多種形式的能量，如機(jī)械能、電能、磁能等等。第十頁，共一百零二頁，2022年，8月28日一個推論

“當(dāng)動量、能量和質(zhì)量密度在空間中的非均勻分布是唯一的推動力時，它們將自發(fā)地從高密度區(qū)域傳遞到低密度區(qū)域?！钡谑豁摚惨话倭愣?，2022年，8月28日動量和它的密度動量，

M=mv

，是一個矢量。速度,

v=M

/m

,

等于單位質(zhì)量的動量,是動量密度的一種表征。因此速度在空間中的分布代表了動量密度在空間中的分布。第十二頁，共一百零二頁，2022年，8月28日能量和它的密度物質(zhì)的內(nèi)能,U=mCVT,是一個標(biāo)量。溫度正比于單位質(zhì)量的內(nèi)能,是內(nèi)能密度的一種表征。因此溫度在空間中的分布代表了內(nèi)能密度在空間中的分布。第十三頁，共一百零二頁，2022年，8月28日質(zhì)量和它的密度傳遞過程中被傳遞的質(zhì)量特指混合物中化學(xué)組分的質(zhì)量?；瘜W(xué)組分的質(zhì)量密度可以用它的濃度、質(zhì)量分率或摩爾分率來表征。因此濃度、質(zhì)量分率或摩爾分率在空間中的分布代表了組分質(zhì)量密度在空間中的分布。第十四頁，共一百零二頁，2022年，8月28日常規(guī)傳遞過程“常規(guī)傳遞過程”表示

“由于速度、溫度和組成在空間中的非均勻分布導(dǎo)致的動量、內(nèi)能和化學(xué)組分在時空中的遷移過程?！钡谑屙?，共一百零二頁，2022年，8月28日三個尺度傳遞過程可以在三個尺度上進(jìn)行描述:

宏觀尺度MacroscopicLevel

微觀尺度MicroscopicLevel

分子尺度MolecularLevel第十六頁，共一百零二頁，2022年，8月28日宏觀尺度主要在工程應(yīng)用中涉及考慮一個系統(tǒng)與環(huán)境發(fā)生動量、能量和組分質(zhì)量的相互傳遞時這些物理量的總量的變化。第十七頁，共一百零二頁，2022年，8月28日微觀尺度考慮動量、能量和質(zhì)量在時空中的分布，導(dǎo)出相關(guān)物理量在一個系統(tǒng)內(nèi)部的分布圖象。

采用物理量場的表述方法本課程的重點研究領(lǐng)域第十八頁，共一百零二頁，2022年，8月28日分子尺度采用統(tǒng)計物理的研究方法主要在傳遞性質(zhì)的計算中涉及

從物質(zhì)結(jié)構(gòu)和分子間相互作用的角度尋求對動量、能量和質(zhì)量傳遞現(xiàn)象機(jī)理的基本理解。第十九頁，共一百零二頁，2022年，8月28日傳遞過程的三種機(jī)制（1）

對流傳遞物理量由流動的流體攜帶著進(jìn)入或離開一個區(qū)域，從而導(dǎo)致該物理量在空間中的傳遞。分子傳遞分子布朗運動所引起的物理量在空間中的傳遞.

這兩種機(jī)制被分類為近程傳遞，物理量在空間中逐點傳遞。第二十頁，共一百零二頁，2022年，8月28日傳遞過程的三種機(jī)制（2）

遠(yuǎn)程傳遞被傳遞的物理量在空間某一處被轉(zhuǎn)化為一種勢能場，例如重力場、電磁場、電場和磁場，這種勢能場被傳播到空間另一處，然后被物質(zhì)分子所接收并再轉(zhuǎn)化為被傳遞的物理量。

從表觀上看，該物理量在空間中實現(xiàn)的是點對點傳遞。第二十一頁，共一百零二頁，2022年，8月28日動量與力

(1)

牛頓第一定律(慣性定律)

每一個物體都保持靜止或勻速直線運動狀態(tài)，除非被施加于它的力強迫改變這種狀態(tài)。經(jīng)典力學(xué)的大廈是建立在牛頓運動三定律的基礎(chǔ)上的。第二十二頁，共一百零二頁，2022年，8月28日動量與力(2)牛頓第二定律(加速度定律)

