江蘇名校聯(lián)盟2022-2023學年高三年級上冊學期暑期返校檢測摸底測試-數(shù)學試題2

江蘇名校聯(lián)盟2022-2023學年高三上學期暑期返校檢測摸底

測試一數(shù)學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合4=卜為刈k2+丁4i,x,yeZ},B={（x,y）||x|<2,|,y|<2,x,yeZ},定義集

合A十B={（X1+x2,y+y2）l（%,y）wA,（々,y2）e3},則A十8中元素的個數(shù)為

A.77B.49C.45D.30

2.時鐘花是原產(chǎn)于南美熱帶雨林的藤蔓植物，從開放到閉合與體內的一種時鐘酶有

關.研究表明，當氣溫上升到20。（2時，時鐘酶活躍起來，花朵開始開放；當氣溫上升

到28。（2時，時鐘酶的活性減弱，花朵開始閉合，且每天開閉一次.已知某景區(qū)一天內

5~17時的氣溫7（單位：°C）與時間r（單位：h）近似滿足關系式

T=20-10sin^;-|J,則該景區(qū)這天時鐘花從開始開放到開始閉合約經(jīng)歷（）

fsin—a0.8^1

I10J

A.1.4hB.2.4hC.3.2hD.5.6h

3.已知拋物線V=2pR（〃是正常數(shù)）上有兩點A（wx）,3（/,%），焦點八

甲：

乙：必必=一02

丙：Q4.0B=_jp2.

T：與+』=2以上是“直線AB經(jīng)過焦點尸，的充要條件有幾個（）

|FA||FB|p

A.0B.1C.2D.3

4.由倍角公式COS2X=2COS2X-1,可知cos2x可以表示為cosx的二次多項式.一般

地，存在一個〃次多項式匕⑺，使得cos"=K（cosx）這些多項式月⑺稱為切比雪夫

2

（P.L.Tschebyscheff）多項式.例如cos2x=P2（cosx）=2cosx—\,記作P2⑺=2/一1.利

用4（。求得5^18。=（）

AQ3-yf5-5/5—1n6+1

4228

5.命題“VX￡[1,2],。<0，，是真命題的一個充分不必要條件是（）

A.a>4B.a<4C.a>l0D.a<l0

到達線段

OP.,則點片的坐標為()

12+565-12⑸'_5239

A.B.

2626J~~51~5

3952‘5—12612+5收

C.D.

T'T2626

若直線y="+b與函數(shù)y=ln(x+e)的圖象無交點，則g的取值范圍是()

8.

K

A.B.(』e+l)C.上一1,6+1)D.(e-l,+oo)

二、多選題

9.下列判斷正確的是()

A.ln3>-B.—In2<in—

e42

C.3eIn2<472D.2^>17

10.已知函數(shù)/(x)=sinx-|cosH，則下列說法正確的是()

A.y=/(x)的圖象關于直線x="+微僅wZ)對稱

B.y=/(?的圖象關于點(hr,0)(%eZ)對稱

C./*)的值域為［-亞,1］

D.fM在［%,2可上單調遞增

11.德國著名數(shù)學家狄利克雷(。*c〃/er,1805T859)在數(shù)學領域成就顯著.19世

,/、［1,XGQ

紀，狄利克雷定義了一個“奇怪的函數(shù)"y="x）=|o其中R為實數(shù)集，Q為

有理數(shù)集.則關于函數(shù)/（X）有如下四個命題，其中真命題是（）

A./（0）=1

B.任取一個不為零的有理數(shù)T,/（x+T）=/（x）對任意的xeR恒成立

C.Vx,,x2ec^Q,/（X|+工2）=/（丹）+/（々）恒成立

D.不存在三個點4（%,〃%））,C（wJ（x,））,使得“LBC為等腰直角

三角形

12.1859年，我國清朝數(shù)學家李善蘭將，加"4。"''一詞譯成“函數(shù)”，并給出定義：“凡

此變數(shù)中函彼變數(shù)，則此為彼之函數(shù)''.下列關于函數(shù)性質的說法正確的是（）

A.若〃-2）=f⑵,則函數(shù)f（x）是偶函數(shù)

B.若定義在R上的函數(shù)〃x）在區(qū)間（3,0］上單調遞增，在區(qū)間［0,+8）上單調遞增，

則函數(shù)/（X）在R上是增函數(shù)

C.函數(shù)y=/（x）的定義域為［凡句，a<c<b,若/（x）在［a,c）上是增函數(shù)，在［c,以上

是減函數(shù)，則/⑴儂=/?

