有限元法的直接剛度法桿單元

有限元法的直接剛度法桿單元第一頁，共四十二頁，2022年，8月28日2.2平面剛架的有限元分析例如，求圖2.8所示1-1橫截面的內(nèi)力。用截面法，如圖2.9所示，列平衡方程，得（2-48）圖2.10剛架單元的受力

由式（2-48）可知，平面剛架橫截面上的內(nèi)力有3個(gè)：軸力、剪力、彎矩，是拉壓與彎曲的組合變形。所以平面剛架單元每個(gè)節(jié)點(diǎn)有3個(gè)節(jié)點(diǎn)力：軸力、剪力、彎矩，如圖2.10所示，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有3個(gè)節(jié)點(diǎn)位移：軸向位移、橫向撓度、截面的轉(zhuǎn)角。第二章有限元法的直接剛度法第二頁，共四十二頁，2022年，8月28日2.2平面剛架的有限元分析劃分單元

對(duì)圖2.11所示的平面剛架結(jié)構(gòu)劃分單元，并對(duì)單元和節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)，共得到6個(gè)單元和4個(gè)節(jié)點(diǎn)。因?yàn)槠矫鎰偧軉卧拿總€(gè)節(jié)點(diǎn)有3個(gè)節(jié)點(diǎn)位移，即每個(gè)節(jié)點(diǎn)有3個(gè)自由度，結(jié)構(gòu)自由度=節(jié)點(diǎn)總數(shù)節(jié)點(diǎn)自由度，所以圖2.11所示的平面剛架結(jié)構(gòu)

具有個(gè)自由度，所以結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣是一個(gè)的矩陣

圖2.11平面剛架的單元?jiǎng)澐?/p>

第二章有限元法的直接剛度法第三頁，共四十二頁，2022年，8月28日2.2平面剛架的有限元分析單元分析，局部坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嚾稳∫粋€(gè)平面剛架單元，設(shè)單元號(hào)為，兩個(gè)節(jié)點(diǎn)分別為、，建立單元局部坐標(biāo)系，如圖2.12所示。單元的局部坐標(biāo)系只對(duì)該單元有效，每一個(gè)單元都有一個(gè)局部坐標(biāo)系。以下對(duì)該單元所進(jìn)行的分析都是在這個(gè)局部坐標(biāo)系下進(jìn)行的。圖2.12剛架單元的節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)力第二章有限元法的直接剛度法第四頁，共四十二頁，2022年，8月28日2.2平面剛架的有限元分析在局部坐標(biāo)系下，兩個(gè)節(jié)點(diǎn)、的節(jié)點(diǎn)位移、見式（2-49），節(jié)點(diǎn)力、見式（2-50）。

（2-49）（2-50）

所以，局部坐標(biāo)系下平面剛架單元的節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)力見式（2-51）、（2-52）。（2-51） （2-52）規(guī)定：剪力與軸正向一致為正；彎矩逆時(shí)針方向?yàn)檎?；軸力與軸正向一致為正。

第二章有限元法的直接剛度法第五頁，共四十二頁，2022年，8月28日2.2平面剛架的有限元分析根據(jù)材料力學(xué)的知識(shí)，在線彈性范圍內(nèi)，軸向位移只與軸力有關(guān)，彎曲變形的撓度和截面轉(zhuǎn)角只與剪力和彎矩有關(guān)，這樣可分別按軸向拉壓和彎曲來進(jìn)行分析。

1.軸向拉壓分析求軸向節(jié)點(diǎn)位移、與軸向節(jié)點(diǎn)力、之間的關(guān)系。根據(jù)材料力學(xué)的知識(shí)已知，在線彈性范圍內(nèi)，軸向拉壓桿的軸向變形與軸向力之間的關(guān)系為線形關(guān)系，見式（2-53）。

