2019年數(shù)學(xué)教師資格考試數(shù)學(xué)學(xué)科知識與教學(xué)能力資料

2019年11月教師資格考試數(shù)學(xué)學(xué)科知識與教學(xué)能力

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)某個方面必要性：科技發(fā)展，行業(yè)應(yīng)用，基本素質(zhì)，時代要求。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)某個方面可能性：已具有運算知識，生活相關(guān)，計算機(jī)不陌生，具有一定分析/推

理等能力。

初中數(shù)學(xué)常用的教學(xué)思想：劃歸與轉(zhuǎn)化思想（乘法轉(zhuǎn)化為加法，復(fù)雜問題轉(zhuǎn)換為簡單，逆

運算，已知ab和a+b,求：+:=辛）；分類思想（一個標(biāo)準(zhǔn)）；數(shù)形結(jié)合思想；特殊與一般

bbba

思想（類比，歸納，演繹）；有限與無限思想；隨機(jī)與必然思想；函數(shù)與方程思想。

推理方法：演繹（一般到特殊。由已知定理，性質(zhì)推出特殊的事物），歸納（個別到一般）,

類比（特殊到特殊，由兩個事物的某些相同屬性推理出其他屬性也相同）

推理能力：通過觀察實驗類比等獲得數(shù)學(xué)信息，進(jìn)一步尋求證據(jù)，給出證明或者反例，能

清晰邏輯的表達(dá)自己的思考過程，言之有理；交流時能用數(shù)學(xué)語言合乎邏輯的討論和質(zhì)疑。

綜合證明法：已知定理調(diào)節(jié)，推斷結(jié)論P-Q1-Q2

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例如證明a和b平方和大于2abo

尺規(guī)作圖要求：直尺和圓規(guī)與現(xiàn)實并非完全相同，帶有想象性質(zhì)。直尺沒有限度，無限長,

沒有刻度，只能連接兩個點。圓規(guī)可以展開無限寬，沒有刻度，只可以構(gòu)造之前構(gòu)造的長

度。

幾何研究方法：綜合幾何方法，解析幾何方法，向量幾何方法，函數(shù)方法。

綜合幾何方法：利用已知基本圖形性質(zhì)研究復(fù)雜圖形性質(zhì)，基本圖形的轉(zhuǎn)化，平移，對稱

的手段。

解析幾何：笛卡爾、費馬。由代數(shù)方法研究幾何對象關(guān)系和性質(zhì)，坐標(biāo)幾何。

向量幾何：用向量來討論空間平面和幾何問題

古希臘三大問題，19世紀(jì)被證明是不可能用尺規(guī)完成的。

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1)立方倍積問題：求做立方體的體積是已知立方體兩倍的邊長。

2)化圓為方問題：圓面積=方面積，畫方

3)三等分角

50m圍長方形，面積最大的。講解的層次。

1)理解題目，提出策略，進(jìn)行畫圖

2)列舉滿足條件的特殊值，列表排序

3)找規(guī)律

4)給予驗證

5)鼓勵發(fā)現(xiàn)和提出一般性問題，例如長寬變化不限于整數(shù)

命題引入方式

1)觀察實驗

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2)觀察歸納

3)實際需要

4)矛盾

5)加強(qiáng)或者削弱條件引入

數(shù)學(xué)題目

函數(shù)單調(diào)性：a>b,f(a)>f(b);或者使用導(dǎo)數(shù)是否大于0;

函數(shù)奇偶性

在Xo導(dǎo)數(shù)的意義：斜率，對應(yīng)的切線方程y-yo=f'(xo)X(x-xo)

S=￡an收斂半徑r=|a(n+1)/a(n)I,a(n)不是1/n形式都收斂

常見函數(shù)導(dǎo)數(shù):

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(Xn)'=nX'

(ax)'=axIna

(fg)'=fg'+f'g

洛必達(dá)法則：分子分母的值趨于無窮大或者。，則極限懸=黑答

求最大值，則找導(dǎo)數(shù)為。的。

柯西不等式:

