2023年高考數(shù)學一輪復習第10章計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布第5節(jié)古典概型學案理北師大版

第五節(jié)古典概型[考綱](教師用書獨具)1.理解古典概型及其概率計算公式.2.會計算一些隨機事件所包含的根本領(lǐng)件數(shù)及事件發(fā)生的概率．(對應學生用書第178頁)[根底知識填充]1．根本領(lǐng)件的特點(1)任何兩個根本領(lǐng)件是互斥的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成根本領(lǐng)件的和．2．古典概型具有以下兩個特點的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．(1)試驗中所有可能出現(xiàn)的根本領(lǐng)件只有有限個．(2)每個根本領(lǐng)件出現(xiàn)的可能性相等．3．如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個根本領(lǐng)件的概率都是eq\f(1,n)；如果某個事件A包括的結(jié)果有m個，那么事件A的概率P(A)＝eq\f(m,n).4．古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(A包含的根本領(lǐng)件的個數(shù),根本領(lǐng)件的總數(shù)).[知識拓展]劃分根本領(lǐng)件的標準必須統(tǒng)一，保證根本領(lǐng)件的等可能性．[根本能力自測]1．(思考辨析)判斷以下結(jié)論的正誤．(正確的打“√〞，錯誤的打“×〞)(1)“在適宜條件下，種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽〞屬于古典概型，其根本領(lǐng)件是“發(fā)芽與不發(fā)芽〞．()(2)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個正面〞“一正一反〞“兩個反面〞，這三個結(jié)果是等可能事件．()(3)從－3，－2，－1,0,1,2中任取一數(shù)，取到的數(shù)小于0與不小于0的可能性相同．()(4)利用古典概型的概率可求“在邊長為2的正方形內(nèi)任取一點，這點到正方形中心距離小于或等于1”的概率．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．(2023·全國卷Ⅲ)小敏翻開計算機時，忘記了開機密碼的前兩位，只記得第一位是M，I，N中的一個字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個數(shù)字，那么小敏輸入一次密碼能夠成功開機的概率是()A．eq\f(8,15)B．eq\f(1,8)C．eq\f(1,15)D．eq\f(1,30)C[法一：∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴事件總數(shù)有15種．∵正確的開機密碼只有1種，∴P＝eq\f(1,15).法二：所求概率為P＝eq\f(1,C\o\al(1,3)C\o\al(1,5))＝eq\f(1,15).]3．(2023·天津高考)有5支彩筆(除顏色外無差異)，顏色分別為紅、黃、藍、綠、紫．從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，那么取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為()A．eq\f(4,5)B．eq\f(3,5)C．eq\f(2,5)D．eq\f(1,5)C[從5支彩筆中任取2支不同顏色彩筆的取法有紅黃、紅藍、紅綠、紅紫、黃藍、黃綠、黃紫、藍綠、藍紫、綠紫，共10種，其中取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的取法有紅黃、紅藍、紅綠、紅紫，共4種，所以所求概率P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).應選C．]4．從3名男同學，2名女同學中任選2人參加知識競賽，那么選到的2名同學中至少有1名男同學的概率是________．eq\f(9,10)[所求概率為P＝1－eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(9,10).]5．(教材改編)同時擲兩個骰子，向上點數(shù)不相同的概率為________．eq\f(5,6)[擲兩個骰子一次，向上的點數(shù)共有6×6＝36種可能的結(jié)果，其中點數(shù)相同的結(jié)果共有6個，所以點數(shù)不同的概率P＝1－eq\f(6,6×6)＝eq\f(5,6).](對應學生用書第178頁)簡單古典概型的概率(1)(2023·佛山質(zhì)檢)袋中共有15個除了顏色外完全相同的球，其中有10個白球，5個紅球．從袋中任取2個球，所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球的概率為()A．eq\f(5,21)B．eq\f(10,21)C．eq\f(11,21) D．1(2)(2023·全國卷Ⅱ)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，那么抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為()A．