河北省唐山市豐潤區(qū)老莊子中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文模擬試卷含解析

河北省唐山市豐潤區(qū)老莊子中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數(shù)（，且）的圖象恒過定點A，且點A在角的終邊上，則（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】令對數(shù)的真數(shù)等于1，求得x、y的值，可得定點A的坐標，再利用任意角的三角函數(shù)的定義求得，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正弦公式，求得的值．【詳解】對于函數(shù)且，令，求得，，可得函數(shù)的圖象恒過點，且點A在角的終邊上，，則，故選：C．2.如圖所示的程序框圖表示求算式“2×3×5×9×17”之值，則判斷框內(nèi)可以填入（）A．k≤10 B．k≤16 C．k≤22 D．k≤34參考答案：C【考點】程序框圖．【分析】由程序運行的過程看這是一個求幾個數(shù)的乘積的問題，驗算知2×3×5×9×17五個數(shù)的積故程序只需運行5次．運行5次后，k值變?yōu)?3，即可得答案．【解答】解：由題設(shè)條件可以看出，此程序是一個求幾個數(shù)的連乘積的問題，第一次乘入的數(shù)是2，由于程序框圖表示求算式“2×3×5×9×17”之值，以后所乘的數(shù)依次為3，5，9，17，2×3×5×9×17五個數(shù)的積故程序只需運行5次，運行5次后，k值變?yōu)?3，故判斷框中應(yīng)填k＜33，或者k≤22．故選C．【點評】本題考查識圖的能力，考查根據(jù)所給信息給循環(huán)結(jié)構(gòu)中判斷框填加條件以使程序運行的結(jié)果是題目中所給的結(jié)果．3.設(shè)隨機變量ξ服從正態(tài)分布，若=，則c的值是（

）A.4 B.3

C.2 D.1命題意圖:考查正態(tài)分布基礎(chǔ)知識，基礎(chǔ)題.參考答案：B4.若函數(shù)f(x)=x3+x2-2x-2的一個正數(shù)零點附近的函數(shù)值用二分法逐次計算，參考數(shù)據(jù)如下表：

f(1)=-2f(1.5)=0.625f(1.25)=-0.984f(1.375)=-0.260f(1.438)=0.165f(1.4065)=-0.052

那么方程x3+x2-2x-2=0的一個近似根（精確到0.1）為（

）

A、1.2

B、1.3

C、1.4

D、1.5參考答案：C略5.已知集合，，A∩B=（

）A. B. C.(0,1] D.[1,+∞)參考答案：B∵集合A={x|lnx≤0}={x|0＜x≤1}，B={x∈R|z=x+i，，i是虛數(shù)單位}={x|x≥或x}，∴A∩B={x|}=[]．故選：B．點睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含義，再看元素的限制條件，明確集合類型，是數(shù)集、點集還是其他的集合．2．求集合的交、并、補時，一般先化簡集合，再由交、并、補的定義求解．3．在進行集合的運算時要盡可能地借助Venn圖和數(shù)軸使抽象問題直觀化．一般地，集合元素離散時用Venn圖表示；集合元素連續(xù)時用數(shù)軸表示，用數(shù)軸表示時要注意端點值的取舍．6.已知集合為（

）A．（1，2）

B．

C．

D．

參考答案：A7.已知P是圓上異于坐標原點O的任意一點，OP的傾斜角為，，則函數(shù)的大致圖像是（）參考答案：D略8.函數(shù)的圖象可能是()