（2-53）

式（2-53）中各元素的物理意義如下：——，時(shí)，的值；——，時(shí)，的值；——，時(shí)，的值；——，時(shí),的值。

第二章有限元法的直接剛度法第六頁，共四十二頁，2022年，8月28日2.2平面剛架的有限元分析求元素、的值，如圖2.13所示，，。因?yàn)?，所以。根?jù)平衡，得

，時(shí)，同理可求得，

。所以得到軸向節(jié)點(diǎn)位移、與軸向節(jié)點(diǎn)力、之間的關(guān)系，見式（2-54）。

（2-54）圖2.13軸向拉壓圖第二章有限元法的直接剛度法第七頁，共四十二頁，2022年，8月28日2.2平面剛架的有限元分析2.彎曲分析平面剛架單元彎曲變形的撓度、截面轉(zhuǎn)角與剪力、彎矩之間的關(guān)系完全等同于直梁?jiǎn)卧年P(guān)系，見式（2-22），即有（2-55）

第二章有限元法的直接剛度法第八頁，共四十二頁，2022年，8月28日2.2平面剛架的有限元分析3.局部坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嚲C合上述軸向拉壓分析和彎曲分析，得到局部坐標(biāo)系下，平面剛架單元的節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系——單元?jiǎng)偠染仃嚒＃?-56）

第二章有限元法的直接剛度法第九頁，共四十二頁，2022年，8月28日2.2平面剛架的有限元分析

式（2-56）寫成分塊形式為： （2-57）或簡(jiǎn)寫為 （2-58）

所以得出，局部坐標(biāo)系下，平面剛架單元的單元?jiǎng)偠染氐耐ㄓ霉綖椋?/p>

（2-60）將局部坐標(biāo)系下平面剛架單元的單元?jiǎng)偠染仃嚨耐ㄓ霉綉?yīng)用于每一個(gè)單元，即把每一個(gè)單元的參數(shù)、、、代入式（2-59），即得到該單元的局部坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嚒?/p>

第二章有限元法的直接剛度法第十頁，共四十二頁，2022年，8月28日2.2平面剛架的有限元分析單元?jiǎng)偠染仃嚨淖鴺?biāo)變換單元?jiǎng)偠染仃嚨淖鴺?biāo)變換是把平面剛架的所有單元在局部坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃囎儞Q到一個(gè)統(tǒng)一的坐標(biāo)系下，這個(gè)統(tǒng)一的坐標(biāo)系稱為整體坐標(biāo)系，如圖2.14所示。以單元為例：設(shè)節(jié)點(diǎn)變形后的位置為，節(jié)點(diǎn)在局部坐標(biāo)系下的位移和在整體坐標(biāo)系下的位移，見式（2-61）。

（2-61）

圖2.14整體坐標(biāo)圖第二章有限元法的直接剛度法第十一頁，共四十二頁，2022年，8月28日2.2平面剛架的有限元分析設(shè)軸與軸之間的夾角為。節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)角，在局部坐標(biāo)系和整體坐標(biāo)系下是一樣的。則節(jié)點(diǎn)在局部坐標(biāo)系下的位移和在整體坐標(biāo)系下的位移具有如下關(guān)系：

（2-62）上式寫成矩陣形式為 （2-63）

圖2.15坐標(biāo)變換

第二章有限元法的直接剛度法第十二頁，共四十二頁，2022年，8月28日2.2平面剛架的有限元分析同理可得節(jié)點(diǎn)在局部坐標(biāo)系下的位移和在整體坐標(biāo)系下的位移具有如下關(guān)系：（2-64）對(duì)整個(gè)單元，局部坐標(biāo)系和整體坐標(biāo)系下節(jié)點(diǎn)位移有如下關(guān)系：

（2-65）

第二章有限元法的直接剛度法第十三頁，共四十二頁，2022年，8月28日2.2平面剛架的有限元分析上式寫成分塊形式為 （2-66）或簡(jiǎn)寫為 （2-67）其中：——單元的坐標(biāo)變換矩陣，描述局部坐標(biāo)系和整體坐標(biāo)系下節(jié)點(diǎn)位移分量之間的變換關(guān)系。對(duì)于不同的單元，單元坐標(biāo)變換矩陣具有相同的形式，見式（2-68），只是角不同。（2-68）

