數(shù)學(xué)選修1-2學(xué)案第四章1-2（二）復(fù)數(shù)的有關(guān)概念（二）

1.2復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(二)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解可以用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)或以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量來(lái)表示復(fù)數(shù)及它們之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.2.掌握實(shí)軸、虛軸、模等概念.3.掌握用向量的模來(lái)表示復(fù)數(shù)的模的方法．知識(shí)點(diǎn)一復(fù)平面思考實(shí)數(shù)可用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示，類比一下，復(fù)數(shù)怎樣來(lái)表示呢？答案任何一個(gè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi，都和一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)(a，b)一一對(duì)應(yīng)，因此，復(fù)數(shù)集與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集之間可以一一對(duì)應(yīng)．梳理當(dāng)用直角坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)來(lái)表示復(fù)數(shù)時(shí)，我們稱這個(gè)直角坐標(biāo)平面為復(fù)平面，x軸稱為實(shí)軸，y軸稱為虛軸．實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)．知識(shí)點(diǎn)二復(fù)數(shù)的幾何意義知識(shí)點(diǎn)三復(fù)數(shù)的?；蚪^對(duì)值設(shè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是Z(a，b)，點(diǎn)Z到原點(diǎn)的距離|OZ|叫作復(fù)數(shù)z的?；蚪^對(duì)值，記作|z|，顯然，|z|＝eq\r(a2＋b2).兩個(gè)復(fù)數(shù)不全是實(shí)數(shù)不能比較大小，但可以比較它們模的大小．1．在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)于實(shí)數(shù)的點(diǎn)都在實(shí)軸上．(√)2．在復(fù)平面內(nèi)，虛軸上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)都是純虛數(shù)．(×)3．若|z1|＝|z2|，則z1＝z2.(×)類型一復(fù)數(shù)的幾何意義例1實(shí)數(shù)x分別取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z＝(x2＋x－6)＋(x2－2x－15)i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z在：(1)第三象限；(2)直線x－y－3＝0上．考點(diǎn)復(fù)數(shù)的幾何意義題點(diǎn)復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系解因?yàn)閤是實(shí)數(shù)，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是實(shí)數(shù)．(1)當(dāng)實(shí)數(shù)x滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x－6<0，,x2－2x－15<0，))即當(dāng)－3<x<2時(shí)，點(diǎn)Z在第三象限．(2)z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z(x2＋x－6，x2－2x－15)，當(dāng)實(shí)數(shù)x滿足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，即當(dāng)x＝－2時(shí)，點(diǎn)Z在直線x－y－3＝0上．引申探究若本例中的條件不變，其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在：(1)虛軸上；(2)第四象限．解(1)當(dāng)實(shí)數(shù)x滿足x2＋x－6＝0，即當(dāng)x＝－3或2時(shí)，點(diǎn)Z在虛軸上．(2)當(dāng)實(shí)數(shù)x滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x－6>0，,x2－2x－15<0，))即當(dāng)2<x<5時(shí)，點(diǎn)Z在第四象限．反思與感悟按照復(fù)數(shù)和復(fù)平面內(nèi)所有點(diǎn)所成的集合之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，每一個(gè)復(fù)數(shù)都對(duì)應(yīng)著一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)，只要在復(fù)平面內(nèi)找出這個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)所表示的點(diǎn)，就可根據(jù)點(diǎn)的位置判斷復(fù)數(shù)實(shí)部、虛部的取值．跟蹤訓(xùn)練1在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i(m∈R)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在虛軸上和實(shí)軸負(fù)半軸上，分別求復(fù)數(shù)z.