廣東省2023屆高三年級上冊學期開學聯(lián)考數(shù)學試題（含答案解析）

廣東省2023屆高三上學期開學聯(lián)考數(shù)學試題

學校:姓名：班級:考號：

一、單選題

1.已知復數(shù)z滿足z(l+i)=2,則5的虛部為()

A.1B.-1C.iD.-i

2.集合4={小2->2<0},8=A},則()

A.(1,4)B.[1,4)C.(0,2)D.[0,2)

3.集合4=k.-_￥-2<0},B=^y\y=x1,x&A\,則4nB=()

A.(1,4)B.[1,4)C.(0,2)D.[0,2)

4.在平行四邊形ABC。中，點E、尸分別滿足讀=(配，BF=\FD,若麗=￡,

23

AD=b>則爐=()

5-3rc11-5rc13-3f19-5

A.—ci—bB.—a—bC.—a—bD.—a—br

124124124124

5.如圖所示的三棱錐P—ABC中，24_1面43。，AB1BC,PA=AB=BC=3f則

該三棱錐的外接球的表面積為()

274

A.B.27〃C.54萬D.108萬

6.如圖所示的三棱錐尸-A8c中,24_1面43。，AB1BC,PA=AB=BC=3,則

該三棱錐的外接球的表面積為（）

p

274

A.B.27%C.54萬D.108不

7.把函數(shù)y=sin2MxsR)的圖像上所有的點向左平行移動J個單位長度，再把所得

6

圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的g倍(縱坐標不變)，得到的圖像所表示的函數(shù)是

()

A.y=sin^4x4-^j,xeRB.y=sin^4x-^j,xeR

C.y=sin(4x+(),x￡RD.y=sin(4x-(1,x￡R

8.把函數(shù)y=sin2MxwR)的圖像上所有的點向左平行移動尚個單位長度，再把所得

o

圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的g倍(縱坐標不變)，得到的圖像所表示的函數(shù)是

()

A.y=sin^4x+-^j,xeRB.y=sin(4x一

C.y=sin(4x+(),x￡RD.y=sin^4x-yj,xeR

9.在0至5這6個數(shù)字中任選3個不同的數(shù)，組成一個三位數(shù)，若從這些三位數(shù)中任

取一個，則該數(shù)為三位偶數(shù)的概率是()

1n13〃14r3

A.~B.—C.—D.一

225255

10.在0至5這6個數(shù)字中任選3個不同的數(shù)，組成一個三位數(shù)，若從這些三位數(shù)中

任取一個，則該數(shù)為三位偶數(shù)的概率是()

1n13八14

A.-B.—C.—D.—

225255

11.已知/(x)=2x?,數(shù)列｛4｝滿足4=2,且對一切"€1<,有q+1=/(?！?，則

()

A.｛%｝是等差數(shù)列B.｛q｝是等比數(shù)列

C.｛1叫叫是等比數(shù)列D.｛log24+1｝是等比數(shù)列

12.已知f(x)=2x2,數(shù)列｛4｝滿足4=2,且對一切〃eN*,有4用=/(%)，則

()

A.｛%｝是等差數(shù)列B.｛q｝是等比數(shù)列

C.｛log?。,,｝是等比數(shù)列D.｛kgq+1｝是等比數(shù)列

13.設(shè)〃6=ln&，c=4J4,則()

A.a<b<cB.c<b<aC.a<c<bD.b<c<a

14_i4

14.設(shè)。=1^，b=ln也,c=一n一，則()

A.a<b<cB.c<b<aC.a<c<bD.h<c<a

二、多選題

15.已知，(x)=xe*,xeR,則()

A./,(x)=(x-l)e'B.曲線Ax)在(0,0)處的切線斜率為1

C./*)在(0,+8)上單調(diào)遞增D./(x)的最小值為

16.已知橢圓C：2+2=1，6、6是橢圓c的兩個焦點，M、N是橢圓C上兩

2516

點，且M、N分別在x軸兩側(cè)，則()

