《空間向量及其運算》同步訓練題

實用文檔實用文檔《空間向量及其運算》同步訓練題一、選擇題TOC\o"1-5"\h\z1、空間四邊形OABC中，OB=OC,AOB=AOC=600,則cosOA,BC=()A.1B.2C.1D.02222、設A、B、C、D是空間不共面的四點，且滿足AB?AC=0，AC?AD=0，AB?AD=0，則BCD是（）A.鈍角三角形B.銳角三角形C.直角三角形D.不確定3、已知空間四邊形ABCD中，OA=a,OB=b,OC=c，點M在OA上，且OM=2MA,N為BC中點，則MN=()一12,1211A.1a-b+1cB,-a+1b+1c232322.11,1221C.1a+1b-1cD,a+b-1c2223324、已知A(-1,-2,6),B(1,2,-6)O為坐標原點，則向量OA,與OB的夾角是()A.0B.兀C.兀D.3兀22>5、與向量a=(1,-3,2)平行的一個向量的坐標是()A.(1,1,1)B.(-1,-3,2)3

C．（－12，32，－1）D．（2，－3C．（－12，32，－1）D．（2，－3，－22）6、已知平行六面體ABCD-ABCD'中，AB=4,AD=3,AA'=5,/BAD=900,/BAA'=/DAA'=600，則AC’等于A．85B．85C．52D．507、在下列條件中，使M與A、B、C一定共面的是A.OM=2OA—OB—OCB.OM=1OA+1OB+1OC5328、MA+MB+MC=0OM+OA+OB+OC=0在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中圖,M為AC與BD的交點，若AB=a,1TOC\o"1-5"\h\zAD=b,AA=J則下列向量中與BM相等的向量是()11111111A.—a+b+cB.a+b+c2222C.1C.1a-1b+c2211D.—a—b+c229、已知A(1,1,11B(2,2,21C(3,2,4),則AABC的面積為()A.3B.23C.6D.6210、已知a=-0b=(2"")，貝?〃一切的最小值為D.？B-5D.？二、填空題TOC\o"1-5"\h\z11、若a=(2,3,-1),b=(-2,1,3)，則a,b為鄰邊的平行四邊形的面積為^12、已知空間四邊形OABC,其對角線為OB、AC,M、N分別是對邊OA、BC的中點，點G在線段MN上，且MG=2GN，現(xiàn)用基組O)/,,OB,OC^示向量OG，有OG=xOA+yOB+zOC，則x、y、z的值分別為^13、已知點A(1,2,11)、B(4,2,3),C(6,1,4),則ABC的形狀是.14、已知向量a=(2,-3,0),b=(k,0,3)，若a,b成120。的角，則k二.三、解答題15、(14分)如圖，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形且/C1cB=/C1CD=/BCD=60°.(1)證明：C1C，BD;

(2)假定CD=2,CC=3，記面CBD為a,面CBD為以求二面角a—BD—B的平面角的余弦值;121(3)當CD的值為多少時，能使Af，平面C/D?請給出證明.CC11116、(12分)如圖，已知正方體ABCD-A'B'C'D'的棱長為a,M為BD'的中點，點N在AC''上，且|A'N|二3|NC"，試求MN的長.D'O'ND'O'NC'A'B'MDCyABx3117、(12分)如圖在空間直角坐標系中BC=2，原點。是BC的中點，點A的坐標是(，，0),22點D在平面yOz上，且NBDC=90°,NDCB=30°.(1)求向量OD的坐標；

(2)設向量AD和BC的夾角為e，求cos。的值圖18、(12分)若四面體對應棱的中點間的距離都相等，證明這個四面體的對棱兩兩垂直．19、(14分)如圖所示，直三棱柱ABC—A1B1cl中，CA=CB=1,/BCA=90°,棱AA1=2,M、N分別是A1B1、A1A的中點.(1)求BN的長；(2)求cos<BA,CB>的值11(3)求證：A1B±C1M.

20、(12分)四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是一個平行四邊形，AB={2,-1,-4},AD={4,2，0}，AP={－1，2，－1}.(1)求證：PA,底面ABCD;(2)求四棱錐P—ABCD的體積；(3)對于向量a={x—y-zj,b={x2,y2，z2},c={x3,y3,z3}，定義一種運算：(axb)c=xiy2z3+x2y3zi+x3ylz2-x1y3z2-x2ylz3-x3y2z1,試計算(ABxAD>AP的絕對值的值；說明其與四棱錐P—ABCD體積的關系，并由此猜想向量這一運算(ABxAD〉AP的絕對值的幾何意義.．以下是答案一、選擇題1、D；解析：建立一組基向量OA,OB,OC，再來處理OA?BC的值.2、B；解析：過點A的棱兩兩垂直，通過設棱長應用余弦定理可得三角形為銳角三角形.3、B;解析：顯然MN=ON—OM=1(OB+OC)—2OA23,4、C；解析：cos9=-ab-，計算結果為-1.IaI?IbI5、C；解析：向量的共線和平行使一樣的，可利用空間向量共線定理寫成數(shù)乘的形式.即b豐0,a//boa=Xb.6、B；解析：只需將A。'=AB+AD+AA'，運用向量的內即運算即可，|AC」=,AC2.7、A;解析：空間的四點P、A、B、C共面只需滿足OP=xOA+yOB+zOC,且x+y+z=1既可.只有選項A.11118、A;解析：BM=BB+BM=AA+_(BA+BC)=c+(-a+b)=--a+b+c評iii2222述：用向量的方法處理立體幾何問題，使復雜的線面空間關系代數(shù)化，本題考查的是基本的向量相等，與向量的加法.考查學生的空間想象能力.ABAC9、D；解析：應用向量的運算，顯然cos<AB,AC>=nsin<AB,AC>,從而得|aBiiaCi1S=IABIlACIsin<AB,AC>.210、C；二、填空題11、65;解析：cos<a,b>=ab=-2得sin<a,b>=可得結果.IaIIbI7712、1OA+1OB+1OC-633'解析：

