人教版高中數(shù)學(xué)必修二教材用書直線與方程3.3-13-3-2兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)兩點(diǎn)間的距離第二課時(shí)兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)兩點(diǎn)間的距離（習(xí)題課）word版含答案2

06/707/7/第二課時(shí)兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)兩點(diǎn)間的距離(習(xí)題課)1．兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)如何求？略2．如何根據(jù)方程組的解判斷兩直線的位置關(guān)系？略3．平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式是什么？略4．過定點(diǎn)的直線系方程有什么特點(diǎn)？略5．如何用坐標(biāo)法解決幾何問題？略6．點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱點(diǎn)如何求？略兩直線交點(diǎn)問題的綜合應(yīng)用[例1]過點(diǎn)M(0,1)作直線，使它被兩已知直線l1：x－3y＋10＝0和l2：2x＋y－8＝0所截得的線段恰好被M所平分，求此直線的方程．[解]法一：過點(diǎn)M與x軸垂直的直線顯然不合要求，故設(shè)所求直線方程為y＝kx＋1.若與兩已知直線分別交于A，B兩點(diǎn)，則解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,x－3y＋10＝0))和eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,2x＋y－8＝0，))可得xA＝eq\f(7,3k－1)，xB＝eq\f(7,k＋2).由題意eq\f(7,3k－1)＋eq\f(7,k＋2)＝0，∴k＝－eq\f(1,4).故所求直線方程為x＋4y－4＝0.法二：設(shè)所求直線與兩已知直線分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B在直線2x＋y－8＝0上，故可設(shè)B(t,8－2t)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得A(－t,2t－6)．又因?yàn)辄c(diǎn)A在直線x－3y＋10＝0上，所以(－t)－3(2t－6)＋10＝0，得t＝4，即B(4,0)．由兩點(diǎn)式可得所求直線方程為x＋4y－4＝0.[類題通法]兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)就是聯(lián)立兩條直線方程所得的方程組的解．[活學(xué)活用]若三條直線y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0交于一點(diǎn)，則點(diǎn)(m，n)可能是()A．(1，－3) B．(3，－1)C．(－3,1) D．(－1,3)答案：A對(duì)稱問題[例2]一束光線從原點(diǎn)O(0,0)出發(fā)，經(jīng)過直線l：8x＋6y＝25反射后通過點(diǎn)P(－4，3)，求反射光線的方程．[解]設(shè)原點(diǎn)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a，b)，由直線OA與l垂直和線段AO的中點(diǎn)在l上得解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝3，))∴A的坐標(biāo)為(4,3)．∵反射光線的反向延長線過A(4,3)，又由反射光線過P(－4,3)，兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，故反射光線所在直線方程為y＝3.由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝3，,8x＋6y＝25，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(7,8)，,y＝3，))由于反射光線為射線，故反射光線的方程為y＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x≤\f(7,8))).[類題通法]1．點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的求法點(diǎn)N(x0，y0)關(guān)于直線l：Ax＋By＋C＝0的對(duì)稱點(diǎn)M(x，y)．可由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y－y0,x－x0)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1?AB≠0?，,A·\f(x＋x0,2)＋B·\f(y＋y0,2)＋C＝0))求得．2．直線關(guān)于直線的對(duì)稱的求法求直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0關(guān)于直線l：Ax＋By＋C＝0對(duì)稱的直線l2的方程的方法是轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，在l1上任取兩點(diǎn)P1和P2，求出P1，P2關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，再用兩點(diǎn)式求出l2的方程．[活學(xué)活用]與直線2x＋3y－6＝0關(guān)于點(diǎn)(1，－1)對(duì)稱的直線方程是()A．3x－2y＋2＝0 B．2x＋3y＋7＝0C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y＋8＝0答案：D坐標(biāo)法的應(yīng)用[例3]一長為3m，寬為2m缺一角A的長方形木板(如圖所示)，長缺0.2m，寬缺0.5m，EF是直線段，木工師傅要在BC的中點(diǎn)M處作EF延長線的垂線(直角曲尺長度不夠)，應(yīng)如何畫線？[解]以AB所在直線為x軸，AD所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，則E(0.2,0)，F(xiàn)(0,0.5)，B(3,0)，D(0,2)，M(3,1)，所以EF所在直線斜率k＝eq\f(0.5,－0.2)＝－eq\f(5,2).∵所求直線與EF垂直，∴所求直線斜率為k′＝eq\f(2,5)，又直線過點(diǎn)M(3,1)，所以所求直線方程為y－1＝eq\f(2,5)(x－3)．令y＝0，則x＝0.5，所以所求直線與x軸交點(diǎn)為(0.5,0)，故應(yīng)在EB上截|EN|＝0.3m，得點(diǎn)N，即得滿足要求的直線MN.[類題通法]1．用坐標(biāo)法解決實(shí)際應(yīng)用題，首先通過建立模型將它轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．2．用坐標(biāo)法解決幾何問題，首先要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用坐標(biāo)表示有關(guān)量，然后進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，最后把代數(shù)運(yùn)算的結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．[活學(xué)活用]已知等腰梯形ABCD，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，證明：對(duì)角線|AC|＝|BD|.