考點(diǎn)復(fù)數(shù)的幾何意義題點(diǎn)復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系解若復(fù)數(shù)z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在虛軸上，則m2－m－2＝0，所以m＝－1或m＝2，所以z＝6i或z＝0.若復(fù)數(shù)z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在實(shí)軸負(fù)半軸上，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－m－2<0，,m2－3m＋2＝0，))所以m＝1，所以z＝－2.類型二復(fù)數(shù)的模例2已知復(fù)數(shù)z1＝eq\r(3)－i，z2＝cosθ＋isinθ.(1)求|z1|及|z2|，并比較它們的大??；(2)設(shè)z∈C，點(diǎn)Z為z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，則滿足條件|z2|≤|z|≤|z1|的點(diǎn)Z構(gòu)成了什么圖形？考點(diǎn)復(fù)數(shù)的模的定義與應(yīng)用題點(diǎn)利用定義求復(fù)數(shù)的模解(1)|z1|＝eq\r(?\r(3)?2＋?－1?2)＝2，|z2|＝eq\r(cos2θ＋sin2θ)＝1.因?yàn)?>1，所以|z1|>|z2|.(2)由|z2|≤|z|≤|z1|，得1≤|z|≤2.因?yàn)閨z|≥1表示以O(shè)為圓心，1為半徑的圓的外部及其邊界上所有點(diǎn)，|z|≤2表示以O(shè)為圓心，2為半徑的圓的內(nèi)部及其邊界上所有點(diǎn)，故符合題設(shè)條件的點(diǎn)構(gòu)成了以O(shè)為圓心，分別以1和2為半徑的兩個(gè)圓所夾的圓環(huán)(包括邊界)．反思與感悟利用模的定義將復(fù)數(shù)模的條件轉(zhuǎn)化為其實(shí)部、虛部滿足的條件，是一種復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化思想．跟蹤訓(xùn)練2已知0<a<3，復(fù)數(shù)z＝a＋i(i是虛數(shù)單位)，則|z|的取值范圍是()A．(1，eq\r(10)) B．(1，eq\r(3))C．(1,3) D．(1,10)考點(diǎn)復(fù)數(shù)的模的定義與應(yīng)用題點(diǎn)利用定義求復(fù)數(shù)的模答案A解析0<a<3，復(fù)數(shù)z＝a＋i(i是虛數(shù)單位)，則|z|＝eq\r(a2＋1)∈(1，eq\r(10)).1．當(dāng)eq\f(2,3)<m<1時(shí)，復(fù)數(shù)z＝(3m－2)＋(m－1)i(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限考點(diǎn)復(fù)數(shù)的幾何意義題點(diǎn)復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系答案D解析∵eq\f(2,3)<m<1，∴0<3m－2<1，m－1<0，∴復(fù)數(shù)z＝(3m－2)＋(m－1)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限．2．滿足|z|2－2|z|－3＝0的復(fù)數(shù)z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是()A．一個(gè)圓 B．線段C．兩個(gè)點(diǎn) D．兩個(gè)圓考點(diǎn)復(fù)數(shù)的幾何意義的綜合應(yīng)用題點(diǎn)利用幾何意義解決軌跡、圖形答案A解析由條件|z|2－2|z|－3＝0，得|z|＝3(|z|＝－1舍去)，|z|＝3表示一個(gè)圓．3．設(shè)復(fù)數(shù)z1＝a＋2i，z2＝－2＋i(i為虛數(shù)單位)，且|z1|<|z2|，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．a(chǎn)<－1或a>1 B．－1<a<1C．a(chǎn)>1 D．a(chǎn)>0考點(diǎn)復(fù)數(shù)的模的定義與應(yīng)用題點(diǎn)利用模的定義求參數(shù)答案B解析因?yàn)閨z1|＝eq\r(a2＋4)，|z2|＝eq\r(4＋1)＝eq\r(5)，所以eq\r(a2＋4)<eq\r(5)，即a2＋4<5，所以a2<1，即－1<a<1.4．若復(fù)數(shù)z＝(m－2)＋(m＋1)i為純虛數(shù)(i為虛數(shù)單位)，其中m∈R，則|z|＝________.考點(diǎn)復(fù)數(shù)的模的定義與應(yīng)用題點(diǎn)利用定義求復(fù)數(shù)的模答案3解析復(fù)數(shù)z＝(m－2)＋(m＋1)i為純虛數(shù)(i為虛數(shù)單位)，所以m－2＝0且m＋1≠0，解得m＝2，所以z＝3i，所以|z|＝3.5．當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值時(shí)，復(fù)數(shù)(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)(1)位于第四象限；(2)位于x軸的負(fù)半軸上．考點(diǎn)復(fù)數(shù)的幾何意義題點(diǎn)復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系解(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－8m＋15>0，,m2＋3m－28<0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>5或m<3，,－7<m<4，))所以－7<m<3.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－8m＋15<0，,m2＋3m－28＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3<m<5，,m＝－7或m＝4，))所以m＝4.