eq\f(1,10)B．eq\f(1,5)C．eq\f(3,10)D．eq\f(2,5)(1)B(2)D[(1)從袋中任取2個球共有Ceq\o\al(2,15)＝105種取法，其中恰有1個白球，1個紅球共有Ceq\o\al(1,10)Ceq\o\al(1,5)＝50種取法，所以所取的球恰有1個白球1個紅球的概率為eq\f(50,105)＝eq\f(10,21).(2)從5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張的情況如圖：根本領(lǐng)件總數(shù)為25，第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的事件數(shù)為10，所以所求概率P＝eq\f(10,25)＝eq\f(2,5).應選D．][規(guī)律方法]1.求古典概型概率的步驟1判斷本試驗的結(jié)果是否為等可能事件，設出所求事件A；2分別求出根本領(lǐng)件的總數(shù)n與所求事件A中所包含的根本領(lǐng)件個數(shù)m；3利用公式PA＝eq\f(m,n)，求出事件A的概率.2.確定根本領(lǐng)件個數(shù)的方法：1根本領(lǐng)件較少的古典概型，用列舉法寫出所有根本領(lǐng)件時，可借助“樹狀圖〞列舉，以便做到不重、不漏.2利用計數(shù)原理、排列與組合的有關(guān)知識計算根本領(lǐng)件.[跟蹤訓練](1)(2023·武漢調(diào)研)假設同時擲兩枚骰子，那么向上的點數(shù)和是6的概率為()【導學號：79140357】A．eq\f(1,6)B．eq\f(1,12)C．eq\f(5,36)D．eq\f(5,18)(2)(2023·山東高考)從分別標有1,2，…，9的9張卡片中不放回地隨機抽取2次，每次抽取1張．那么抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是()A．eq\f(5,18)B．eq\f(4,9)C．eq\f(5,9)D．eq\f(7,9)(1)C(2)C[(1)同時擲兩枚骰子出現(xiàn)的可能有6×6＝36種，其中向上的點數(shù)和是6的有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，共5種，所以所求概率P＝eq\f(5,36)，應選C．(2)法一：∵9張卡片中有5張奇數(shù)卡片，4張偶數(shù)卡片，且為不放回地隨機抽取，∴P(第一次抽到奇數(shù)，第二次抽到偶數(shù))＝eq\f(5,9)×eq\f(4,8)＝eq\f(5,18)，P(第一次抽到偶數(shù)，第二次抽到奇數(shù))＝eq\f(4,9)×eq\f(5,8)＝eq\f(5,18).∴P(抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同)＝eq\f(5,18)＋eq\f(5,18)＝eq\f(5,9).應選C．法二：依題意，得P(抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同)＝eq\f(5×4,C\o\al(2,9))＝eq\f(5,9).應選C．]復雜古典概型的概率某市A，B兩所中學的學生組隊參加辯論賽，A中學推薦了3名男生、2名女生，B中學推薦了3名男生、4名女生，兩校所推薦的學生一起參加集訓．由于集訓后隊員水平相當，從參加集訓的男生中隨機抽取3人、女生中隨機抽取3人組成代表隊．(1)求A中學至少有1名學生入選代表隊的概率；(2)某場比賽前，從代表隊的6名隊員中隨機抽取4人參賽，求參賽女生人數(shù)不少于2人的概率．[解](1)由題意，參加集訓的男、女生各有6名．參賽學生全從B中學抽取(等價于A中學沒有學生入選代表隊)的概率為eq\f(C\o\al(3,3)C\o\al(3,4),C\o\al(3,6)C\o\al(3,6))＝eq\f(1,100).因此，A中學至少有1名學生入選代表隊的概率為1－eq\f(1,100)＝eq\f(99,100).(2)設參賽的4人中女生有ξ人，ξ＝1,2,3.那么P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(2,3),C\o\al(4,6))＝eq\f(3,5)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3)C\o\al(1,3),C\o\al(4,6))＝eq\f(1,5).由互斥事件的概率加法公式可知，P(ξ≥2)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝eq\f(3,5)＋eq\f(1,5)＝eq\f(4,5)，故所求事件的概率為eq\f(4,5).[規(guī)律方法]解決關(guān)于古典概型的概率問題的關(guān)鍵是正確求出根本領(lǐng)件總數(shù)和所求事件中包含的根本領(lǐng)件數(shù).1根本領(lǐng)件總數(shù)較少時，可用列舉法把所有根本領(lǐng)件一一列出，但要做到不重復、不遺漏.2注意區(qū)分排列與組合，以及正確使用計數(shù)原理.3當所求事件含有“至少〞“至多〞或分類情況較多時，通?？紤]用對立事件的概率公式PA＝1－Peq\x\to(A)求解.[跟蹤訓練](2023·山東高考)某兒童樂園在“六一〞兒童節(jié)推出了一項趣味活動．