空間直角坐標(biāo)系與空間向量及其運(yùn)算

空間直角坐標(biāo)系與空間向量及其運(yùn)算第一頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日一、空間直角坐標(biāo)系2．已知空間一點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y，z)；(1)與M點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為_____________；(2)與M點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為_____________；(x，－y，－z)(－x，y，－z)第二頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日2．已知空間一點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y，z)；(1)與M點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為_____________；(2)與M點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為_____________；(3)與M點(diǎn)關(guān)于z軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為_____________；(4)與M點(diǎn)關(guān)于面xOy對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為__________；(5)與M點(diǎn)關(guān)于面xOz對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為__________；(6)與M點(diǎn)關(guān)于面yOz對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為__________；(7)與M點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為________________．(x，－y，－z)(－x，y，－z)(－x，－y，z)(x，y，－z)(x，－y，z)(－x，y，z)(－x，－y，－z)第三頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日二、空間向量及其運(yùn)算1．空間向量及其加減與數(shù)乘運(yùn)算(1)在空間中，具有____和____的量叫做向量．____相同且___相等的有向線段表示同一向量或相等向_____________________________稱為a的相反向量．(2)空間向量的有關(guān)知識(shí)實(shí)質(zhì)上是平面向量對(duì)應(yīng)的知識(shí)的推廣，如有關(guān)的概念、運(yùn)算法則、運(yùn)算律等等．2．空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a、b、______，那么對(duì)空間任一向量p，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使______________，其中{a，b，c}叫做空間的一個(gè)_____，a、b、c都叫做基向量．大小方向方向模與a長(zhǎng)度相等而方向相反的向量不共面p＝xa＋yb＋zc基底第四頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日三、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算2．已知空間兩個(gè)向量a、b，則a·b＝______________(向量表示)＝______________(坐標(biāo)表示)．3．空間向量數(shù)量積公式的變形及應(yīng)用．已知a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，(1)判斷垂直：a⊥b?a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2＝__.x1x2＋y1y2＋z1z2|a||b|cos〈a，b〉〈a，b〉[0，π]0第五頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日第六頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日1．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(1,2,3)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為 (

)A．(－1,2,3)

B．(1，－2，－3)C．(－1,－2,3) D．(－1,2,－3)解析：點(diǎn)P(x，y，z)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，－y，－z)．答案：B第七頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日2．與向量a＝(1，－3,2)平行的一個(gè)向量的坐標(biāo)是

(

)答案：C第八頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日答案：C第九頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日第十頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日1．建立空間直角坐標(biāo)系，必須牢牢抓住“相交于同一點(diǎn)的兩兩垂直的三條直線”，要在題目中找出或構(gòu)造出這樣的三條直線，因此，要充分利用題目中所給的垂直關(guān)系(即線線垂直、線面垂直、面面垂直)，同時(shí)要注意，所建立的坐標(biāo)系必須是右手空間直角坐標(biāo)系．在右手空間直角坐標(biāo)系下，點(diǎn)的坐標(biāo)既可根據(jù)圖中有關(guān)線段的長(zhǎng)度，也可根據(jù)向量的坐標(biāo)寫出．第十一頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日2．空間向量的知識(shí)和內(nèi)容是在平面向量知識(shí)的基礎(chǔ)上產(chǎn)生和推廣的，因此，可以利用類比平面向量的方法解決本節(jié)的很多內(nèi)容．(1)零向量是一個(gè)特殊向量，在解決問(wèn)題時(shí)要特別注意零向量，避免對(duì)零向量的遺漏．(2)λa是一個(gè)向量，若λ＝0，則λa＝0；若λ≠0，a＝0，則λa＝0.(3)討論向量的共線、共面問(wèn)題時(shí)，注意零向量與任意向量平行，共線與共面向量均不具有傳遞性．(4)①數(shù)量積運(yùn)算不滿足消去律，即a·b＝b·c?a＝c.②數(shù)量積的運(yùn)算不適合乘法結(jié)合律，即(a·b)·c不一定第十二頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日等于a·(b·c)．這是由于(a·b)·c表示一個(gè)與c共線的向量，而a·(b·c)表示一個(gè)與a共線的向量，而c與a不一定共線．③空間向量沒有除法運(yùn)算．(5)借助空間向量可將立體幾何中的平行、垂直、夾角、距離等問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算，如：①判斷線線平行或諸點(diǎn)共線，轉(zhuǎn)化為“a∥b(b≠0)?a＝λb”；②證明線線垂直，轉(zhuǎn)化為“a⊥b?a·b＝0”，若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則轉(zhuǎn)化為計(jì)算a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；③在計(jì)算異面直線所成的角(或線面角、二面角)時(shí)，轉(zhuǎn)化為求向量的第十三頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日兩條異面直線所成的角θ與兩異面直線對(duì)應(yīng)的向量a，b的夾角關(guān)系為cosθ＝|cos〈a，b〉|.第十四頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日4．運(yùn)用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決立體幾何問(wèn)題的一般步驟為：①建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；②求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；③寫出向量的坐標(biāo)；④結(jié)合公式進(jìn)行論證、計(jì)算；⑤轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論．第十五頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日考點(diǎn)一求點(diǎn)的坐標(biāo)【案例1】

