北京市某附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年上學(xué)期九年級開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2022-2023學(xué)年北京市人大附中九年級（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷

（附答案與解析）

一、選擇題（本題共24分，每小題3分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一

個.

1.（3分）把一次函數(shù)的圖像y=3x+l向上平移4個單位長度，得到圖象表達式是（）

A.y=3x+5B.y=3九+4C.y=3x-4D.y=3x-5

2.（3分）如圖，矩形ABC。中，對角線AC,BD交于點O,如果NAOB=35°,那么NAO3

D.110°

3.（3分）二次函數(shù)、=G-1）2+2的最小值是（）

A.-2B.-1C.1D.2

4.（3分）一元二次方程W-6x-5=0配方后可變形為（）

A.（x+3）2=4B.（尤-3）2=4C.（x+3）2=14D.(%-3)2=14

5.（3分）已知A（-2,yi）,B（-1,*）,C（1,”）三點都在二次函數(shù)y=2（x+l）2

的圖象上，則yi,>2,k的大小關(guān)系為（）

A.y]<y2<y3B.y\<y3<y2C.y2<y\<y3D.y3<y\<y2

6.（3分）如圖，正方形ABC。的面積為8,菱形AEC尸的面積為4,則所的長是（）

A.4B.75C.2D.1

7.（3分）小兵在暑假調(diào)查了某工廠得知，該工廠2020年全年某產(chǎn)品的產(chǎn)量為234萬噸，

經(jīng)該廠的技術(shù)人員預(yù)計2022年全年該產(chǎn)品的產(chǎn)量為345萬噸，設(shè)2020年至2022年該產(chǎn)

品的預(yù)計年平均增長率為x,根據(jù)題意列出方程得（）

A.234(1+x)2=345B.234(1-2x)=345

C.234(l+2x)=345D.234(1-x)2=345

8.(3分)如圖，點E為正方形ABC。外一點，且M=C￡>,連接4E,交BD于點F.若

A.71°B.72°C.81°D.82°

二、填空題（本題共18分，每小題2分）

9.（2分）正比例函數(shù)經(jīng)過點（1,3）,則％=.

10.（2分）在平行四邊形ABCD中，/A=80°,則.

11.（2分）寫出一個對稱軸為），軸，且過（0,-2）的二次函數(shù)的解析式.

12.（2分）如圖，在平行四邊形ABCD中，BC=S,CD=5,BE平分NA8C交于點E,

則DE的長為.

13.（2分）一次函數(shù)y=x+2與x軸交于點A,與y軸交于點B,則△AOB的面積是.

14.（2分）若關(guān)于x的一元二次方程/-2x+Z=0有兩個不相等的實數(shù)根，則Z的取值范圍

是.

15.（2分）如圖，正方形ABC。在第一象限內(nèi)，點A、B坐標(biāo)分別為（1,1）,（3,1）,若

直線y=2x+b把正方形A8CO分成面積相等的兩部分，則〃的值是.

16.（2分）如圖，線段4。為AABC的中線，點P為線段AB上的動點（不與點A,8重合）,

PE_L4￡>于點E,PELB。于點尸，若AB=AC=5,BC=8,則EF的最小值為.

17.（2分）已知二次函數(shù)〉=??+云+。的圖象與x軸交于A（-2,0）和BOn,0）,其中

2<m<4,與y軸交于正半軸上一點.下列結(jié)論：①a〈0；②念〉―；③若點C（-

a

1,山），D（2,”），E（4,”）均在二次函數(shù)圖像上，則@c+8a<0.其

中一定正確的結(jié)論的序號是.

三、解答題（本題共58分，第18-19題，每小題4分，第20-25題，每小題4分，第26題

6分，第27-28題，每小題4分）

18.（4分）計算：V4+IV2-3I+718.

19.（4分）解方程：?+4x-2=0.

20.（5分）如圖，在AABC中，AB=AC,點。，￡分別是A8,AC的中點，延長BC至點

尸，使CF^BO連接。&CD、EF.求證：四邊形QCFE是平行四邊形.

21.（5分）已知點A（a,2）為二次函數(shù)-2x-4圖像上的點，求代數(shù)式3a（a-2）

+(a-1)2的值.