證明：如圖，以等腰梯形ABCD的下底AB所在直線為x軸，以AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)梯形下底|AB|＝2a，上底|CD|＝2b，高為h，則A(－a，0)，B(a,0)，C(b，h)，D(－b，h|AC|＝eq\r(?－a－b?2＋?0－h(huán)?2)＝eq\r(?a＋b?2＋h2)，|BD|＝eq\r([a－?－b?]2＋?0－h(huán)?2)＝eq\r(?a＋b?2＋h2)，所以|AC|＝|BD|.eq\a\vs4\al(,,9.利用轉(zhuǎn)化思想求最值)[典例](12分)在x軸上求一點(diǎn)P，使得：(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距離之差最大，并求出最大值；(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距離之和最小，并求出最小值．[解題流程][活學(xué)活用]求函數(shù)f(x)＝eq\r(x2－8x＋20)＋eq\r(x2＋1)的最小值．解：由于f(x)＝eq\r(x2－8x＋20)＋eq\r(x2＋1)＝eq\r(?x－4?2＋?0－2?2)＋eq\r(?x－0?2＋?0－1?2)，令A(yù)(4,2)，B(0,1)，P(x,0)，則可把問題轉(zhuǎn)化為在x軸上求一點(diǎn)P(x,0)，使得|PA|＋|PB|取得最小值，作A(4,2)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′(4，－2)，連接A′B.由圖可直觀得出|PA|＋|PB|的最小值為|BA′|＝eq\r(?0－4?2＋[1－?－2?]2)＝5，即f(x)的最小值為5.[隨堂即時(shí)演練]1．已知點(diǎn)A(x,5)關(guān)于點(diǎn)(1，y)的對(duì)稱點(diǎn)為(－2，－3)，則點(diǎn)P(x，y)到原點(diǎn)的距離是()A．2 B．4C．5D.eqD.eq\r(17)答案：D2．直線x－2y＋1＝0關(guān)于直線x＝1對(duì)稱的直線方程是()A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0答案：D3．經(jīng)過兩直線2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交點(diǎn)且與直線3x＋y－1＝0垂直的直線l的方程為________．答案：5x－15y－18＝04．點(diǎn)A(4,5)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為B(－2,7)，則直線l的方程為________．答案：3x－y＋3＝05．已知△ABC是直角三角形，斜邊BC的中點(diǎn)為M，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，證明：|AM|＝eq\f(1,2)|BC|.證明：以Rt△ABC的直角邊AB，AC所在的直線為坐標(biāo)軸，建立如右圖所示的平面直角坐標(biāo)系．設(shè)B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(b,0)，(0，c)．因?yàn)樾边匓C的中點(diǎn)為M，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(0＋b,2)，\f(0＋c,2)))，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)，\f(c,2))).由兩點(diǎn)間的距離公式，得|BC|＝eq\r(?0－b?2＋?c－0?2)＝eq\r(b2＋c2)，|AM|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(b,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(c,2)))2)＝eq\f(1,2)eq\r(b2＋c2)，所以|AM|＝eq\f(1,2)|BC|.[課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測]一、選擇題1．點(diǎn)P(－3,4)關(guān)于直線x＋y－2＝0的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)是()A．(－2,1) B．(－2,5)C．(2，－5) D．(4，－3)答案：B2．已知點(diǎn)P(a，b)與點(diǎn)Q(b＋1，a－1)關(guān)于直線l對(duì)稱，則直線l的方程為()A．y＝x－2 B．y＝x＋2C．y＝x－1 D．y＝x＋3答案：C3．光線從點(diǎn)A(－3,5)射到x軸上，經(jīng)反射后經(jīng)過點(diǎn)B(2,10)，則光線從A到B的距離是()A．5eq\r(2) B．2eq\r(5)C．5eq\r(10) D．10eq\r(5)答案：C4．若三條直線2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一點(diǎn)，則k的值等于()A．－2 B．－eq\f(1,2)C．2D.eqD.eq\f(1,2)答案：B5．若直線ax＋by－11＝0與3x＋4y－2＝0平行，并過直線2x＋3y－8＝0和x－2y＋3＝0的交點(diǎn)，則a，b的值分別為()A．－3，－4 B．3,4C．4,3 D．－4，－3答案：B二、填空題6．點(diǎn)P(2,5)關(guān)于直線x＋y＝1的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是________．答案：(－4，－1)7．直線ax＋by－2＝0，若滿足3a－4b答案：(6，－8)8．已知x，y∈R，函數(shù)f(x，y)＝eq\r(?x－2?2＋y2)＋eq\r(?x＋1?2＋?y－4?2)的最小值是________．答案：5三、解答題9．已知直線l1：2x＋y－6＝0和點(diǎn)A(1，－1)，過A點(diǎn)作直線l與已知直線l1相交于B點(diǎn)，且使|AB|＝5，求直線l的方程．解：若l與x軸垂直，則l的方程為x＝1，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,2x＋y－6＝0，))得B點(diǎn)坐標(biāo)(1,4)，此時(shí)|AB|＝5，∴x＝1為所求；當(dāng)l不與x軸垂直時(shí)，可設(shè)其方程為y＋1＝k(x－1)．解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－6＝0，,y＋1＝k?x－1?，))得交點(diǎn)Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k＋7,k＋2)，\f(4k－2,k＋2)))(k≠－2)．由已知eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k＋7,k＋2)－1))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4k－2,k＋2)＋1))2)＝5，解得k＝－eq\f(3,4).∴y＋1＝－eq\f(3,4)(x－1)，即3x＋4y＋1＝0.綜上可得，所求直線l的方程為x＝1或3x＋4y＋1＝0.10．某地東西有一條河，南北有一條路，A村在路西3千米、河北岸4千米處；B村在路東2千米、河北岸eq\r(3)千米處．兩村擬在河邊建一座水力發(fā)電站，要求發(fā)電站到兩村距離相等，問：發(fā)電站建在何處？到兩村的距離為多遠(yuǎn)？解：以小河的方向向東為x軸正方向，以路的方向向北為y軸正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(－3,4)，B(2，eq\r(3))，問題轉(zhuǎn)化為在x軸上找一點(diǎn)P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．可設(shè)點(diǎn)P為(x,0)，則有|PA|＝eq