2021-2022學(xué)年湖南省永州市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年湖南省永州市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.復(fù)數(shù)2,的共扼復(fù)數(shù)是（〉

A.2+iB.2-iC.-2+iD.-2T

A

【分析】根據(jù)共輾復(fù)數(shù)的概念判斷即可：

【詳解】解：復(fù)數(shù)2-i的共輾復(fù)數(shù)是2+i.

故選：A

2,已知1（LT）,MM,則"+'）=（）

A.-1B.0C.1D.2

B

【分析】首先求出3+書(shū)的坐標(biāo)，再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算可得;

【詳解】解：因?yàn)?（LT）,石=（2,4）,

所以￡+5=(1,-1)+(2,4)=(3,3)

“?+])=3x1+3x(-1)=0

所以

故選：B

1n八〃a=V2,/I=—,sinB=

3.A48C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若43,則

b=()

2」

A.3B.6C.叢D.2G

A

【分析】直接利用正弦定理計(jì)算可得；

二，乃.八百a_b

a=72,A=—,sinB———\-;

【詳解】解：因?yàn)?3,由正弦定理sm/sin5,

V2h

屹=正,2出

0=-----

即23,解得3

故選：A

4.已知某平面圖形用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的直觀圖為如圖所示的三角形，其中

NB=/C=2,則該平面圖形的面積為（）

a

/O{A}Bx

A.6B.2

C.2百D.4

D

【分析】作出原圖形，且得出原圖形中的線(xiàn)段長(zhǎng)度，由三角形的面積公式可求得答案.

【詳解】解：作出原圖形如下圖所示：則"8'=2,"C'=4,所以該平面圖形的面積為

1.1

--ABAC=-x2x4=4

22,

故選：D.

5,在A/8C中，BC=4,AC=5tACBC=\O,則/8=()

A.2亞B.后C.5D.歷

B

【分析】在A/8C中，根據(jù)元.而=10求得cosC,再利用余弦定理即可得出答案.

【詳解】解：在中，BC=4,AC=5,

ACBC=(-CAy(-CByCACB=20cosC=W

AB=\lAC2+BC2-2ACBCcosC=J25+16-2X4X5X1=V21

所以

故選：B.

6.已知一組數(shù)據(jù)為30,40,50,50,55,60,70,80,90,則其極差、第50百分位

數(shù)和眾數(shù)的大小關(guān)系是（）

A.極差〉第50百分位數(shù)〉眾數(shù)B.眾數(shù)〉第50百分位數(shù)〉極差

C.極差〉眾數(shù)〉第50百分位數(shù)D.極差=第50百分位數(shù)=眾數(shù)

A

【分析】分別算出極差，第50百分位數(shù)和眾數(shù)即可比較大小.

【詳解】極差為9。-30=60,

因?yàn)?x50%=4.5,所以第5個(gè)數(shù)55即為第50百分位數(shù)，

又眾數(shù)為50,

所以它們大小關(guān)系是極差〉第50百分位數(shù)〉眾數(shù).

故選:A.

7.《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱(chēng)為陽(yáng)馬.如圖所

示，在四棱柱"88-44CQ中，棱錐4-/3。即為陽(yáng)馬，己知

"4=2N8=28C=2,則陽(yáng)馬4-488的表面積為（）

A2+y/5B3+V5c3+2>/5D4+2>/5

B

【分析】結(jié)合線(xiàn)面垂直的判定與性質(zhì)可得到“/O，"/巴,"QC均為直

角三角形，分別求得各面的面積，加和即可得到所求的陽(yáng)馬的表面積.

【詳解】由題意知：?平面NB8,

?.?8Cu平面力BCD,：.AXALBC

又ABIBC,平面Z/8,=...8C,平面

,.,48<=平面//8,BC1A{B.同理可得：C￡>1AtD.