D.對于任意的看,馬?0，依），函數(shù)/（x）=lgx滿足，，）；"*）4/（然乜）

三、填空題

1…3?------1--------1---------1--------1-…H----------1--------=.

sin45°sin46°sin46°sin47°sin89°sin900--------------------

14.已知5“為數(shù)列｛。,,｝的前〃項和，數(shù)列｛q｝滿足4=-2,且S,,=,4+〃，是

定義在R上的奇函數(shù)，且滿足/（2T）=/（X）,則〃%）2I）=.

15.已知函數(shù)y=^sin2x的圖象與函數(shù)y=cos2x的圖象相鄰的三個交點分別是A、

B、C,則AABC的面積為.

16.定義在R上的函數(shù)/（x）滿足/"）-〃x）<2e、，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，

/（2）=4e2,則滿足嘿>aea的a的取值范圍是.

四、解答題

17.在①4M2,%成等比數(shù)列，且（=2-&②S,=S；且4=2-（：嚴這兩個條件中任

選一個填入下面的橫線上并解答.已知數(shù)列｛%｝是公差不為0的等差數(shù)列，4=1,其前

n項和為5“，數(shù)列｛〃,｝的前〃項和為刀,，若.注?如果選擇多個條件分別解答，

按第一個解答計分.

⑴求數(shù)列,3的前"項和Q,,.

(2)設等比數(shù)列｛%｝的首項為2,公比為q(q>0),其前〃項和為乙，若存在正整數(shù)加,

使得$3=鼠?6，求〃的值.

18.已知/(x)=sin(x+y)cosx+-^sin(2x+-1-)-^.

⑴求/*)的值域；

(2)若對任意的xe恒成立，求°的取值范圍.

(20)[212)l_4J_

19.已知數(shù)列｛〃,,｝前〃項積為T“，且”“+7；=15GN*).

(1)求證：數(shù)列廣匚為等差數(shù)列；

(2)設S,=邛+歐+…+容,求證：S?>a?+1-1.

20.已知奇函數(shù)〃》)=嘍二1的定義域為卜“-2,b]

(1)求實數(shù)a,b的值；

(2)判斷函數(shù)/(x)的單調性，并用定義證明；

(3)當xw[L2]時，2+〃礦("+2、>0恒成立，求機的取值范圍.

21.已知函數(shù)“力=優(yōu)+尸(。>1),/(1)=|.

(1)判斷f(x)在(0,+8)上的單調性，并利用單調性的定義加以證明；

(2)若不等式"2x)4可'(X)-帆-3對任意實數(shù)恒成立，求實數(shù)機的取值范

圍；

(3)若存在工?0,心)，使得〃x)=f2+l,求實數(shù)，的取值范圍.

22.已知函數(shù)/(x)=lnx—ar+l,其中實數(shù)aeR.

(1)求證：函數(shù)/(x)在(1,7(1))處的切線恒過定點，并求出該定點的坐標；

(2)若函數(shù)f(x)有兩個零點占，々，且%>2々，求a的取值范圍.

參考答案:

1.c

【解析】

【詳解】

因為集合d-｛（%），）Loywz｝,所以集合d中有5個元素（即5個點），即圖

中圓中的整點，集合5?｛（%,）［目=2,聞42?天yWZ｝中有25個元素（即25個點）：即

圖中正方形ABCD中的整點，集合d由B=｛（天+芍,X+尸。I（%,乂）€w8｝

的元素可看作正方形431Goi中的整點（除去四個頂點），即7x7-4=45個.

考點：1.集合的相關知識，2.新定義題型.

2.B

【解析】

【分析】

由函數(shù)關系式T=20-10sin（（f-（）分別計算出花開放和閉合的時間，即可求出答案.

【詳解】

設6時開始開放，與時開始閉合，則20-105網(wǎng)氤1-*卜20,又4€[5,17],解得“9,

20-10sin^f2-^=28,

(717i\434co/曰.13萬4

?"sin_b=—，由sin—力0.8得sin-----?—,

1828J510105

7t7i13乃5712c/

???不，2-$=右-，?"2=W'Ur=—=2A.

oo1U33

故選：B.