(ax+by)2>(a2+b2)(x2+y2)

(x+y)2>2xy

連續(xù)：對于任意6>0,存在￡>0,x-xo<￡,存在fx-fx0<6

離散事件，a1,a2,……an?每次事件等于ai的概率pi。數(shù)學(xué)期望E。這個離散事件的方

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差為：2：=o(ai_E)2pi

連續(xù)：既證明f(x)=f(xO)在x趨向xoo既相減絕對值為0

可導(dǎo)：首先證明存在，第二x趨向xo正和負(fù)的時候，分別導(dǎo)數(shù)等于xo導(dǎo)數(shù)

拉格朗日中值定理：ab區(qū)間連續(xù)可到，f(a)=f(b)中間一定有一個點導(dǎo)數(shù)為0

利用拉格朗日中值定理解題：構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))(x-a)/(b-a)。

g(a)=g(b)=0

羅爾定律：函數(shù)連續(xù)可導(dǎo)，有兩個x的值相等，這兩個x中間有一個點導(dǎo)數(shù)為0

證明導(dǎo)數(shù)=某個值的都可以使用這個變換的定律完成證明

1)f(x)在某個域可導(dǎo)連續(xù)。f(1)=f(0)+2,證明存在f(x)導(dǎo)數(shù)=2

2)取F(x)=f(x)-2x,連續(xù)可導(dǎo)。則F(O)=f(O)。F(1)=F(1)-2=f(0)=F(0)

3)根據(jù)羅爾定律存在F(x)的導(dǎo)數(shù)為0

拉格朗日微分中值定理

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4)函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，開區(qū)間可導(dǎo)，則存在ab區(qū)間的數(shù)使期導(dǎo)數(shù)等于v=f(b)-f(a)/

(b—a)

5)利用羅爾定理證明。定義g()=f—f(a)—v(x-a)

同樣可以利用fx為F(x)的導(dǎo)數(shù)，找到和題目形式為f(x),對應(yīng)的F(x),證明出F有

兩個不同的x值的y值相等，則f(x)=0肯定有根

F(x,y)是線性空間的證明

1)唯一性：f(x,y)唯一

2)封閉性：交換律，存在零元素X+Q=X；負(fù)元素T-T=Q,這里Q可以表示任意符合f(x,y)

中的東西，例如1/X;結(jié)合律；恒等率，找到一個“1”的表達(dá)式使“1”*f(x,y)

=f(x,y)

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等比數(shù)列和Sn=a1(a-qn)/(1-q)

空間站點到面Ax+By+Cz+D=O的距離

|AxO+ByO+CzO+D|4-J(AA+BB+CC)

F(x,y)在Ax+b變換下的方程。

1)[yJ]=A[y]+b0解除x1與x的關(guān)系式

2)將X=g(x1)帶入千(xy)求出變換方程

工不收斂。S(2n)-S(n)的極限是0.5不是0

*=on

X1+ax2+bx3+dx4=0通解

1)列矩陣，化為最小秩矩陣

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2)列方程，取值解除基礎(chǔ)解系a1,a2

3)通解*=解(11+1(2(12

選擇合適的方式

變異系數(shù)：便準(zhǔn)差/均值。哪個越小，分布約集中。便準(zhǔn)差等于方差開根號。

38分鐘內(nèi)送到，選一個。哪個概率高選哪一個。

正態(tài)分布P(t<38)=P(二嬰(等當(dāng)二中(警與。這個值越大，概率越高.Q為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分

標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差

布函數(shù)

離散分布：方差D=ss=￡P(guān)i(xi-E)7。期望E=ZPiXi/n。s為標(biāo)準(zhǔn)差

AB不相關(guān)。P(AB既兩個都發(fā)生的概率)=P(A)P(B)

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120

[121]=A求Aa屬于r3的正交基

341

1)初等變換看秩是幾，就選幾個不同的a。這里是2

2)A1=[1,1,3]T

3)A2=[2,2,4]T

4)施密特正交化:

5)B1=A1

6)B2=A2-口Bl

(A3.B2)