則AZ/D,A4。。均為直角三角形,

S“/°=g/4/D=gx2xl=l5AJ8=lj4-^=|x2xl=l

S=-BC-A,B=-xlxyl22+\2=—S,^-CD-A.D=-xlxy/22+\2=—

"A'BCC222,De222

SOABCD=ABBC=M=\

Jpz^nS=1+1+——+——+1=3+A/5

，陽(yáng)馬4-A3的表面積22

故選：B.

8.已知％萬(wàn)，萬(wàn)，點(diǎn)P是邊BC上的一點(diǎn)，%4=3,舒.衣=2,APAB=X,則

+4C+力尸Lz,曰.,

I?的最小值為()

A.2及B.2百C.4D.16

C

ae(0,父ZBAP=--a\AC\=―--

【分析】設(shè)N°lP=a,I2人則2，則由已知可得??3cosa,

同=3sina,然后化簡(jiǎn)曰8+'0+"P|,化簡(jiǎn)后可利用基本不等式求得結(jié)果

caeVIZ.BAP=~~a

【詳解】在"8C中，ABLAC,設(shè)/。(P=a,I2人則2,

因?yàn)閆PZC=2,

所以同朝cosa=2,

因?yàn)榫W(wǎng)=＞所以附13cosa,

因?yàn)槿f(wàn)?布=1,

網(wǎng)祠=3國(guó)cos佟一a)=l\AB\=--一

所以.................),所以II3sina,

因?yàn)榫?，所以萬(wàn)?就=0,

...,\AB+AC+A^

所以II

=AB2+AC2+AP2+2ABAC+2ABAP+2ACAP

14

——；—+——+9+0+2+4

9sina9cosa

sin2a+cos2a4sin2a+4cos2a，廠

----------------+-------------w---------+15

9sina9cosa

cos2a4sin2a5，「

9sina9cosa9

cos2a4sin2a5一

>2.—-------—+-+15=16

9sin~a9cos-a9

cos2a4sin2a41

----=---：-tana=——

當(dāng)且僅當(dāng)9siira9cosa,即2時(shí)取等號(hào)，

所以同+4C+M的最小值為16,

所以同+"+'4的最小值為4,

故選：C

二、多選題

9.若復(fù)數(shù)馬=2「3,z2=l-it其中i是虛數(shù)單位，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.馬在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限

B.若馬+“（°€口）是純虛數(shù)，那么"=3

Czx-z2=-l+5i

D.若4、Z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量分別為5、OB（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則1,8卜26

BC

【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義可判斷AD選項(xiàng)；利用復(fù)數(shù)的概念可判斷B選項(xiàng)；利用

復(fù)數(shù)的乘法可判斷C選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，4在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（一3,2）位于第二象限，A錯(cuò)；

對(duì)于B選項(xiàng)，4+”（"3）+2i（aeR）為純虛數(shù)，則”3=0,可得”3,B對(duì)；

對(duì)于C選項(xiàng)，44=（-3+紗（1）=-1+》，c對(duì)；

對(duì)于D選項(xiàng)，由已知可得8=（T2）,麗=01）,則小麗心=（4,-3）,

所以，|兩=其行=5,口錯(cuò).

故選：BC.

10.在下列關(guān)于概率的命題中，正確的有（）

A.若事件/,8滿(mǎn)足「（⑷+P（8）=1,則48為對(duì)立事件

B.若事件/與8是互斥事件，則N與否也是互斥事件

C.若事件力與8是相互獨(dú)立事件，則/與耳也是相互獨(dú)立事件

131

P（A）=-P（B）=-P（AB）=-

D.若事件48滿(mǎn)足3,4,4,則48相互獨(dú)立

CD

【分析】對(duì)于A：舉反例判斷命題不成立；對(duì)于B：由互斥事件的定義直接判斷；對(duì)

于C：由相互獨(dú)立事件的性質(zhì)直接判斷；對(duì)于D：利用公式法直接判斷.

【詳解】對(duì)于A：若事件，、8不互斥，但是恰好P（/）=05P（8）=0.5,滿(mǎn)足

尸（/）+P（8）=l,但是48不是對(duì)立事件.故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：由互斥事件的定義可知，事件4、8互斥，但是力與8也是互斥事件不成立.