答案第1頁，共21頁

3.B

【解析】

先證明必要性：設過拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點廠的直線為：x=my+^,代入拋

物線方程得：y2-2pmy-p2=0,計一算丫跖、中?、OAOB-即可判斷甲、

乙、丙、丁都是必要條件，再設直線A8的方程為：x=my+t,代入拋物線方程得：

2

y-2pmy-2pt=0,由韋達定理驗證四個結論成立時，實數(shù)f的值，即可判斷充分性，進而

可得正確答案.

【詳解】

必要性：設過拋物線C：丁=2川儲>0)的焦點尸的直線為：x=tny+^,

代入拋物線方程得：J2-2pmy-p-=Q-.

由直線上兩點B(x2,y2),

則有以%=一22,

2P22

%士=班+與^2+y=m必必+,+乙=2

44

2

0A.OB=x1x2+y%=￡-P

.----------1----------0

由|E4|\FB\X'+2)h+2

4

X]+W+P2

~2-

y+1Ui+^2)P，

故：甲、乙、丙、丁都是必要條件,

充分性：設直線AB方程為：x=my+t,則直線AB交x軸于點。,0),

拋物線焦點尸^可將直線AB的方程與拋物線方程得：/-2pmy-2pt=0,

由直線上兩點A(x“yJ,5(孫力)，

對于甲：

>2

若%馬=(myl+t)(my2+t)=my]y2+tm(y]+y2)+r

2

=nV(-2/7r)+rm-2pm4-12=》,

答案第2頁，共21頁

可得f=土與，直線A3不一定經(jīng)過焦點F.所以甲條件是“直線A8經(jīng)過焦點F”的必要不充

2

分條件；

對于乙：若%%=-/=-2pf,則f=g直線A3經(jīng)過焦點F,所以乙條件是“直線48經(jīng)

過焦點0'的充要條件；

對于丙：0A-。8=占々+,必=-2卬+*=-:22,可得￡=5或/=孝，直線AB不一定經(jīng)

過焦點F,所以丙條件是“直線AB經(jīng)過焦點尸’的必要不充分條件；

|明菁+/+〃

..-----------1-----------

對于丁：|E4|\FB\

用+X2+P

7r=｝可得，=±9，直線A3不一定經(jīng)過焦點F.所以丁條件是“直線AB

經(jīng)過焦點「’的必要不充分條件；

綜上，只有乙正確，正確的結論有1個.

故選：B

【點睛】

結論點睛：拋物線焦點弦的幾個常用結論

設A8是過拋物線/=2°匹（°>0）的焦點尸的弦，若A（x,，x）,8（盯力），則:

2

⑴中2=勺，絹2=一獷；

（2）若點A在第一象限，點B在第四象限，則|明=,P,怛尸|=,P

弦長|A8|=%+*?+P=2-，（a為直線AB的傾斜角）；

sin~a

-2

\FM\FB\p'

（4）以A3為直徑的圓與準線相切;

（5）以M或斯為直徑的圓與y軸相切.

【解析】

【分析】

由兩角和的余弦公式及二倍角公式可得8$3》=48$、-3<：0$》，則

cos54°=4cos318°-3cos18°,再利用誘導公式及二倍角公式可得

答案第3頁，共21頁

2o

2sinl80=4(l-sin18)-3(再解一元二次方程即可；

【詳解】

解：因為cos3x=cos(2x+x)=cos2xcosx-sin2xsinx

=(2cos2x-ljcosx-2sin2xcosx

=(2cos2x-1)cosx-2(1-cos2x)cosx=4cos3x-3cosx,

所以cos54°=4cos3180-3cosl80，

所以sin36°=cos54°=4cos318°—3cos18°，

所以2sin180cosl8°=4cos3180-3cos18°，

所以2sinl80=4cos218。-3=4(—山218。)-3,

所以4sin2180+2sinl8°-l=0,解得sin18°=2+2亞=2^_1或

84

加18。=土馬叵=苔二(舍去)，所以疝18。=且；

844

故選：A.

5.C

【解析】

【分析】

將命題“Vxe[l,2],M()，，是真命題化為。24,再根據(jù)真子集關系判斷可得答案.

【詳解】

22

命題"Vxe[l,2],x-a<0”是真命題,等價于a>(%)max,

當xe[l,2]時，(H，所以aW4.

選項A是充要條件，選C是充分不必要條件，選項BD是既不充分也不必要條件.

故選：C

6.A

【解析】

【分析】

利用特殊值逐項排除可得答案.

