中國(guó)礦業(yè)大學(xué)周圣武概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第二章隨機(jī)變量及其分布

第二章隨機(jī)變量及其(Qi)分布

一、隨機(jī)變(Bian)量

二、離散型隨機(jī)變量及其分布三、隨機(jī)變量的分布函數(shù)

四、連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布五、隨機(jī)變量的函數(shù)的分布第一頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。為了更方便地從數(shù)量方面研(Yan)究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)起來(lái)，將(Jiang)隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化。律，引入隨機(jī)變量的概念，即將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果與第二頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。第一節(jié)隨(Sui)機(jī)變量隨機(jī)變量概念的產(chǎn)(Chan)生引入隨機(jī)變量的意義隨機(jī)變量的分類第三頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。一(Yi)、隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生在(Zai)實(shí)際問(wèn)題中，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用數(shù)量來(lái)表示，由此就產(chǎn)生了隨機(jī)變量的概念.第四頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。1.有些試驗(yàn)結(jié)(Jie)果本身與數(shù)值有關(guān)（本身就是一個(gè)數(shù)）.例如，擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點(diǎn)(Dian)數(shù)；四月份哈爾濱的最高溫度；每天進(jìn)入一號(hào)樓的人數(shù)；昆蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)；第五頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。2.在有些試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果看(Kan)來(lái)與數(shù)值無(wú)關(guān)，但我們可以引進(jìn)一個(gè)變量來(lái)表示它的各種結(jié)果.也就是說(shuō)，把試驗(yàn)結(jié)果數(shù)值化.正如裁判員在運(yùn)動(dòng)場(chǎng)上(Shang)不叫運(yùn)動(dòng)員的名字而叫號(hào)碼一樣，二者建立了一種對(duì)應(yīng)關(guān)系.

第六頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。這種對(duì)應(yīng)關(guān)系數(shù)學(xué)上理解(Jie)為定義了一種實(shí)值單值函數(shù).e.X(e)R定義1設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣(Yang)本空間在Ω上的實(shí)值單值函數(shù)，稱是定義為隨機(jī)變量。隨機(jī)變量的定義(簡(jiǎn)記為r.v.)

把樣本點(diǎn)發(fā)生的概率轉(zhuǎn)化為隨機(jī)變量取得某個(gè)數(shù)字的概率，一般事件發(fā)生的概率轉(zhuǎn)化為數(shù)字集合的概率。樣本點(diǎn)←→數(shù)字第七頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。隨機(jī)變量定義在樣本空間Ω上(Shang),定義域可以是數(shù)也可以不(Bu)是數(shù)；而普通函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)域上的。2.隨機(jī)變量函數(shù)的取值在試驗(yàn)之前無(wú)法確定,有一定的概率；而普通函數(shù)卻沒(méi)有。隨機(jī)變量函數(shù)和普通函數(shù)的區(qū)別1.定義域不同這種實(shí)值函數(shù)與在高等數(shù)學(xué)中大家接觸到的函數(shù)不一樣！第八頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。

而表示隨機(jī)變量所取的值時(shí),一般采用小寫(xiě)字母

x,y,z,u,v,w等.隨機(jī)變量通常用大寫(xiě)字母X,Y,Z,U,V,W等表(Biao)示第九頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。

有了隨機(jī)變量,隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件，就可以通過(guò)隨機(jī)變量的關(guān)系(Xi)式表達(dá)出來(lái).二、引入隨機(jī)(Ji)變量的意義如：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)某電話交換臺(tái)收到的呼叫次數(shù)用X表示，它是一個(gè)隨機(jī)變量.

事件{收到不少于1次呼叫}{沒(méi)有收到呼叫}{X1}{X=0}

第十頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。隨機(jī)(Ji)變量非離散型(Xing)隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量其它三、隨機(jī)變量的分類我們將研究?jī)深愲S機(jī)變量：如“取到次品的個(gè)數(shù)”，“收到的呼叫數(shù)”等.隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量例如，“電視機(jī)的壽命”，實(shí)際中常遇到的“測(cè)量誤差”等.第十一頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。這兩種類型的隨機(jī)變量因?yàn)槎?Du)是隨機(jī)變量，自然有很多相同或相似之處；但因其取值方式不同，又有其各自的特點(diǎn).學(xué)習(xí)時(shí)請(qǐng)注(Zhu)意它們各自的特點(diǎn)和描述方法.第十二頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。例1對(duì)一均(Jun)勻硬幣拋一次，觀察正反面情況。設(shè)(She)為隨機(jī)變量。即事件A：結(jié)果出現(xiàn)正面，樣本空間同理第十三頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。例2測(cè)量某工廠一天生產(chǎn)燈泡的(De)壽命。樣本(Ben)空間設(shè)，其中，則X為隨機(jī)變量。壽命表示一事件A，例如例3某戰(zhàn)士射擊命中率為

,設(shè)首次擊中目標(biāo)所需射擊

次數(shù)為,則隨機(jī)變量第十四頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。解(Jie)例4一報(bào)童賣報(bào)，每份0.15元，其成本為0.10元.報(bào)館每天給報(bào)童1000份報(bào)，并(Bing)規(guī)定他不得把賣不出的報(bào)紙退回.設(shè)X為報(bào)童每天賣出的報(bào)紙份數(shù)，試將報(bào)童賠錢(qián)這一事件用隨機(jī)變量的表達(dá)式表示.當(dāng)0.15X<1000×0.1時(shí)，報(bào)童賠錢(qián)故{報(bào)童賠錢(qián)}{X666}{報(bào)童賠錢(qián)}{賣出的報(bào)紙錢(qián)不夠成本}第十五頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件.引入隨機(jī)變量后，對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的研究，就由對(duì)事件及事件概率的研究擴(kuò)大為對(duì)隨機(jī)變量及其(Qi)取值規(guī)律的研究.事件及(Ji)事件概率隨機(jī)變量及其取值規(guī)律第十六頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。第二節(jié)離散型隨機(jī)變量(Liang)及其分布一(Yi)、離散型隨機(jī)變量的定義二、常用的離散型隨機(jī)變量第十七頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。