第二章有限元法的直接剛度法第十四頁，共四十二頁，2022年，8月28日2.2平面剛架的有限元分析例1：如圖2.16所示，求單元1的坐標(biāo)變換矩陣。

圖2.16單元1的坐標(biāo)變換解：?jiǎn)卧?的局部坐標(biāo)系的軸與整體坐標(biāo)系的軸之間的夾角，代入單元坐標(biāo)變換矩陣公式（2-68），可得單元1的坐標(biāo)變換矩陣。

（2-69）。第二章有限元法的直接剛度法第十五頁，共四十二頁，2022年，8月28日2.2平面剛架的有限元分析

則單元1在局部坐標(biāo)系下和整體坐標(biāo)系下的節(jié)點(diǎn)位移有如下關(guān)系： （2-70）

第二章有限元法的直接剛度法第十六頁，共四十二頁，2022年，8月28日2.2平面剛架的有限元分析在前面的推導(dǎo)中，若把節(jié)點(diǎn)位移都換成節(jié)點(diǎn)力，同理可得節(jié)點(diǎn)力的坐標(biāo)變換矩陣，其與節(jié)點(diǎn)位移的坐標(biāo)變換矩陣具有完全相同的形式，見式（2-68）。單元在局部坐標(biāo)系下的節(jié)點(diǎn)力列陣和在整體坐標(biāo)系下的節(jié)點(diǎn)力列陣，見式（2-75）。（2-75）則單元在局部坐標(biāo)系下和整體坐標(biāo)系下的節(jié)點(diǎn)力具有如下關(guān)系： （2-76）

在局部坐標(biāo)系下，平面剛架單元的節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系見式（2-58），即，其中是單元在局部坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃?。第二章有限元法的直接剛度法第十七頁，共四十二頁?022年，8月28日2.2平面剛架的有限元分析

平面剛架單元的節(jié)點(diǎn)力在局部坐標(biāo)系下和整體坐標(biāo)系下的變換關(guān)系見式（2-76），單元的節(jié)點(diǎn)位移在局部坐標(biāo)系下和整體坐標(biāo)系下的變換關(guān)系見式（2-67），即

將式（2-76）和式（2-67）分別代入式（2-58）的左端和右端，得 （2-77）將上式兩端分別左乘以的逆矩陣，得 （2-78）因?yàn)椋杂? （2-79）上式簡(jiǎn)寫為 （2-80）第二章有限元法的直接剛度法第十八頁，共四十二頁，2022年，8月28日2.2平面剛架的有限元分析其中：——平面剛架單元在整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃?。由式?-79）和（2-80）可得。又因?yàn)榭梢宰C明，所以平面剛架單元在整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嚭驮诰植孔鴺?biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃囍g的變換關(guān)系為式（2-81）。通過單元?jiǎng)偠染仃嚨淖鴺?biāo)變換式，可以求出平面剛架的所有單元在整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嚒?/p>

（2-81）

第二章有限元法的直接剛度法第十九頁，共四十二頁，2022年，8月28日2.2平面剛架的有限元分析形成整體剛度矩陣因?yàn)楸纠校▓D2.14）共劃分有4個(gè)節(jié)點(diǎn)，結(jié)構(gòu)共有12個(gè)自由度，若采用上一節(jié)中講到的形成整體剛度矩陣的第一種方法，即對(duì)整個(gè)結(jié)構(gòu)的每個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行受力分析，通過建立節(jié)點(diǎn)平衡方程式得到有限元基本方程和整體剛度矩陣，則共需列出12個(gè)方程，非常復(fù)雜，所以這里采用形成整體剛度矩陣的第二種方法，即采用疊加法形成整體剛度矩陣。