一個物體的加速度等于所有作用于它的外力的合力除以它的質(zhì)量。牛頓第三定律(作用力與反作用力定律)

對于每一個作用力，總是存在一個大小相等而方向相反的反作用力。第二十三頁，共一百零二頁，2022年，8月28日動量與力(3)

在相對論效應(yīng)可以忽略的情況下，物體的質(zhì)量不隨其運動狀態(tài)而改變。于是把它代入牛頓第二定律，得到此式表明，作用于一個物體的合外力等于傳遞動量給該物體的速率。即，該式給出了力的定義。第二十四頁，共一百零二頁，2022年，8月28日動量與力(4)

根據(jù)力的這個定義，我們可以對其它兩條牛頓運動定律給出另一種解釋：動量守恒。

牛頓第一定律一個物體的動量保持恒定，除非有外加的動量傳遞給它。牛頓第三定律發(fā)生相互作用時，一個物體獲得的動量總是等于另一個物體失去的動量。第二十五頁，共一百零二頁，2022年，8月28日動量通量與應(yīng)力

應(yīng)力被定義為作用于單位面積上的力，具有兩個特征方向：力的方向和受力表面的法線方向。xy

表示

y

方向的力作用在垂直于x

的單位面積上。根據(jù)牛頓第二定律，xy

可以被解釋為單位時間里通過垂直于x

的單位面積傳遞的y

方向的動量，即動量通量。第二十六頁，共一百零二頁，2022年，8月28日變化方程組--傳遞過程的理論基礎(chǔ)分子傳遞現(xiàn)象的本構(gòu)方程第二十七頁，共一百零二頁，2022年，8月28日分子傳遞現(xiàn)象的本構(gòu)方程

在常規(guī)傳遞過程中，動量、內(nèi)能和組分質(zhì)量的傳遞是由于速度、溫度和組分濃度在空間中的非均勻分布，而描述分子傳遞通量與速度梯度、溫度梯度和組分濃度梯度之間的定量關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式即稱為分子傳遞現(xiàn)象的本構(gòu)方程。

分子傳遞本構(gòu)方程的最初形式都源于對一維傳遞過程的實驗觀察和分析，發(fā)現(xiàn)在多數(shù)情況下均可表示為線性齊次函數(shù)。第二十八頁，共一百零二頁，2022年，8月28日牛頓粘性定律描述一維動量分子傳遞規(guī)律的本構(gòu)方程稱為牛頓粘性定律：該定律表明：動量通量是動量密度梯度的線性齊次函數(shù)。式中線性項的系數(shù)稱為流體的粘度。如果流體的粘度值不依賴于速度梯度，則歸類為牛頓流體；否則歸類為非牛頓流體。(1.？-？)第二十九頁，共一百零二頁，2022年，8月28日傅立葉導(dǎo)熱定律內(nèi)能的分子傳遞通常被稱作熱傳導(dǎo)。描述一維熱傳導(dǎo)規(guī)律的本構(gòu)方程稱為傅立葉定律：(9.1-2)該定律表明：內(nèi)能通量是內(nèi)能密度梯度的線性齊次函數(shù)，式中線性項的系數(shù)稱為材料的導(dǎo)熱系數(shù)。第三十頁，共一百零二頁，2022年，8月28日費克擴(kuò)散定律化學(xué)組分的分子傳遞通常被稱為擴(kuò)散。描述二元體系(A+B)中的一維擴(kuò)散規(guī)律的本構(gòu)方程稱為費克定律：(17.1-2)該定律表明：組分A的質(zhì)量通量是A的質(zhì)量密度梯度的線性齊次函數(shù)，式中線性項的系數(shù)稱為A對B的二元擴(kuò)散系數(shù)。第三十一頁，共一百零二頁，2022年，8月28日三維情況下的分子傳遞(1)

