(4.1)-實(shí)用大眾線性代數(shù)課件第4章

第4章平面和空間向量線性系統(tǒng)的許多重要特性可以用向量的概念來(lái)描述，因?yàn)橄蛄靠梢悦枋鰞蓚€(gè)或兩個(gè)以上的實(shí)數(shù)組成的數(shù)組特征。二維和三維空間中的向量有鮮明的幾何意義，也有廣泛的應(yīng)用價(jià)值，掌握它們的基本特性就可更好地從幾何空間概念來(lái)理解線性代數(shù)方程組的某些性質(zhì)，同時(shí)也可幫助人們?nèi)コ橄笸葡敫呔S的向量空間。這一章介紹向量的基本概念和平面與空間向量的變換運(yùn)算。以便從幾何概念過(guò)渡到代數(shù)推理，進(jìn)而用數(shù)學(xué)軟件來(lái)解決它們的計(jì)算問(wèn)題。4.1向量的類型物理向量：即物理學(xué)中的矢量：如力，位移和速度等。它不僅有大小還有方向。標(biāo)量：只有大小沒(méi)有方向。4.1向量的類型代數(shù)向量：如二維向量：，其幾何含義就是一個(gè)有方向的線段，線段起點(diǎn)為平面坐標(biāo)系原點(diǎn)O，終點(diǎn)為坐標(biāo)點(diǎn)A（2,1），如下圖所示。4.1向量的類型代數(shù)向量：如三維向量：，其幾何含義依然是一個(gè)有方向的線段，線段起點(diǎn)為三維坐標(biāo)系原點(diǎn)O，終點(diǎn)為坐標(biāo)點(diǎn)A（1,2,3）。針對(duì)三維以上的向量，就沒(méi)有幾何含義了。4.1向量的類型向量含義的引申：可以用來(lái)描述多個(gè)參數(shù)的變量如：1）一個(gè)學(xué)生五門課成績(jī);2）構(gòu)成某種產(chǎn)品六種原材料的成本；3）t的2次多項(xiàng)式（3個(gè)參數(shù)）4.1向量的類型4）一個(gè)飛行器，可以用9維向量來(lái)描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（質(zhì)心位置坐標(biāo)3個(gè)，質(zhì)心速度3個(gè)，剛體飛行姿態(tài)角3個(gè)）5）把人口按年齡分別統(tǒng)計(jì)可以得到一個(gè)100多維的向量。從以上例子看出：向量的引入極大地?cái)U(kuò)展了對(duì)象建模的深度和廣度。4.2向量及其線性組合1.向量的加減法

物理向量的加法按平行四邊形法則進(jìn)行，代數(shù)向量的加法即為簡(jiǎn)單分量相加，例如：設(shè)三維向量

設(shè)λ為數(shù)，那么有2.向量的數(shù)乘3.向量的線性組合

設(shè)u,v為x-y平面上的兩個(gè)二維向量，c,d為數(shù),則b=表示了向量u,v的一種線性組合。若，那么有：

不管c,d取什么值，合成向量b一定也是處在x-y平面上。

對(duì)于三維向量，其加減法規(guī)則及其幾何意義與二維向量相同：若 則 。

但是對(duì)于四維向量、五維向量……就沒(méi)有對(duì)應(yīng)的幾何含義，但其加減法矩陣運(yùn)算規(guī)則依然相同。4.三維向量及高維向量的加減法4.2.2向量的幾何長(zhǎng)度和方向余弦

向量幾何長(zhǎng)度的符號(hào)為，注意：MATLAB中“l(fā)ength”命令求向量的元素?cái)?shù)，

“norm”命令來(lái)求幾何長(zhǎng)度。向量數(shù)乘的幾何含義

向量乘以數(shù)λ后，其幾何長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)長(zhǎng)度的λ倍，如果乘數(shù)為正數(shù)，則向量的方向不變；如果乘數(shù)為負(fù)數(shù)，則向量的方向反轉(zhuǎn)，但仍與原向量共線。單位向量和方向余弦