故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C：由相互獨(dú)立事件的性質(zhì)可知：若事件4與8是相互獨(dú)立事件，則Z與否也是

相互獨(dú)立事件.故C正確;

P(A)=-P(B)=-P(AB)=—

對(duì)于D：因?yàn)槭录?,8滿(mǎn)足3,44,所以

尸（,8）=尸（⑷尸伊），所以8相互獨(dú)立.

故選：CD

11.A/8C的內(nèi)角B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,下列說(shuō)法正確的是（）

a_bA—冗

A.若cosZsin8,則4

B.若sin2/=sin28,則此三角形為等腰三角形

C.若。=1,b=2,Z=30。，則解此三角形必有兩解

D.若是銳角三角形,則sin/+sin8>cos/+cos8

AD

【分析】由正弦定理可求Z,然后可判斷A；根據(jù)角的范圍直接求解可判斷B；正弦

定理直接求解可判斷C；利用誘導(dǎo)公式和正弦函數(shù)單調(diào)性可判斷D.

a_ba_ha_a

［詳解］由正弦定理可知sin工一sin8,又cos/-sin8,所以cos"sin/I,可得

tan/=l,因?yàn)椤皜（0，萬(wàn)），所以4,A正確；

因?yàn)?4€（0,2萬(wàn)）,28《（0,2萬(wàn)），且角2/,28最多有一個(gè)大于左，所以由

/+8=生

sin2A=sin2B可知,24=28或24+28=乃，即4=8或2,

所以5c為等腰三角形或直角三角形，故B錯(cuò)誤；

2x

.BbsinA2.?n

sinB=--------=-------=1D/八、B=一

由正弦定理可得?1,因?yàn)樗?,故此三角形有

唯一解，C錯(cuò)誤；

A+B>-->A>--B>Q

因?yàn)锳/8C是銳角三角形，所以2,即22,Xy=smx^

(0,—)sinA>sin(---B)=cosBsin5>sin(--A)=cosA

2上單調(diào)遞增，所以2，同理2

所以sin/+sin8>cos/+cos6,D正確.

故選：AD

12.如圖，在棱長(zhǎng)為。的正方體"88-44CA中，點(diǎn)尸為線(xiàn)段4c上的動(dòng)點(diǎn)，則

()

A.三棱錐P-48。的體積為定值

B.過(guò)P作直線(xiàn)〃〃2,貝W'OP

C.過(guò)A,P,■三點(diǎn)的平面截此正方體所得的截面圖形可能為五邊形

D.三棱錐的外接球的半徑的取值范圍是

ABD

【分析】對(duì)于A,連接可得平面8cll平面480,然后進(jìn)行判斷即可，

對(duì)于B‘連接可證得從而可得結(jié)論，對(duì)于C,當(dāng)點(diǎn)P為8C的中點(diǎn)

時(shí)，過(guò)A,P,'三點(diǎn)的平面為平面"8GR,然后向線(xiàn)段兩端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)再進(jìn)行判斷即可,

對(duì)于D,連接42"",交于點(diǎn)￡,過(guò)E作￡尸，平面4?？诮?c于尸，則球心。一

定在E尸上，當(dāng)點(diǎn)P與尸重合時(shí)，可求出廠的最小值，當(dāng)點(diǎn)尸與用或°重合時(shí)，可求出

，?的最大值

【詳解】對(duì)于A,連接4。邛,叫則8cd?

