材料力學(xué)彎曲內(nèi)力

材料力學(xué)彎曲內(nèi)力2023/2/131第一頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日凡是以彎曲為主要變形的桿件，通常稱為梁。2023/2/132第二頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日PaAB陽(yáng)臺(tái)梁欄桿PABq2023/2/133第三頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日2023/2/134第四頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日上海長(zhǎng)江大橋第53號(hào)至54號(hào)橋墩間，架起“百米長(zhǎng)梁”。這一箱梁長(zhǎng)105米、寬16米、高5米，重2300噸，為世界第一?！鞍倜组L(zhǎng)梁”超越東海大橋“梁式大橋”70米的跨度，實(shí)現(xiàn)了橋梁史上的一大突破。上海長(zhǎng)江大橋跨江段長(zhǎng)10公里，全橋長(zhǎng)16.5公里，雙向6車(chē)道，設(shè)計(jì)時(shí)速100公里。整個(gè)隧橋工程在2009年完工。

上海長(zhǎng)江大橋架起"世界第一梁"2023/2/135第五頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日二.平面彎曲（對(duì)稱彎曲）一般情況下，工程中受彎桿件的特點(diǎn)：

1.橫截面都至少有一個(gè)通過(guò)幾何形心的對(duì)稱軸，因而整個(gè)桿件都有一個(gè)包含軸線的縱向?qū)ΨQ面。

2.作用于桿件的外力都在這個(gè)縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)。

3.軸線在彎曲變形后變成縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的一條平面曲線。這種情況的變形我們就稱為平面彎曲變形，可見(jiàn)梁發(fā)生平面彎曲時(shí)，受力為平面平行力系?？v向?qū)ΨQ面：梁的軸線與橫截面的對(duì)稱軸所構(gòu)成的平面2023/2/136第六頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日平面彎曲：當(dāng)作用在梁上的載荷和支反力均位于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)時(shí)，梁的軸線由直線彎成一條位于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的曲線。FqFAFB縱向?qū)ΨQ面軸線彎曲后梁的軸線（撓曲線）2023/2/137第七頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日§4-2梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖Pq(x)三.支座的分類(lèi)一.桿件的簡(jiǎn)化

用梁的軸線來(lái)代替實(shí)際的梁。

折桿或曲桿用中心線代替。二.載荷的分類(lèi)

1.

集中載荷2.

分布載荷

3.

集中力偶1.固定鉸支座2.可動(dòng)鉸支座3.固定端支座

根據(jù)支座對(duì)梁在載荷平面內(nèi)的約束情況，一般可以簡(jiǎn)化為三種基本形式：2023/2/138第八頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日四、靜定梁的基本形式1.簡(jiǎn)支梁2.外伸梁3.懸臂梁中間鉸4.組合梁2023/2/139第九頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日

超靜定梁——支座反力不能由靜力平衡方程完全確定的梁。2023/2/1310第十頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日§4-3梁的內(nèi)力及其求法2023/2/1311第十一頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日求內(nèi)力—截面法

彎曲構(gòu)件內(nèi)力剪力彎矩1.彎矩M

：它是與橫截面垂直的分布內(nèi)力系的合力偶矩。2.剪力FS

：它是與橫截面相切的分布內(nèi)力系的合力。MFRAFRBABPmmxFRAFSCPFRBFSCM2023/2/1312第十二頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日FSdxmmFS+dxmmFSFS-剪力FS的符號(hào)規(guī)定：左上右下為正，反之為負(fù)彎矩M的符號(hào)規(guī)定：左順右逆(上壓下拉、上凹下凸)為正，反之為負(fù)mm+（受拉）MMmm（受壓）MM－2023/2/1313第十三頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日例題