OG=OM+MG=-OA+2MN=

2OG=2OA+2(ON—OM)=2OA+1[^2(OB+OC)—2OA]=-2OA+2(ON—OM)13、直角三角形；解析：利用兩點間距離公式得:|AB|2=|BC|2+|AC|2.14、—39；解析：cos<a,b〉=—a-^—=2k=--，得k=±39.|a|?|b|139+k22三、解答題15、(1)證明：設CB=a,CD=b,CC=c，則|a|=|b|,，「BD=CD—CB=b-a,「.BD-CC=(b-a>c=b-c-a-c=|b|*|c|cos60°-|a|*|c|cos60°=0,.?.CC±BD.1(2)解：連AC、BD,設ACnBD=O，連OC「則nC10c為二面角a—BD-0的平面角.TOC\o"1-5"\h\z…1「一、11,;CO=—(BC+CD)=(a+b)CO=CO—CC=—(a+b)-c22(112()-11.一.CO-CO=-(a+b)[—(a+b)-c]122(a2+2a?b+b2)=1(4+222cos60°+4)-123cos60°-121cos60°=aaa、a3a、a、<6|MN|=(——)2+(——)2+(——a)2=~7~a-\24242417、解：(1)過D作口￡，8。垂足為￡,在RfBDC中，由/BDC=90°/DCB=30°,BC=2,得BD=1,422222CO-CO,..cosCOC=11|CO|?|CO|1(3)解：設CD=x,CD=2,J則CC=2.CC1X1

???BD,平面AASC”.BD,A1c「?只須求滿足：AC-CD=0即可.11設AA=a,AD=b,DC=c,42-c2=——十—-6,

x2x?AC=a+b42-c2=——十—-6,

x2x?,AC,CD=(a+b+c)(a-c)=a2+a?-bc11242令6-——x2-=0,得x=1或x=-3(舍去).評述：本題蘊涵著轉化思想，即用向量這個工具來研究空間垂直關系的判定、二面角的求解以及待定值的探求等問題.16、解：以D為原點，建立如圖空間直角坐標系.因為正方體棱長為a,所以B(a,a,0),A'(a,0，a)，C'(0，a，a)，D'(0，0，a)．由于M為BD'的中點，取A'。中點。?，所以乂(a,a,a),O'(a,a尸).因為IA'N1=31NC'I,22222所以N為A'C'的四等分從而N為O'。的中點故、a,43—a,a).4根據(jù)空間兩點距離公式,可得3CD=3,「.DE=CDsin30°=32OE=OB-BE=OB-BDcos60°=1-112-2.1??.D點坐標為(0,-231

)，即向量OD[TX-]的坐標為{0,-222}.(2)依題意：OA={3,1,0},OB={。,-1,0}，OC={0,1。22，33所以AD=OD—OA={—,-1,},BC=OC—OB={0,2,0}22設向量AD和BC的夾角為e，則cose二A"BCIADI?IBCI3x0+(-1)x2+223乂0333)2+(—1)2+(.02+22+02-151018、證：如圖分別為r，(r+r)，(r+r)，21223212設SA=r,SB=r,SC=r123，貝QSE,SF,SG,SH,SM,SN111r,(r+r),r，由條件EH=GH=MN得：2321322r+r-r(231)22r+r-rr+r-r=(123)2=(132)222展開得r?r=r?r=r,r122313r—r中0,

32「.r.(r—r)-r—r中0,

32132T4r3—r2""A，BC-同理可證SB^AC,SCAB..[BN|=(1—0)2+(0—1)2+(1—0)2-3.(2)依題意得A1(1,0,2)B(0,1,01C(0,0,0)、B1(0,1,2)TOC\o"1-5"\h\z二BA={-1,-1,2},CB={0,1,2,},BACB=3,|BA|=6,|CB|=5111111BACB1??.cos<BACB>=ii=30.'iIBAI-ICBI1011iiii(3)證明：依題意,得C(0,0,2)、M(i,i,2),AB={-1,1,2},CM={i,i,0}.122ii22AB?CM=-1+1+o=o...AB±CM,aAB±CM.ii22,ii11評述：本題主要考查空間向量的概念及運算的基本知識.考查空間兩向量垂直的充要條件.20、(1)證明：:AP-AB=-2-2+4=0,.AP±AB.又「AP-AD=-4+4+0=0,.AP±AD.

???AB、AD是底面ABCD上的兩條相交直線，」.AP，底面ABCD.(2)解：設AB與AD的夾角為。，則cos0=ABcos0=AB?AD|AB|?|AD|8-24+1+16?16+43105V=11AB||AD|sin9|AP|=2105.1-9.1+4+1