22.(5分)在平面直角坐標(biāo)系xO)，中，二次函數(shù)y=x2+fcc+c的對稱軸為x=l,且它經(jīng)過點

4(3,0),求該二次函數(shù)的解析式和頂點坐標(biāo).

23.(5分)已知關(guān)于x的一元二次方程小+(k-2)x-2=0�).

(1)求證：不論/為何值，這個方程都有兩個實數(shù)根；

(2)若此方程的兩根均整數(shù)，求整數(shù)k的值.

24.(5分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A(a,4)在直線/i：y=2x過點A的

直線/2與x軸交于點B(-6,0).與y軸交于點C.

(1)求直線/2的解析式；

(2)已知點P的坐標(biāo)為(0,〃)，過點P的作y軸的垂線與/I,/2分別交于點。、E(點

25.(5分)如圖，Z\ABC中，AB=BC,過A點作BC的平行線與NA8C的平分線交于點。,

連接CD.

(1)求證：四邊形ABC。是菱形；

(2)過點。作AC的平行線交直線8c于點E,連接/)E,CE,點P是線段8。上的動

點，若AD=5,AC=275,請直接寫出PC+PE的最小值.

26.(6分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線產(chǎn)--2辦+3(aWO)與y軸交于點A.

(1)求點A的坐標(biāo)以及拋物線的對稱軸；

(2)拋物線與直線y=2交于點8(xi,ji),C(%2,”)，其中xi〈x2.

①當(dāng)BC=4時，求拋物線的表達式：

②當(dāng)3XI+5X2W12時，請直接寫出“的取值范圍.

27.(7分)如圖1,點E為正方形48C。邊4B上的一點，連接EC,點尸是線段EC上的

一個動點(不與點E,C重合)，直線交直線BC于點G.

(1)如圖1,當(dāng)。GJ_EC時，用等式表示BE,GC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明;

(2)如圖2,當(dāng)CF=CZ)時，

①補全圖形;

②用等式表示BE,EC,CG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

28.(7分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點用(。，b),對于點P給出如下定義：將點P

向右(a20)或向左(a<0)平移⑷個單位長度，再向上(Z?>0)或向下(/?<0)平移步|

個單位長度，得到點P',點P'與點M的中點為。，稱點。為點尸的關(guān)于點M的“平

移中點”.

已知h),P(c,d),點。為點P的關(guān)于點例的“平移中點”.

(1)①若M(1,3),P(2,4),則點。的坐標(biāo)為；

②若C=2,點。的橫坐標(biāo)為機，則TH的值為(用含4的代數(shù)式表示).

(2)已知M(l,1),點尸在直線/：y=2x上.

①當(dāng)點。在y軸上時，點P的坐標(biāo)為；

②當(dāng)點。在第一象限時，c的取值范圍是.

(3)已知正方形ABC。的邊長為2,各邊與x軸平行或者垂直，其中心為(4,4),點P

(c,d)為正方形A8CZ)上的動點.

①當(dāng)“=6=0時，在點P運動過程中，點。形成的圖形的面積是；

②當(dāng)點M(a,b)在直線/：y=2x上，在點尸運動過程中，若存在點。在正方形ABCE)

的邊上或者內(nèi)部，則“的取值范圍是.

2022-2023學(xué)年北京市人大附中九年級（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本題共24分，每小題3分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一

個.

I.（3分）把一次函數(shù)的圖像y=3x+l向上平移4個單位長度，得到圖象表達式是（）

A.y=3x+5B.y=3x+4C.y=3x-4D.y=3x-5

【分析】根據(jù)一次函數(shù)”上加下減“的性質(zhì)分析即可.

【解答】解：根據(jù)題意得，一次函數(shù)的圖象平移后的解析式為：

y=3x+l+4,

即y=3x+5.

故選：A.

【點評】本題考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換，熟練掌握一次函數(shù)”上加下減“的性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

2.（3分）如圖，矩形ABC。中，對角線AC,8。交于點O,如果乙4。8=35°,那么/AOB

的度數(shù)為（）

A.35°B.45°C.70°D.110°

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)證得OA=。。，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可解決問題.