單位向量指幾何長(zhǎng)度為1的向量。v的單位向量通常寫(xiě)成：

三維單位向量v0的x，y，z分量標(biāo)志了該向量在坐標(biāo)系中的方向余弦。v0與各坐標(biāo)軸的夾角如圖所示。4.2.3數(shù)量積及其應(yīng)用

兩向量u和v的數(shù)量積，也稱為點(diǎn)乘（dotproduct）。其定義為若u，v為兩個(gè)二維向量，如下圖，用余弦定理并化簡(jiǎn)得：即：

稱呼：數(shù)量積、內(nèi)積、點(diǎn)乘表示：向量正交條件（1）兩向量u,v之間的夾角： （2）兩向量u,v相互正交的條件為：例4.3設(shè)u=[4;2]，v=[-1.5;3]，求u和v的幾何長(zhǎng)度及它們的單位向量，并求此兩個(gè)向量與x軸的夾角。解u的幾何長(zhǎng)度為：v的幾何長(zhǎng)度為：?jiǎn)挝换?x軸的單位向量

u與x軸夾角余弦為

v與x軸夾角余弦為可以用MATLAB軟件計(jì)算如下：解本題的MATLAB程序pla403u=[4;2],v=[-1.5;3],x0=[1;0], %輸入向量數(shù)據(jù)u0=u/norm(u),v0=v/norm(v) %求u,v的單位向量thetau=acos(u0'*x0)%求u,v與x軸夾角thetav=acos(v0'*x0)程序運(yùn)行結(jié)果為：thetau＝acos（u0T*x0）=0.4636【弧度】thetav＝acos（u0T*y0）=2.0344【弧度】從三維向量向n維的抽象

大于三維向量之間的夾角就失去了其幾何意義，但它卻能應(yīng)用于現(xiàn)代文獻(xiàn)檢索中：例如對(duì)文獻(xiàn)進(jìn)行分類，我們可以選取文獻(xiàn)的三個(gè)特性作為定量指標(biāo)，那么就構(gòu)造了一個(gè)三維向量，可以選某一個(gè)向量為標(biāo)準(zhǔn)，把與它夾角小于某個(gè)角度（比如30°）的向量都?xì)w為一類。但實(shí)際上只取三個(gè)特性是不能把文獻(xiàn)種類描述清楚，往往需要用幾十甚至幾百個(gè)特性來(lái)分類，那就必須要用幾十、幾百維的向量來(lái)作為聚類的標(biāo)準(zhǔn)，空間的夾角也就有了超越幾何夾角的內(nèi)涵。4.2.4向量積及其應(yīng)用向量積的定義向量積也稱為叉乘(crossproduct)，兩向量u,v的向量積u×v是一個(gè)新向量z，它與u,v正交，按右手法則確定它的方向，即令右手食指沿u，彎曲的中指指v，則拇指指向z的方向。其幾何長(zhǎng)度為： （4.2.6）的幾何意義如圖，若向量u長(zhǎng)為，是平行四邊形的底，向量v長(zhǎng)為，則 是它的高，所以是此平行四邊形的面積。根據(jù)例3.2的推導(dǎo)，這個(gè)平行四邊形面積剛好等于u和v構(gòu)成的行列式

:兩向量的向量積和混合積由此外推，對(duì)于三維空間的向量u和v，向量積如下：

這個(gè)公式全面地反映了向量的幾何長(zhǎng)度和方向，平面向量可以看作它的特例。

兩個(gè)向量先做叉乘，再與第三個(gè)向量w點(diǎn)乘，得到的稱為這三個(gè)向量的混合積，它是一個(gè)標(biāo)量。三個(gè)空間向量混合積的幾何意義右圖表示了它的幾何意義。為它們兩者組成的平行四邊形面積z，其方向與u,v組成的平面垂直。就是用w在z方向的投影（即高）乘以底面積，得出的是這個(gè)平行六面體的體積。可以看出，把w,u,v看作三個(gè)列向量，V就是由它們組成的方陣的行列式D=det([w,u,v])。三階行列式的幾何意義為三向量構(gòu)成的平行六面體體積。4.3向量組的線性相關(guān)性