A.若直線MV經(jīng)過原點，則四邊形M耳N名為矩形

B.四邊形的周長為20

C.AM與工的面積的最大值為12

D.若直線MV經(jīng)過工，則耳到直線MN的最大距離為8

17.直六棱柱中，底面是邊長為2的正六邊形，側(cè)棱

9=2,點。是底面ABCOE尸的中心，貝ij()

A.。片〃平面ACRB.。耳與所成角的余弦值為遼

4

C.80,平面照"。D.B/與平面CCK尸所成角的正弦值

為正

4

18.已知直線/：'=以-1,曲線G"(x)=eW+l,曲線a關(guān)于直線y=x+l對稱的曲

線C2所對應(yīng)的函數(shù)為y=g(x),則以下說法正確的是()

A.不論。為何值，直線/恒過定點(0,-1)；

B.g(x)=lnx-l；

C.若直線/與曲線G相切，則。=1;

D.若直線/上有兩個關(guān)于直線y=x+1對稱的點在曲線C1上，則

19.已知直線/：丫=以-1,曲線G"(x)=e"i+1,曲線q關(guān)于直線y=x+l對稱的曲

線G所對應(yīng)的函數(shù)為y=g(x),則以下說法正確的是()

A.不論。為何值，直線/恒過定點(0,-1)；

B.g(x)=lnx-l；

C.若直線/與曲線G相切，則〃=1；

D.若直線/上有兩個關(guān)于直線y=x+l對稱的點在曲線G上，則0<a<l.

三、填空題

20.的展開式中的常數(shù)項為

21.的展開式中的常數(shù)項為

22.過點PQ2)作圓/+丁=4的兩條切線，切點分別為A、B,則直線A8的方程為

23.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于中國南北朝時期的數(shù)學著作《孫子

算經(jīng)》卷下第二十六題，叫做“物不知數(shù)”，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩

二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？現(xiàn)有這樣一個相關(guān)的問題：被3除余2

且被5除余3的正整數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列｛q｝，記數(shù)列｛”“｝的前

?項和為S“,則占土國的最小值為.

n

24.已知雙曲線=6、鳥是雙曲線c的左、右焦點，M是雙曲線C右支

43

上一點，/是N片M6的平分線，過K作/的垂線，垂足為尸，則點P的軌跡方程為

25.已知雙曲線C：?-q=l,K、8是雙曲線C的左、右焦點，M是雙曲線C右支

上一點，/是N片Mg的平分線，過外作/的垂線，垂足為P，則點尸的軌跡方程為

四、解答題

26.已知數(shù)列間的前〃項和為%q=l,且"尸也+1,么噬(〃eN*).

⑴證明：數(shù)列出｝是等差數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛《,｝的前〃項和.

27.已知銳角AABC中，角A、B、C所對邊為。、匕、c,且

tan8+tanC+6_6

tanBtanC

⑴求角A;

(2)若a=4,求A+c的取值范圍.

28.如圖所示，在直三棱柱ABC-4片￡中，底面AABC是邊長為2的等邊三角形,

A4t=4,。是AB的中點，E是CG上一點.

(1)求證：平面C￡>EJ■平面44百8；

(2)若CD〃平面48E,求平面A/E與平面ABC所成的銳二面角的余弦值.

29.甲、乙兩人進行下象棋比賽(沒有平局).采用“五局三勝''制.已知在每局比賽

中，甲獲勝的概率為P,O<P<1.

⑴設(shè)甲以3：1獲勝的概率為7(p),求/(P)的最大值；

⑵記(1)中，f(p)取得最大值時P的值為P°,以P°作為。的值，用X表示甲、乙兩

人比賽的局數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望E(X).

30.甲、乙兩人進行下象棋比賽(沒有平局).采用“五局三勝’’制.已知在每局比賽

中，甲獲勝的概率為人0<P<l.

