離中趨勢的測度

離中趨勢的測度第一頁，共五十五頁，2022年，8月28日隨著電子商務(wù)的發(fā)展，網(wǎng)上購物稱為一種時尚，快遞公司如雨后春筍般出現(xiàn)，所以郵政服務(wù)正在努力向用戶友好型轉(zhuǎn)變。現(xiàn)在有這樣一種情況，過幾天我的媽媽過生日，我去郵局咨詢一下“請告訴我提前多少天寄出生日賀卡，這樣在我媽媽生日當天剛好收到，不早也不晚”。遞送時間的一致性可以用遞送時間的標準差來衡量，標準差越小就意味著遞送時間的一致性就越強。第二頁，共五十五頁，2022年，8月28日第三頁，共五十五頁，2022年，8月28日實例：一些銀行要求顧客在每個窗口等待，而另一些銀行分發(fā)號碼，相當于顧客在一個大隊列中等待，在什么不同嗎？銀行一：6.56.66.76.87.17.37.47.77.77.7(一列）-------------------------------------------------------------------------------銀行二：4.25.45.86.26.77.77.78.59.310.0（多列）顧客等待時間（以分鐘計）第四頁，共五十五頁，2022年，8月28日銀行一（一列等待）平均數(shù)=7.15中位數(shù)=7.20銀行二（多列等待）平均數(shù)=7.15中位數(shù)=7.204 5 6 78 9 10第五頁，共五十五頁，2022年，8月28日離散程度數(shù)據(jù)分布的另一個重要特征反映各變量值遠離其中心值的程度（離散程度）從另一個側(cè)面說明了集中趨勢測度值的代表程度不同類型的數(shù)據(jù)有不同的離散程度測度值第六頁，共五十五頁，2022年，8月28日異眾比率(variationratio)1. 離散程度的測度值之一2. 非眾數(shù)組的頻數(shù)占總頻數(shù)的比率3. 計算公式為

4.用于衡量眾數(shù)的代表性第七頁，共五十五頁，2022年，8月28日異眾比率(例題分析)解：

在所調(diào)查的200人當中，關(guān)注非別克的人數(shù)占44%，異眾比率還是比較大。因此，用“別克”來反映城市居民對汽車品牌的一般趨勢，其代表性不是很好某地區(qū)居民關(guān)注汽車品牌的頻數(shù)分布汽車品牌人數(shù)(人)比例頻率(%)別克福特馬自達標志現(xiàn)代吉利112519161020.5600.2550.0450.0800.0500.01056.025.54.58.05.01.0合計2001100第八頁，共五十五頁，2022年，8月28日四分位差(quartiledeviation)1. 離散程度的測度值之一2. 也稱為內(nèi)距或四分間距3. 上四分位數(shù)與下四分位數(shù)之差

QD

=QU-QL4. 反映了中間50%數(shù)據(jù)的離散程度不受極端值的影響用于衡量中位數(shù)的代表性第九頁，共五十五頁，2022年，8月28日四分位差(順序數(shù)據(jù)的算例)解：設(shè)非常不滿意為1,不滿意為2,一般為3,滿意為4,非常滿意為5

已知

QL=不滿意=2

QU=

一般=3四分位差：

QD=QU=

QL

=3–2

=1某企業(yè)員工對管理水平評價的頻數(shù)分布回答類別企業(yè)人數(shù)(人)累計頻數(shù)非常不滿意不滿意一般滿意非常滿意2410893453024132225270300合計300—第十頁，共五十五頁，2022年，8月28日數(shù)值型未分組數(shù)據(jù)的四分位差(算例)【例】：一個部門1月份10個人的收入數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù):

15007507806601080850960200012501630排序:

660

75078085096010801250150016302000位置:1234

5678910第十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日數(shù)值型數(shù)據(jù)：方差和標準差第十二頁，共五十五頁，2022年，8月28日下面是兩名同學射擊比賽的成績情況第十三頁，共五十五頁，2022年，8月28日第十四頁，共五十五頁，2022年，8月28日請同學們思考，當平均水平相同時，還可以從哪些方面分析，來說明兩個人射擊成績的差異？從而判斷究竟選派那位同學參加比賽更合適呢？1、

從變化范圍的大小進行分析，誰參加比賽更合適呢？通常，一組數(shù)據(jù)中的最大值減去最小值所得的差，叫做這組數(shù)據(jù)的極差（range）極差=數(shù)據(jù)中的最大值－數(shù)據(jù)中的最小值小結(jié)：極差表示了一組數(shù)據(jù)變化范圍的大小，但由于只考慮了它的兩個極端數(shù)據(jù)的變化，而沒有考慮其它數(shù)據(jù)，因此用它來表示一組數(shù)據(jù)的波動情況還比較粗略．

第十五頁，共五十五頁，2022年，8月28日極差(range)1.一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值之差2.離散程度的最簡單測度值3.易受極端值影響未考慮數(shù)據(jù)的分布計算公式為