【解答】解：???四邊形ABCC是矩形，

:.OA=1AC,OD=LBD,AC=BD,

22

：.OA=OD,

VZADB=35°,

：.ZOAD=ZODA=35°,

AZAOB=ZOAD+ZODA=1G°.

故選：C,

【點評】本題考查矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運

用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型.

3.(3分)二次函數(shù)>=(x-1)2+2的最小值是()

A.-2B.-1C.1D.2

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解.

【解答】解：y=(x-1)~+2,

.?.當(dāng)x=l時，函數(shù)有最小值2.

故選：D.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的最值：當(dāng)。>0時，拋物線在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大

而減少；在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，因為圖象有最低點，所以函數(shù)有最小值，

當(dāng)》=一互，函數(shù)最小值y=4ac-b；當(dāng)。<()時，拋物線在對稱軸左側(cè)，y隨x的增

2a4a

大而增大；在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而減少，因為圖象有最高點，所以函數(shù)有最大值，

2

當(dāng)x=--,函數(shù)最大值y=4ac-b.

2a4a

4.(3分)一元二次方程*-6x-5=0配方后可變形為()

A.(JC+3)2=4B.(x-3)2=4C.(x+3)2=14D.(x-3)2=14

【分析】先移項，再根據(jù)完全平方公式配方，即可得出選項.

【解答】解：~6x~5—0,

X2-6x=5,

x2-6x+9=5+9,

(x-3)2=14,

故選：D.

【點評】本題考查了用配方法解一元二次方程，能夠正確配方是解此題的關(guān)鍵.

5.(3分)已知A(-2,yi),B(-l,”)，C(1,”)三點都在二次函數(shù)y=2(x+1)2

的圖象上，則yi,*,*的大小關(guān)系為()

A.yi<y2<y3B.yi<y?<y2C.y2<yi<y3D.y3<yi<y2

【分析】由拋物線解析式可得拋物線開口方向及對稱軸，根據(jù)A,B,C三點到對稱軸的

距離大小關(guān)系求解.

【解答】解：；y=2(x+l)2,

二拋物線開口向上，對稱軸為直線x=-1,

-1-(-1)<-1-(-2)<1-(-1),

."._y2<yi<y3，

故選：C.

【點評】本題考查二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程及不

等式的關(guān)系.

6.（3分）如圖，正方形A8C。的面積為8,菱形AECF的面積為4,貝的長是（）

A.4B.V5C.2D.1

【分析】連接AC,根據(jù)正方形ABC。的面積為8,求得AC=4,根據(jù)菱形的面積，即可

得到結(jié)論.

【解答】解：連接AC,

:正方形ABCD的面積為8,

：.AC=4,

?.?菱形AECF的面積為4,

.?.EF=-2X1^=2,

4

故選：C.

【點評】此題考查正方形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)正方形和菱形的面積進行解答.

7.（3分）小兵在暑假調(diào)查了某工廠得知，該工廠2020年全年某產(chǎn)品的產(chǎn)量為234萬噸，

經(jīng)該廠的技術(shù)人員預(yù)計2022年全年該產(chǎn)品的產(chǎn)量為345萬噸，設(shè)2020年至2022年該產(chǎn)

品的預(yù)計年平均增長率為x,根據(jù)題意列出方程得（）

A.234(1+x)2=345B.234(1-2x)=345

C.234(l+2x)=345D.234(1-x)2=345

【分析】根據(jù)該工廠2020年全年某產(chǎn)品的產(chǎn)量為234萬噸，經(jīng)該廠的技術(shù)人員預(yù)計2022

年全年該產(chǎn)品的產(chǎn)量為345萬噸，列方程即可.

【解答】解：根據(jù)題意,得234(1+x)2=345,

故選：A.

【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，理解題意并根據(jù)題意建立等量關(guān)系是解題的

關(guān)鍵.

8.(3分)如圖，點E為正方形48CD外一點，且ED=CC,連接AE,交BD于點、F.若

A.71°B.72°C.81°D.82°

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD=CD,ZADC=90°,ZADB=ZCDB=45°,再

根據(jù)已知條件可知AD=ED,可得/ZME,再證明/絲△C￡>F(SAS),根據(jù)全等三

角形的性質(zhì)即可求出NDCF,進而解答即可.