【詳解】

答案第4頁，共21頁

因為xeR，

所以函數(shù)/(x)是奇函數(shù)，圖象關于原點對稱,

因為函數(shù)的解析式為/(^]=三-:<0,故排除C：

Vo725922

77

/(3)=--sin3>0,故排除BD,

故選：A.

7.D

【解析】

【分析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義確定出終邊經(jīng)過點尸的a的三角函數(shù)值，然后根據(jù)位置關系判斷出

a+5的終邊經(jīng)過《，結合兩角和的正、余公式求解出《的坐標.

【詳解】

由尸的坐標可知尸在單位圓上，設。的終邊經(jīng)過點P,所以cosa=R,sina=[,

又因為。《由OP繞原點0逆時針旋轉tTT得到，所以a+T1T的終邊經(jīng)過點<且[也在單位圓

上，

所以6kos(a+(卜inIT))，

又因為

cosja+qJcosa-gina=^LinL+q」sinc+g°sa12+5行

I3j2226I3j2226

(5—12612+56]

所以為

故選：D.

8.D

【解析】

【分析】

結合圖象判斷欠>0，匕>1,令4=t,b=kt,由履+&f-ln(x+e)>0分離f,通過構造函數(shù),

答案第5頁，共21頁

結合導數(shù)求得f,也即9的取值范圍.

k

【詳解】

由圖象可知4>0力>1,

令2=，，貝ijz?二股，

k

依題意可知質+hTn(x+e)>0,

即"+Ar-ln(x+e)>0,

即r>—ln(x+e)-x,

k

構造函數(shù)g(x)=；4n(x+e)-x(x>-e),

K

?7Q=11=-H+1-.

gl[(x+e)(+e)'

k>0「k<0,由g'(x)=O解得x=2一e,

k

所以g(x)在區(qū)間卜,：一4遙(》)>0,8(月遞增，

在區(qū)間[-4+00)，80<0,8(X)遞減，

/\Jl)1一1

g(x)4g|工一eb一丑(一工+e,

所以f>-：lnZ:-，+e有解.

kk

構造函數(shù)〃(左jM-Jln^-L+e化〉。),/?小)：!^%,

KKK

所以〃(%)在區(qū)間(0』),"⑻<o,〃(z)遞減，在區(qū)間。,+?),方⑻>o，M)遞增,

所以/i優(yōu))N〃(l)=e-l,

所以也即，的取值范圍是(e-l,—).

故選：D

答案第6頁，共21頁

9.BCD

【解析】

【分析】

將選項同構為垣的形式，通過對函數(shù)/(*)=叱求導判斷單調性，即可判斷出答案.

XX

【詳解】

、斗田A1o3In3Ine

選項A：In3>-<=>——>——，

e3e

ln5

、…-551n2?5In2m2

項B：-In2<In——x-----<In—<--—,

4222225

2

選項C：3eln2<4>/2<z>-ln2<^<=>ln2^<—,

2e2夜e

選項D：2后>17=ln2而>lnl7<x>V171n2>21nVi7o——

2V174V17

構造函數(shù)八*)=叱，則/。)=上墳，則f(x)>0得0<x<e；由f(x)<0得x>e,

Xx~

所以f(x)=?在(0,e)上單調遞增，在(e,+w)上單調遞減，

答案第7頁，共21頁

由e<3知，/(e)>/(3),故A錯誤；

由2<g<e知，/(|)>〃2),故B正確；

由e<2&知，〃e)>/(2夜)，知C正確；

由e<4<J萬知，/(4)>/(V17),知D正確.

故選：BCD.

【點睛】

本題利用不等式的結構采用同構函數(shù)來解決，同構法是證明不等式的一種技巧，通過等價

變形使得兩邊的式子結構相同，從而將兩邊看成是同一個函數(shù)的兩個函數(shù)值，此時借助該

函數(shù)的單調性簡化不等式達到證明不等式的目的.

10.AC

【解析】

對己知函數(shù)去絕對值寫成分段函數(shù)的形式，作出其函數(shù)圖象，借助于三角函數(shù)的圖象逐一

判斷四個選項的正誤，即可得正確選項.