一簡(jiǎn)支梁受力如圖所示。試求C截面（跨中截面）上的內(nèi)力。解：1、根據(jù)平衡條件求支座反力qAB4aaaC求指定截面上的剪力和彎矩2023/2/1314第十四頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日2、求C截面（跨中截面）上的內(nèi)力qAaC得到：（剪力的實(shí)際方向與假設(shè)方向相反，為負(fù)剪力）得到：（彎矩M的實(shí)際方向與假設(shè)方向相同，為正彎矩）2023/2/1315第十五頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日如以右側(cè)梁作為研究對(duì)象，則：為了計(jì)算方便，通常取外力比較簡(jiǎn)單的一段梁作為研究對(duì)象。qBaC2023/2/1316第十六頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日qAB4aaaC取左段梁為研究對(duì)象:取右段梁為研究對(duì)象:截面左側(cè)（或右側(cè)）梁上的所有外力向截面形心簡(jiǎn)化所得到的主矢。2023/2/1317第十七頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日截面左側(cè)（或右側(cè)）梁上的所有外力（力和力偶）向截面形心簡(jiǎn)化所得到的主矩。qAB4aaaC取左段梁為研究對(duì)象:取右段梁為研究對(duì)象:2023/2/1318第十八頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日例：求圖示梁1-1、2-2、3-3、4-4截面上的剪力和彎矩。2023/2/1319第十九頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日解：由得由得（FS4的實(shí)際方向與假設(shè)方向相反，為負(fù)剪力）2023/2/1320第二十頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日小結(jié)(基本規(guī)律)

（1）求指定截面上的內(nèi)力時(shí)，既可取梁的左段為脫離體，也可取右段為脫離體，兩者計(jì)算結(jié)果一致（方向、轉(zhuǎn)向相反）。一般取外力比較簡(jiǎn)單的一段進(jìn)行分析。（2）在解題時(shí)，一般在需要內(nèi)力的截面上把內(nèi)力（FS

、M）假設(shè)為正號(hào)。最后計(jì)算結(jié)果是正，則表示假設(shè)的內(nèi)力方向（轉(zhuǎn)向）是正確的，解得的FS、M即為正的剪力和彎矩。若計(jì)算結(jié)果為負(fù)，則表示該截面上的剪力和彎矩均是負(fù)的，其方向（轉(zhuǎn)向）應(yīng)與所假設(shè)的相反（但不必再把脫離體圖上假設(shè)的內(nèi)力方向改過(guò)來(lái)）。2023/2/1321第二十一頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日

（3）梁內(nèi)任一截面上的剪力FS的大小，等于這截面左邊（或右邊）所有與截面平行的各外力的代數(shù)和。

若考慮左段為脫離體時(shí)，在此段梁上所有向上的外力會(huì)使該截面上產(chǎn)生正號(hào)的剪力，而所有向下的外力會(huì)使該截面上產(chǎn)生負(fù)號(hào)的剪力。（4）梁內(nèi)任一截面上的彎矩的大小，等于這截面左邊（或右邊）所有外力（包括力偶）對(duì)于這個(gè)截面形心的力矩的代數(shù)和。

2023/2/1322第二十二頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日

若考慮左段為脫離體時(shí)，在此段梁上所有向上的力使該截面上產(chǎn)生正號(hào)的彎矩，而所有向下的力會(huì)使該截面上產(chǎn)生負(fù)號(hào)的彎矩;在此段梁上所有順時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力偶會(huì)使該截面上產(chǎn)生正號(hào)的彎矩，而所有逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力偶會(huì)使該截面上產(chǎn)生負(fù)號(hào)的彎矩。

(5)集中力作用的截面上剪力有“跳躍”（突變），其跳躍的值就是這個(gè)集中力的大?。患辛ε甲饔玫慕孛嫔蠌澗赜小疤S”，其跳躍的值就是這個(gè)集中力偶的大?。?023/2/1323第二十三頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日2023/2/1324第二十四頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日一.剪力和彎矩方程FS

=FS（x）——

剪力方程M=M（x）——彎矩方程

二.剪力圖、彎矩圖以x軸表示橫截面位置，以縱坐標(biāo)表示相應(yīng)截面上的

剪力

Fs

、彎矩

M，稱為剪力圖、彎矩圖。表示Fs、M沿梁軸線變化情況。§4-4剪力方程和彎矩方程

剪力圖和彎矩圖在一般情況下，梁橫截面上的剪力和彎矩隨截面的位置而變化。因此，剪力和彎矩均可表示為截面位置x的函數(shù)，即：2023/2/1325第二十五頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNEDF因此，必須分段列出梁的剪力方程和彎矩方程，各段的分界點(diǎn)為各段梁的控制截面。作內(nèi)力圖時(shí)，必須標(biāo)明控制截面上的內(nèi)力值。