【解答】解：在正方形A8C。中，AD=CD,NADC=90°,NADB=NCDB=45°,

VZC￡>￡=38°,

；.NADE=90°+40°=128°,

?：ED=CD,

：.AD=ED,

：.ZDAE=(180°-128°)+2=26°,

在△A。尸和△8尸中，

'AD=CD

<ZADB=ZCDB)

DF=DF

A^ADF^/XCDF(SAS),

:.NDCF=NDAF=26°,

AZBCF=90°-26°=64°,

AZBFC=180°-45°-64°=71°,

故選：A.

【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，涉及全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和，

等腰三角形的性質(zhì)等，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（本題共18分，每小題2分）

9.（2分）正比例函數(shù)〉=依經(jīng)過點（1,3）,則k=3.

【分析】把點的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，求解即可得到k的值.

【解答】解：???正比例函數(shù)丫=區(qū)經(jīng)過點（1,3）,

"=3.

故答案為：3.

【點評】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，將點的坐標(biāo)代入解析式，利用方程求解

即可.

10.（2分）在平行四邊形ABCD中，/A=80°,則100°.

【分析】在平行四邊形ABC。中，因為/A和N8是一組相鄰的內(nèi)角，由平行四邊形的

性質(zhì)可知，NA+/B=180°,代值求解.

【解答】解：???四邊形ABCD是平行四邊形，

J.BC//AD,

：.ZA+ZB=180°,

.?.NB=180°-/A

=180°-80°=100°.

故答案為100°.

【點評】本題利用了平行四邊形中鄰角互補的性質(zhì).運用平行四邊形的性質(zhì)可解決以下

問題，如求角的度數(shù)、線段的長度，證明角相等或互補，證明線段相等或倍分等.

11.（2分）寫出一個對稱軸為），軸，且過（0,-2）的二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=/-2.

【分析】二次函數(shù)的解析式是y=o?+公+c（。、b、c為常數(shù)，。￥0）,根據(jù)對稱軸為y

軸得。=0,根據(jù)與y軸的交點坐標(biāo)為（0,-2）得出c=-2,寫出一個符合的二次函數(shù)

即可.

【解答】解：答案不唯一，如：y=7-2,

故答案為：y—x2-2.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，能熟記二次函數(shù)的性質(zhì)內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵.

12.（2分）如圖，在平行四邊形ABCQ中，BC=8,CD=5,BE平分NABC交于點E,

則DE的長為3

【分析】根據(jù)四邊形ABC。為平行四邊形可得AE〃BC,根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線

的性質(zhì)可得出NA8E=NAE8,繼而可得48=AE,然后根據(jù)已知可求得。E的長度.

【解答】解：???四邊形48C。為平行四邊形，

J.AE//BC,AD=BC,

：.NAEB=NEBC,

：BE平分/ABC,

NABE=NEBC,

：.NABE=ZAEB,

：.AB=AE,

,:BC=8,CD=5,

：.DE=AD-AE^8-5=3.

故答案為：3.

【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，解答本題

的關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)得出/A8E=NAEB.

13.（2分）一次函數(shù)y=x+2與x軸交于點4,與y軸交于點8,則△AOB的面積是2.

【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)特征解決此題.

【解答】解：如圖.

當(dāng)x=0,貝|y=0+2=2,此時B(0,2).

當(dāng)y=0,則x=-2,此時A(-2,0).

：.OA=2,OB=2.

.11

??S/kAOB可A?0BJX2X2=2.

故答案為：2.

【點評】本題主要考查一次函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)特征，熟練掌握一次函數(shù)圖象上的點

的坐標(biāo)特征是解決本題的關(guān)鍵.

14.(2分)若關(guān)于x的一元二次方程/-2x+k=0有兩個不相等的實數(shù)根，則Z的取值范圍

是k<1.

【分析】根據(jù)根的判別式的意義得到(-2)2-4k>0,然后解不等式即可.

【解答】解：根據(jù)題意得△=(-2)2-4X00,

解得上<1.

故答案為：k<.1.

【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程/+以+0=0(a#0)的根與A^b2-4ac

有如下關(guān)系，當(dāng)4>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)A=0時，方程有兩個相等的

實數(shù)根；當(dāng)△<()時，方程無實數(shù)根.上面的結(jié)論反過來也成立.