【詳解】

當cosx20即——+2k兀WxW5+2k冗(k￡Z)時,

71

f(x)=sinx-cosx=V2sinx--

當cosx<0即］+2E<xv/+2E(Z?Z)時，,

/(x)=sinx+cosx=A/2sin(x+~1,

71

>/2sin-----F2kjiWxW+eZ)

2~2

所以f(x)=,

V2sinXH,F2k7T<X<----F2kMkGZ)

4)22

作出y=/(x)的圖象如下圖所示:

答案第8頁，共21頁

對于選項A：由圖知x=Z;r+1(k€Z),是y=/(x)的對稱軸，即y=/(x)的圖象關于直線

x=<br+](ZeZ)對稱，故選項A正確；

對于選項B：由圖知(版■,())(%eZ)不是y=/(x)的對稱中心，即y=/(x)的圖象關于點

(A7r,0)(%eZ)不對稱，故選項B不正確；

對于選項C：由圖知y=f(x)的最大值為1,最小值為一夜，所以/(x)的值域為「0,1],

故選項C正確；

對于選項D：f(x)在[萬,2句上不單調遞增，故選項D不正確，

故選：AC

【點睛】

關鍵點點睛：本題解題的關鍵是利用已知函數(shù)的解析式，作出函數(shù)y=f(x)的圖象，利用

數(shù)形結合的思想可研究該函數(shù)的對稱性、最值和單調性.

11.ABD

【解析】

【分析】

直接由解析式計算/(0)可判斷A；分xeQ和兩種情況討論可判斷B；舉反例取

x,=V2,毛=-及，可判斷C;分內/2，不中有兩個是有理數(shù)，一個是無理數(shù)或者兩個是

無理數(shù)，一個是有理數(shù)討論，每種情況再分角A,B,C為直角三種情況討論可判斷D,進而

可得正確選項.

【詳解】

答案第9頁，共21頁

對于A,OeQ,所以"0)=1,故選項A正確；

對于B,任取一個不為零的有理數(shù)T,若xwQ,則x+TeQ,滿足〃x)=〃x+T)=l；若

xeQQ,則x+TeQQ,滿足〃x)=/(x+T)=0,故選項B正確；

對于C,取西=0,&=-a,則/(4+芻1/⑼曰，而/(3)+/(w)=o+o=o,所

以/(占+電)*/(%)+/(毛)，故選項C錯誤；

對于D,當工3均為有理數(shù)或均為無理數(shù)時，A8,C三點在一條直線上，不能構成三角

形，所以占,當，匕中有兩個是有理數(shù)，一個是無理數(shù)或者兩個是無理數(shù)，一個是有理數(shù)，不

妨設士,均是有理數(shù)，a是無理數(shù)，則A(%,1),8(毛,1),C(x3,0),因為AABC為等腰直角

三角形，所以若角A是直角，則》3=占，與Z是無理數(shù)矛盾，若角8是直角，則三=芻，

與反是無理數(shù)矛盾，若角C是直角，因為|C4|=|CB|,所以電=七強，與七是無理數(shù)矛

盾，所以此時AABC不可能為等腰直角三角形，當士,多,事中有兩個無理數(shù)一個是有理數(shù)

時，不妨設中三是無理數(shù)，*3是有理數(shù)，則A(±,0),8仇,0),C(&,1),因為A4BC為等

腰直角三角形，所以若角A是直角，則三=%，與七是有理數(shù)矛盾，若角B是直角，則

毛=超，與乙是有理數(shù)矛盾，若角C是直角，因為|C4|=|CB],所以匕=土產(chǎn)，且七是有

理數(shù)，只能占多是兩個互為相反數(shù)的無理數(shù)，即鼻=0,即C(0,l),又因為AABC為等腰

直角三角形，所以A(-1,0),8(1,0),或A(l,0),8(-1,0)與小吃是無理數(shù)矛盾，所以

△A3C不可能為等腰直角三角形，綜上所述：不存在三個點4(%,,/&)),8(W,/(七))，

C(W，/(X3))，使得“ABC為等腰直角三角形，故選項D正確；

故選：ABD.

12.BCD

【解析】

【分析】

結合函數(shù)的奇偶性，單調性，最值和函數(shù)圖像的凹凸性(或對數(shù)函數(shù)的單調性與基本不等

式結合)對選項一一判斷即可.