7)如果有B3=A3-詈粉Bl

(B2.B2)

甲乙兩個隊，甲3個紅色球，乙6個球，三紅三綠，乙里面隨便拿三個與甲組成丙，從丙

里選三個球，第一個是綠色的概率是多少？

第一：乙選3個可能有綠色1,2,3概率分別為

綠色?個:等喘

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綠色2個：等=/

綠色3個:苦媒

第二：混合后里面分別可能有1,2,3個綠。第一個是綠的概率分別

混合后有一個，第一個為綠：-

6

混合后有2個，第一個為綠：

混合后有3個，第一個為綠：-

6

第三:最終概率：=^x1+^x1+^x|

箱子里20個，含0,1,2殘次品概率0.8,0.1,.0.095.顧客隨便抽四個，沒有殘次品就

買下。買下箱子的概率。買下后無殘次品概率。

買下桃率:

a)無殘次品買下。0.8.

b)有一個沒有抽到買下：0.1X學(xué)。

C2O

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c)有2個沒有抽到買下：0.095X罟

C2O

則買下概率為上面三個加起來。0.94

買下后無殘次品概率極為第一種情況。那么就是0.84/0.94

正態(tài)分布也叫高斯分布。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，平均數(shù)為0,標(biāo)準(zhǔn)差為1.可以用丫=(x-u)/

XU/)

2^-…峰值就是均數(shù)量。對

P(|x-u|<a)=2。⑴-1P(|x-u|<2a)=20(2)7

a>0:P(x-u<a)=Q(a/o);P(x-u>a)=1-0(a/o)

a<0：P(x-u<a)=1-c|)(|a/a|);P(x-u>a)=0(|a/a|)

f(x)密度圖:

概率密度圖。其積分為4)(X),為概率。。(X)=￡of(x)dx

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標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布全部積分為1.

知道三點abc求面：面方程Ax+By+Cz+D=O帶入求。

Ab向量=ai+bj+ck

Ac向量=oi+mj+nk

ijk

面法向向量：AbXAc=|abc|=si+rj+tk

omn

面方程s(x-xO)+r(y-yO)+t(z-zo)=0

Sin(a+b)=sinaXcosb+cosaXsinb

Cos(a+b)=cosaXcosb-sinaXsinb

正弦定理：a/sina=b/sinb=c/sinc=2R外接圓半徑

三角形中：abc變成的關(guān)系和對應(yīng)的sin角度關(guān)系對應(yīng)，例如

sinA=sinB*sinCo對應(yīng)a=bc

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余弦定理：aa=bb+cc-2sinAbc

a.b=|a||b|cos<a,b>=xa*xb+ya*yb點乘是余弦,是一個數(shù)

|aXb|二|a||b|sin〈a,b＞義乘是正弦，ab組成的平行四邊形面積，方向為從a到b的右手

螺旋，是一個矢量

Ab向量平行，則xa*yb+ya*xb=O,兩個斜率相等，垂直xa*xb+ya*yb=0,斜率相乘二-1

點至U線的距離d二|Axo+Byo+C|/1AA+BB,點（xo,yo）面Ax+BY+C=0

橢圓:aa=bb+cc,離心率e=c/a小于1

雙曲線：cc=aa+bb,離心率大于1,漸近線：y=bx/a

拋物線yy=2px,焦點(p/2,0)準(zhǔn)線x=-p/2拋物線點到焦點和準(zhǔn)線距離相等二x+p/2

過拋物線焦點弦長：x1+X2+p

證明平行方法：三角形中位線，平行四邊形。

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證明平面平行：面內(nèi)對應(yīng)兩個交線平行

證明直線與面垂直：直線與面內(nèi)倆交線垂直

圓錐側(cè)面積：n”，r為底面半徑，I為斜邊

球體體積4Flrrr/3面積4nrr

循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)0.31,其中31循環(huán)

0.31X100=31.31

31.31-0.31=31=99X0.31

泰勒展開

234n

e*=1+x+/v5v+3Y+..............+、Y+o(xn)

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ln(1+x)=X-y+y-^+........+(-l)n^+o(xn+1)X趨向與0,ln(1+x)的極限=x

1r

—=1+x+X2.....+xn+o(xn)

(1+X)H+nx+U+........n(n-l)……(n-m+l)xm+

2!m!

sinx=X-^-+—-—........+(-l)n-----1-o(x2n+2)X趨向與0,sinx的極限=x

cosx=1-.......+(-l)n-——Fo(x2n+1)

2!4!6!''2n!')