15.(2分)如圖，正方形A8CQ在第一象限內(nèi)，點A、B坐標(biāo)分別為(1,1),(3,1),若

直線y^2x+b把正方形ABCD分成面積相等的兩部分，則b的值是-2.

y

【分析】連接AC,BD交于點K.求出點K的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出匕的值.

【解答】解：連接AC,BD交于點、K.

：.AB=2f

???四邊形ABCQ是正方形，

：.C（3,3）,

?；AK=KC,

：.K（2,2）,

當(dāng)直線y=2x+b經(jīng)過點K時，

2=4+/?,

：.b=-2,

故答案為：-2.

【點評】本題考查中心對稱，一次函數(shù)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是求

出點K的坐標(biāo)，屬于中考?？碱}型.

16.（2分）如圖，線段AD為△ABC的中線，點P為線段AB上的動點（不與點A,8重合）,

PE_LAO于點E,PF_LBZ）于點F,若AB=AC=5,8c=8,則EF的最小值為.

—5-

【分析】如圖，連接EF.PD.證明四邊形DEPF是矩形，推出EF=DP,當(dāng)DPLAB

時，EF的值最小.

【解答】解：如圖，連接EF.PD.

：AB=AC=5,BC=8,AO是中線，

：.ADLBC,CD=BD=4,

A。=VAB2-BD2=V52-42=3'

"：PE±AD于點E,PFYBD于點F,

：.NPED=NPFD=ZEDF=90°,

...四邊形OEPF是矩形，

：.EF=PD,

?..當(dāng)￡>P，AB時，OP的值最小，即EF的值最小，

此時工?48?。/>=工，4。?08,

22

：.DP=H,

5

」.EF使得最小值為9.

5

【點評】本題考查軸對稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，垂線段最短

等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?？碱}型.

17.(2分)已知二次函數(shù)y=〃/+力x+c的圖象與x軸交于A(-2,0)和8(旭，0),其中

,2

2Vm<4,與y軸交于正半軸上一點.下列結(jié)論：①4V0；②4c〉也一；③若點C(-

a

1,yi),D(2,*),E(4,73)均在二次函數(shù)圖像上，則④c+84Vo.其

中一定正確的結(jié)論的序號是①②④.

【分析】根據(jù)與坐標(biāo)軸的交點判斷出①。<0,根據(jù)圖象與X軸交于兩點判斷②，根據(jù)對

稱軸和開口方向即可判斷③，根據(jù)圖象過點.

【解答】解：???拋物線與x軸的交點為（-2,0）和（機，0）,與y軸交于正半軸，

.'.a<0,故①正確；

???圖象與x軸交于兩點，

A=廿_4?c>0,

Va<0,

.2

A4c>—'故②正確；

a

?.,圖象與x軸交于A（-2,0）和8（m,0）,其中2<機<4,

.\0<-且<1,

2a

Ayl與"的大小不能判斷，故③錯誤；

:拋物線與x軸的交點有一個為（-2,0）,

/.4a-20+c=0,

.?.4/;=8〃+2c,

??,當(dāng)尢=4時,yVO,

???\4a+4b+c<0,

，14。+8〃+2。+。<0,

.\c+Sa<0,故④正確，

綜上所述，正確的結(jié)論有①②④.

故答案為：①②④.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)圖象與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)判斷

出a是負數(shù)是解題的關(guān)鍵，結(jié)論④的判斷有點難度，先根據(jù)與x軸的交點坐標(biāo)求出4b=

8a+2c是關(guān)鍵.

三、解答題（本題共58分，第18-19題，每小題4分，第20-25題，每小題4分，第26題

6分，第27-28題，每小題4分）

18.（4分）計算：V4+IV2-3I+718.

【分析】先化簡絕對值和二次根式，再加減.

【解答】解：74+172-3I+V18

=2+3-V2+3A/2

=5+2&.

【點評】本題考查了二次根式的加減，掌握二次根式的加減法法則是解決本題的關(guān)鍵.

19.（4分）解方程：?+4x-2=0.

【分析】先移項，得，+4x=2,再在兩邊同時加上22,再利用平方法即可解出原方程.