因?yàn)?。u平面兒叫片。仁平面48。，

所以平面8C||平面

所以動(dòng)點(diǎn)P到平面A'BD的距離為定值，

因?yàn)椤?80的面積為定值，所以三棱錐P-48。的體積為定值，所以A正確，

對(duì)于B,連接,2,則正方體的性質(zhì)可知'A,44,

因?yàn)?0n44=4,所以J■平面40c4,

因?yàn)椤Ｊ瑄平面4。。耳，所以力烏_L。j

因?yàn)椤?2,所以/，。尸，所以B正確，

對(duì)于C,當(dāng)點(diǎn)P為8c的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)A,P,"三點(diǎn)的平面為平面"8GA,當(dāng)點(diǎn)尸從

8c的中點(diǎn)向?yàn)踹\(yùn)動(dòng)時(shí)，截面過(guò)平面'044,/44民8℃內(nèi),44Gol點(diǎn)P從8c的

中點(diǎn)向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，截面過(guò)平面力?！?，/88,8。。4，以7&2,則過(guò)A,P,"三點(diǎn)

的平面與正方體最多與正方體的四個(gè)交，所以截面最多為四邊形，所以C錯(cuò)誤，

對(duì)于D,連接交于點(diǎn)E,可得E為4°的中點(diǎn)，

所以在"QA中，E到各頂點(diǎn)的距離相等，

過(guò)E作EF_L平面交4。于尸，則球心0一定在E尸上，且。4=0P,

A.D=42a,A.E=—a,EF=a,EO=-a

設(shè)半徑為，則題意可得22,

a0」/一.，3

當(dāng)點(diǎn)戶(hù)與產(chǎn)重合時(shí)，V2，得4,

當(dāng)點(diǎn)尸與名或C重合時(shí)，“、E0MABFO

所以三棱錐尸一4即的外接球的半徑的取值范圍是,所以D正確,

故選：ABD

三、填空題

13.在中國(guó)共產(chǎn)主義青年團(tuán)建團(tuán)100周年之際，某高中學(xué)校計(jì)劃選派60名團(tuán)員參加

“文明勸導(dǎo)”志愿活動(dòng)，高一、高二、高三年級(jí)的團(tuán)員人數(shù)分別為100,200,300,若按

分層抽樣的方法選派，則高一年級(jí)需要選派的人數(shù)為

10

【分析】按照分層抽樣規(guī)則計(jì)算可得；

-----------X60=10

【詳解】解：依題意可知高一年級(jí)需要選派的人數(shù)為100+200+300人.

故10

14.在直角三角形R8C中，AB=BC=6,Z5=90°,將此三角形繞直線(xiàn)"C旋轉(zhuǎn)一

周，所得幾何體的體積為

2

——71

33

【分析】由題可知得到的幾何體是兩個(gè)同底圓錐的組合體，由體積公式可得答案.

【詳解】將三角形繞直線(xiàn)NC旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體是兩個(gè)同底圓錐的組合體，在直角

三角形/BC中，4c=2,

所以圓錐底面圓的半徑為1,兩個(gè)圓錐的高的和為/C=2,

I2x2=-

所以幾何體的體積為33,

24

故H

15.定義平面非零向量之間的一種運(yùn)算“*”，記&*5=a8se+很sin夕（其中6是非零向

量萬(wàn)，I的夾角）.若弓，,2均為單位向量，且耍"=5,則k*（氐2）=.

叵

2

【分析】由數(shù)量積的定義可得弓，的夾角，利用新定義和向量模長(zhǎng)的計(jì)算公式以及

數(shù)量積的定義可得答案.

【詳解】響同8團(tuán)1且同咽又同。㈤，則

0=-

3.

斤（同

二卜1cos60°+V3e2sin60°|

2,

叵

故2

16.在中，角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若sin"-sin2C=sin/sinC,則

2、tan—B+---1-

2tanC的最小值為.

272

【分析】利用正弦定理及余弦定理可得c=a-2ccos8,再利用正弦定理及三角變換可

C一

得smC=sm（B-C）,2,然后利用基本不等式即得.