所謂控制截面,即外力規(guī)律發(fā)生變化的截面—集中力、集中力偶作用點(diǎn)、分布載荷的起點(diǎn)和終點(diǎn)處的橫截面?？刂平孛娴母拍?023/2/1326第二十六頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日例：簡(jiǎn)支梁受均布荷載2023/2/1327第二十七頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日2023/2/1328第二十八頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日討論：集中力P作用點(diǎn)C處：剪力發(fā)生突變，突變量為

PAC段:CB段:2023/2/1329第二十九頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日FSMMABabC討論:集中力偶

M作用點(diǎn)

C處：AC段：CB段：2023/2/1330第三十頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日注意：1、剪力、彎矩方程的適用范圍，在集中力（包括支座反力）作用處，應(yīng)為開(kāi)區(qū)間，因在該處剪力圖有突變；而在集中力偶作用處，M(x)應(yīng)為開(kāi)區(qū)間，因在該處彎矩圖有突變。2、若所得方程為x的二次或二次以上方程時(shí)，則在作圖時(shí)除計(jì)算控制截面的值外，應(yīng)注意曲線的凹凸向及其極值。2023/2/1331第三十一頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日例題外伸簡(jiǎn)支梁受力如圖所示。試列出梁的剪力方程和彎矩方程，作出梁的剪力圖和彎矩圖。ABqF=qaCa2a解：xy1、取參考坐標(biāo)系Cxy。根據(jù)平衡條件求支座反力2023/2/1332第三十二頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日2、列出梁的剪力方程和彎矩方程yABqF=qaCa2axCA段:xAB段:x2023/2/1333第三十三頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日yABqF=qaCa2ax3、作梁的剪力圖和彎矩圖-qa(-)(-)(+)(-)E(+)M圖2023/2/1334第三十四頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日2023/2/1335第三十五頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日例.復(fù)合靜定梁，試作剪力圖和彎矩圖。

特點(diǎn):中間鉸不能傳遞彎矩，只能傳遞力的作用。求解時(shí)先由中間鉸處拆開(kāi)，化為兩個(gè)單跨梁。AD、DC和CB三段剪力方程和彎矩方程如下：1.支座反力a/2ACBqa/2aDxxxBAqccFCyFAyRC由AC跨的平衡條件求得。AD:DC:2023/2/1336第三十六頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日CB：2.剪力圖和彎矩圖OFS3qa/3qa/8MO9qa2/128qa2/16qa2/83a/8a/2ACBqa/2aDxxxcBqcAFCyFAyAD段的彎矩圖為一條二次拋物線，作圖時(shí)須求出彎矩的極值和所在截面的位置，才能大致繪出其圖形。2023/2/1337第三十七頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日§4-5載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系一、載荷集度、剪力和彎矩的微分關(guān)系規(guī)定向上的q(x)為正。2023/2/1338第三十八頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日2023/2/1339第三十九頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日上式的物理意義：梁上任一橫截面上的剪力對(duì)x的一階導(dǎo)數(shù)，等于該截面處作用在梁上的分布載荷集度。上式的幾何意義：任一橫截面上的分布荷載集度，就是剪力圖上相關(guān)點(diǎn)處的斜率。上式的物理意義：梁上任一橫截面上的彎矩對(duì)x的一階導(dǎo)數(shù)，等于該截面上的剪力。上式的幾何意義：任一橫截面處的剪力，就是彎矩圖上相關(guān)點(diǎn)處的斜率。2023/2/1340第四十頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日由此式知：剪力圖曲線上一點(diǎn)處的斜率等于梁上相應(yīng)點(diǎn)處的載荷集度q。ABqF=qaCa2a(-)-qa(-)(-)(+)E(+)M-圖2023/2/1341第四十一頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日由此式知：彎矩圖曲線上一點(diǎn)的斜率等于梁上相應(yīng)截面處的剪力FS。ABqF=qaCa2a(-)-qa(-)(-)(+)E(+)M-圖2023/2/1342第四十二頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日上式的物理意義：梁上任一橫截面上的彎矩對(duì)x的二階導(dǎo)數(shù)，等于同一截面處作用在梁上的分布載荷集度數(shù)學(xué)上：二階導(dǎo)數(shù)可用來(lái)判定曲線的凹向，因此：上式的幾何意義：可以根據(jù)對(duì)x的二階導(dǎo)數(shù)的正、負(fù)來(lái)定出圖的凹向。2023/2/1343第四十三頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日載荷集度、剪力和彎矩的微分關(guān)系:2023/2/1344第四十四頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日二.載荷集度、剪力和彎矩的積分關(guān)系：