(2009·安徽)在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1,0,2)，B(1，－3,1)，點(diǎn)M在y軸上，且M到A與到B的距離相等，則M的坐標(biāo)是________．關(guān)鍵提示：設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)后利用空間兩點(diǎn)間的距離公式求解．解析：本題主要考查空間兩點(diǎn)距離的計(jì)算．設(shè)M(0，y,0)，因|MA|＝|MB|，由空間兩點(diǎn)間距離公式得1＋y2＋4＝1＋(y＋3)2＋1，解得y＝－1.答案：(0，－1,0)(即時(shí)鞏固詳解為教師用書獨(dú)有)第十六頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日【案例2】如圖，已知正方體ABCD－A′B′C′D′的棱長(zhǎng)為a，M為BD′的中點(diǎn)，點(diǎn)N在A′C′上，且|A′N|＝3|NC′|，試求MN的長(zhǎng)．關(guān)鍵提示：建立空間直角坐標(biāo)系后再求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求出MN的長(zhǎng)．第十七頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日解：以D為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)檎襟w棱長(zhǎng)為a，所以B(a，a,0)，A′(a,0，a)，C′(0，a，a)，D′(0,0，a)．第十八頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日第十九頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日【即時(shí)鞏固1】如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，且邊長(zhǎng)為2a，棱PD⊥底面ABCD，PD＝2b，取各側(cè)棱的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，寫出點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H的坐標(biāo)．解：由圖形知，DA⊥DC，DC⊥DP，DP⊥DA，故以D為原點(diǎn)，建立如圖空間坐標(biāo)系D－xyz.因?yàn)镋，F(xiàn)，G，H分別為側(cè)棱中點(diǎn)，由立體幾何知識(shí)可知，平面EFGH與底面ABCD平行，從而這4個(gè)點(diǎn)的豎坐標(biāo)都為P的豎坐標(biāo)的一半，也就是b.由H為DP中點(diǎn)，得H(0,0，b)．第二十頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日

E在底面上的投影為AD中點(diǎn)，所以E的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別為a和0，所以E(a,0，b)，同理G(0，a，b)；F在坐標(biāo)平面xOz和yOz上的投影分別為點(diǎn)E和G，故F與E橫坐標(biāo)相同都是a，與G的縱坐標(biāo)也同為a，又F的豎坐標(biāo)為b，故F(a，a，b)．第二十一頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日考點(diǎn)二空間向量基本定理的應(yīng)用第二十二頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日關(guān)鍵提示：利用空間向量基本定理將所求向量表示成已知向量的形式．第二十三頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日第二十四頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日第二十五頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日答案：B第二十六頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日【即時(shí)鞏固3】如圖所示，在60°的二面角α－AB－β中，AC?α，BD?β，且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分別為A、B，已知AB＝AC＝BD＝a，求線段CD的長(zhǎng)．第二十七頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日第二十八頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日考點(diǎn)三證明垂直問(wèn)題第二十九頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日(1)求證：EF⊥B1C；(2)求EF與C1G所成的角的余弦值；(3)求FH的長(zhǎng).關(guān)鍵提示：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量來(lái)解決． 第三十頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日第三十一頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日第三十