參加活動的兒童需轉(zhuǎn)動如圖10-5-1所示的轉(zhuǎn)盤兩次，每次轉(zhuǎn)動后，待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，記錄指針所指區(qū)域中的數(shù)．設兩次記錄的數(shù)分別為x，y.獎勵規(guī)那么如下：圖10-5-1①假設xy≤3，那么獎勵玩具一個；②假設xy≥8，那么獎勵水杯一個；③其余情況獎勵飲料一瓶．假設轉(zhuǎn)盤質(zhì)地均勻，四個區(qū)域劃分均勻．小亮準備參加此項活動．(1)求小亮獲得玩具的概率；(2)請比擬小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說明理由．[解]用數(shù)對(x，y)表示兒童參加活動先后記錄的數(shù)，那么根本領(lǐng)件空間Ω與點集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一對應．因為S中元素的個數(shù)是4×4＝16，所以根本領(lǐng)件總數(shù)n＝16.(1)記“xy≤3”為事件A，那么事件A包含的根本領(lǐng)件數(shù)共5個，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．所以P(A)＝eq\f(5,16)，即小亮獲得玩具的概率為eq\f(5,16).(2)記“xy≥8”為事件B，“3<xy<8”為事件C．那么事件B包含的根本領(lǐng)件數(shù)共6個，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，所以P(B)＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).事件C包含的根本領(lǐng)件數(shù)共5個，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)．所以P(C)＝eq\f(5,16).因為eq\f(3,8)>eq\f(5,16)，所以小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率．古典概型與統(tǒng)計的綜合應用(2023·長沙模擬(二)節(jié)選)某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標值衡量，并依據(jù)質(zhì)量指標值劃分等級如下表：質(zhì)量指標值mm<185185≤m<205m≥205等級三等品二等品一等品從某企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品中抽取200件，檢測后得到如圖10-5-2的頻率分布直方圖：圖10-5-2(1)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“一、二等品至少要占全部產(chǎn)品92%〞的規(guī)定？(2)在樣本中，按產(chǎn)品等級用分層抽樣的方法抽取8件，再從這8件產(chǎn)品中隨機抽取4件，求抽取的4件產(chǎn)品中，一、二、三等品都有的概率．[解](1)根據(jù)抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，一、二等品所占比例的估計值為0.200＋0.300＋0.260＋0.090＋0.025＝0.875，由于該估計值小于0.92，故不能認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“一、二等品至少要占全部產(chǎn)品92%〞的規(guī)定．(2)由頻率分布直方圖知，一、二、三等品的頻率分別為0.375,0.5,0.125，故在樣本中用分層抽樣方法抽取的8件產(chǎn)品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件．再從這8件產(chǎn)品中隨機抽取4件，一、二、三等品都有的情形有2種：①一等品2件，二等品1件，三等品1件；②一等品1件，二等品2件，三等品1件．故所求的概率P＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,4)C\o\al(1,1)＋C\o\al(1,3)C\o\al(2,4)C\o\al(1,1),C\o\al(4,8))＝eq\f(3,7).[規(guī)律方法]求解古典概型與統(tǒng)計交匯問題的思路1依據(jù)題目的直接描述或頻率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖等統(tǒng)計圖表給出的信息，提煉出需要的信息.2進行統(tǒng)計與古典概型概率的正確計算.[跟蹤訓練]海關(guān)對同時從A，B，C三個不同地區(qū)進口的某種商品進行抽樣檢測，從各地區(qū)進口此種商品的數(shù)量(單位：件)如下表所示．工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進行檢測．地區(qū)ABC數(shù)量50150100(1)求這6件樣品中來自A，B，C各地區(qū)商品的數(shù)量；(2)假設在這6件樣品中隨機抽取2件送往甲機構(gòu)進行進一步檢測，求這2件商品來自相同地區(qū)的概率.【導學號：79140358】[解](1)因為樣本容量與總體中的個體數(shù)的比是eq\f(6,50＋150＋100)＝eq\f(1,50)，所以樣本中包含三個地區(qū)的個體數(shù)量分別是50×