參考答案：A9.若恒成立，則整數(shù)k的最大值為A.1

B.2

C.3

D.4參考答案：C10.過點P（2，3）的直線l與圓x2+y2=25相交于A，B兩點，當弦AB最短時，直線l的方程式是(

) A．2x+3y﹣13=0 B．2x﹣3y+5=0 C．3x﹣2y=0 D．3x+2y﹣12=0參考答案：A考點：直線和圓的方程的應(yīng)用．專題：計算題；直線與圓．分析：由題意得，點P在圓的內(nèi)部，故當弦AB和點P與圓心的連線垂直時，弦AB最短，由垂直的條件求出弦的斜率，由點斜式求得弦AB所在的直線的方程，再化為一般式．解答： 解：因為點P（2，3）到圓心（0，0）的距離等于，小于半徑5，故此點在圓x2+y2=25的內(nèi)部，故當弦AB和點P與圓心（0，0）的連線垂直時，弦AB最短．弦AB的斜率為=﹣，由點斜式求得弦AB所在的直線的方程為y﹣3=﹣（x﹣2），即2x+3y﹣13=0，故選A．點評：本題考查點與圓的位置關(guān)系的判斷，以及用點斜式求直線的方程．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知菱形ABCD的邊長為2，∠ABC=60°，則?=．參考答案：6【考點】平面向量數(shù)量積的運算．【分析】根據(jù)菱形中的邊角關(guān)系，利用余弦定理和數(shù)量積公式，即可求出結(jié)果．【解答】解：如圖所示，菱形ABCD的邊長為2，∠ABC=60°，∴∠C=120°，∴BD2=22+22﹣2×2×2×cos120°=12，∴BD=2，且∠BDC=30°，∴?=||×||×cos30°=2×2×=6．故答案為：6．【點評】本題考查了平面向量的數(shù)量積和余弦定理的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．12.某食品的保鮮時間t（單位：小時）與儲藏溫度x（恒溫，單位：℃）滿足函數(shù)關(guān)系且該食品在4℃的保鮮時間是16小時．①該食品在8℃的保鮮時間是小時；②已知甲在某日上午10時購買了該食品，并將其遺放在室外，且此日的室外溫度隨時間變化如圖所示，那么到了此日13時，甲所購買的食品是否過了保鮮時間．（填“是”或“否”）參考答案：4,是.【考點】函數(shù)的圖象與圖象變化．【專題】函數(shù)思想；數(shù)形結(jié)合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】①根據(jù)4℃的保鮮時間是16小時求出k，將x=8代入函數(shù)解析式求出．②計算溫度為12℃的保鮮時間，可發(fā)現(xiàn)【解答】解：①∵食品在4℃的保鮮時間是16小時，∴24k+6=16，解得k=﹣．∴t（8）=2﹣4+6=4；②由圖象可知在12時，溫度為12℃，此時該食品的保鮮期為20=1小時．∴到13時，該食品已過保質(zhì)期．故答案為4，是．【點評】本題考查了函數(shù)圖象的意義與圖象變化，是基礎(chǔ)題．13.若實數(shù)、滿足且的最小值為，則實數(shù)的值為_____參考答案：14.設(shè)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常數(shù)，A>0，ω>0)．若f(x)在區(qū)間上具有單調(diào)性，且則f(x)的最小正周期為________．

1參考答案：π

略15.給出下列命題：（1）“數(shù)列為等比數(shù)列”是“數(shù)列為等比數(shù)列”的充分不必要條件；（2）“a=2”是“函數(shù)f(x)=在區(qū)間為增函數(shù)”的充要條件；（3）“m=3”是“直線(m+3)x+my-2=0與直線mx-6y+5=0相互垂直”的充要條件；（4）設(shè)a,b,c分別是ABC三個內(nèi)角A,B,C所對的邊，若a=1.b=,則“A=30°”是“B=60°”的必要不充分條件。其中真命題的序號是______________(寫出所有真命題的序號)參考答案：（1）（4）略16.函數(shù)y＝log3(x2－2x)的單調(diào)減區(qū)間是________．參考答案：(－∞，0)17.右表給出一個“三角形數(shù)陣”.已知每一列數(shù)成等差數(shù)列，從第三行起，每一行數(shù)成等比數(shù)列，而且每一行的公比都相等，記第行第列的數(shù)為（），則等于

，．

參考答案：

由題意可知第一列首項為，公差，第二列的首項為，公差，所以，，所以第5行的公比為，所以。由題意知，，所以第行的公比為，所以三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分7分）已知函數(shù)，其中為常數(shù)．（1）求函數(shù)的周期；（2）如果的最小值為，求的值，并求此時的最大值及圖像的對稱軸方程.參考答案：（1）．.（2）的最小值為，所以