工程應(yīng)用中的傳遞過程大多數(shù)在三維空間中發(fā)生。為了處理三維空間中的傳遞問題，我們必須給出三維形式的分子傳遞通量的表達(dá)式。既然實驗已經(jīng)證明由相應(yīng)物理量密度的非均勻分布引起的一維分子傳遞通量是物理量密度梯度的線性齊次函數(shù)，因而把這種函數(shù)關(guān)系推廣到三維情況就是很自然的選擇。第三十二頁，共一百零二頁，2022年，8月28日三維情況下的分子傳遞(2)

首先考慮熱傳導(dǎo)。我們假設(shè)熱通量仍然是溫度梯度的線性齊次函數(shù)，稱為廣義傅里葉定律。不過，由于熱通量和溫度梯度兩者都是矢量，而兩個矢量變量之間的線性齊次函數(shù)的一般形式是(9.1-7)第三十三頁，共一百零二頁，2022年，8月28日三維情況下的分子傳遞(3)

對于各向同性材料，導(dǎo)熱系數(shù)應(yīng)該是各向同性二階張量，其一般形式為

因此一般而言，導(dǎo)熱系數(shù)是一個對稱二階張量，具有6個獨立分量。第三十四頁，共一百零二頁，2022年，8月28日三維情況下的分子傳遞(4)于是各向同性材料的三維熱傳導(dǎo)方程為(9.1-6)(9.1-6)式在直角坐標(biāo)系中的分量方程為(B.2-3)(B.2-2)(B.2-1)第三十五頁，共一百零二頁，2022年，8月28日各向異性材料的實例

木材中的熱傳導(dǎo)過程

木材就是一種各向異性材料，順著紋理方向的導(dǎo)熱性能與垂直于紋理方向的導(dǎo)熱性能有所不同。xyz第三十六頁，共一百零二頁，2022年，8月28日三維情況下的分子傳遞(4)

類似地，在廣義費克擴(kuò)散定律中，擴(kuò)散系數(shù)也是一個對稱二階張量，其一般形式為(17.7-3)對于各向同性材料才簡化為(17.1-10)第三十七頁，共一百零二頁，2022年，8月28日三維情況下的分子傳遞(5)在直角坐標(biāo)系下，(B.3-3)(B.3-2)(B.3-1)第三十八頁，共一百零二頁，2022年，8月28日三維情況下的分子傳遞(6)

動量傳遞的情況更為復(fù)雜，由于動量通量和速度梯度都是二階張量，所以線性齊次函數(shù)關(guān)系中的系數(shù)是一個四階張量：此式表明粘度具有54個獨立分量!由于是對稱的，所以應(yīng)該對前兩個下標(biāo)對稱：(1.2-3)即第三十九頁，共一百零二頁，2022年，8月28日三維情況下的分子傳遞(7)它的非零分量可以用三個標(biāo)量表達(dá)。

除了液晶、長鏈高分子液體以及高度取向的纖維懸浮液以外，大多數(shù)流體都是均相的各向同性材料。我們規(guī)定牛頓流體也必須是各向同性流體，其粘度必然是各向同性張量。而四階各向同性張量的一般形式為第四十頁，共一百零二頁，2022年，8月28日三維情況下的分子傳遞(8)

因為粘度張量對于前兩個下標(biāo)是對稱的，所以必然有第四十一頁，共一百零二頁，2022年，8月28日三維情況下的分子傳遞(9)將此結(jié)果代入(1.2-3)式中，我們得到：右側(cè)第二項可以拆分為各向同性部分和各向異性部分：第四十二頁，共一百零二頁，2022年，8月28日三維情況下的分子傳遞(10)于是，(1.2-3)式簡化為它表征流體的膨脹或壓縮對動量通量的貢獻(xiàn)。其中各向同性項的系數(shù)被稱為膨脹粘度(dilatationalviscosity

)，記為第四十三頁，共一百零二頁，2022年，8月28日三維情況下的分子傳遞(11)