【解答】解：移項，得7+4x=2,

兩邊同加上22,得X2+4X+22=2+22,

即（x+2）2=6,

利用開平方法，得x+2=或x+2=-J^，

...原方程的根是X[=-2+&，乂2=-2-后

【點評】本題主要考查了配方法解一元二次方程，解題時要注意解題步驟的準(zhǔn)確應(yīng)用，

難度適中.

20.（5分）如圖，在△4BC中，AB=AC,點。，E分別是A8,AC的中點，延長BC至點

F,使CF=/BC，連接。E、CD、EF.求證：四邊形QCFE是平行四邊形.

【分析】證明。E是△ABC的中位線，得DE〃BC,DE=』BC,再證明￡>E=CF,即可

2

得出結(jié)論.

【解答】證明：：點。，E分別為A8,AC的中點，

是△A8C的中位線，

：.DE//BC,DE=XBC,

2

；CF=Uc,

2

：.DE=CF,

又,：DE〃CF,

二四邊形OCFE是平行四邊形.

【點評】本題考查了平行四邊形的判定以及三角形中位線定理，熟練掌握平行四邊形的

判定是解題的關(guān)鍵.

21.(5分)已知點A(a,2)為二次函數(shù)y=f-2x-4圖像上的點，求代數(shù)式3a(?-2)

+(a-1)2的值.

【分析】將點A坐標(biāo)代入解析式，化簡代數(shù)式3a(a-2)+(。-1)2通過整體思想求解.

【解答】解：將(a，2)代入)，=/-2廠4得2=。2-2。-4,

整理得a2-2a=6,

3a(a-2)+(<z-1)2

=3/-6a+〃2-2a+l

—4a2-8a+l

—4(tz2-2a)+1

=4X6+1

=25.

【點評】本題考查二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程的關(guān)

系，通過整體思想求解.

22.(5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=/+6x+c的對稱軸為x=l,且它經(jīng)過點

A(3,0),求該二次函數(shù)的解析式和頂點坐標(biāo).

【分析】根據(jù)拋物線對稱軸為x=l,經(jīng)過點A(3,0),列方程組即可解得兒c的值，

從而得到答案.

【解答】解：???二次函數(shù)y=7+6x+c的對稱軸為x=l,且它經(jīng)過點A(3,0),

'b

T-1,

9+3b+c=0

解得尸2,

1c=_3

二次函數(shù)的解析式為3,

"?'y—x1-lx-3=(x-1)2-4,

拋物線頂點坐標(biāo)為(1,-4).

【點評】本題考查二次函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法.

23.(5分)已知關(guān)于x的一元二次方程近2+(k-2)x-2=0(&W0).

(1)求證：不論々為何值，這個方程都有兩個實數(shù)根；

(2)若此方程的兩根均整數(shù)，求整數(shù)k的值.

【分析】(1)先計算判別式的值得到4=(&-2)2-以義(-2)=(Z+2)2,然后根據(jù)

非負數(shù)的性質(zhì)得到△20,則根據(jù)判別式的意義即可得到結(jié)論；

(2)先利用因式分解法求得依2+(k-2)x-2=0(4#0)的解為xi=2,m=-l,然

k

后根據(jù)整數(shù)的整除性可確定整數(shù)k的值.

【解答】(1)證明：△=(A-2)2-4AX(-2)

=(k+2)2,

(h1)220,

A20,

二不論上為何值，這個方程都有兩個實數(shù)根；

(2)解：扇+(k-2)%-2=0(A#0),

(fcc-2)(x+1)=0,

解得x\——,X2=-1,

k

因為該方程的兩根均整數(shù)，

所以2為整數(shù)，

k

所以整數(shù)上為土1或±2.

【點評】本題考查了一元二次方程ax^+bx+c—O(aWO)的根的判別式△=/-4“c：當(dāng)

△>0,方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△=(),方程有兩個相等的實數(shù)根：當(dāng)△<(),方

程沒有實數(shù)根.也考查了一元二次方程的定義.

24.(5分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，點A(a,4)在直線止y=2x上，過點A的

直線/2與x軸交于點5(-6,0).與y軸交于點C.