矩陣相似：所有特征值相同A=(T'BC

T

矩陣合同：A=CBCO等秩，正負(fù)慣性指數(shù)相同(特征值正負(fù)的個數(shù))

X7a2+Y7b2+z7c2=1:橢球

X2/a2+Y7b2-z2/c2=1:單葉雙曲線

X7a2-Y7b2-z2/，=1雙葉雙曲線

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圖形與幾何的九條基本事實

1)兩點之間直線最短

2)兩點確定一條直線

3)過一點有且只有一條直線與這條直線垂直

4)過直線外一點有且只有一條直線與這條直線垂直

5)兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，平行

6)兩邊及兩夾角相等的三角形全等

7)兩角及夾角邊相等的三角形全等

8)三邊相等的三南形全等

9)兩條直線被一組平行線所截，對應(yīng)線段成比例

1)基a1,a2,a3,a4到基b1,b2,b3,b4的過渡矩陣。A=[a1,a2,a3,a4]A=QB,可求出A

過渡矩陣。

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2)一組基X在后一組基Y的坐標(biāo)：X=AY。進(jìn)一步求出Y=A(-1)X的表達(dá)式，就是坐標(biāo)。

3)兩個基相同坐標(biāo)向量，那么Y=X=A(T)X,可解得X的特殊值x1,x2,x3,x4

前面成立則后面一定成立是充分條件；后面成立前面一定成立是必要條件。

初中數(shù)學(xué)代數(shù)知識點總覽：數(shù)的分類；數(shù)軸；絕對值；幾個非負(fù)數(shù)；整數(shù)指數(shù)寐；一元一

次方程；一元二次方程：分式方程；二元一次方程組。

一、數(shù)的分類

其中：有理數(shù)(即可比數(shù))即有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)；無理數(shù)即無限不循環(huán)小數(shù)。

二、數(shù)軸

(1)三要素：原點、正方向、單位長度。

⑵實數(shù)數(shù)軸上的點。

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⑶利用數(shù)軸可比較數(shù)的大小，理解實數(shù)及其相反數(shù)、絕對值等概念。

三、絕對值

(1)幾何定義：數(shù)軸上，表示數(shù)a的點與原點的距離叫做數(shù)a的絕對值，記做。

⑵代數(shù)定義：=四、相反數(shù)、倒數(shù)

⑴a、b互為相反數(shù)a+b=O(或a=-b);

⑵a、b互為倒數(shù)a?b=1(或a=)。

五、幾個非負(fù)數(shù)

(1)川;

(2)a,0；

(3)川(a,0)。

(4)若幾個非負(fù)數(shù)之和為0,則這幾個非負(fù)數(shù)也分別為0.

(1)an叫做a的n次幕，其中，a叫底數(shù)，n叫指數(shù)。

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⑵若x=a（a2O）,則x叫做a的平方根，記做土；算術(shù)平方根記做。

⑶若x=a,則x叫做a的立方根，記做。因此=a

⑷算術(shù)平方根性質(zhì)：

①（）=a（a>0）;

②=;

③（a,0,b>0）;

④（a》0,b>0）?

八、運算順序：

1.同級：左T右

2.不同級：高T低（先乘方和開方，再乘除，最后加減）

3.有括號：里->外（先去小括號、再去中括號、最后去大括號）

九、運算律：

十一、a>0

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①(-a)2n+1=-a2n+1

②(-a)2n=a2n

十二、有理式

（1）有理式（2）乘法公式

平方差：(a+b)(a—b)=a2-b2

完全平方：(a±b)2=a2±2ab+b