當(dāng)梁的某一段內(nèi)載荷作用規(guī)律沒(méi)有變化時(shí)2023/2/1345第四十五頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日4m4m4m3mABCDEMq例：外伸梁，作剪力圖，彎矩圖已知：解：1.求支反力2.作剪力圖Fs7313AC

段斜直線CD

段斜直線2023/2/1346第四十六頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日Fs7313BD：水平直線BE：水平直線23.作彎矩圖M2020.516x4m4m4m3mABCDEMqAC

段拋物線CD

段拋物線2023/2/1347第四十七頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日M2020.51666x4m4m4m3mABCDEMqFs73132DB

段斜直線BE段斜直線2023/2/1348第四十八頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日內(nèi)力FS

、M

的變化規(guī)律,歸納如下：載荷F水平直線+-oror上斜直線上凸拋物線下凸拋物線下斜直線F(剪力圖無(wú)突變)F處有尖角斜直線2023/2/1349第四十九頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日1．當(dāng)梁上某段q=0時(shí)，該段剪力為常數(shù)，故剪力圖為水平直線。相應(yīng)的彎矩為x的一次函數(shù)，彎矩圖為斜直線。當(dāng)FS＞0時(shí)，彎矩圖為上升斜直線；FS＜0時(shí)，彎矩圖為下降斜直線。2．當(dāng)梁上某段q=常數(shù)時(shí)，該段剪力為x的一次函數(shù)，剪力圖為斜直線。相應(yīng)的彎矩為x的二次函數(shù)，彎矩圖為二次拋物線。若q＞0，則FS圖為上升斜直線，M圖為凹口向上的曲線（凹?。?；若q＜0，則FS圖為下降斜直線，M圖為凹口向下的曲線（凸?。?。

3．在集中力作用處（包括支承處），剪力圖將發(fā)生突變，其突變值等于該處集中力之大小。當(dāng)集中力向上時(shí)，剪力圖向上突變（沿x正向），反之，向下突變；而彎矩圖將因該處兩側(cè)斜率不等出現(xiàn)拐點(diǎn)。

在集中力偶作用處，彎矩圖將發(fā)生突變，突變值等于集中力偶矩的大小。當(dāng)集中力偶為順時(shí)針?lè)较蜃饔脮r(shí)，彎矩圖向上突變（沿x正向），反之則向下突變，但剪力圖在該處無(wú)變化。

2023/2/1350第五十頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日2023/2/1351第五十一頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日作剪力圖，從左往右，★向上的外力向上畫(huà)★向下的外力向下畫(huà)★分布載荷斜著畫(huà)★沒(méi)有外力水平畫(huà)★集中力偶不管它2023/2/1352第五十二頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日2023/2/1353第五十三頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日2023/2/1354第五十四頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日2023/2/1355第五十五頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日2023/2/1356第五十六頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日2023/2/1357第五十七頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日2023/2/1358第五十八頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日2023/2/1359第五十九頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日2023/2/1360第六十頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日2023/2/1361第六十一頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日2023/2/1362第六十二頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日2023/2/1363第六十三頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日

畫(huà)內(nèi)力圖小結(jié)作剪力圖，從左往右，★向上的外力向上畫(huà)★向下的外力向下畫(huà)★分布載荷斜著畫(huà)