從中任取3個(gè)(Ge)球取(Qu)到的白球數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量.(1)X可能取的值是0,1,2;

(2)取每個(gè)值的概率分別為看一個(gè)例子：一、離散型隨機(jī)變量分布律的定義定義1若隨機(jī)變量X的所有可能取值是有限多個(gè)或可列無(wú)限多個(gè),則稱X為離散型隨機(jī)變量.第十八頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。其中(k=1,2,…)滿足：

k=1,2,…（1）（2）定義2設(shè)(She)

xk(k=1,2,…)是離散型隨機(jī)變量X所取的一切可能值，稱為離散型隨機(jī)(Ji)變量X

的分布律.用這兩條性質(zhì)判斷一個(gè)函數(shù)是否是分布律第十九頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。解依據(jù)分布律的(De)性質(zhì)P{X=k}≥0,

a≥0,從中解(Jie)得即例2設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為：k=0,1,2,…,試確定常數(shù)a.第二十頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。離散型隨機(jī)變量表示方(Fang)法（1）公(Gong)式法（2）列表法X第二十一頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。例1某籃球運(yùn)動(dòng)(Dong)員投中籃圈概率是0.9，求他兩次獨(dú)立投籃投中次數(shù)X的概率分布.解X的(De)可取值為0,1,2;

P{X=0}=(0.1)(0.1)=0.01

P{X=1}=2(0.9)(0.1)=0.18

P{X=2}=(0.9)(0.9)=0.81常常表示為：

X這就是X的分布律.第二十二頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。例2設(shè)一汽車在開(kāi)往目的地的道路上需經(jīng)過(guò)三(San)盞信號(hào)燈，每盞(Zhan)信號(hào)燈以概率允許汽車通過(guò),變量表示汽車停車次數(shù)(設(shè)各信號(hào)燈的工作是相互獨(dú)立的）,求的分布律。解由題意可知的分布律為，則第二十三頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。將(Jiang)帶(Dai)入可得的分布律為第二十四頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。例(Li)3設(shè)一均勻的硬幣拋三次為一次試驗(yàn)，為正(Zheng)面出現(xiàn)的次數(shù)，求隨機(jī)變量的分布律。解Ω={HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}則第二十五頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。例4設(shè)X為離散型隨機(jī)變量，其(Qi)分布律為：Xp-1011/21-2qq2解(Jie)

第二十六頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。某射手連續(xù)向一目標(biāo)射擊，直到命(Ming)中為止，解(Jie)顯然，X可能取的值是1,2,…，

P{X=1}=P(A1)=p,為計(jì)算

P{X=k}，

k=1,2,…，Ak={第k次命中}，k=1,2,…，設(shè)于是已知他每發(fā)命中的概率是p，求射擊次數(shù)X的分布列.例5

第二十七頁(yè)，共一百九十七頁(yè)?？?Ke)見(jiàn)這就是所求射擊次數(shù)X的分布(Bu)律.若隨機(jī)變量X的分布律如上式，不難驗(yàn)證:幾何分布.則稱X服從第二十八頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。Ⅰ.(0—1)分(Fen)布定義1.如果隨(Sui)機(jī)變量的分布律為則稱服從參數(shù)為的(0—1)分布。即或二、常用的離散型隨機(jī)變量及其分布（0—1）分布的分布律也可寫(xiě)成第二十九頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。

注

服從（0—1）分布的(De)隨機(jī)變量很多，如果涉及的(De)試驗(yàn)只有兩(Liang)個(gè)互斥的結(jié)果：，都可在樣本空間上定義一個(gè)服從（0—1）分布的隨機(jī)變量：第三十頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。下面我們將介紹一個(gè)重要的(De)離散型隨機(jī)變量的(De)分(Fen)布---------二項(xiàng)分布第三十一頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。1.伯努利概型（概率論中最早研究的模型之(Zhi)一，也是研究最多的模型之一，在理論上(Shang)一些重要的結(jié)果也由它推導(dǎo)）①n重獨(dú)立試驗(yàn)在相同的條件下對(duì)試驗(yàn)E重復(fù)做n次，若n次試驗(yàn)中各結(jié)果是相互獨(dú)立的，則稱這n次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的。Ⅱ.二項(xiàng)分布“重復(fù)”是指這n次試驗(yàn)中P(A)=p保持不變.“獨(dú)立”是指各次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響.第三十二頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。②伯努(Nu)利概型設(shè)隨(Sui)機(jī)試驗(yàn)E只有兩種可能結(jié)果，且將試驗(yàn)E獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次，則稱這n次試驗(yàn)為n重伯努利試驗(yàn)，或稱n重伯努利概型。擲骰子：“擲出4點(diǎn)”，“未擲出4點(diǎn)”抽驗(yàn)產(chǎn)品：“是正品”，“是次品”一般地，設(shè)在一次試驗(yàn)E中我們只考慮兩個(gè)互逆的結(jié)果：A

或.這樣的試驗(yàn)E稱為伯努利試驗(yàn)