R

=max(xi)-min(xi)第十六頁，共五十五頁，2022年，8月28日2、從波動大小進行分析。觀察折線圖,你能發(fā)現(xiàn)兩人射擊成績的波動差異嗎？第十七頁，共五十五頁，2022年，8月28日1．用數(shù)值怎樣表示一次成績偏離平均數(shù)的程度？2．怎樣表示10次成績偏離平均數(shù)的程度？3．平均水平之上的數(shù)減去平均數(shù)是正數(shù)，平均水平以下的數(shù)減去平均數(shù)是負數(shù)。直接相加就會“正負抵消”，和為0．為了避免“正負抵消”的問題怎么辦?4．如果兩組數(shù)據(jù)不一樣多，怎么解決數(shù)據(jù)個數(shù)的影響？綜上所述，我們可以用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的結(jié)果表示一組數(shù)據(jù)的波動大小．這個結(jié)果通常稱為方差（variance）．第十八頁，共五十五頁，2022年，8月28日方差和標準差(varianceandstandarddeviation)1. 離散程度的測度值之一2. 最常用的測度值3. 反映了數(shù)據(jù)的分布反映了各變量值與均值的平均差異根據(jù)總體數(shù)據(jù)計算的，稱為總體方差或標準差；根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算的，稱為樣本方差或標準差第十九頁，共五十五頁，2022年，8月28日樣本方差和標準差(simplevarianceandstandarddeviation)未分組數(shù)據(jù)：組距分組數(shù)據(jù)：未分組數(shù)據(jù)：組距分組數(shù)據(jù)：方差的計算公式標準差的計算公式注意：樣本方差用自由度n-1去除!第二十頁，共五十五頁，2022年，8月28日樣本方差自由度(degreeoffreedom)一組數(shù)據(jù)中可以自由取值的數(shù)據(jù)的個數(shù)當樣本數(shù)據(jù)的個數(shù)為n

時，若樣本均值x確定后，只有n-1個數(shù)據(jù)可以自由取值，其中必有一個數(shù)據(jù)則不能自由取值例如，樣本有3個數(shù)值，即x1=2，x2=4，x3=9，則x=5。當x

=5

確定后，x1，x2和x3有兩個數(shù)據(jù)可以自由取值，另一個則不能自由取值，比如x1=6，x2=7，那么x3則必然取2，而不能取其他值樣本方差用自由度去除，其原因可從多方面來解釋，從實際應(yīng)用角度看，在抽樣估計中，當用樣本方差去估計總體方差σ2時，它是σ2的無偏估計量第二十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日樣本方差與標準差(例題分析1)【例】個成年人某個月上網(wǎng)時間的數(shù)據(jù)如下（單位：小時），計算其方差及其標準差。第二十二頁，共五十五頁，2022年，8月28日樣本方差與標準差(例題分析1)第二十三頁，共五十五頁，2022年，8月28日樣本方差與標準差(例題分析2)

【例4-14】在【例4-7】中，50個固定電話新客戶第一個月的電話清單的平均電話費用，試據(jù)此表資料計算方差及其標準差。第二十四頁，共五十五頁，2022年，8月28日樣本方差與標準差(例題分析2)第二十五頁，共五十五頁，2022年，8月28日平均差

(meandeviation)各變量值與其均值離差絕對值的平均數(shù)能全面反映一組數(shù)據(jù)的離散程度數(shù)學性質(zhì)較差，實際中應(yīng)用較少計算公式為未分組數(shù)據(jù)組距分組數(shù)據(jù)第二十六頁，共五十五頁，2022年，8月28日平均差

(例題分析)某電腦公司銷售量數(shù)據(jù)平均差計算表按銷售量分組組中值(Mi)頻數(shù)(fi)140—150150—160160—170170—180180—190190—200200—210210—220220—230230—24014515516517518519520521522523549162720171084540302010010203040501602703202700170200240160250合計—120—2040第二十七頁，共五十五頁，2022年，8月28日平均差

(例題分析)含義：每一天的銷售量平均數(shù)相比，平均相差17臺含義：每一天的銷售量平均數(shù)相比，平均相差17臺第二十八頁，共五十五頁，2022年，8月28日相對位置的測量：標準分數(shù)第二十九頁，共五十五頁，2022年，8月28日標準分數(shù)(standardscore)1.也稱標準化值2. 對某一個值在一組數(shù)據(jù)中相對位置的度量3. 可用于判斷一組數(shù)據(jù)是否有離群點4. 用于對變量的標準化處理5.計算公式為第三十頁，共五十五頁，2022年，8月28日標準化值