【詳解】vsin2B-sin2C=sin/IsinC,

...b2-c2=ac,b1=c2+ac,

又及=a2+c2-2accosB,

...c2+ac=a2+c2-2accosB,即c=。-2ccosB,

.sinC=sinA-2sinCcosi?=sin（5+C）-2sinCcosB

=sinBcosC-sinCcos5=sin（S-C）

...C=B-C或C+3-C=%（舍去），

c」

2,

tanC=tan—>0

2,

2tan-+—!—>2/2tan-——）一=272

/.2tanCV2tanC,

B1「兀n

tan—=----C=—R=—

當(dāng)且僅當(dāng)2tanC,即42時(shí)取等號(hào)，

故答案為.20

四、解答題

17.在平行四邊形/8CO中，E為CQ中點(diǎn)，記方="AD=b,

⑴試用工B表示荏；

⑵若小8=60。，網(wǎng)=6,囪=3,求荏與麗的夾角.

AE=b+^-

⑴2

（2）90°

【分析】（1）由向量的加法法則和向量的線(xiàn)性運(yùn)算可求得答案；

(2)由己知求得而，再運(yùn)用向量的夾角運(yùn)算求得答案.

—-—?—?—?1—.—?1一—a

AE=AD+DE=AD+—DC=AD+—AB=b+—

【詳解】(1)解：由題可知222.

BE=BC+CE=b--

(2)解：因?yàn)?,

記M與礪的夾角為。，

|AE|X5E|

所以荏與樂(lè)的夾角為90°.

18.中國(guó)神舟十三號(hào)載人飛船于2022年4月16日?qǐng)A滿(mǎn)完成飛行任務(wù)，神州十三號(hào)的

成功又一次激發(fā)了廣大中學(xué)生對(duì)于航天的極大興趣.某校舉行了一次主題為“航天夢(mèng)，

強(qiáng)國(guó)夢(mèng)”的知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法，在全校選取100名同學(xué)，按年齡大

小分為大齡組甲和小齡組乙兩組，每組各50人，所有學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)均在60?100之間,

甲組競(jìng)賽成績(jī)的頻率分布表和乙組競(jìng)賽成績(jī)的頻率分布直方圖，如下圖所示.

組號(hào)組頻數(shù)頻率

第一組[60,70)50.1

第二組[70,80)ab

第三組[80,90)150.3

第四組[90,100]100.2

(2)若以平均分為依據(jù)確定小組成績(jī)的優(yōu)劣，你認(rèn)為哪個(gè)小組成績(jī)更優(yōu)？請(qǐng)說(shuō)明理由

(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；

(3)若成績(jī)不低于90分的同學(xué)稱(chēng)為“航天追夢(mèng)者”，以選取的100名同學(xué)作為樣本，試估

計(jì)該校2000名學(xué)生中“航天追夢(mèng)者”的人數(shù).

⑴a=20,6=0.4,x=0.03

(2)甲組成績(jī)更優(yōu)，理由見(jiàn)解析

(3)300人

【分析】(1)根據(jù)頻率分布表和頻率分布直方圖可得答案；

(2)分別算出兩組的平均分作比較即可；

(3)根據(jù)所給數(shù)據(jù)算出甲、乙兩組中“航天追夢(mèng)者”的頻率，然后可算出答案.

/)=—=04

【詳解】⑴由甲組的頻率分布表可知"=50-5-15-10=20,50-,

0.3人?

…x=——=0.03

由乙組的頻率分布直方圖可知l-(S02+0.04+0.01xl0=0.3,10,

(2)記甲組平均分為石,豆=65x0.1+75x0.4+85x0.3+95x0.2=81

i己乙組平均分為弓弓=65x0.2+75x0.3+85x0.4+95x0.1=79

因?yàn)榭桑倦p，即甲組成績(jī)更優(yōu).

(3)由頻率分布表可知，甲組中“航天追夢(mèng)者?”的人數(shù)為10,

乙組中“航天追夢(mèng)者”的人數(shù)為50x0.1=5,

*0.15

甲、乙兩組中“航天追夢(mèng)者”的頻率100,

甲、乙組中“航天追夢(mèng)者”的人數(shù)為2000X0.15=300.

19.如圖1,在邊長(zhǎng)為2K的菱形/8CO中，ZJ5C=60°,。為線(xiàn)段。的中點(diǎn)；將

ZUOO沿"°折起到的位置，使得平面48—平面46C。，連接。田，D,C)

如圖2.