.第三十三頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。2.二項(xiàng)(Xiang)分布引例：某(Mou)人打靶單發(fā)命中率為現(xiàn)獨(dú)立重復(fù)射擊3次，求恰好命中2發(fā)的概率。解表示“第i次命中”表示“恰好命中兩次”由此可得：n重伯努利試驗(yàn)中,“事件恰好發(fā)生k次”,即的概率為第三十四頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。定義2如果隨(Sui)機(jī)變量的分布(Bu)律為則稱服從參數(shù)為的二項(xiàng)分其中布，記為容易驗(yàn)證二項(xiàng)式定理特別,當(dāng)時(shí),二項(xiàng)分布為這就是（0-1）分布，常記為第三十五頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。3.二項(xiàng)分布(Bu)的分布(Bu)形態(tài)若(Ruo)，則由此可知，二項(xiàng)分布的分布律(右圖)先是隨著到其最大值后再隨著的增大而減小.這個(gè)使得達(dá)到其最大值的稱為該二項(xiàng)分布的最可能次數(shù)。的增大而增大,達(dá)第三十六頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。當(dāng)(n+1)p不為(Wei)整數(shù)時(shí)，二項(xiàng)概率P{X=k}在k=[(n+1)p]達(dá)到最大值；n=10,p=0.7kpk當(dāng)(n+1)p為整數(shù)時(shí)，二項(xiàng)概率P{X=k}在

k=(n+1)p和

k=(n+1)p-1處達(dá)到(Dao)最大值.n=13,p=0.5pkk0第三十七頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。二項(xiàng)分布的(De)取值情況設(shè).039.156.273.273.179.068.017.0024.00000123456780.273?由圖表可見(jiàn),當(dāng)

時(shí)，分布取(Qu)得最大值此時(shí)的稱為最可能成功次數(shù)xP?0?1?2?3?4?5?6?7?8第三十八頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。設(shè)(She).01.06.14.21.22.18.11.06.02.01.002<.00101234567891011~20??xP?????1?3?5?7?9????0?2?4?6?8?10?20由圖表可見(jiàn),當(dāng)時(shí)，分(Fen)布取得最大值0.22?第三十九頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。第四十頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。表示所取(Qu)的3個(gè)中的次品數(shù)，，于是所求概率(Lv)為解設(shè)注若將本例中的“有放回”改為“無(wú)放回”，那么各次試驗(yàn)條件就不同了，不是伯努利概型，此時(shí)只能用古典概型求解.例4已知100個(gè)產(chǎn)品中有5個(gè)次品，現(xiàn)從中有放回地取3次，每次任取1個(gè)，求所取3個(gè)中恰有2個(gè)次品的概率。第四十一頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。古典概型與(Yu)伯努利概型不同，有何區(qū)別？請(qǐng)思(Si)考：伯努利概型對(duì)試驗(yàn)結(jié)果沒(méi)有等可能的要求，（1）每次試驗(yàn)條件相同；（2）每次試驗(yàn)只考慮兩個(gè)互逆結(jié)果且（3）各次試驗(yàn)相互獨(dú)立.但有下述要求：第四十二頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。例5一大批產(chǎn)(Chan)品中一級(jí)品率為0.2，現(xiàn)隨機(jī)抽查20只，問(wèn)(Wen)20只元件中恰好有為一級(jí)品的概率為多少？解設(shè)表示20只元件中為一級(jí)品的只數(shù)，這個(gè)試驗(yàn)可以看作伯努利試驗(yàn)。第四十三頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。例6某人射擊命中(Zhong)率為0.02，獨(dú)立射擊400次，試求至少(Shao)擊中2次的概率？解設(shè)表示擊中的次數(shù)，則所以分布律則所求概率本例題的實(shí)際意義：第四十四頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。①

不可忽視小概率事件，小概率事件雖不易發(fā)生，但重復(fù)次數(shù)多了(Liao)，就成大概率事件.②反過(guò)來(lái)看，如果一個(gè)人射擊400次(Ci)，擊中竟不到兩次，由于很小，故懷疑“命中率0.02”是否為真，即他的命中率不到0.02。第四十五頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。例如：設(shè)發(fā)行的彩票中獎(jiǎng)率是0.001，假定發(fā)行的彩票數(shù)量巨大，以至于不論別人是否(Fou)中獎(jiǎng)均不會(huì)改變你抽獎(jiǎng)時(shí)的中獎(jiǎng)率。求買(mǎi)n張彩票能中獎(jiǎng)的概率pn。此外由于中獎(jiǎng)率是千分之一，問(wèn)買(mǎi)1000張彩票中獎(jiǎng)概率是否接近于1？彩票中獎(jiǎng)問(wèn)(Wen)題解

設(shè)表示n張彩票中中獎(jiǎng)的票數(shù)，則即第四十六頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。則n張彩票能(Neng)中獎(jiǎng)的概率為n10002000300040005000pn0.6320.8650.9500.9820.993買(mǎi)3000張彩票中(Zhong)獎(jiǎng)率已達(dá)到95%，再多買(mǎi)2000張中獎(jiǎng)的概率僅增加了4.3%！第四十七頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。例如：保險(xiǎn)公司(Si)有10000人參加人身意外保險(xiǎn)。該公司(Si)規(guī)定：每人每年付公司(Si)120元，若意外死亡，公司(Si)將賠償10000元。若每人每年意外死亡率為0.006，試討論該公司(Si)是否會(huì)虧本，其利潤(rùn)狀況如何。人身(Shen)保險(xiǎn)問(wèn)題分析：公司收入為120×10000=120萬(wàn)元解設(shè)表示10000人中意外死亡的人數(shù)，則即公司虧本意味著：死亡人數(shù)超過(guò)了120人。第四十八頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。則公司(Si)虧本的概率為解(Jie)

設(shè)表示10000人中意外死亡的人數(shù)，則即公司幾乎不會(huì)虧本!！第四十九頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。該公司利(Li)潤(rùn)不少于40萬(wàn)元的概率為公司的利(Li)潤(rùn)狀況解設(shè)表示10000人中意外死亡的人數(shù)，則即公司盈利幾乎是必然的!！第五十頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。由此可見(jiàn)日常生活中“提高警惕,防火防盜”的重(Zhong)要性.由于時(shí)間無(wú)限,自然界發(fā)生地震、海嘯、空難、泥石流(Liu)等都是必然的，早晚的事，不用奇怪，不用驚慌.同樣,人生中發(fā)生車禍、失戀、患絕癥、考試不及格、炒股大虧損等都是正常現(xiàn)象,大可不必怨天尤人,更不要想不開(kāi)。第五十一頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。例780臺(tái)同類型設(shè)備，各臺(tái)工作相互獨(dú)立，發(fā)(Fa)生故障的(De)概率，有兩種配備維修工人的方法：①4個(gè)人每人負(fù)責(zé)20臺(tái)；②3個(gè)人共同負(fù)責(zé)80臺(tái)。問(wèn)那種方案好?(比較發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率)解