⑴設(shè)甲以3：1獲勝的概率為了(p),求/(2)的最大值;

⑵記(1)中，/(P)取得最大值時P的值為P。，以P。作為。的值，用X表示甲、乙兩

人比賽的局數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望E(X).

31.已知拋物線U丫2=22武夕>0)的準線上一點￡(-印)，直線/過拋物線C的焦點

產(chǎn)，且與拋物線C交于不同的兩點A、B.

(1)求拋物線C的方程；

(2)設(shè)直線E4、EF、砂的斜率分別為勺、右、k3,求證：勺+k=2七.

32.已知函數(shù)/(x)=lnx+—4—,x>0.

x+1

(1)當左=4時，比較/(x)與2的大??；

2222

(2)求證：+-+----<ln(/i4-l),HGN*.

3572n+l

參考答案:

1.A

【分析】化簡z=l—i,再求出，=l+i即得解.

【詳解】由Z（l+i）=2,得2=二=坐2=1一「從而j1+i，所以I的虛部為1.

1+1r-i

故選：A

2.D

【分析】先求出集合A、B,再求出AflB.

【詳解】因為A={x|-l<x<2},B={y|0<j<4},所以Ac8={x[04x<2}.

故選：D

3.D

【分析】先求出集合A、B,再求出AQB.

【詳解】因為A={X[T<X<2},B={y|0<y<4},所以AcB={x[04x<2}.

故選：D

4.A

【分析】結(jié)合向量加法法則與減法法則運算求解即可.

【詳解】解：因為在平行四邊形A8CO中，點E、尸分別滿足詼=:或，麗=!麗,

23

所以而=而_通=（而+而）_（亞+詼），BF=^BD=^Ab-AB）=^b-d）,

所以喬=2+（/一4]一（萬+：￡）=卷￡_1尻

故選：A

5.B

【分析】將三棱錐補形成正方體，易知該三棱錐的外接球即為正方體的外接球，PC為外

接球的直徑，利用球的表面積公式求解即可.

答案第1頁，共19頁

【詳解】

將三棱錐補形成正方體，易知該三棱錐的外接球即為正方體的外接球，

27

所以PC為外接球的直徑2R,貝IJ可得(2R)2=PC2=PA2+AB2+3C2=27,即代=一，

4

所以外接球的表面積為S=4兀尸=277t.

故選：B.

6.B

【分析】將三棱錐補形成正方體，易知該三棱錐的外接球即為正方體的外接球，PC為外

接球的直徑，利用球的表面積公式求解即可.

【詳解】

將三棱錐補形成正方體，易知該三棱錐的外接球即為正方體的外接球，

97

所以PC為外接球的直徑2R,貝IJ可得(2R)2=PC2=PA2+A82+8C2=27,即/??=一,

4

所以外接球的表面積為S=4K/?2=27兀.

故選：B.

7.C

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖像變化規(guī)律即可求得解析式.

【詳解】把函數(shù)＞=sin2x(xeR)的圖像上所有的點向左平行移動三個單位長度，

答案第2頁，共19頁

所得圖像所表示的函數(shù)是y=sin2(x+eJ]=sin(2x+]J(xeR),

再把y=sin(2x+]](xeR)圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的3倍(縱坐標不變)，得到

的圖像所表示的函數(shù)是'=$吊(4犬+方)。?陽.

故選:C.

8.C

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖像變化規(guī)律即可求得解析式.

【詳解】把函數(shù)y=sin2x(xeR)的圖像上所有的點向左平行移動￡個單位長度，

0

所得圖像所表示的函數(shù)是y=sin2卜+弓)=sin(2x+S(xeR),

再把y=sin(2x+m}xeR)圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的g倍(縱坐標不變)，得到

的圖像所表示的函數(shù)是〉=5畝(4*+1[xeR).

故選:C.

9.B

【分析】先求出從0至5這6個數(shù)字中任選3個不同的數(shù)可組成的基本事件個數(shù)，再求出

三位偶數(shù)包含的基本事件個數(shù)，由古典概型的概率公式代入即可得出答案.