1.向量組線性相關(guān)性的“形象”理解：例1.設(shè)向量組：，存在線性表示關(guān)系：

故該向量組線性相關(guān)。例2.設(shè)向量組：，存在線性關(guān)系：

故該向量組線性相關(guān)。例3.設(shè)向量組：，兩個(gè)向量不存在線性表示關(guān)系：

故該向量組線性無(wú)關(guān)。例4.設(shè)向量組：，三個(gè)向量不存在線性表示關(guān)系：

故該向量組線性無(wú)關(guān)。4.3向量組的線性相關(guān)性

2.向量組線性相關(guān)性的數(shù)學(xué)定義：（1）設(shè)向量組，若存在不全為零的數(shù)k1，k2，k3，使得等式

成立，

則稱向量組線性相關(guān)。（2）設(shè)向量組，若只有當(dāng)K1=k2=k3=0時(shí)，等式

才成立，則稱向量組線性無(wú)關(guān)。4.3向量組的線性相關(guān)性

3.向量組線性相關(guān)性與方程組解的聯(lián)系：例，分析向量組的線性相關(guān)性。根據(jù)定義，令顯然，上式是關(guān)于的齊次線性方程組，寫(xiě)出矩陣形式為：若方程組有非零解，則線性相關(guān)；若方程組有只有零解，則線性無(wú)關(guān)；4.3向量組的線性相關(guān)性

4.向量組線性相關(guān)性的幾何意義：例1，設(shè)兩個(gè)向量，它們是線性相關(guān)的，其幾何關(guān)系為“共線”，如圖所示。例2，設(shè)三個(gè)向量，它們也是線性相關(guān)的，其幾何意義為：“共面”。4.3向量組的線性相關(guān)性

5.線性無(wú)關(guān)向量組與向量空間：例1，設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，那么向量集合稱為二維向量空間，也可稱為由向量所張成的向量空間。例2，設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，那么向量集合稱為三維向量空間，也可稱為由向量所張成的向量空間。例如:全體二維向量組成二維向量空間R2；全體三維向量組成三維向量空間R3；全體n維向量組成n維向量空間Rn。4.3向量組的線性相關(guān)性

6.判斷向量組線性相關(guān)性的方法：

判斷三個(gè)向量的線性相關(guān)性，就不像二維向量那么簡(jiǎn)單地用觀察法來(lái)做，此時(shí)要利用前面線性方程組的理論。

方法一：求行列式法:

det（）

方法二：初等行變換法：rref()

方法三：求秩法:rank()例

設(shè)三維空間R3中的三個(gè)向量v1,v2,v3，及向量b，（1）判斷向量組v1，v2，v3的線性相關(guān)性；（2）如果v1，v2，v3線線性無(wú)關(guān)，如何用v1，v2，v3來(lái)線性表示b？判斷方法之一：求行列式法

解：

按此方法編出的程序pla406如下：v1=[-9,7,-3]',v2=[3,34,-24]',v3=[-6,-4,-9]',V=[v1,v2,v3]b=[-10,13,19]',D=det(V),K=V\b在formatrat條件下運(yùn)行此程序得到如下結(jié)果：Ｄ=4239,

K=[7/3,-1/3,-2]’從中可以看出v1,v2和v3構(gòu)成線性無(wú)關(guān)向量組，它們線性組合為b的系數(shù)是K=[7/3,-1/3,-2]’

，即方法之二：用初等變換法解：構(gòu)造矩陣A=[v1,v2,v3,b],用rref函數(shù)求A的最簡(jiǎn)行階梯形，在MATLAB命令窗口鍵入：A=[v1,v2,v3,b],U0=rref(A)運(yùn)行的結(jié)果是方法之二：用行最簡(jiǎn)形（續(xù)）

若原例題中給出了第四個(gè)向量v4=[4;9;-7]，想在四個(gè)列向量中找到線性無(wú)關(guān)組。在程序pla406中增加以下語(yǔ)句：v4=[4,9,-7]',A=[v1,v2,v3,v4,b],U0=rref(A)運(yùn)行的結(jié)果是從U0可以看出，針對(duì)向量組v1,v2,v3,v4，其中（v1,v2,v3)，（v1,v3,v4)，（v2,v3,v4）都是線性無(wú)關(guān)向量組；而由于-1/3v1+1/3v2=v4，所以（v1,v2,