設(shè)表示“第一個(gè)人維護(hù)的20臺(tái)中同時(shí)發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)”，表示“第i個(gè)人維護(hù)的20臺(tái)中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修”，由題意可得第五十二頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。①第一個(gè)人維護(hù)(Hu)的20臺(tái)中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的(De)概率為4個(gè)人維護(hù)的80臺(tái)中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率第五十三頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。②設(shè)(She)表示(Shi)“80臺(tái)同時(shí)發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)”則3人維護(hù)的80臺(tái)中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率總之即第②種方案的工作效率高。第五十四頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。定理(Li)1（泊松Poisson定理)設(shè)是一常(Chang)數(shù)，n是正整數(shù)，若，則對(duì)任一固定的非負(fù)整數(shù)證

由得第五十五頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。對(duì)于任(Ren)意固定的故(Gu)有第五十六頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。注(Zhu)：①②麥克勞(Lao)林級(jí)數(shù)第五十七頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。定義(Yi)1

設(shè)隨機(jī)變量所有可能(Neng)取的值為0,1,2,…,而且概率分布為：Ⅲ.泊松分布其中，則稱服從參數(shù)為的泊松分布，記注

二項(xiàng)分布是最重要的離散型概率分布之一，當(dāng)時(shí)，即為（0—1）分布；當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)分布近似于泊松分布。第五十八頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。泊(Bo)松分布的圖形特點(diǎn)：第五十九頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。當(dāng)n

很大，p很小(Xiao)時(shí)，泊松定理(Li)表明

泊松分布是二項(xiàng)分布的極限分布，參數(shù)=np的泊松分布二項(xiàng)分布就可近似看成是第六十頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。在實(shí)際計(jì)算中,當(dāng)n

20,p0.05時(shí),可用上述公(Gong)式近似計(jì)算;而當(dāng)n

100,np10時(shí),精度更好

00.3490.3580.3690.366

0.368

10.3050.3770.3720.3700.368

20.1940.1890.1860.1850.184

30.0570.0600.0600.0610.061

40.0110.0130.0140.0150.015按二項(xiàng)分布Possion

公式

k

n=10

p=0.1n=20p=0.05n=40p=0.025n=100p=0.01=np=1

第六十一頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。設(shè)某(Mou)國(guó)每對(duì)夫婦的子女?dāng)?shù)X服從參數(shù)為的泊解(Jie)由題意,求任選一對(duì)夫婦,至少有3個(gè)孩子的概率。松分布,且知一對(duì)夫婦有不超過(guò)1個(gè)孩子的概率為3e-2.例1第六十二頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。例2某城市有1%色盲者，問(wèn)從這個(gè)城市里選出多少人才能使里面至少有一位色盲患者的概率不少于0.95？解設(shè)選出n個(gè)(Ge)人，n人中色盲患者為則(Ze)兩邊取對(duì)數(shù)所以得第六十三頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。有產(chǎn)品15000件，其(Qi)中次品150件，今抽(Chou)取100件，求有2件是次品的概率。解法1

超幾何分布解法2

二項(xiàng)分布為次品率，X~b(100,0.01)解法3

泊松分布例3第六十四頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。近數(shù)十年來(lái)，泊松分布日益顯示(Shi)其重要性,成為概率論中最重要的幾個(gè)分布之一。泊松分布在管理科學(xué)、運(yùn)籌學(xué)以及自然科學(xué)的某些問(wèn)題中都占有重要的地位。泊(Bo)松分布的應(yīng)用第六十五頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。在某個(gè)(Ge)時(shí)段內(nèi)：大賣場(chǎng)的顧(Gu)客數(shù)；某地區(qū)撥錯(cuò)號(hào)的電話呼喚次數(shù)；市級(jí)醫(yī)院急診病人數(shù)；某地區(qū)發(fā)生的交通事故的次數(shù).①②③④⑤一個(gè)容器中的細(xì)菌數(shù)；一本書(shū)一頁(yè)中的印刷錯(cuò)誤數(shù)；一匹布上的疵點(diǎn)個(gè)數(shù)；⑥⑦⑧應(yīng)用場(chǎng)合放射性物質(zhì)發(fā)出的粒子數(shù)；第六十六頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。解

(1)設(shè)需要配備N個(gè)(Ge)維修工人,設(shè)X為90臺(tái)設(shè)備中發(fā)生故障的(De)臺(tái)數(shù)，則X~b(90,0.01)

設(shè)同類型設(shè)備90臺(tái)，每臺(tái)工作相互獨(dú)立，每臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障的概率都是0.01.在通常情況下，一臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障可由一個(gè)人獨(dú)立維修，每人同時(shí)也只能維修一臺(tái)設(shè)備.問(wèn)至少要配備多少維修工人，才能保證當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率小于0.01?(2)問(wèn)3個(gè)人共同負(fù)責(zé)90臺(tái)還是3個(gè)人各自獨(dú)立負(fù)責(zé)30臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障不能及時(shí)維修的概率低？附例第六十七頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。令則(Ze)查附(Fu)表3得N=4第六十八頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。三個(gè)人共(Gong)同負(fù)責(zé)90臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障不能及時(shí)維修的概率為第六十九頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。設(shè)30臺(tái)設(shè)備中發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)為