【詳解】在0至5這6個數(shù)字中任選3個不同的數(shù)，共可組成”=A；+A；x2=100個三位

數(shù)，

其中共有機=A；+(A；+A；)x2=52個偶數(shù)，

由古典概型概率計算公式有0='=羔=??

n10()25

故選：B.

10.B

【分析】先求出從0至5這6個數(shù)字中任選3個不同的數(shù)可組成的基本事件個數(shù)，再求出

三位偶數(shù)包含的基本事件個數(shù)，由古典概型的概率公式代入即可得出答案.

【詳解】在。至5這6個數(shù)字中任選3個不同的數(shù)，共可組成〃=A；+A；x2=100個三位

數(shù)，

答案第3頁，共19頁

其中共有機=A；+(A；+A；)X2=52個偶數(shù)，

由古典概型概率計算公式有P='=羔=曇?

n10()25

故選：B.

II.D

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式列出數(shù)列遞推關(guān)系式，再結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義逐項驗

證選項可得出答案.

【詳解】由題意知為+i=2“：，所以log24r+|=l+21og2a“，所以log2%+I=2(log24,+1),

〃eN",所以｛Iog24+1｝是等比數(shù)列，且log.,,+1=2",

所以log2a“=2"-1,選項A,B,C錯誤，選項D正確.

故選：D.

12.D

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式列出數(shù)列遞推關(guān)系式，再結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義逐項驗

證選項可得出答案.

【詳解】由題意知?！?[=2端，所以log2ae=l+2k>g2%,所以小24用+1=2(蜒24,+1),

neN\所以｛log?4+1｝是等比數(shù)列，且1幅4+1=2",

所以log2〃〃=2〃-1,選項A,B,C錯誤，選項D正確.

故選：D.

13.A

【分析】構(gòu)造函數(shù)f(x)=5二，求導得其單調(diào)性，再利用/5)單調(diào)性，即可判斷出4,6,C

X

的大小關(guān)系.

【詳解】設(shè)八")=In吐T，XG(0,+O)),

X

因為廣。)=匕少，令/'。)>0,得0<x<e；

X-

令八x)<0,得x>e.

所以fM在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減，

答案第4頁，共19頁

而=向，

b=In22=野=/(2)=等=/(4),

4-ln42-ln2

2

■y

因為0<&<2<e<曰<4,所以a<b<c.

2

故選：A.

14.A

【分析】構(gòu)造函數(shù)/(X)=HIn±T,求導得其單調(diào)性，再利用/(X)單調(diào)性，即可判斷出

X

的大小關(guān)系.

【詳解】設(shè)/(0=也InX，尢￡(0,”)，

x

因為:")=匕學，令/'3>0,得0<x<e；

X

令r(x)<0,得x>e.

所以/(X)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減，

而“=，

2je

b=ln22—若In=2八2)=\In-4=〃4),

4-ln42-ln2111T(2

。=丁=飛廠=,<萬e}>

22

l2

因為0<五<2<e<一e<4,所以〃<〃<c,

2

故選：A.

15.BCD

【分析】選項A：r(x)=(x+l)e\故不正確；選項B：曲線/J)在(0,0)處的切線斜率為

/(0)=1,故正確；選項C：的單調(diào)增區(qū)間為故正確；選項D：/(刈有最

小值八-1)=-1,故正確.

e

【詳解】解：選項A：因為/(x)=xe*,所以尸(x)=(x+l)e",故不正確；

答案第5頁，共19頁

選項B：曲線/(x)在(0,0)處的切線斜率為尸(O)=lxe°=l,故正確;

選項C：令((x)=(x+l)e*>0,解得x>-l,所以的單調(diào)增區(qū)間為(―1,內(nèi))，所以f(x)

在(0,+8)上單調(diào)遞增，故正確；

選項D：因為/(%)在(YO,-1)上單調(diào)遞減，在(-1,和)上單調(diào)遞增，所以/Xx)有最小值

，(-1)=+,故正確.