★

沒(méi)有外力水平畫(huà)★

集中力偶不管它作彎矩圖，從左往右，★

梁左端沒(méi)有集中力偶，彎矩為零；

有集中力偶時(shí)，順時(shí)針向上畫(huà)，逆時(shí)針向下畫(huà)?！锛袅檎蛏闲敝?huà)；剪力為負(fù)，向下斜著畫(huà)?！锓植驾d荷向下，曲線向上凸；

分布載荷向上，曲線向下凸。★控制點(diǎn)數(shù)據(jù)，逐點(diǎn)加兩點(diǎn)間剪力圖面積。2023/2/1364第六十四頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日一.剛架的內(nèi)力圖

剛架的組成—橫梁、立柱與剛節(jié)點(diǎn)立柱剛節(jié)點(diǎn)橫梁§4-6平面剛架（折桿）內(nèi)力圖

平面剛架是由在同一平面內(nèi)，不同取向的桿件，通過(guò)桿端相互剛性連結(jié)而組成的結(jié)構(gòu).F1alF2ABCB當(dāng)桿件變形時(shí)，兩桿連接處保持剛性，即角度（一般為直角）保持不變。2023/2/1365第六十五頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日節(jié)點(diǎn)處的平衡關(guān)系：

當(dāng)節(jié)點(diǎn)處沒(méi)有集中外力作用時(shí),由節(jié)點(diǎn)平衡可知：

FNFSFSFNFNFSFNFSMMMM在平面載荷作用下，組成剛架的桿件橫截面上一般存在軸力、剪力和彎矩三個(gè)內(nèi)力分量。2023/2/1366第六十六頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日

剛架內(nèi)力圖的畫(huà)法1.無(wú)需建立坐標(biāo)系；2.控制面數(shù)據(jù)根據(jù)平衡微分方程計(jì)算；3.彎矩圖畫(huà)在受壓邊，（結(jié)構(gòu)力學(xué)規(guī)定畫(huà)在受拉邊）

軸力，剪力畫(huà)在里側(cè)和外側(cè)均可，但需標(biāo)出正負(fù)號(hào)；4.注意剛節(jié)點(diǎn)處的平衡關(guān)系。5.當(dāng)剛節(jié)點(diǎn)處無(wú)集中力偶作用時(shí)，

剛節(jié)點(diǎn)兩側(cè)的彎矩

大小相等，彎矩圖畫(huà)在同側(cè)。2023/2/1367第六十七頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日例：作圖示剛架的軸力圖、剪力圖、彎矩圖。ABC2023/2/1368第六十八頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日BAC2023/2/1369第六十九頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日例：作圖示剛架的軸力圖、剪力圖、彎矩圖。BACD2023/2/1370第七十頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日CL7TU18BADC2023/2/1371第七十一頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日例：作圖示剛架的彎矩圖。BAC2023/2/1372第七十二頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日例：作圖示剛架的彎矩圖。BAC2023/2/1373第七十三頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日例：作圖示剛架的彎矩圖。BAC2023/2/1374第七十四頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日例:繪剛架內(nèi)力圖解：一）求支反力：q=1kN/mAB8kN1kNCDE4m1m2m3mRAXRAYRB2023/2/1375第七十五頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日二）分析內(nèi)力：1）BC桿：（0x13）8kNRAYq=1kN/mABCDE4m1m2m3mRAXRB1kNFN12）DC桿：（0x23）分段列出EC段（0x22）x21kNRBx1B2023/2/1376第七十六頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日q=1kN/mAB8kN1kNCDE4m1m2m3mRAXRAYRBDE段：（3x22）X2x33）AD段：（0x34）2023/2/1377第七十七頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日三、作內(nèi)力圖1）軸力圖q=1kN/mAB8kN1kNCDE4m1m2m3mRAXRAYRBABDEC3kN1kN5kN2023/2/1378第七十八頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日q=1kN/mAB8kN1kNCDE4m1m2m3mRAXRAYRBABDEC2）剪力圖:用簡(jiǎn)易法：取控制點(diǎn)1kNBC桿：取一點(diǎn)（水平線）DC桿：取兩點(diǎn)（水平線）5kN3kNDA桿：取兩點(diǎn)（斜直線）1kN3kN2023/2/1379第七十九