Y

~b(30,0.01)設(shè)每個(gè)人獨(dú)立負(fù)責(zé)30臺(tái)設(shè)備，第i個(gè)人負(fù)責(zé)的30臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障不能及時(shí)(Shi)維修為事件Ai

則三個(gè)人各獨(dú)立負(fù)責(zé)30臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障不能及時(shí)維修為事件故(Gu)

三個(gè)人共同負(fù)責(zé)90臺(tái)設(shè)備比各自負(fù)責(zé)好！第七十頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。作(Zuo)業(yè)P57：4,5，6第七十一頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。一、分布函(Han)數(shù)的概念二(Er)、分布函數(shù)的性質(zhì)第三節(jié)隨機(jī)變量的分布函數(shù)

第七十二頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。為X的分布函數(shù)(Shu)。記作設(shè)X是一(Yi)個(gè)隨機(jī)變量，定義1是任意實(shí)數(shù)，稱函數(shù)的值就表示X落在區(qū)間上的概率.分布函數(shù)一、分布函數(shù)的概念第七十三頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。

由定義，對(duì)任意(Yi)實(shí)數(shù)上的概(Gai)率，用F(x)刻畫(huà)隨機(jī)點(diǎn)落在功能式區(qū)間由于得同理，還可以寫(xiě)出第七十四頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。因此，只要知道了隨機(jī)(Ji)變量X的分布函數(shù)，它的統(tǒng)計(jì)特性就可以得到全面的描述.第七十五頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。分布函數(shù)是一個(gè)普通的函數(shù)，正是通過(guò)(Guo)它，我們可以用高等數(shù)學(xué)的工具來(lái)研究隨機(jī)變量.第七十六頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。當(dāng)

x<0時(shí)，{X

x}=，故

F(x)=0例(Li)1設(shè)(She)隨機(jī)變量X的分布律為當(dāng)0x<1時(shí)，

F(x)=P{X

x}=P{X=0}=F(x)=P{X

x}解X求X的分布函數(shù)F(x).第七十七頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。當(dāng)1x<2時(shí)，

F(x)=P{X=0}+P{X=1}=+=當(dāng)

x2時(shí)，

F(x)=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=1第七十八頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。故(Gu)注意右(You)連續(xù)下面我們從圖形上來(lái)看一下.第七十九頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。的分(Fen)布函數(shù)圖第八十頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。解(Jie)

(1)①當(dāng)(Dang)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，則例2設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為求(1)X

的分布函數(shù)；(2)第八十一頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。③當(dāng)(Dang)時(shí)(Shi)，則④當(dāng)時(shí)，為必然事件，則所以離散型的分布函數(shù)為階梯函數(shù)；xk為間斷點(diǎn)；第八十二頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。(2)第八十三頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。一般地，設(shè)離散型隨機(jī)(Ji)變量的(De)分布律為由概率的可列可加性得的分布函數(shù)為第八十四頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。二、分(Fen)布函數(shù)的性質(zhì)⑴單調(diào)不減(Jian)性：⑶右連續(xù)性：對(duì)任意實(shí)數(shù)⑵歸一性：對(duì)任意實(shí)數(shù)，且，則具有上述三個(gè)性質(zhì)的實(shí)函數(shù)，必是某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)。故該三個(gè)性質(zhì)是分布函數(shù)的充分必要性質(zhì)。第八十五頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。試說(shuō)明F(x)能否是某(Mou)個(gè)r.v

的分布函數(shù).例2

設(shè)有函數(shù)

F(x)

解

注意到函數(shù)

F(x)在

上下降，不滿足性質(zhì)(1)，故F(x)不能是分布函數(shù).不(Bu)滿足性質(zhì)(2)，可見(jiàn)F(x)也不能是r.v

的分布函數(shù).或者第八十六頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。解(Jie)例3已知，求A、B。所(Suo)以第八十七頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。例4已知離散型隨機(jī)變量X

的(De)分布函數(shù)為求X的(De)分布律。解

X的可能取值為3，4，5。第八十八頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。所以X的分布(Bu)律為第八十九頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。例5已知X

表示彈著點(diǎn)與靶心的距(Ju)離，⑴擊中靶上任一同心圓盤(pán)上點(diǎn)的概率與該圓盤(pán)面積成正比；⑵靶子半徑是2米；⑶每次射擊都中靶。求X的分布函數(shù)F(x)。解(Jie)

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，不可能發(fā)生，當(dāng)時(shí)，X第九十頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。由(You)當(dāng)(Dang)時(shí)，總之X的分布函數(shù)為第九十一頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。引出連續(xù)型(Xing)隨機(jī)變量的特點(diǎn)：⑴F(x)是(Shi)連續(xù)函數(shù)；⑵存在非負(fù)函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x點(diǎn)有例如在上例中第九十二頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。對(duì)(Dui)任意實(shí)數(shù)x有顯(Xian)然第九十三頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。作(Zuo)業(yè)P58：8,10第九十四頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。第四節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變(Bian)量及其分布

一、連(Lian)續(xù)型隨機(jī)變量的定義二、常用的連續(xù)型隨機(jī)變量第九十五頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。例：測(cè)試燈泡(Pao)的壽命，用X表示燈泡的壽命；引(Yin)例例：測(cè)試上課遲到情況,用X表示你到達(dá)教室的時(shí)間.特點(diǎn)：X的取值充滿一個(gè)區(qū)間[a,b]或[a,+∞)X的取值無(wú)法一一列出；這類問(wèn)題，人們關(guān)心的重點(diǎn)是什么？？第九十六頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。

例題人們對(duì)產(chǎn)品(Pin)的了解是，壽命不超過(guò)500小時(shí)的概率為0.71，壽命在500到800小時(shí)之間的概率是0.22，在800到1000小時(shí)之間的概率為0.07.可畫(huà)圖示意，用矩形的面(Mian)積表示相應(yīng)的概率。o0.710.220.075008001000O2004006008001000為了更精確，無(wú)限細(xì)分下去，…，得到一條曲線第九十七頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。f(x)x圖中“曲邊梯(Ti)形”（陰影區(qū)域）的面積即為X落在區(qū)間[a,b]上的概率.該曲線稱為隨機(jī)變量(Liang)X的分布密度曲線.曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)稱為隨機(jī)變量X的分布密度函數(shù)，記為f(x).分布密度函數(shù)f(x)完全描述了隨機(jī)變量X的規(guī)律.第九十八頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。一、連續(xù)型隨機(jī)變量(Liang)的定義定義1.