(1)求直線/2的解析式；

(2)已知點尸的坐標(biāo)為(0,”)，過點P的作y軸的垂線與/1,/2分別交于點D、E(點

。和點E不重合)，當(dāng)力E=OC時，則〃的值是2或6.

【分析】(1)先求出點A坐標(biāo)，然后待定系數(shù)法求解析式即可：

(2)根據(jù)點尸坐標(biāo)，表示出點。和點E坐標(biāo)，再根據(jù)力E=OC列方程|2〃-6-匚|=3,

2

求解即可.

【解答】解：(1)將點A(a,4)代入直線4：y=2x,

得2a=4,

解得a=2,

...點4(2,4),

設(shè)直線/2的解析式為y=fcv+6(30),

將點A(2,4),8(-6,0)代入y=fcc+6,

得儼+b=4,

I-6k+b=0

解得｛K2,

b=3

直線/2解析式為y=/x+3；

(2)當(dāng)x=0時，y=-A-x+3=3,

.?.點C坐標(biāo)為(0,3),

：.OC=3,

?.?點P的坐標(biāo)為(0,〃)，

根據(jù)題意，點。和點E的縱坐標(biāo)都為，7,

將。點縱坐標(biāo)代入直線小y=M,

得2x=〃，解得x=H,

2

...點。坐標(biāo)為(且，〃)，

2

將E點縱坐標(biāo)代入直線/2：y=/x+3，

^yx+3=n,

解得x=2n-6,

.?.點E坐標(biāo)為(2/1-6,〃)，

：.DE^\2n-6-

2

'：DE=OC,

.?.|2"-6-馬=3,

2

解得n—2或〃=6,

故答案為：2或6.

【點評】本題考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及一次函數(shù)的交點問題，待定系數(shù)法求解

析式等，求〃的值時注意分情況討論是關(guān)鍵.

25.(5分)如圖，△4BC中，AB=BC,過4點作BC的平行線與NABC的平分線交于點￡),

連接CD.

(1)求證：四邊形ABCC是菱形；

(2)過點。作AC的平行線交直線BC于點E,連接DE,CE,點P是線段8。上的動

點，若AD=5,AC=2遙，請直接寫出PC+PE的最小值.

【分析】(1)兩條全等三角形的性質(zhì)證明AO=BC,推出四邊形A8CO是平行四邊形，

可得結(jié)論；

(2)延長BA交E。的延長線于點T,連接C7,PT,過點T作7H_LBE于點H,利用面

積法求出TH,再利用勾股定理求出CT,由PC+PE=PT+PC^CT,可得結(jié)論.

【解答】(1)證明：；BA=8C,20平分/ABC,

；.A0=0C,

■:AD//CB,

：.ZOAD=ZOCB,

在△AO。和△COB中，

'NDA0=NBC0

<AO=CO，

ZAOD=ZCOB

/.AAOD^ACOB(ASA),

：.AD=BC,

\'AD//CB,

：.四邊形ABCD是平行四邊形，

'：AB=BC,

四邊形ABC。是菱形；

(2)解：延長BA交的延長線于點T,連接CT,PT,過點T作加，BE于點

?.?四邊形ABCO是菱形，

J.ACLBD,OA=OC=匹,

OD=OB=VAD2-A02=V52-(V5)2=2娓

'JAC//ET,BO=OD,

'：.BA=AT,BC=CT,

：.BE=BT=IO,DT=DE=2娓,

:.TE=4辰,

'：THLBE,

：.S^BET=-lxBEXTH^lxETXBD,

22

?TH—4^5X一g

"―icT

￡//=VET2-TH2=V(475)2-82=4,

；.CH=CE-EH=1,

CT=VCH2+TH2=Vl2+82=^65，

'：BDYTE,DT=DE,

：.PE=PT,

PC+PE=PT+PC^CT=V65，

C.PC+PE的最小值為屈.

【點評】本題考查軸對稱-最短問題，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判

定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用軸對稱解決最短問題.

26.(6分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線>=卬？-2辦+3(ar0)與y軸交于點A.

(1)求點A的坐標(biāo)以及拋物線的對稱軸；

(2)拋物線與直線y=2交于點8(xi,yi),C(%2,”)，其中xi<%2.

①當(dāng)8c=4時，求拋物線的表達式:

②當(dāng)3XI+5X2W12時，請直接寫出“的取值范圍.