I)Pl

⑴證明：OD'1BC;

(2)求點(diǎn)。到平面”8〃的距離.

(1)證明見(jiàn)解析

3

⑵5

【分析】(1)由已知面面垂直證得線(xiàn)面垂直，從而證得線(xiàn)線(xiàn)垂直.

(2)利用等體積法求出點(diǎn)°到平面ABD'的距離.

［詳解］(1)在圖］中連接/C,/O=CZ),ZADC=^ABC=60°

???MC。為等邊三角形

又?.?。為8的中點(diǎn)AO1CD即AO1OD、

???在圖2中，平面平面48C。，交線(xiàn)為力。，°Ru平面40"

...OD}J?平面/8C。

?:BCu平面ABCO。工1BC

(2)在圖2中，連接8。，℃1，平面45(7。，/8U平面Z8C。

OD1AB

\又?."8J.40,ODtnAO=O

：.平面

..ADt(z平面AOD,,則AB1AD,

即418°,05"均為直角三角形

22

在放中，OA=yjAD-OD=3(設(shè)點(diǎn)°到平面的距離為

..%-AB0=1,SMBO*D。=［X；X2>/3X3X行=3

故JJ2

VO-ABD,=§?S%映?d=；x；x2Gx2Gxd=2d

?/'D1T80=^O-ABDy2

3

即點(diǎn)°到平面ABD'的距離為5

20.某品牌電腦售后保修期為一年，根據(jù)1000臺(tái)電腦的維修記錄資料（保修期內(nèi)所有

電腦維修次數(shù)均不超2次），這1000臺(tái)電腦在保修期內(nèi)需要維修1次的有300臺(tái)，需

要維修2次的占20%.以這1000臺(tái)電腦維修次數(shù)的頻率代替1臺(tái)電腦維修次數(shù)的概

率.

（1）求1臺(tái)電腦保修期內(nèi)不需要維修的概率；

（2）若某人購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)這個(gè)品牌的電腦，2臺(tái)電腦在保修期內(nèi)是否需要維修互不影響，如

果2臺(tái)電腦保修期內(nèi)需要維修的次數(shù)總和不超過(guò)2次的概率大于0.8,則認(rèn)為該品牌電

腦“值得信賴(lài)”，請(qǐng)判斷該品牌電腦是否“值得信賴(lài)”，并說(shuō)明理由.

（1）0.5

（2）認(rèn)為該品牌“值得信賴(lài)”，理由見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)對(duì)立事件的概率公式計(jì)算可得；

（2）利用相互獨(dú)立事件、互斥事件的概率公式計(jì)算可得；

【詳解】（1）解：（1）由題意可知

當(dāng)=03

該品牌電腦保修期內(nèi)維修1次的概率為：1000,

該品牌電腦保修期內(nèi)維修2次的概率為：20%=0.2,

該品牌電腦一年不需要維修的概率為.1-0-3-0.2=0.5

（2）解：品牌4表示第1臺(tái)電腦在保修期內(nèi)維修i次的事件（i=°，L2）

品牌與表示第2臺(tái)電腦在保修期內(nèi)維修/次的事件（/=°，1，2）

P（4）=0.5,。⑷=03P⑷=0.2

P（BJ=0.5,PCSJ=0.3,P[B2）=0.2

4與鳥(niǎo)相互獨(dú)立，4孫4約,4嗎都互斥

2臺(tái)電腦保修期內(nèi)需要維修的次數(shù)總和為0的概率：

,=尸（4）綜）=尸⑷xP（B。）=0.5x0.5=0.25

2臺(tái)電腦保修期內(nèi)需要維修的次數(shù)總和為1的概率：

4=P（4q+4線(xiàn)）=尸（44）+尸（4線(xiàn)）=05X0.3X2=0.3

2臺(tái)電腦保修期內(nèi)需要維修的次數(shù)總和為2的概率：

P2=P（4A+&Bo+4片）=P（4H）+P（&B°）+P（4A）=0.5X0.2X2+0.3X0.3=0.29

2臺(tái)電腦保修期內(nèi)需要維修的次數(shù)總和不超過(guò)2次的概率

P=PQ+PX+P2=0.25+0.3+0.29=0.84>0.8

所以認(rèn)為該品牌“值得信賴(lài)”.