(例題分析)9個家庭人均月收入標準化值計算表家庭編號人均月收入（元）標準化值z

123456789150075078010808509602000125016300.695-1.042-0.973-0.278-0.811-0.5561.8530.1160.996第三十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日標準分數(shù)(性質(zhì))均值等于02. 方差等于1第三十二頁，共五十五頁，2022年，8月28日標準分數(shù)(性質(zhì))

z分數(shù)只是將原始數(shù)據(jù)進行了線性變換，它并沒有改變一個數(shù)據(jù)在改組數(shù)據(jù)中的位置，也沒有改變該組數(shù)分布的形狀，而只是將該組數(shù)據(jù)變?yōu)榫禐?，標準差為1。

第三十三頁，共五十五頁，2022年，8月28日經(jīng)驗法則經(jīng)驗法則表明：當一組數(shù)據(jù)對稱分布時約有68%的數(shù)據(jù)在平均數(shù)加減1個標準差的范圍之內(nèi)約有95%的數(shù)據(jù)在平均數(shù)加減2個標準差的范圍之內(nèi)約有99%的數(shù)據(jù)在平均數(shù)加減3個標準差的范圍之內(nèi)若不是對稱分布會怎樣？第三十四頁，共五十五頁，2022年，8月28日假定某學校在校大學生每月的生活消費支出近似服從正態(tài)分布，其月生活消費支出的均值為500元，標準差為50元。對于大學生生活消費支出的分布情況，你有何看法？解：因為數(shù)據(jù)是正態(tài)分布，我們可以應(yīng)用經(jīng)驗法則得到：大約68%的月生活消費支出在450元（500-50）和550元（500+50）之間大約95%的月生活消費支出在400元（500-2×50）和600元（500+2×50）之間大約99.7%的月生活消費支出在350元（500-3×50）和650元（500+3×50）之間第三十五頁，共五十五頁，2022年，8月28日相對離散程度：離散系數(shù)第三十六頁，共五十五頁，2022年，8月28日離散系數(shù)(coefficientofvariation)1. 標準差與其相應(yīng)的均值之比對數(shù)據(jù)相對離散程度的測度消除了數(shù)據(jù)水平高低和計量單位的影響4. 用于對不同組別數(shù)據(jù)離散程度的比較5.計算公式為第三十七頁，共五十五頁，2022年，8月28日離散系數(shù)

（實例和計算過程）

某管理局抽查了所屬的8家企業(yè)，其產(chǎn)品銷售數(shù)據(jù)如表。試比較產(chǎn)品銷售額與銷售利潤的離散程度某管理局所屬8家企業(yè)的產(chǎn)品銷售數(shù)據(jù)企業(yè)編號產(chǎn)品銷售額（萬元）X1銷售利潤（萬元）X21234567817022039043048065095010008.112.518.022.026.540.064.069.0第三十八頁，共五十五頁，2022年，8月28日S2=23.09（萬元）V2=32.521523.09=0.710X2=32.5215（萬元）X1=536.25（萬元）S1=309.19（萬元）V1=536.25309.19=0.577結(jié)論：計算結(jié)果表明，V1<V2，說明產(chǎn)品銷售額的離散程度小于銷售利潤的離散程度第三十九頁，共五十五頁，2022年，8月28日離散系數(shù)(例題分析)第四十頁，共五十五頁，2022年，8月28日

例1：某項調(diào)查發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)今三口之家的家庭最多（32%），求異眾比率。某開發(fā)商根據(jù)這一報導(dǎo)，將房屋的戶型大部分都設(shè)計為適合三口之家居住的樣式和面積，你認為如何呢？例2：設(shè)為測體重，得到成人組和嬰兒組各100人的兩個抽樣總體。成人組平均體重為65千克，全距為10千克；嬰兒組平均體重為4千克，全距為2.5千克。能否認為成人組體重的離勢比嬰兒組體重的離勢大？

例3：對一個群體測量身高和體重，平均身高為170.2厘米，身高標準差為5.30厘米；平均體重為70千克，體重標準差為4.77千克。比較身高和體重的離散程度。第四十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日數(shù)據(jù)類型與離散程度測度值數(shù)據(jù)類型和所適用的離散程度測度值數(shù)據(jù)類型分類數(shù)據(jù)順序數(shù)據(jù)數(shù)值型數(shù)據(jù)適用的測度值※異眾比率※四分位差

※方差或標準差—異眾比率

※離散系數(shù)（比較時用）——平均差——極差——四分位差——異眾比率第四十二頁，共五十五頁，2022年，8月28日偏度與峰度的測度一.偏度及其測度二.峰度及其測度第四十三頁，共五十五頁，2022年，8月28日偏度與峰度分布的形狀扁平分布尖峰分布偏度峰度左偏分布右偏分布與標準正態(tài)分布比較！第四十四頁，共五十五頁，2022年，8月28日偏度第四十五頁，共五十五頁，2022年，8月28日偏度(skewness)統(tǒng)計學家Pearson于1895年首次提出數(shù)據(jù)分布偏斜程度的測度偏度系數(shù)=0為對稱分布偏度