答案第10頁，共21頁

【詳解】

對于A,偶函數(shù)是對于定義域里任意X,都要有〃T)=/(x),僅取X=2時成立，不能確

定是偶函數(shù)，故A錯，

對于B,若定義在R上的函數(shù).f(x)在區(qū)間(—,0］上單調遞增，在區(qū)間［0,+8)上單調遞增，

其中x=0時兩段函數(shù)圖像相接，故函數(shù)/5)在R上是增函數(shù)，所以B正確，

對于C,函數(shù)y=/(x)的定義域為可，a<c<b,若f(x)在［a,c)上是增函數(shù)，有

f(X)a<f(c)，又在［。，司上是減函數(shù),網(wǎng)=〃C),所以/(或」/?,故C正

確，

對于D,函數(shù)/(x)=lgx為上凸函數(shù)，所以對于任意的與,&e(O,+a>),函數(shù)/(x)=lgx滿

足心聲J叫/㈤,

f(七玉)=1g/產(chǎn)2坨=；(Ig%+1g9)，故D正確，

故選：BCD.

13.—'―

sinl°

【解析】

【分析】

先利用兩角和差化積公式湊配化簡得疝“二(用)。=看喘？-贏匕W代入原式即

可得解.

【詳解】

11sin((n+l)o-/7°)1sin(n+l)°cos-cos(/z+l)°sinn°

sin7?°-sin(?+l)°sin1°sinn°sin(/?+l)°sinl°sin〃°sin(〃+l)。

1cosn°cos(〃+l)°\111

-,(z—‘‘‘)=(z一)

sinl°sinn°sin(/?+l)°sinl°tanw°tan(/i+1)°'

111

--------------------------1----------------------------1"..-------------------------

sin45°sin46°sin46°sin47°sin890sin90°

11111Icos90\

=---------(z-------------------------------1--------------------------------1-...4------------------------------)

sinl°tan45°tan46°tan46°tan47°tan89°sin90°

=-^-(1-0)=—.

sinl°sinl°

答案第II頁，共21頁

故答案為：.

cmIw

【點睛】

關鍵點點睛：本題考查三角函數(shù)的化簡求值，利用兩角和差化積公式湊配化簡

加。:")。=心(六一贏品)是解題的關鍵，考查學生的運算能力，屬于較難題?

14.0

【解析】

【分析】

利用數(shù)列通項公式與前〃項和公式的關系求通項的遞推關系，再構造等比數(shù)列求出包}通

項公式.根據(jù)"2-x)=/(x)和兀v)是R上奇函數(shù)可得加)是周期為4的函數(shù)，且的)=/(2)

=0.%必=_3皿+1=-(4-1嚴+1,將(4-仔⑼用二項式定理展開，其中能被4整除的部

分在計算了(%02J時即可"去掉”，由此即可求出答案.

【詳解】

33

,?1S“=彳a?+n,5?_,=1a,,_}+n-l(n>2),

33

兩式相減得，+即=

，區(qū)三=3,即數(shù)歹U{q-1}是以-3為首項，3為公比的等比數(shù)列，

an-\~~1

1

%—1=—3?3"=—3",/.an=—3"+1.

???/(X)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足/(2-x)=/(x),

.?.令x=2,貝J/(2)=/(0)=0,

又/(2_x)=/(x)=-/j-x),

...<2+x)=_八尤)，；J(x+4)=/(x+2+2)=-Ax+2)=—[—火一x)]=%)，即兀v+4)=/(x),

即〃x)是以4為周期的周期函數(shù).

32O2，+l=-(4-')2O2'+1

=-1射產(chǎn).(-1)°+C，產(chǎn).(寸+…+C就《(-iL+C歌4。.(-1嚴卜1

=-??叫(T)°+C；⑼4g.(T"-“+C第4~-1產(chǎn)。卜2

答案第12頁，共21頁

其中c黑⑷叫(一碟+段―2020.(-1)'+…+C歌⑷.(-if20能被4整除,

???/(%)=/(—3汕+1)=〃2)=0.

故答案為：0.

【點睛】

本題綜合考察了數(shù)列求通項公式的兩個方法：利用通項公式和前"項和公式的關系，以及

構造等比數(shù)列，考察了函數(shù)周期的求法，還考察了利用二項式定理處理整除問題，屬于難

題.

15.7C

2

【解析】

設A、B、c是兩個函數(shù)圖象在y軸右邊且靠近y軸的三個交點，求出這三個點的坐標，

即可計算出A43C的面積.