把上述方程改寫為張量符號的形式，我們就得到了廣義牛頓粘性定律：

膨脹粘度僅僅對于高溫或高頻率振動下的多原子氣體才有實際意義，在其它其況下的效應(yīng)通?？梢院雎圆挥?。對于不可壓縮流體，速度的散度等于零，因此各向同性項自然消失。(1.2-7)第四十四頁，共一百零二頁，2022年，8月28日三維情況下的分子傳遞(12)在直角坐標(biāo)系下，式(1.2-7)的分量方程為：(B.1-1)(B.1-2)(B.1-3)第四十五頁，共一百零二頁，2022年，8月28日三維情況下的分子傳遞(13)(B.1-4)(B.1-5)(B.1-6)在柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系下的展開式要復(fù)雜得多，可參看附錄B選用。第四十六頁，共一百零二頁，2022年，8月28日變化方程組—傳遞過程的理論基礎(chǔ)變化方程組第四十七頁，共一百零二頁，2022年，8月28日物理量的通用衡算方程

(1)考慮直角坐標(biāo)系下的一個微元六面體，物理量E

的通用衡算方程可表達(dá)為來自對流傳遞的

E

收入來自分子傳遞的

E

收入來自遠(yuǎn)程傳遞的

E

收入++

E

在該體積中的積累速率=第四十八頁，共一百零二頁，2022年，8月28日物理量的通用衡算方程

(2)上式左側(cè)的積累項可以表示為體積分式中E

是物理量E的空間密度，即，單位體積中所包含的E

的量。第四十九頁，共一百零二頁，2022年，8月28日物理量的通用衡算方程

(3)根據(jù)積分中值定理，上述體積分等于被積函數(shù)在積分體中某一點處的值乘以積分體的體積：第五十頁，共一百零二頁，2022年，8月28日物理量的通用衡算方程

(4)E進(jìn)入立方體中的對流傳遞項等于第五十一頁，共一百零二頁，2022年，8月28日物理量的通用衡算方程

(5)根據(jù)積分中值定理，上述面積分等于被積函數(shù)在積分面上某一點處的值乘以積分面的面積：第五十二頁，共一百零二頁，2022年，8月28日以上各式中的各個、、的值不一定相同，但均滿足物理量的通用衡算方程

(6)第五十三頁，共一百零二頁，2022年，8月28日物理量的通用衡算方程(7)E進(jìn)入立方體中的分子傳遞項等于第五十四頁，共一百零二頁，2022年，8月28日物理量的通用衡算方程

(8)根據(jù)積分中值定理，上述面積分等于被積函數(shù)在積分面上某一點處的值乘以積分面的面積：第五十五頁，共一百零二頁，2022年，8月28日以上各式中的各個、、的值不一定相同，但均滿足物理量的通用衡算方程

(9)第五十六頁，共一百零二頁，2022年，8月28日物理量的通用衡算方程(10)

物理量E的遠(yuǎn)程傳遞項（即局部產(chǎn)生項）可以表示為V

上的體積分式中RE

是E

的局部產(chǎn)生速率，即，單位時間里在單位體積中產(chǎn)生的E

的量。第五十七頁，共一百零二頁，2022年，8月28日物理量的通用衡算方程

(11)根據(jù)積分中值定理，上述體積分等于被積函數(shù)在積分體中某一點處的值乘以積分體的體積：第五十八頁，共一百零二頁，2022年，8月28日物理量的通用衡算方程

(12)把以上結(jié)果代入原方程并用xyz除以整個方程，然后取x、y、z0的極限，得到第五十九頁，共一百零二頁，2022年，8月28日物理量的通用衡算方程

(13)第六十頁，共一百零二頁，2022年，8月28日物理量的通用衡算方程

(14)根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的定義，上式取極限的結(jié)果是以下微分方程第六十一頁，共一百零二頁，2022年，8月28日物理量的通用衡算方程

(15)將左側(cè)方括號里的項展開并移項整理，得到物理量通用衡算方程的微分形式(直角坐標(biāo)系)：第六十二頁，共一百零二頁，2022年，8月28日隨體導(dǎo)數(shù)(1)

令

E(x,y,z,t)

是定義在時空中的一個連續(xù)函數(shù)，對于一個觀察者而言，E(x,y,z,t)

的變化速率是它對時間的全導(dǎo)數(shù)：式中vob=(vob,x

,vob,y

,vob,z

)是觀察者的運動速度。第六十三頁，共一百零二頁，2022年，8月28日隨體導(dǎo)數(shù)(2)