設(shè)F(x)是隨機(jī)變量(Liang)

X的分布函數(shù)，若存在非負(fù)，使對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，稱為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度或密度函數(shù)。常記為函數(shù)1.概率密度第九十九頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。2.概率密度的性(Xing)質(zhì)⑴非負(fù)(Fu)性⑵歸一性由于可由下圖表示f(x)x面積為1這兩條性質(zhì)是判定一個(gè)函是否為某隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)的充要條件。數(shù)第一百頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。⑶對(duì)于任(Ren)意實(shí)數(shù)，有(You)這是因?yàn)檫@里事件并非不可能事件，但可見(jiàn)由，不一定能推出由，不一定能推出稱A為幾乎不可能事件，B為幾乎必然事件.第一百零一頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。⑷對(duì)于(Yu)任意的數(shù)有(You)f(x)x連續(xù)型隨機(jī)變量X落在某區(qū)間上的概率在該區(qū)間上的改變量在該區(qū)間上的積分(與端點(diǎn)是否在內(nèi)無(wú)關(guān))圖中陰影部分第一百零二頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。⑸分布函(Han)數(shù)上(Shang)連續(xù)，且密度函數(shù)不唯一（在個(gè)別點(diǎn)的值可不同）。⑹概率密度在點(diǎn)處連續(xù)，則有即第一百零三頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。如(Ru)果把概率理解為質(zhì)量，故X

的密(Mi)度上的概率與區(qū)間長(zhǎng)度之比的極限。這里，相當(dāng)于線密度。區(qū)間在這一點(diǎn)的值，恰好是X落在這表示X落在小區(qū)間上的概率近似地等于若不計(jì)高階無(wú)窮小，有：在連續(xù)型隨機(jī)變量理論中所起的作用與在離散型隨機(jī)變量理論中所起的作用相類似。第一百零四頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。的高度反映了隨機(jī)(Ji)點(diǎn)集中在該點(diǎn)附近的密集程度.要注意的(De)是:密度函數(shù)并不是的概率.但是這個(gè)高度越大，則X取附近的值的概率就越大.也可以說(shuō)，在某點(diǎn)密度曲線f(x)0x1在某點(diǎn)處

的高度第一百零五頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。解(Jie)例(Li)1求下列函數(shù)是否為概率密度函數(shù)是顯然的；故f(x)可以作為密度函數(shù)。第一百零六頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。解(Jie)例2第一百零七頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。例3設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為求⑴常數(shù)A；⑵；⑶X的分布函數(shù)。解(Jie)

⑴由得(De)則第一百零八頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。⑵⑶當(dāng)(Dang)時(shí)(Shi)，當(dāng)時(shí)，第一百零九頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。得(De)當(dāng)(Dang)時(shí)，所以由于f(x)是分段表達(dá)的，求F(x)時(shí)注意分段求.第一百一十頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。例5設(shè)隨機(jī)變(Bian)量X的概率密度函數(shù)為：求隨機(jī)(Ji)變量X的分布函數(shù)。解根據(jù)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)的積分表示得第一百一十一頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。第一百一十二頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。綜上得分布函數(shù)(Shu)為：第一百一十三頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。概率密度函數(shù)圖形：稱(Cheng)為山形函數(shù)第一百一十四頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。分布函數(shù)的(De)圖形第一百一十五頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。練習(xí)

已知某型號(hào)電子管的使用壽命X為連(Lian)續(xù)r.v.,其密度函數(shù)為(1)求常(Chang)數(shù)c(2)計(jì)算解(1)令c=1000第一百一十六頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。(2)

第一百一十七頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。作(Zuo)業(yè)P58：12,14第一百一十八頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。二、幾種常用的連續(xù)型隨機(jī)(Ji)變量1.均勻分(Fen)布定義

若隨機(jī)變量X的概率密度為：則稱X

服從區(qū)間[a,b]上的均勻分布，記作第一百一十九頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。均勻分布的密度函(Han)數(shù)的驗(yàn)證設(shè)(She)，其中是其概率密度，則有由此可知確是概率密度。第一百二十頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。均勻(Yun)分布的分布函數(shù)當(dāng)時(shí)，由(You)于當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則分布函數(shù)為第一百二十一頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。xf(x)abxF(x)ba第一百二十二頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。因(Yin)為均勻分布的(De)概率背景說(shuō)明：X取值在（a，b）中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度成正比。與小區(qū)間的位置無(wú)關(guān)。這正是幾何概型的情形第一百二十三頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。解(Jie)依(Yi)題意，

X～U[0,30]

