2019-2021北京重點校高三（上）期末數(shù)學(xué)匯編：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

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利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性一、單選題1．（2020·北京·人大附中高三期中）已知函數(shù)與的圖象如圖所示，則不等式的解集為（）A． B． C． D．二、填空題2．（2019·北京四中高三期中）函數(shù)的極大值點為_________.三、雙空題3．（2021·北京一七一中高三期中）對于函數(shù)，若在其定義域內(nèi)存在，使得成立，則稱函數(shù)具有性質(zhì).（1）下列函數(shù)中具有性質(zhì)的有___________.①②③，（）④（2）若函數(shù)具有性質(zhì)，則實數(shù)的取值范圍是___________.四、解答題4．（2020·北京·北師大二附中高三期中）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，證明.5．（2020·北京·人大附中高三期中）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，，求的取值范圍.6．（2020·北京·人大附中高三期中）已知函數(shù).（1）設(shè)，若關(guān)于的不等式有解，求實數(shù)的取值范圍；（2）求的單調(diào)區(qū)間.7．（2021·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高三期中）已知函數(shù)（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值．8．（2021·北京四中高三期中）設(shè)函數(shù)，其中.（1）若是函數(shù)的極值點，求a的值；（2）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）當(dāng)時，設(shè)函數(shù)，證明：.9．（2021·北京師大附中高三期中）已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的零點：（2）若，證明：函數(shù)是上的減函數(shù)；（3）若曲線在點處的切線與直線平行，求a的值．10．（2021·北京·北大附屬實驗學(xué)校高三期中）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）求函數(shù)在上的最大值和最小值.

參考答案1．A【分析】根據(jù)圖象區(qū)分與的圖象，再利用圖象解不等式組.【詳解】若圖中實線部分曲線為函數(shù)的圖象，則虛線部分曲線為導(dǎo)函數(shù)的圖象，由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞減區(qū)間為，但函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，不合乎題意；若圖中實線部分曲線為導(dǎo)函數(shù)的圖象，則函數(shù)在區(qū)間上的減區(qū)間為，增區(qū)間為，合乎題意.由圖象可知，不等式的解集為，故選：A.2．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值點．【詳解】解：的定義域是，，令，解得：，令，解得：，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故為的極大值點，故答案為：．【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，屬于基礎(chǔ)題．3．①②④或．【分析】（1）令，由，可判斷；由sinx=有解，可判斷是否具有性質(zhì)P；令=，此方程無解，由此可判斷；由兩圖象在有交點可判斷；（2）問題轉(zhuǎn)化為方程有根，令，求導(dǎo)函數(shù)，分析導(dǎo)函數(shù)的符號，得所令函數(shù)的單調(diào)性及最值，由此可求得實數(shù)的取值范圍．【詳解】解：（1）在時，有解，即函數(shù)具有性質(zhì)P，令，即，∵，故方程有一個非0實根，故具有性質(zhì)P；的圖象與有交點，故sinx=有解，故具有性質(zhì)P；令=，此方程無解，故，（）不具有性質(zhì)P；令，則由兩圖象在有交點，所以有根，所以具有性質(zhì)P；綜上所述，具有性質(zhì)P的函數(shù)有：①②④；（2）具有性質(zhì)P，顯然，方程有根，令，則，令，解得，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以的值域[，+∞），∴，解之可得：或．故答案為：①②④；或．【點睛】方法點評：解決本題的關(guān)鍵是審清題意，把方程的解轉(zhuǎn)化為兩個圖象有交點，本題考查的是方程的根，新定義，函數(shù)的值域，是方程和函數(shù)的綜合應(yīng)用，難度比較大．4．（1）見解析；（2）見解析.【分析】（1）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號的變化情況討論單調(diào)性：當(dāng)時，，則在單調(diào)遞增；當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）證明，即證，而，所以需證，設(shè)g（x）=lnx-x+1，利用導(dǎo)數(shù)易得，即得證.【詳解】（1）的定義域為（0，+），.若a≥0，則當(dāng)x∈（0，+）時，，故f（x）在（0，+）單調(diào)遞增.若a＜0，則當(dāng)時，時；當(dāng)x∈時，.故f（x）在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）由（1）知，當(dāng)a＜0時，f（x）在取得最大值，最大值為.所以等價于，即.設(shè)g（x）=lnx-x+1，則.當(dāng)x∈（0,1）時，；當(dāng)x∈（1，+）時，.所以g（x）在（0,1）單調(diào)遞增，在（1，+）單調(diào)遞減.故當(dāng)x=1時，g（x）取得最大值，最大值為g（1）=0.所以當(dāng)x＞0時，g（x）≤0.從而當(dāng)a＜0時，，即.【點睛】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的常見類型及解題策略：（1）構(gòu)造差函數(shù).根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進而證明不等式.（2）根據(jù)條件，尋找目標(biāo)函數(shù).