1．復(fù)數(shù)的幾何意義這種對(duì)應(yīng)關(guān)系架起了復(fù)數(shù)與解析幾何之間的橋梁，使得復(fù)數(shù)問(wèn)題可以用幾何方法解決，而幾何問(wèn)題也可以用復(fù)數(shù)方法解決(即數(shù)形結(jié)合法)，增加了解決復(fù)數(shù)問(wèn)題的途徑．(1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(a，b)而不是(a，bi)；(2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的對(duì)應(yīng)向量eq\o(OZ,\s\up6(→))是以原點(diǎn)O為起點(diǎn)的，否則就談不上一一對(duì)應(yīng)，因?yàn)閺?fù)平面上與eq\o(OZ,\s\up6(→))相等的向量有無(wú)數(shù)個(gè)．2．復(fù)數(shù)的模(1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝eq\r(a2＋b2)；(2)從幾何意義上理解，表示點(diǎn)Z和原點(diǎn)間的距離，類比向量的?？蛇M(jìn)一步引申：|z1－z2|表示點(diǎn)Z1和點(diǎn)Z2之間的距離.一、選擇題1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＝cos3＋isin3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限為()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限考點(diǎn)復(fù)數(shù)的幾何意義題點(diǎn)復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系答案B解析∵eq\f(π,2)<3<π，∴sin3>0，cos3<0，故復(fù)數(shù)z＝cos3＋isin3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第二象限．2．已知復(fù)數(shù)z＝(m＋3)＋(m－1)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．(－3,1) B．(－1,3)C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)考點(diǎn)復(fù)數(shù)的幾何意義題點(diǎn)復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系答案A解析由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋3>0，,m－1<0，))解得－3<m<1.3．已知a為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)z＝(a2－3a－4)＋(a－4)i為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)a－ai在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限考點(diǎn)復(fù)數(shù)的幾何意義題點(diǎn)復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系答案B解析若復(fù)數(shù)z＝(a2－3a－4)＋(a－4)i是純虛數(shù)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－3a－4＝0，,a－4≠0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4或a＝－1，,a≠4，))得a＝－1，則復(fù)數(shù)a－ai＝－1＋i對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為(－1,1)，位于第二象限，故選B.4．已知0<a<1，復(fù)數(shù)z的實(shí)數(shù)為a，虛部為－2，則|z|的取值范圍是()A．(2,5) B．(2,3)C．(2，eq\r(5)) D．(2，eq\r(3))考點(diǎn)復(fù)數(shù)的模的定義與應(yīng)用題點(diǎn)利用定義求復(fù)數(shù)的模答案C解析由題知z＝a－2i，所以|z|＝eq\r(a2＋4)，又a∈(0,1)，所以|z|∈(2，eq\r(5))．5．復(fù)數(shù)z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上，則()A．a(chǎn)≠2或a≠1 B．a(chǎn)≠2且a≠1C．a(chǎn)＝0或a＝2 D．a(chǎn)＝0考點(diǎn)復(fù)數(shù)的幾何意義題點(diǎn)復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系答案C解析∵z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上，∴a2－2a＝0，解得a＝0或a＝2.6．已知復(fù)數(shù)z＝a＋eq\r(3)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，且|z|＝2，則復(fù)數(shù)z等于()A．－1＋eq\r(3)i B．1＋eq\r(3)iC．－1＋eq\r(3)i或1＋eq\r(3)i D．－2＋eq\r(3)i考點(diǎn)復(fù)數(shù)的模的定義與應(yīng)用題點(diǎn)利用模的定義求復(fù)數(shù)答案A解析因?yàn)閦在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，所以a<0，由|z|＝2知，eq\r(a2＋?\r(3)?2)＝2，解得a＝－1(舍正)，所以z＝－1＋eq\r(3)i.7．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z1，z2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A，B.已知A(1,2)，|AB|＝2eq\r(5)，|z2|＝eq\r(41)，則z2等于()A．4＋5i B．5＋4iC．3＋4i D．5＋4i或eq\f(1,5)＋eq\f(32,5)i考點(diǎn)復(fù)數(shù)的模的定義與應(yīng)用題點(diǎn)利用模的定義求復(fù)數(shù)答案D解析設(shè)z2＝x＋yi(x，y∈R)，由條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(?x－1?2＋?y－2?2＝20，,x2＋y2＝41.