以7:00為起點(diǎn)0，以分為單位隨機(jī)變量，例1

某公共汽車站從上午7時(shí)起，每15分鐘來(lái)一班車，即

7:00，7:15，7:30,7:45

等時(shí)刻有汽車到達(dá)此站，如果乘客到達(dá)此站時(shí)間X

是7:00到7:30之間的均勻試求他候車時(shí)間少于5分鐘的概率.第一百二十四頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。所求概率(Lv)為：即乘客候車時(shí)間少(Shao)于5分鐘的概率是1/3。第一百二十五頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。⒉指(Zhi)數(shù)分布若隨(Sui)機(jī)變量X的概率密度為：指數(shù)分布。為常數(shù)，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為其中的概率密度的圖形指數(shù)分布的分布函數(shù)為第一百二十六頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。1xF(x)0xf(x)0第一百二十七頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。密度函數(shù)的(De)驗(yàn)證第一百二十八頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。對(duì)于(Yu)任意的0<a<b,應(yīng)用場(chǎng)(Chang)合用指數(shù)分布描述的實(shí)例有：隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時(shí)間電話問(wèn)題中的通話時(shí)間無(wú)線電元件的壽命動(dòng)物的壽命指數(shù)分布常作為各種“壽命”分布的近似第一百二十九頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。解(Jie)(2)已知該電子元件已使用了1.5年，求它還能(Neng)使用兩.電子元件的壽命X(年）服從λ＝3的指數(shù)分布例2(1)求該電子元件壽命超過(guò)2年的概率。年的概率為多少？由已知得X的概率密度為第一百三十頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。由⑴、⑵結(jié)果得：指數(shù)分布具有無(wú)記憶性，即第一百三十一頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。若(Ruo)

X~Ｅ(),則故又把指數(shù)分布稱為“永遠(yuǎn)年(Nian)輕”的分布指數(shù)分布的“無(wú)記憶性”事實(shí)上命題第一百三十二頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。解(Jie)(1)例3

假定一大型設(shè)備在任何長(zhǎng)為t的時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù),求相繼兩次故障的時(shí)間間隔T的概率分(Fen)布;設(shè)備已正常運(yùn)行８小時(shí)的情況下，再正常運(yùn)行10小時(shí)的概率.第一百三十三頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。即(2)由指數(shù)分布的“無(wú)記憶性”第一百三十四頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。解(Jie)由題(Ti)意知，其中現(xiàn)在X的概率密度為例4假設(shè)顧客在某銀行窗口等待服務(wù)的時(shí)間(單位:分鐘)X服從指數(shù)為的指數(shù)分布。若等待時(shí)間超過(guò)10分鐘，則他離開(kāi)，假設(shè)他一個(gè)月內(nèi)要來(lái)銀行5次。以Y表示一個(gè)月內(nèi)他沒(méi)有等到服務(wù)而離開(kāi)窗口的次數(shù)，求Y的分布律及至少有一次沒(méi)有等到服務(wù)的概率第一百三十五頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。因(Yin)此所以Y的分(Fen)布律為于是第一百三十六頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。例5

設(shè)隨機(jī)變量X服從[1，6]上的均勻分布，求一元二次方程有實(shí)根的概率。解(Jie)因?yàn)?Wei)當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)根，故所求概率為而X的概率密度為從而第一百三十七頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。⒊正(Zheng)態(tài)分布例：在大量重(Zhong)復(fù)試驗(yàn)中，得到一組數(shù)據(jù)，這組數(shù)據(jù)雖然有波動(dòng)，但總是以某個(gè)常數(shù)為中心。偏離中心越近的數(shù)據(jù)越多；偏離中心越遠(yuǎn)的數(shù)據(jù)越少。取值呈“中間大、兩頭小”的格局，即取值具有對(duì)稱性。此隨機(jī)變量是一個(gè)服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量。第一百三十八頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。正態(tài)分布的重(Zhong)要性⑶正(Zheng)態(tài)分布可以作為許多分布的近似分布．⑴大量的隨機(jī)現(xiàn)象都是服從或近似服從正態(tài)分布。⑵正態(tài)分布有許多良好的性質(zhì).正態(tài)分布在十九世紀(jì)前葉由高首次露面。德莫佛最早發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)分布概率的一個(gè)近似公式，這一公式被認(rèn)為是正態(tài)分布的斯加以推廣和應(yīng)用，所以通常稱為高斯分布。德莫佛高斯第一百三十九頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。德國(guó)1993年(Nian)10馬克高斯在他于1809年發(fā)(Fa)表的“最小二乘法”的基礎(chǔ)上建立的正態(tài)分布方程，是概率統(tǒng)計(jì)中一個(gè)非常重要的工具，廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)、物理學(xué)等領(lǐng)域。第一百四十頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。Ⅰ.正(Zheng)態(tài)分布的定義定義1設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的(De)概率密度為其中為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的正態(tài)分布或高斯(Gauss)分布，記為定義2當(dāng)時(shí)，X的概率密度為第一百四十一頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。則稱X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記(Ji)為的圖形如下圖所(Suo)示以上鐘形曲線叫做正態(tài)曲線，故滿足以下特性。x0第一百四十二頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。Ⅱ.正態(tài)分布概率密度的幾何形態(tài)（性(Xing)質(zhì)）⑴證(Zheng)？第一百四十三頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。計(jì)(Ji)算（利用高數(shù)知(Zhi)識(shí)）令，則設(shè)，故，故代入得可以直接引用第一百四十四頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。⑵

曲線關(guān)(Guan)于對(duì)(Dui)稱，，有（如下圖）這表明對(duì)于任意⑶當(dāng)時(shí)，f(x)取得最大值x離μ越遠(yuǎn)，f(x)的值就越小。第一百四十五頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。⑷

曲(Qu)線在(Zai)處有拐點(diǎn)；曲線以軸為漸近線，⑸

若σ固定，而改變?chǔ)痰闹?，則f(x)的圖形沿x軸平行移動(dòng)，但不改變其形狀，因此定。（如右圖）的圖形的位置完全由參數(shù)μ所決第一百四十六頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。決定了(Liao)圖形中峰的陡峭程度，正態(tài)分布由它的兩個(gè)參(Can)數(shù)μ和σ唯一確定，當(dāng)μ和σ不同時(shí)，是不同的正態(tài)分布。稱σ為形狀參數(shù)。第一百四十七頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。Ⅲ.正態(tài)分布(Bu)的分布(Bu)函數(shù)設(shè)(She)，X的分布函數(shù)是第一百四十八頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。而(Er)，即X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)(Tai)分布的分布的分布函數(shù)為第一百四十九頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。x0x-x當(dāng)x≥０時(shí),可直接查表(Biao)求當(dāng)x<０時(shí)