21.如圖所示，在四棱錐尸一188中，已知底面N8CO是邊長(zhǎng)為6的菱形，

BE_1

//BC=120。，P4=PC,NPBD=NPDB=60。，E為線(xiàn)段上的點(diǎn)，且至=5

(1)證明：平面尸■平面尸5。；

PF

(2)尸為線(xiàn)段尸。上的一點(diǎn)，且M〃平面P8C,求而的值及直線(xiàn)叱與平面”BCD的

夾角.

(1)證明見(jiàn)解析

￡

⑵3,45。

【分析】(1)設(shè)“C與3。相交于。點(diǎn)，連接尸°,依題意可得80、AC1PO,

即可得到HC，平面尸8。，從而得證：

(2)在線(xiàn)段尸。上作尸點(diǎn)，過(guò)F點(diǎn)作FG//DC,交PC于G,連接E尸，BG,由線(xiàn)面

PF

平行的性質(zhì)及三角形相似求出而，過(guò)F作四，8。，交BD于H點(diǎn),連接E”，則

NFEH為直線(xiàn)E尸與平面的夾角，再根據(jù)線(xiàn)段關(guān)系求出角即可；

【詳解】(1)證明：設(shè)/C與2。相交于。點(diǎn)，連接2°,

???四邊形Z8CQ為菱形，8。，

?；PA=PC,ACLPO,

又=BD,POu平面PBD,

貝IJ/CJ.平面P8Z),

???NCu平面P/C,

；?平面&C1■平面PB￡>.

(2)解：在線(xiàn)段尸。上作尸點(diǎn)，過(guò)尸點(diǎn)作尸G〃〃C,交尸。于G,連接EF,BG,

--FG//DC,.-.FG//AB,則/G//E8,故E,F,G,8四點(diǎn)共面，

?；EF〃平面PBC,EFu平面EFGB,平面EFG8D平面P8C=8G,

:.EFHBG,故四邊形EFG8為平行四邊形，則￡8=FG,

\BE\=1|FG|1

,,兩=3,

\PF\|FG|1

;AP尸GOAPDC,閘兇弓，

在△尸8。中，NPBD=NPDB=60°,：,PO1BDt

在(1)知/C_LP°,又ZCn8Z)=°,"C,80平面/8C。，

尸。JL平面/BCD,

\FH\|/7)|_2

過(guò)尸作方HJ.8D,交80于H點(diǎn)，故/TWOAPDO且|「。|1Pq

???在中，M=萬(wàn)，.?.網(wǎng)=率=2￡

連接Ea,在△8E4中，快斗=，|喇2+忸川-2..卜忸E|cosNE8H=厄=2百

?■?FH，平面ABCD,則4FEH為直線(xiàn)EF與平面ABCD的夾角，

在RtAEFH中，|叫=回|=2百，.?.NFEH=45°,

直線(xiàn)EF與平面ABCD的夾角為45°.

22.如圖，設(shè)AN8C中角/,B,C所對(duì)的邊分別為0,b,c,。為8c的中點(diǎn)，己知

c=l,S“BC=2。2sin”.

(2)點(diǎn)￡,尸分別為邊48,ZC上的動(dòng)點(diǎn)，線(xiàn)段所交“。于G,且0<FCV2,

sinABAD=-r-——

7,皿3…AGEF,求工的最小值.

(1)60°

4

(2)3

JD=-（AB+JC）

【分析】（1）根據(jù)三角形得面積公式可求得邊以再根據(jù)2結(jié)合數(shù)量

積得運(yùn)算律即可得出答案；

_AB?AD