特別地，如果vob

等于該位置處流體流動的速度

v，我們則得到一個特別的全導(dǎo)數(shù)——我們隨流體一起運動時觀察到的E隨時間的變化率，稱為E的隨體導(dǎo)數(shù)，記為隨體導(dǎo)數(shù)也稱為物質(zhì)導(dǎo)數(shù)，因為其物理意義亦為一個流體質(zhì)點的物理性質(zhì)在流動過程中隨時間的變化率。第六十四頁，共一百零二頁，2022年，8月28日物理量的通用變化方程

(1)將隨體導(dǎo)數(shù)引入物理量通用衡算方程，得到該方程的隨體導(dǎo)數(shù)表達(dá)形式(直角坐標(biāo)系)：物理量通用衡算方程亦稱為物理量通用變化方程(EquationofChange)。第六十五頁，共一百零二頁，2022年，8月28日連續(xù)性方程

(1)

取通用變化方程中的物理量為流體的總質(zhì)量，則

E=

，

FE=0

，RE=0

，我們得到變化方程的一個特定形式——連續(xù)性方程：該方程的矢量形式為：(3.1-4)(3.1-3)第六十六頁，共一百零二頁，2022年，8月28日連續(xù)性方程

(2)重新排列方程中的各項并采用用隨體導(dǎo)數(shù)表達(dá)形式，得到其矢量形式為：(Tab.3.5-1.A)第六十七頁，共一百零二頁，2022年，8月28日連續(xù)性方程

(3)對于不可壓縮流體，流體微元的密度在流動過程中保持不變，即于是，不可壓縮流體的連續(xù)性方程簡化為(3.1-5)第六十八頁，共一百零二頁，2022年，8月28日組分連續(xù)性方程

(1)令物理量E為化學(xué)組分的質(zhì)量，則E的密度就是的濃度E的分子傳遞通量就是的擴(kuò)散通量E的局部產(chǎn)生速率就是在化學(xué)反應(yīng)中的生成速率第六十九頁，共一百零二頁，2022年，8月28日組分連續(xù)性方程

(2)將這些量代入通用變化方程，我們得到關(guān)于化學(xué)組分的組分連續(xù)性方程：(19.1-7)組分連續(xù)性方程也可以表達(dá)為隨體導(dǎo)數(shù)形式：第七十頁，共一百零二頁，2022年，8月28日組分連續(xù)性方程

(3)將上兩式代入式(19.1-7)，移項整理后得到因為的質(zhì)量濃度等于流體密度乘以的質(zhì)量分率=w,所以式(19.1-7)的左側(cè)和右側(cè)第一項可展開為第七十一頁，共一百零二頁，2022年，8月28日組分連續(xù)性方程

(4)根據(jù)式(3.1-4)，方括號的值恒為零。圓括號正好是質(zhì)量分率w的隨體導(dǎo)數(shù)，于是我們得到用質(zhì)量分率表達(dá)的組分連續(xù)性方程的隨體導(dǎo)數(shù)形式：(19.1-7a)在直角坐標(biāo)系下為第七十二頁，共一百零二頁，2022年，8月28日組分連續(xù)性方程

(5)加和所有化學(xué)組分的組分連續(xù)續(xù)性方程，就得到總連續(xù)性方程，其結(jié)果與第三章所導(dǎo)出的連續(xù)性方程完全一致。第七十三頁，共一百零二頁，2022年，8月28日組分連續(xù)性方程

(6)對于僅含A和B兩種組分的二元體系，分子傳遞通量可以用廣義費克擴(kuò)散定律(式17.7-3)表達(dá)，將其代入組分連續(xù)性方程(式19.1-7)，得如果DAB為常數(shù)，則有(19.1-16)第七十四頁，共一百零二頁，2022年，8月28日組分連續(xù)性方程