,如(Ru)右圖可得

227頁(yè)第一百五十頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。例(Li)1解(Jie)設(shè)隨機(jī)變量，試求⑵.⑶.⑴.第一百五十一頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。Ⅳ.正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)(Zhun)化一般(Ban)地，若，我們只要通過(guò)一個(gè)線性變換就能將它化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。定理1若隨機(jī)變量，則證要求的分布函數(shù)第一百五十二頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。標(biāo)(Biao)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)所(Suo)以第一百五十三頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。結(jié)(Jie)論①若(Ruo)，則它的分布函數(shù)可以寫(xiě)成②若第一百五十四頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。解(Jie)例(Li)2設(shè)隨機(jī)變量，試求：⑴，⑵⑴第一百五十五頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。例(Li)2設(shè)隨(Sui)機(jī)變量，試求：⑴，⑵解第一百五十六頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。已知，求解(Jie)例(Li)3查表得查表得第一百五十七頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。公共汽車車門(mén)的高度是按男子與車門(mén)頂頭碰頭機(jī)會(huì)在0.01以下(Xia)來(lái)設(shè)計(jì)的.設(shè)男子身高X～N(170,62),問(wèn)車門(mén)高度應(yīng)如何確定?解設(shè)車門(mén)高度(Du)為hcm,按設(shè)計(jì)要求即因?yàn)閄～N(170,62)，0.99故查表得例4即設(shè)計(jì)車門(mén)高度為184厘米時(shí)，可使男子與車門(mén)碰頭機(jī)會(huì)不超過(guò)0.01。第一百五十八頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。3σ準(zhǔn)(Zhun)則時(shí)(Shi)，可以認(rèn)為，Y的取值幾乎全部集中在的區(qū)間內(nèi)。這在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱為準(zhǔn)則”當(dāng)由3準(zhǔn)則知，當(dāng)?shù)谝话傥迨彭?yè)，共一百九十七頁(yè)。例(Li)5

設(shè)解(Jie)

由圖形可得第一百六十頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。例(Li)6.在電壓不超(Chao)過(guò)200伏,在200-240伏和超(Chao)過(guò)240伏三種情況下,某種元件損壞的概率分別為0.1,0.001和0.2.假設(shè)電壓求:1)該元件損壞的概率2)該元件損壞時(shí),電壓在200-240伏的概率解:設(shè)分別表示電壓不超過(guò)200伏,在200-240伏,超過(guò)240伏＝“元件損壞”第一百六十一頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。由題(Ti)意由全概(Gai)公式第一百六十二頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。由題(Ti)意由(You)全概公式2)由貝葉斯公式例6.第一百六十三頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。0因(Yin)為由(You)圖可知所以查表可得故則稱點(diǎn)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上α分位點(diǎn)。定義設(shè)，若滿足條件第一百六十四頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。標(biāo)(Biao)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位數(shù)z設(shè)X~N(0,1),0<<1,稱(Cheng)滿足的點(diǎn)z

為X的上分位數(shù)

z常用數(shù)據(jù)0第一百六十五頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。作(Zuo)業(yè)P59：15,16,17第一百六十六頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。第(Di)七節(jié)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布

一(Yi)、離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布第一百六十七頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。本節(jié)的任(Ren)務(wù)：已知隨機(jī)變量X的分布，并(Bing)且已知Y=g(X),要求隨機(jī)變量Y的分布(分布律或分布密度)一、離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布當(dāng)X為離散型隨機(jī)變量時(shí)，Y=g(X)也是離散型隨機(jī)變量，并且在X分布律已知的情況下，求Y的分布律是很容易的。第一百六十八頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。例1已知X

的分布(Bu)律為求Y=2X－1，Z=X2＋1的分布(Bu)律。解⑴故Y的分布律為第一百六十九頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。⑵故Z的分(Fen)布律為第一百七十頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。注(Zhu)意⒈設(shè)(She)互不相等時(shí)，則由可得⒉當(dāng)，則把那些相等的值合并，并根據(jù)概率的可加性把對(duì)應(yīng)的概率相加得到Y(jié)的分布律。第一百七十一頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。例2設(shè)某工程隊(duì)(Dui)完成某項(xiàng)工程所需時(shí)間為X(天)近似服(Fu)從參數(shù)為的正態(tài)分布，獎(jiǎng)金方法規(guī)定，若在100天內(nèi)完成，則得超產(chǎn)獎(jiǎng)10000元；若在若在100天至115天內(nèi)完成，則得超產(chǎn)獎(jiǎng)1000元；若完成時(shí)間超過(guò)115天，則罰款5000元。求該工程隊(duì)在完成這項(xiàng)工程時(shí)，獎(jiǎng)金額Y的分布律。解依題意第一百七十二頁(yè)，共一百九十七頁(yè)?？梢?jiàn)Y是X的(De)函數(shù)，且是離散型隨機(jī)變量。則(Ze)Y的分布律為第一百七十三頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。Ⅰ.分(Fen)布函數(shù)法（一般的函數(shù)都適用）⑴

先(Xian)求的分布函數(shù)⑵

再利用的分布函數(shù)與概率密度之間的關(guān)系求的概率密度為三、連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布第一百七十四頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。例3已知X的密(Mi)度函數(shù)為為(Wei)常數(shù)，且a0,求fY(y)解當(dāng)a>0時(shí)，第一百七十五頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。當(dāng)(Dang)a<0時(shí)，故(Gu)第一百七十六頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。解(Jie)⑴先求Y=2X+8的分布函數(shù)設(shè)隨機(jī)變量X

具有概率密度：例4試求Y=2X+8

的概率密度第一百七十七頁(yè)，共一百九十七頁(yè)。得Y=2