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,5)，,y＝\f(32,5).))二、填空題8．若復(fù)數(shù)3－5i,1－i和－2＋ai在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在同一條直線上，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______．考點(diǎn)復(fù)數(shù)的幾何意義題點(diǎn)復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系答案5解析由點(diǎn)(3，－5)，(1，－1)，(－2，a)共線可知a＝5.9．已知復(fù)數(shù)z＝x－2＋yi的模是2eq\r(2)，則點(diǎn)(x，y)的軌跡方程是________________．考點(diǎn)復(fù)數(shù)的幾何意義的綜合應(yīng)用題點(diǎn)利用幾何意義解決軌跡、圖形答案(x－2)2＋y2＝8解析由模的計(jì)算公式得eq\r(?x－2?2＋y2)＝2eq\r(2)，∴(x－2)2＋y2＝8.10．設(shè)(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是實(shí)數(shù)，則|x＋yi|＝________.考點(diǎn)復(fù)數(shù)的模的定義與應(yīng)用題點(diǎn)利用定義求復(fù)數(shù)的模答案eq\r(2)解析由(1＋i)x＝1＋yi，得x＋xi＝1＋yi，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,x＝y(tǒng)，))故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1.))所以|x＋yi|＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(2).11．若復(fù)數(shù)z＝(a－2)＋(a＋1)i，a∈R對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則|z|的取值范圍是________．考點(diǎn)復(fù)數(shù)的模的定義與應(yīng)用題點(diǎn)利用定義求復(fù)數(shù)的模答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)，3))解析復(fù)數(shù)z＝(a－2)＋(a＋1)i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(a－2，a＋1)，因?yàn)樵擖c(diǎn)位于第二象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2<0，,a＋1>0，))解得－1<a<2.由條件得|z|＝eq\r(?a－2?2＋?a＋1?2)＝eq\r(2a2－2a＋5)＝eq\r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2－a＋\f(1,4)))＋\f(9,2))＝eq\r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋\f(9,2)).因?yàn)椋?<a<2，所以|z|∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)，3)).三、解答題12．求實(shí)數(shù)m的值，使復(fù)數(shù)z＝m(m－1)＋(m－1)i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(1)實(shí)軸上；(2)第一象限；(3)第四象限．考點(diǎn)復(fù)數(shù)的幾何意義題點(diǎn)復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系解(1)由復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上，可得m－1＝0，解得m＝1，即當(dāng)m＝1時(shí)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上．(2)由復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m?m－1?>0，,m－1>0，))解得m>1，即當(dāng)m>1時(shí)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限．(3)由復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m?m－1?>0，,m－1<0，))解得m<0，即當(dāng)m<0時(shí)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限．13．在復(fù)平面內(nèi)，分別用點(diǎn)和向量表示復(fù)數(shù)1，－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i，－eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i，并求出它們的模．考點(diǎn)復(fù)數(shù)的模的定義與應(yīng)用題點(diǎn)利用定義求復(fù)數(shù)的模解如圖所示，點(diǎn)A，B，C分別表示復(fù)數(shù)1，－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i，－eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i，與之對(duì)應(yīng)的向量可用eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))來(lái)表示．|1|＝1，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(1,2)i))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(2),2)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－\f(\r(3),2)i))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))2)＝1.四、探究與拓展1