故選：BCD.

16.BC

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合橢圓的對稱性，焦點三角形的性質(zhì)依次討論各選項即可得答案.

【詳解】解：選項A：若直線MN經(jīng)過原點，易知四邊形”耳叫為平行四邊形，因為

|MN|不一定與忸周相等，所以"KN馬不一定是矩形，故不正確；

選項B：四邊形用耳2鳥的周長為44=20,故正確；

選項C：4鳥的面積的最大值為:x2cx6=3x4=12,故正確；

選項D：若直線MN經(jīng)過心，則《到直線的最大距離為忻閭=2c=6,故不正確.

故選：BC.

17.ABD

【分析】對于選項A：利用線面平行的判定定理，A正確；對于選項B：由異面直線所成

角的求法，可得B正確；對于選項C：根據(jù)線面垂直定義，舉反例，可得C不正確；對于

選項D：根據(jù)線面角的求解得出D正確.

答案第6頁，共19頁

對于選項A：記連接cq,易得OF//CO、,從而。匕〃平面ACA，故選

項A正確；

對于選項B：因為OK〃CO1,所以。耳與8c所成角即為NBC。(或其補角)，易得

81=2叵,B0\=2C，BC=2,由余弦定理，得cosNBCQ=生衛(wèi)生心C=坐，

2xBCxCO14

故選項B正確；

對于選項C：因為2804=60。，所以B0不與A。垂直，所以30不與平面A41Ao垂直，

故選項C不正確；

對于選項D：取CO中點"，連接用"、FH,易證用“，面C￡片尸，所以NB/H是BF

與平面CC山尸所成的角，在尸中，B、H=叢,FH=?4尸=4,所以

sinZBtFH=^-=—,故選項D正確.

B}F4

故選：ABD.

18.ACD

【分析】對于A,令x=0,得y=T,與。無關(guān)可判斷A；對于B,設(shè)M(x,y)是曲線C1上

任意一點，〃關(guān)于直線y=x+l的對稱點為列式求出g(x)可判斷B；設(shè)切點為

(七,%),由導數(shù)的幾何意義求出。=1可判斷C；直線/上有兩個關(guān)于直線y=x+i對稱的點

在曲線G上，等價于直線/與曲線C?有兩個不同的交點，即4=達上±！有兩個解，函數(shù)

X

/?(x)=@必，求出網(wǎng)x)的單調(diào)性，結(jié)合題意即可求出〃的取值范圍可判斷D.

X

【詳解】選項A：直線/：y=ar—1中，令x=0,得y=-l,與a無關(guān)，故正確；

選項B：設(shè)M(x,y)是曲線G上任意一點，M關(guān)于直線y=x+l的對稱點為AT(x',y'),

[x=yx—1

則，，，所以x'+l=e、e+l,即x'=e>-，則y'=ln),

[y=x'+l

從而g(x)=lnx,故不正確;

選項C：由g(x)=lnx,得，(x)=L

X

答案第7頁，共19頁

,、1Inxn+1

設(shè)切點為(玉),%),則切線斜率a=—=--—，

所以$=1,從而4=1,故正確；

選項D：直線/上有兩個關(guān)于直線y=x+i對稱的點在曲線C1上，

等價于直線/與曲線C2有兩個不同的交點.

方程or-l=lnx,即。=處里有兩個解，

X

設(shè)函數(shù)〃(x)=1”+1,x>0,"(x)=-,

XX

令"(x)=0,解得X=l,

所以函數(shù)〃(x)在(0,1)單調(diào)遞增，在(1,也)單調(diào)遞減，

所以〃="1)=1，

又當x趨近于正無窮時，/z(x)趨近于0,當x趨近于0時，趨近于負無窮，

所以ae((),l),故正確.

故選：ACD.