【分析】(1)令x=0,可得y=3,可得A(0,3),根據(jù)對稱軸為直線x=-應(yīng)，求解

2a

即可；

(2)①利用根與系數(shù)的關(guān)系，構(gòu)建方程求解；

②利用求根公式，求出方程的解，分兩種情形，構(gòu)建不等式求解即可.

【解答】解：(1)令x=0,則y=3,

.?.點A的坐標(biāo)為(0,3)；

對稱軸為直線x=-當(dāng)=1;

2a

（2）①???拋物線與直線y=2交于點8（xi,yi）,C（處>2）,

?'.ax1-2or+3=2,

整理得：ax2-2依+1=0,

-Oja1

/.X\+X2=-=2,X1-X2=—,

aa

VBC=X2-xi=4,

:.（X2-Xl）2=（X1+X2）2-4xi*X2=16,

.\22-4XA=16,

a

解得q=-1,

3

拋物線的表達式為y=--2+&+3：

33

②???拋物線與直線y=2交于點8（xi,yi）,C（X2,”），

/?ax2,-2〃x+3=2,

整理得：ax2-2ax+\=0,

?.0=2a±44a2-4a=1_pV-a

2aa

J2_J2_

當(dāng)4>0時，xi=l-X?——X2=l+————,

aa

,:3xi+5x2^12,

J2_J2_

...3_3XVa_5_+5+5X12,

aa

化簡得，“一產(chǎn)2m

.??3Q2+〃20且〃2-〃>o,

?\a>1.

J2_J2_

當(dāng)〃V0時，K]=l+X^———,X2=i-———,

aa

V3XI+5X2^12,

，3+3XJ且N.+5-5XN亙WW12,

aa

,7a2-aW-2a,

'.(?-aW4a2,

3a2+q20,

.'.a(3a+1)20,

'：a<0,

.,.3a+l<0,

.*.?<-A,

3

綜上所述，“>1或

3

【點評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法、一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與X

軸的交點等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用待定系數(shù)法，學(xué)會用分類討論的思想思考問題.

27.(7分)如圖1,點E為正方形ABC。邊AB上的一點，連接EC,點F是線段￡C上的

一個動點(不與點E,C重合)，直線。F交直線BC于點G.

(1)如圖1,當(dāng)OGLEC時，用等式表示BE,GC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(2)如圖2,當(dāng)CF=CD時，

①補全圖形；

②用等式表示BE,EC,CG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

圖2

【分析】(1)結(jié)論：BE=CG.證明△CBE畛△DCG(ASA),可得結(jié)論;

(2)①根據(jù)要求作出圖形即可;

②結(jié)論：BE+CE=CG.如圖2中，過點。作。兀LEC交C8于點T,則△C8E絲△OCT,

證明TG=TD=CE,BE=CT,可得結(jié)論.

【解答】解：(1)結(jié)論：BE=CG.

理由：如圖1中，

圖1

?.?四邊形A8C。是正方形，

：.CB=CD,NCBE=NDCG=90°,

\'DG±CE,

：.ZECB+ZCGD=90°,NCGD+NCDG=9Q°,

：.NBCE=NCDG,

在ACBE和aoCG中，

rZBCE=ZCDG

<BC=CD，

ZCBE=ZDCG

.,.△CBF^ADCG(ASA),

:.BE=CG；

(2)①圖形如圖2所示:

②結(jié)論：BE+CE=CG.

理由：如圖2中，過點D作DTLEC交CB于點T,則△CBEgZ\OCT,

：.CE=DT,BE=CT,

,:CF=CD,

NCFD=ACDF,

AZG+ZFCG=NCDT+NFDT,

'：ZFCG=ZCDT,

：.ZG^ZTDG,

：.GT=DT=EC,

CG=GT+CT=CE+BE,

即BE+CE=CG.

【點評】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等

腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解

決問題.

28.(7分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點用(a,b),對于點尸給出如下定義：將點P

向右(心0)或向左(a<0)平移⑷個單位長度，再向上(后0)或向下(b<0)平移步|

個單位長度，得到點P',點P'與點M的中點為。，稱點。為點P的關(guān)于點M的“平

移中點

已知b),P