【詳解】

設A、8、c是兩個函數(shù)圖象在y軸右邊且靠近y軸的三個交點，

設點A(X1,yJ、3(孫必)、。(玉,%)，令Gsin2x=cos2x,Wtan2x=,

得2x=工+4乃任wZ),解得x=C+包(ZwZ).

6122

由于A、8、。是兩個函數(shù)圖象在y軸右邊且靠近y軸的三個交點，

I717兀13萬一r組/乃石］乃萬

則寸談％=廿寸五，可得［蘇用、］黃一三)。［五萬J

因此，AABC的面積為445c=Jx、一天,|＞］一丫2|=；、)乂石=當乃.

故答案為：兀.

2

【點睛】

本題考查三角函數(shù)圖象交點坐標的計算，同時也涉及了三角形面積的計算，求出交點坐標

是關鍵，考查計算能力，屬于中等題.

16.(ro,2)

【解析】

【分析】

答案第13頁，共21頁

設g(x)=42-2x,求出其導數(shù)結合條件得出g(x)在R上單調遞減，將問題轉化為求解

g(a)>g(2),由g(x)的單調性可得答案.

【詳解】

設g(加小Ux,則g，(加當=5畔

e(eJe

由/'(x)-/(x)<2e",則g'(x)<0

所以g(x)在R上單調遞減.

又g⑵=Z^l_2x2=/—2x2=0

e-e-

由華〉ae",即與一2〃>0,即g(a)>g(2),所以“<2

故答案為：(口,2)

17.(1)選①②結果相同，Q〃=(2九一3)x2"+3

(2)選①②結果相同，q的值為7+厲或圣邁

24

【解析】

【分析】

(1)選①：利用等比數(shù)列通項公式基本量計算求出公差，求出通項公式，利用々與，的關

系求出包=§)“'，再使用錯位相減法求和，選②：利用等比數(shù)列求和公式基本量計算求出

通項公式，利用口與，的關系求出"=g)"T,再使用錯位相減法求和；(2)由(1)知，選

①②結果相同，利用S3=S",?巴得到工=l+q+d，利用夕>0得到逑，結合機為

正整數(shù)，得到加=1或m=2,從而求出q的值為或一2："

(1)選①：4%，%成等比數(shù)列，且(=2-2設等差數(shù)列公差為“，由4，%,%成等比數(shù)

列，則(l+d)2=lx(l+4d),解得：d=2或0(舍去)；則=1+2(〃-1)=2九一1,當〃=1

時，7]=4=2-々，解得：4=1,因為1=2-2①，當〃22時，加=2-加②，兩式相

減，2b“=b“_i，其中經(jīng)檢驗，*所以｛2｝是首項為1,公比為g的等比數(shù)列，故

答案第14頁，共21頁

i%=2"T=(2“_]).2"T

2=(；)"-'，則"mH，貝I」Q"=2"+3X2'+5X22+…+(2”-l)x2"T①，

2e?=2'+3x22+5x23+--+(2n-l)x2"②，兩式相減得:

-Q“=1+2x2,+2x2?+2x23+...+2X2"T-（2〃-1）X2”

7_9?

=l+2x言~-（2〃-1）X2"=2"“—3-（2，L1）X2",所以。“=（2〃-3）x2"+3；選②：

S&=S；且7;=2-（；）”T因為S4=S；,所以4+6"=（2+d）2,解得：d=2或0（舍去），則

an=1+2（〃-1）=2〃-1,當〃=]得：4=2-1=1,當〃22時，

1121

b?=Tn-T?_t=2-（I）---2+（I）-=（I）-',經(jīng)檢驗，伉=1符合2=（；尸，綜上：出｝的通項公

1%=2〃一|

式為：〃,=（卞貝IJ2、7，則Q“=2°+3x2i+5x22+…+（2”-l）x2"T

①，2G?=2l+3x22+5x23+...+（2w-l）x2n（2）,兩式相減得：

-Q“=1+2x21+2x2?+2x23+...+2X2"T_（2”-1）X2"

nn+,

=l+2x±^—（2n-l）x2=2-3-（2H-1）X2",所以Q?=（2八一3）x2"+3；

1—2

（2）由（1）可得，選①②結果一樣，已知S“=”2,由53=鼠由，得

9=/《2+24+292）,所以=l+q+/,因為g>0,所以>1,即巾<九￡由于

2mz2療2

meN*,所以機=1或加=2,當機=1時，4?+夕一g=。解得：Q=（舍負），當

2

相=2時，<?+<?-1=0,解得：q=必普（舍負），所以q的值為二!?1或三巫.