19.ACD

【分析】對于A,令x=0,得y=-1,與。無關(guān)可判斷A；對于B,設(shè)”(x,y)是曲線G上

任意一點，M關(guān)于直線y=x+l的對稱點為列式求出g(x)可判斷B：設(shè)切點為

(%,%),由導數(shù)的幾何意義求出”=1可判斷C；直線/上有兩個關(guān)于直線y=x+l對稱的點

在曲線a上，等價于直線/與曲線Cz有兩個不同的交點，即〃=孫山有兩個解，函數(shù)

X

“(幻=見等，求出妝x)的單調(diào)性，結(jié)合題意即可求出a的取值范圍可判斷D.

【詳解】選項A：直線/：>=以―1中，令x=0,得y=-l,與a無關(guān)，故正確；

選項B：設(shè)歷(x,y)是曲線G上任意一點，M關(guān)于直線丫=》+1的對稱點為

則所以V+l=ei+l,即x，=e>‘，則V=ln/,

[y=x+i

從而g(x)=lnx,故不正確；

選項C：由g(x)=lnx,得g〈x)=L

X

,、1In+1

設(shè)切點為(毛,%),則切線斜率。=—=一'—,

X。X。

答案第8頁，共19頁

所以%=1,從而4=1,故正確；

選項D：直線/上有兩個關(guān)于直線y=x+i對稱的點在曲線C1上，

等價于直線/與曲線C?有兩個不同的交點.

方程奴-l=lnx,即。=曲也有兩個解，

X

設(shè)函數(shù)/?(x)="+1,x>0,h\x)=-,

XX

令〃'(x)=0,解得X=l,

所以函數(shù)〃(x)在(0,1)單調(diào)遞增，在(1,e)單調(diào)遞減，

所以抑X)mx=W)=l，

又當X趨近于正無窮時，〃(x)趨近于0,當X趨近于0時，以幻趨近于負無窮，

所以ae(0,l),故正確.

故選：ACD.

20.1120

【分析】先求出(X-：)的展開式的通項，令8-2%=0,求出％,回代入通項即可求出答

案.

【詳解】因為卜的展開式的通項為：=C?產(chǎn)A=C?(-2)?N也，

令8-22=0,得k=4,

所以卜-的展開式的常數(shù)項為1=C；?(-2)4=1120.

故答案為：1120.

21.1120

【分析】先求出卜的展開式的通項，令8-2%=0,求出上,回代入通項即可求出答

案.

【詳解】因為jx-2T的展開式的通項為：%=0.產(chǎn)2丫=《.(一2y?產(chǎn)巴

令8-2Z=0,得Z=4,

答案第9頁，共19頁

所以卜-的展開式的常數(shù)項為Z=c卜(-2)4=1120.

故答案為：1120.

22.x+y-2=0

【分析】由題知4(0,2)、8(2,0),進而求解方程即可.

【詳解】解：方法1：由題知，圓》2+y2=4的圓心為(0,0),半徑為r=2,

所以過點P(2.2)作圓/+丁=4的兩條切線，切點分別為A(0,2)、8(2,0),

所以％AB=-1，

所以直線A3的方程為y=-x+2,即x+y-2；

方法2：設(shè)AG，X),WWM，則由《必弘-2,,可得為+)1=2,

—.---------——1

3x,-2

同理可得/+必=2,

所以直線A8的方程為x+y—2=0.

故答案為：x+y-2

“121

23.——

2

【分析】由題意可得數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，進而可得S“，及弋⑵),利用基本不等式可

得最值.

【詳解】被3除余2且被5除余3的正整數(shù)按照從小到大的順序排成一列,

構(gòu)成首項為8,公差為3x5=15的等差數(shù)列,

所以a“=8+15x(〃—l)=15〃-7,5?=8n+^^x15=yn2+1n

從而S,+120=

n

當且僅當當=詈

即〃=4時，等號成立,

r-r-?,S+120,,?,加、j121

所以-------的取小值為――，

n2

121

故答案為：

24.X2+/=4(X>0)

答案第10頁，共19頁

【分析】延長工2，交耳M于Q,可證得四△MP。，結(jié)合題意易證得P的軌跡是

以。為圓心，半徑為2的圓的一部分，即可求出點P的軌跡方程.

