高三數(shù)學 4幾種常見幾何體的性質(zhì)試題

B。B。4.幾種常見幾何體的性質(zhì)正方體例1】棱長為1的正方體AC中，1（1）證明：BD丄平面ACD；11（2）證明：平面ACD//平面ACB；1113）求平面ACD與平面ACB的的距離111【解析】（1）連接BD,由BB丄平面ABCD,ACu平面ABCD,1所以BB丄AC,1又BD丄AC，所以AC丄平面BBD，由BDu平面BBD，所以BD丄AC,111同理BD丄CD，故BD丄平面ACD；111⑵由⑴證BD丄平面AC*同理BD丄平面Al?，所以平面ACDi//平面Al?；（3）設BD與平面ACD、平面ACB分別交于H,G，則H,G必是正AACD、正AACB的中心,1111111運用等積法可求D到平面AC：的距離、B到平面ACB的距離均為111，因為B]D=73，平面OCABCiDOCABCiDiJ3ACD]與平面Af]B的的距離為\HG\=—3-【評注】棱長為a的正方體ABCD-A]BC]D]中,（1）共頂點的三條棱作為側(cè)棱構(gòu)成的直三棱錐中，頂點在底面的射影恰為正方體相應對角線的一個三等分點；（2）共頂點的三條棱作為側(cè)棱構(gòu)成的直三棱錐的高為a，其體積是正方體體積的三a3.36【變式】正方體是考查空間點、直線、平面位置關系的非常重要的幾何模型.正方體AC中，EF是AC.AD的公垂線，M是BB的中]]]點，證明：（1）EF//DB；（2）EF//面ACM.]]]【解析]（1）如圖，只要證明EF丄面ACD,DB丄面ACD即可;]]]]]