一般思路為利用條件將求和問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)項之間大小關(guān)系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).5．（1）見解析；（2）.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分和兩種情況討論，分析導(dǎo)數(shù)的符號變化，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）問題變形為，令，由題意得出，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定的范圍即可．【詳解】（1），定義域為且.①當(dāng)時，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時，由，得，得.當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增.此時，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；（2）變形為，令，定義域為，且，.①當(dāng)時，對任意的，，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，此時，，合乎題意；②當(dāng)時，則函數(shù)在上的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.（i）當(dāng)時，即當(dāng)時，則函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，此時，則函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù).此時，，合乎題意；（ii）當(dāng)時，即當(dāng)時，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，，又，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，不合乎題意.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．6．（1）；（2）增區(qū)間，減區(qū)間.【分析】（1）由有解，可轉(zhuǎn)化為，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系求出，即可求出實數(shù)的取值范圍；（2）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，只要檢驗的正負(fù)即可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1），，，定義域為，.當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增.所以，當(dāng)時，函數(shù)取最小值，即，關(guān)于的不等式有解，則，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是；（2），，，設(shè)，，且有，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減.當(dāng)時，，即，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，即，函數(shù)單調(diào)遞減.綜上所述，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.【點睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)不等式能成立問題，以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.7．（1）（2）答案見解析.【分析】（1）求，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線斜率為，計算可得切點，由點斜式可得切線方程；（2）解不等式，可得單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間，由單調(diào)性可得極值.（1）由可得，所以函數(shù)在處的切線斜率為，切點為，所以函數(shù)在處的切線方程為：即.（2）因為，由可得；由可得；所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以時，取得極大值為，無極小值.綜上所述：的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為，的極大值為，無極小值.8．（1）；（2）答案見解析；（3）證明見解析.【分析】（1）由題意有，求出的值，檢驗即可得答案；（2）令，得或，然后對分：，，三種情況討論即可得答案；（3）令，由，得在上單調(diào)遞增，又由函數(shù)零點存在定理可得存在，使，即，，從而可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，進而可得，從而得證原不等式成立.（1）解：，因為是函數(shù)的極值點，所以，解得，當(dāng)時，檢驗符合題意，所以a的值為；（2）解：，，令，得或，當(dāng)時，令，得或，令，得；當(dāng)時，恒成立；當(dāng)時，令，得或，令，得；綜上，當(dāng)時，在和單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在和單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（3）證明：當(dāng)時，，設(shè)，因為，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以存在，使，即，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的最小值為，所以，從而得證.9．（1）2（2）證明見解析.（3）0.【分析】（1）直接解方程即可求出零點；（2）利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性；（3）先由在點處的切線與直線平行，得到，用圖像法求出a=0.（1）當(dāng)時，.令，解得：x=2.即函數(shù)的零點是2.（2）當(dāng)時，定義域為.所以.令，則當(dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，都有.所以在上恒成立，所以函數(shù)是上的減函數(shù).（3）.所以.因為在點處的切線與直線平行，所以.即.記，則.當(dāng)時，，所以單調(diào)遞減；當(dāng)時，，所以單調(diào)遞增.而，所以a=0是方程的唯一解.