1）將單元?jiǎng)偠染仃噷懗煞謮K形式 （2-82）其中：——單元號(hào)；、——單元的兩節(jié)點(diǎn)的編號(hào)；——單元在節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)力向量；——節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)位移向量；——單元上，節(jié)點(diǎn)單位位移在節(jié)點(diǎn)引起的節(jié)點(diǎn)力向量。第二章有限元法的直接剛度法第二十頁，共四十二頁，2022年，8月28日2.2平面剛架的有限元分析例如，圖2.14所示平面剛架的8號(hào)單元和9號(hào)單元分別見式（2-83）和（2-84）。

(a)1號(hào)單元： （2-83）

(b)2號(hào)單元： （2-84）

2）將整體剛度矩陣寫成分塊形式（分塊矩陣的階數(shù)等于結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)數(shù)）

3）疊加形成整體剛度矩陣（2-85）

第二章有限元法的直接剛度法第二十一頁，共四十二頁，2022年，8月28日2.2平面剛架的有限元分析則得到平面剛架的有限元基本方程 （2-86）其中：——整體坐標(biāo)系下整個(gè)結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)載荷列陣；——整體坐標(biāo)系下整個(gè)結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)位移列陣；——整體剛度矩陣。

第二章有限元法的直接剛度法第二十二頁，共四十二頁，2022年，8月28日2.2平面剛架的有限元分析求解有限元基本方程分析圖2.14所示平面剛架結(jié)構(gòu)的邊界約束條件，可以得出結(jié)構(gòu)的位移邊界條件為：，載荷邊界條件為：。將邊界約束條件代入有限元基本方程（2-86），并劃掉已知位移所在的行和列，得到降階的有限元基本方程，解之得各節(jié)點(diǎn)位移。

舉例例：如圖2.19所示平面桁架結(jié)構(gòu)中的一個(gè)桿單元，已知材料的彈性模量、桿長(zhǎng)為、桿的橫截面面積為，桿的軸線與整體坐標(biāo)系軸之間的夾角為，求該桿單元在整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嚒５诙掠邢拊ǖ闹苯觿偠确ǖ诙?，共四十二頁?022年，8月28日2.2平面剛架的有限元分析-例題解：建立局部坐標(biāo)系，如圖2.20所示。

圖2.19平面桿單元圖2.20整體坐標(biāo)和局部坐標(biāo)第二章有限元法的直接剛度法第二十四頁，共四十二頁，2022年，8月28日2.2平面剛架的有限元分析-例題因?yàn)槠矫骅旒芙Y(jié)構(gòu)中的任一桿均為二力桿，所以在局部坐標(biāo)系下，平面桁架單元的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)位移只有一個(gè)軸向位移，對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)力也只有一個(gè)軸向力，根據(jù)材料力學(xué)知識(shí)，可得在局部坐標(biāo)系下單元節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系，見式（2-87）。

（2-87）所以，平面桁架單元在局部坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嚍椋? （2-88）第二章有限元法的直接剛度法第二十五頁，共四十二頁，2022年，8月28日2.2平面剛架的有限元分析-例題在整體坐標(biāo)系下，平面桁架單元的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)位移有2個(gè)分量：、，節(jié)點(diǎn)力也有2個(gè)分量：、。則在整體坐標(biāo)下單元節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系，見式（2-89）。

（2-89）

所以，平面桁架單元在整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃囀且粋€(gè)4階方陣，見式（2-90）。

（2-90）第二章有限元法的直接剛度法第二十六頁，共四十二頁，2022年，8月28日2.2平面剛架的有限元分析-例題平面桁架單元可以看作是平面剛架單元的特殊情況，為了求出平面桁架單元在整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃?，將式?-87）擴(kuò)階寫為 （2-91），由前面學(xué)習(xí)已知，單元的節(jié)點(diǎn)位移的坐標(biāo)變換式為（2-92），單元的坐標(biāo)變換矩陣，見式（2-93）。 （2-92）