18.⑴[T1]

【解析】

【分析】

（1）利用三角恒等變換公式將函數(shù)化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質計算可得；

7TTT94-CCSY

（2）依題意可得asinx-cosx22對任意的XE恒成立，參變分離可得a之一.」

_43Jsinx

TC4

對任意的XW恒成立，再利用二倍角公式、同角三角函數(shù)基本關系及對勾函數(shù)的性

答案第15頁，共21頁

質計算可得.

1JI]JI|1.\/3I1._71\j3

(1)解:f(x)=sin(.￥+—)cosx+—sin(2x+—)----=—smx+—cosxcosx+—sin(2x+—)--

32341/z)，

=kinxcosx+且cos2x+kin(2x+為一3=!」sin2x+L33s2x+l)+kin(2x+為一且

222342222234

='1'Sin2xH——cos2,xJ+—sin(2x+—)=~sin^2x+—j+—sin+—j=sin[2x4-—J,即

/(x)=sin(2x+q),所以

(2)解：由4(彳工一/)一/(7尢+3)之2得asinx-cosx..2對任意的xe■恒成立，因為

2621243

工€?,引，所以sinxe悼可，即aL+cosi對任意的x■恒成立,只需要

4322sinx43

2+cosx]又2+cosx2sinJ+2cos.+cos2.sin￡3cos￡+sin1

sin”Jmaxsin”2sin-cos-2sin-cos-

2222

.x

sin,所以tan]eV2-1,日

_2XX71zr

=tan—當工￡時,—G—其中

x22|_87

cos—

2

c冗

2tan一

tan—=-------=1,Bptan2—+2tan--1=0,則tan工二-1+夜或tan工=一1一0(舍

4西工8888

8

去)，。叵-1￡,又函數(shù)＞=騙+了)在閘上單調遞減，所以

3；3

2「不

2+cosx_3+/合泊—行上單調遞減，，當i一時

sinx2t

信+；)=20+1,所以a±2應+L

19.(1)證明見解析

(2)證明見解析

【解析】

【分析】

(1)由已知得＜=1-q，11=1-。,1(〃22),兩式相除整理得丁!一一丁」一=1(〃*2),

從而可證得結論,

答案第16頁，共21頁

(2)由(1)可得q=<,再利用累乘法求7；=——,從而

〃+1n+\

S.=年+穹+…+穹=*+/+…+/正，然后利用放縮法可證得結論

(1)因為,+1=1,所以7；=l-a,”.q=g,所以加=122),兩式相除，得

%=產(chǎn)^(〃22),整理為/=丁1—,再整理得，―5—一丁」一=1(〃22).所以數(shù)列

l-a,i2-a,-\-an

二為以2為首項，公差為1的等差數(shù)列.

(2)因為a“+7；=l,所以q=3，7L=2,由(1)知，丁‘一=2+"-1,故%=/_二

,1一41一a”〃+1

所以1,=a「a,……a?=^x|x---x-^--=-^—.所以

2372+1"+1

4=邛+年+…+號/+*+…+舟

11111111111pi

>---------1-----------1-----------------------=------------1----------+???-)------------------------=----------------.乂因為

2x33x4(〃+1)5+2)2334〃+1〃+22〃+2

〃+111__1

所以S”>a?+l-g.

~^2~22~7+2

20.(l)a=l,b-3；

(2)詳見解析;

(3)(-276-5,+oo)

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)函數(shù)/(x)=*F是奇函數(shù)，由/(T)=-/(X)求得小再根據(jù)定義域關于原

點對稱求解；

(2)利用函數(shù)單調性定義證明；

(2)將xe［l,2］時，2++2*>0恒成立，令f=2'—1,轉化為—相<，■)—H5,

f?1，3］時恒成立求解.

(1)解：因為函數(shù)/("=耍?是奇函數(shù)，所以/(一力=一/(可，即

a-2-x-\a-2x-\a-2x為‘即々-I,整理得

--------=nfnKJ----

2一"+12'+12A+1

(?-1)(2'+1)=0,所以“—1=0,即。=1,則—。―2=—3,因為定義域為［一4一2,目關于

答案第17頁，共21頁

原點對稱，所以b=3；

(2)〃力=|^在[—3,3]上遞增.證明：任取冷泡?-3,3],且及<%,貝IJ

28一12*2-12(2、-2叼)