(7)在直角坐標(biāo)系下展開上式，有或表達(dá)成隨體導(dǎo)數(shù)形式：第七十五頁，共一百零二頁，2022年，8月28日運動方程(1)取通用變化方程中的物理量為動量。因為動量是質(zhì)量，包含三個分量，所以動量密度亦為矢量，動量密度在直角坐標(biāo)下的表達(dá)式為第七十六頁，共一百零二頁，2022年，8月28日運動方程(2)動量的每個分量的通量亦為一矢量，在直角坐標(biāo)系下可表示為當(dāng)傳遞方向與動量方向相同時，動量通量除粘性傳遞通量外還包含流體的靜壓強。第七十七頁，共一百零二頁，2022年，8月28日運動方程(3)動量的局部產(chǎn)生速率亦為一矢量，在直角坐標(biāo)系下可表示為式中代表導(dǎo)致遠(yuǎn)程動量傳遞的場強矢量。如果只有重力場，則等于重力加速度矢量；如果還有電場、磁場等其它遠(yuǎn)程傳遞場，則為各作用場強矢量的和。第七十八頁，共一百零二頁，2022年，8月28日運動方程(4)把與動量的x分量相關(guān)的量帶入通用變化方程，得到第七十九頁，共一百零二頁，2022年，8月28日運動方程(5)把圓括號展開并移項整理，得到根據(jù)連續(xù)性方程，方括號的值等于零，于是第八十頁，共一百零二頁，2022年，8月28日運動方程(6)類似地，對動量的y分量和z分量，有第八十一頁，共一百零二頁，2022年，8月28日運動方程(7)三個分量方程也可以表達(dá)成矢量和張量形式：上述方程被稱為運動方程。第八十二頁，共一百零二頁，2022年，8月28日運動方程(8)運動方程也可表達(dá)為隨體導(dǎo)數(shù)形式：在直角坐標(biāo)系下的展開式為：(Tab.3.5-1.B)第八十三頁，共一百零二頁，2022年，8月28日運動方程(9)將廣義牛頓粘性定律式(式1.2-7)代入運動方程(式Tab.3.5-1.B)，對于常物性流體，得：(3.5-6)引入修正壓力(亦稱為動壓頭)P=p+gh，得：(3.5-7)上兩式即著名的納維-斯托克斯(Navier-Stokes)方程。第八十四頁，共一百零二頁，2022年，8月28日運動方程(10)N-S方程在直角坐標(biāo)系下的展開式為：第八十五頁，共一百零二頁，2022年，8月28日能量方程(1)對于能量傳遞，我們關(guān)注的是內(nèi)能傳遞。但由于在流體流動過程中，流體的機(jī)械能與內(nèi)能之間會發(fā)生相互轉(zhuǎn)化，所以我們首先令物理量E

為動能與內(nèi)能的和(稱為總能量)，則總能量空間密度為總能量通量為總能量局部產(chǎn)生速率為第八十六頁，共一百零二頁，2022年，8月28日能量方程(2)把以上表達(dá)式代入通用變化方程，我們就得到了總能量方程(11.1-7)第八十七頁，共一百零二頁，2022年，8月28日機(jī)械能方程(1)為了獲得機(jī)械能的表達(dá)式，用速度v

與運動方程(Tab.3.5-1.B)式進(jìn)行點積，可得此式的左側(cè)可以展開為(*)第八十八頁，共一百零二頁，2022年，8月28日機(jī)械能方程(2)式中的負(fù)號項可以合并為下式的方括號項，根據(jù)連續(xù)性方程，方括號等于零。對于(*)式的右側(cè)，我們有第八十九頁，共一百零二頁，2022年，8月28日機(jī)械能方程(3)于是，(*)式可以改寫為此式被稱為機(jī)械能方程。(3.3-1)第九十頁，共一百零二頁，2022年，8月28日能量方程(3)從(11.1-7)式中減去機(jī)械能方程(3.3-1)式，就得到了內(nèi)能方程：借助于連續(xù)性方程，上式可以被表示成隨體導(dǎo)數(shù)的形式：(11.2-1)(11.2-2)第九十一頁，共一百零二頁，2022年，8月28日能量方程(4)此式清楚地表明，流體微元內(nèi)能的增加有四個來源：

1、熱傳導(dǎo)；

2、壓縮功；

3、粘性耗散；

4、其它能量轉(zhuǎn)化為內(nèi)能。(11.2-2)第九十二頁，共一百零二頁，