故所以函數(shù)的最大值等于4，即時函數(shù)有最大值或最小值，故函數(shù)的圖象的對稱軸方程為.19.（13分）（2015?河南二模）設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=ex﹣2x+2a，x∈R．（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間及極值；（2）求證：當a＞ln2﹣1且x＞0時，ex＞x2﹣2ax+1．參考答案：考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．專題：計算題；壓軸題．分析：（1）由f（x）=ex﹣2x+2a，x∈R，知f′（x）=ex﹣2，x∈R．令f′（x）=0，得x=ln2．列表討論能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間區(qū)間及極值．（2）設(shè)g（x）=ex﹣x2+2ax﹣1，x∈R，于是g′（x）=ex﹣2x+2a，x∈R．由（1）知當a＞ln2﹣1時，g′（x）最小值為g′（ln2）=2（1﹣ln2+a）＞0．于是對任意x∈R，都有g(shù)′（x）＞0，所以g（x）在R內(nèi)單調(diào)遞增．由此能夠證明ex＞x2﹣2ax+1．解答：（1）解：∵f（x）=ex﹣2x+2a，x∈R，∴f′（x）=ex﹣2，x∈R．令f′（x）=0，得x=ln2．于是當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：x（﹣∞，ln2）ln2（ln2，+∞）f′（x）﹣0+f（x）單調(diào)遞減2（1﹣ln2+a）單調(diào)遞增故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（﹣∞，ln2），單調(diào)遞增區(qū)間是（ln2，+∞），f（x）在x=ln2處取得極小值，極小值為f（ln2）=eln2﹣2ln2+2a=2（1﹣ln2+a），無極大值．（2）證明：設(shè)g（x）=ex﹣x2+2ax﹣1，x∈R，于是g′（x）=ex﹣2x+2a，x∈R．由（1）知當a＞ln2﹣1時，g′（x）最小值為g′（ln2）=2（1﹣ln2+a）＞0．于是對任意x∈R，都有g(shù)′（x）＞0，所以g（x）在R內(nèi)單調(diào)遞增．于是當a＞ln2﹣1時，對任意x∈（0，+∞），都有g(shù)（x）＞g（0）．而g（0）=0，從而對任意x∈（0，+∞），g（x）＞0．即ex﹣x2+2ax﹣1＞0，故ex＞x2﹣2ax+1．點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值的求法和不等式的證明，具體涉及到導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)增減區(qū)間的判斷、極值的計算和不等式性質(zhì)的應(yīng)用．解題時要認真審題，仔細解答．20.已知：函數(shù)

，在區(qū)間上有最大值4，最小值1，設(shè)函數(shù)．

（1）求、的值及函數(shù)的解析式；（2）若不等式在時恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）如果關(guān)于的方程有三個相異的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍．參考答案：解：（1），由題意得：

得

或

得（舍），

，…………4分（2）不等式，即，設(shè)，，，…………6分（3），即．令，則

記方程的根為、，當時，原方程有三個相異實根，記，由題可知，或．…………4分時滿足題設(shè)．…………2分21.從1,2,3,…2050這2050個數(shù)中任取2018個數(shù)組成集合A，把A中的每個數(shù)染上紅色或藍色，求證：總存在一種染色方法，是使得有600個紅數(shù)及600個藍數(shù)滿足下列兩個條件：①這600個紅數(shù)的和等于這600個藍數(shù)的和；②這600個紅數(shù)的平方和等于這600個藍數(shù)的平方和.參考答案：證明一：注意到，且，則，且.把中的，型數(shù)染成紅色，，型數(shù)染成藍色.因為，所以.構(gòu)造個抽屜，第個抽屜放置形如“，，”的數(shù)，.第個抽屜放置中大于的數(shù)(最多2個數(shù)).個數(shù)中任取個數(shù)按要求放入抽屜，至少填滿個抽屈(放入了個數(shù))，個填滿數(shù)的抽屜每個抽屜都是個紅數(shù)和個藍數(shù)，其和相等且平方和相等.取個抽屜中的個，，共個紅數(shù)與個藍數(shù)，也有和相等，且平方和相等.即存在個紅數(shù)與個藍數(shù)，這個紅數(shù)與個藍數(shù)的和相等，且平方和相等.證明二：注意到，且.則，且.把中的，型數(shù)染成紅色，型數(shù)染成藍色.因為，所以.構(gòu)造個抽屜，時，抽屜放置集合中不超過6的數(shù)，其余的第個抽屜放置形如，型數(shù)，.2050個數(shù)中任取2018個數(shù)按要求放入抽展，至少填滿260個抽屜(放入了7個數(shù))，260個填滿數(shù)的抽屜中每個抽屜都是4個紅數(shù)和3個藍數(shù)。取型3個紅數(shù)和3個藍數(shù)，其和相等且平方和相等.取260個抽屜中的200個，，共600個紅數(shù)與600個藍數(shù)，也有和相等，且平方和相等.即存在600個紅數(shù)與600個藍數(shù)，這600個紅數(shù)與600個藍數(shù)的和相等，且平方和相等.22.（12分）如圖，四邊形為正方形，平面，于點交于點(1)證明：平面；(2)求二面角的余弦值。參考答案：【知識點】直線與平面垂直：二面角.G5,G11【答案解析】(1)略(2)解析：解：（1）證明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD，又CD⊥AD，PD∩CD=D，∴AD⊥平面PCD，∴AD⊥PC，又AF⊥PC，∴PC⊥平面ADF，即CF⊥平面ADF；

（2）設(shè)AB=1，