(2)如圖，只要證明DB//面ACMuDB//OM(u面ACM)即可；111111三棱錐【例2】三棱錐A-BCD中,點O為點A在平面BCD內(nèi)的射影，若AB=AC=AD,求證：點O是底面三角形的外心．【解析】連結(jié)OB,OC,OD,AO丄平面BCD，且AB二AC二AD,.??RtAABO二Rt^ACO=RtAADO,OB二OC二OD,故點O是底面三角形的外心．【評注】四面體A-BCD中，(1)若各組對棱都相互垂直，則點A在平面BCD內(nèi)的射影是底面三角形的垂心；若三條側(cè)棱兩兩垂直，則點A在平面BCD內(nèi)的射影是底面三角形的垂心；若三條側(cè)棱都相等，則點A在平面BCD內(nèi)的射影是底面三角形的外心；若三條側(cè)棱與底面所成的角都相等，則點A在平面BCD內(nèi)的射影是底面三角形的外心;若三個側(cè)面的斜高都相等，則點A在平面BCD內(nèi)的射影是底面三角形的內(nèi)心；若三個側(cè)面與底面所成的角都相等，則點A在平面BCD內(nèi)的射影是底面三角形的內(nèi)心.【變式1】正三棱錐的概念.下面是關于三棱錐的四個命題：面是等邊三角形，側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐．面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐．面是等邊三角形，側(cè)面的面積都相等的三棱錐是正三棱錐．棱與底面所成的角相等，且側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐．其中，真命題的編號是?(寫出所有真命題的編號)【解析】①底面是等邊三角形，側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐.可推出底面中心等于是棱錐頂點在底面的射影，所以是正確的；②顯然不對，比如三條側(cè)棱中僅有一條不與底面邊長相變式2】正四面體的性質(zhì).關于棱長為a的正四面體，有以下的命題:等的情況，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐，但不是正三棱錐；③底面是等邊三角形，側(cè)面的面積都相等，說明頂點到底面三邊的距離(斜高)相等，根據(jù)射影長的關系，可以得到頂點在底面的射影(垂足)到底面三邊所在直線的距離也相等，由于在底面所在的平面內(nèi)，到底面三邊所在直線的距離相等的點有4個：內(nèi)心(本題的中心)1個、旁心變式2】正四面體的性質(zhì).關于棱長為a的正四面體，有以下的命題:33①正四面體的高為h①正四面體的高為h=:②正四面體的外接球的半徑為R二乎a③正四面體的內(nèi)切球的半徑為r二Il6a；④正四面體的外接球的半徑是其內(nèi)切球的半徑的3倍;正四面體的相鄰兩個表面所成的角為0，則cos0=3.正確的序號是.【解析】設正四面體的高為AH,H是ABCD的重心，連接DH并延長交于BC于M，外接球的球心為O必在AH上，根據(jù)對稱性，O也是內(nèi)切球的球心，則R=OA,r=OH，相鄰兩個表面所成的角為0=ZAMH，則由重心定理可知，MH=3MD=3MA，所以cos0=3，⑤正確;在RtAAMH中，MA=a,MH=a，所以AH=h=a，①正確；263在RtAOMH中，OM=OA=R,MH=a,OH=r=AH—R=a—R，由勾股定理可求63R=￡a，②正確；③④正確，答案為①②③④⑤.直三棱錐【例3】在平面幾何里，有勾股定理:“設AABC的兩邊AB、AC互相垂直，貝y：①AB2+AC2=BC2；②若AABC的兩邊AB、AC與斜邊成角分別為味卩，貝y：cos2a+cos2卩=1拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積間的關系，可得到正確的結(jié)論:“設三棱錐A—BCD中，三個側(cè)面ABC、ACD、ABD兩兩相互垂直，貝y：①；②若三棱錐A—BCD中，三個側(cè)面與底面的成角分別為％卩、丫，則：DCAEB【解析】過點A作AE丄BC于E，連結(jié)de，貝0：BC丄DE,S2=1BC2?DE2=12+AC2)(AE2+DA2)DCAEBTOC\o"1-5"\h\zABCD44=—AB2?DA2+AC2?DA2+BC2?AE2444=S2+S2+S2AABCAACDAABD故S2+S2+S2=S2AABCAACDAABDABCD同理，易知：若三棱錐A-BCD中，三個側(cè)面與底面的成角分別為么、卩、Y,則:cos2a+cos2P+cos2丫=1(或sin2a+sin2P+sin2丫=2).【評注】側(cè)棱分別為a,b,c的直三棱錐的底面必是銳角三角形，其體積為1abc。6【變式】直角三角形中射影定理的推廣.在平面幾何中，直角三角形有射影定理：“設AABC的兩邊AB.AC互相垂直，AH丄BC于H,則：AB2二BH-BC?！鳖惐鹊娇臻g，可得到正確的結(jié)論：“設三棱錐P-ABC中，三個側(cè)面PAB、PBC、PAC兩兩相互垂直，貝歸.【解析】側(cè)面積是它在底面投影的面積與底面積的等比中項，即S2二SS.ABCPABCOABCA4.4四直角三棱錐【例4S2二SS.ABCPABCOABCA4.4四直角三棱錐【例4】如圖，斜邊為AB的RtAABC中,PA丄平面ABC,AM丄PB于M，AN丄PC于N.1)證明：BC丄平面PAC；2)證明：PB丄平面AMN；4)證明：平面PBC丄平面AMN；若PA二AB二4,ZBPC=9，求截面AAMN的面積的最大?值.解析：(1)因為PA丄平面ABC，則PA丄BC，又BC丄AC，所以BC丄平面PAC.由BC丄平面PAC，則BC丄AN，又AN丄PC，所以AN丄平面PBC，AN丄PB,又PB丄AM，所以PB丄平面AMN.因為PB丄平面AMN，PB丄平面PBC,所以平面PBC丄平面AMN；由(1)知BC丄平面PAC,BCu平面PBC，所以平面PCB丄平面PAC,因為平面PCBI平面PAC=PC,AN丄PC，所以AN丄平面PBC,又MNu平面PBC,所以AN丄MN；又丁PB丄平面AMN,MNu平面AMN,.?.PB丄MN,所以MN=2J2tan9,AN=2￡2j1-tan29,S=—MN-AN=4tan9fl-tan29=4p'tan29G-tan29)<2,當且僅當tan9=^^~時，取得22

等號，故截面AAMN的面積的最大值為2.【評注】三棱錐P-ABC的每一個面都是直角三角形，稱之為四直角三棱錐，9二ZAMN；A-PB-C9=ZPCA；d=MN；cosZPBC二cosZPBAcosZABC.P-BC-APB-AN【變式】四直角三棱錐，蘊涵著棱錐的所有要素，是研究棱錐的特征幾何體.已知：ABA