【詳解】延長尼P,交耳用于。，因為ZMPF2=ZMPQ,

\MP\=\MP\,所以AMP巴名△仞PQ,所以=

所以|Q周=|M周一|MQ|=|肛1TM閭，

因為“是雙曲線C右支上一點，所以|。娟=2“=4,

又因為P是。鳥的中點，。是￡鳥的中點，所以歸0|=］。胤=2,

所以P的軌跡是以0為圓心，半徑為2的圓的一部分，

所以點P的軌跡方程為丁+丁=4(%>0).

故答案為：x2+y2=4(x>0).

25.x2+y2=4(x>0)

【分析】延長EP,交片/于Q,可證得巴絲△MP。，結(jié)合題意易證得尸的軌跡是

以。為圓心，半徑為2的圓的一部分，即可求出點尸的軌跡方程.

【詳解】延長EP,交耳M于。，因為NPMF?=NPMQ,ZMPF2=ZMPQ,

答案第11頁，共19頁

\MP\=\MP\,所以所以|M閭=|囤，

所以|Q周=|M周一|M2|=|M制一|M國，

因為例是雙曲線C右支上一點，所以|。國=2a=4,

又因為尸是。死的中點，。是斗耳的中點，所以歸。|=g|Q用=2,

所以P的軌跡是以。為圓心，半徑為2的圓的一部分，

所以點尸的軌跡方程為x2+/=4(x>0).

故答案為：x2+y2=4(x>0).

26.(1)證明見解析

(2)S?=(n-l)x2n+l,?eN"

【分析】⑴根據(jù)S.+-S/=4M得到%=44-4%，再同除2向，即可得到

(“22且〃eN*),從而得證；

(2)首先求出｛〃,｝的通項公式，即可求出明的通項公式，從而得到I.

(1)

證明：因為Sn+i=4〃,,+1,〃wN*,所以S“=4a“_1+1,n>2finGN*>兩式相減，得

4+1=4/_41,

答案第12頁，共19頁

所以/+43=4勺，所以爵+翁=2x祟，即%+%=2"(〃22且“eN,),所以

數(shù)列也｝是等差數(shù)列.

(2)

解：因為。[=1,%+々2=52=4%+1=5,所以4=4,由(1)知數(shù)列｛"｝是等差數(shù)列，公

差為“=今-穿

222,2

所以以=g+("T)x/=],

所以q=]X2"=〃X2"T,〃eN*,

所以當“22時，S“=4a,i+l=4x(〃-l)x2"-2+l=("-l)x2"+l,

當〃=1時，等式也成立，所以S,,=(〃一l)x2"+l,?eN*.

7T

27.⑴A=

⑵卜6,8]

【分析】(1)利用兩角和的正切公式及誘導公式計算可得；

(2)利用正弦定理將邊化角，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于B的三角函數(shù)，根據(jù)8的取值范圍及正弦函數(shù)

的性質(zhì)計算可得.

(1)

解：因為3'+tanC+G=石，所以tanB+tanC+A/5=GtanBtanC,

tanBtanC

vl.._tanB+tanC/r

所以tan3+tanC=V3(tanBtanC-l),從而------------=S,

1-tanBtanC

即tan(B+C)=-S

所以tanA=6，因為Aw(0,九)，所以A=m.

(2)

解：因為。=4,A=g,由正弦定理，W—=—=—=—

3sin8sinCsinA3

所以。二8巨sinB,

3

答案第13頁，共19頁

晅（也cosB+\n8=4cos8+逑sinB

31223

所以〃+c=46sinB+4cos3=8sin[B+已）,

又因為△ABC為銳角三角形,

0<B<-。

2,gpf<<"所以—8+/亭,

所以B

62363

32

所以等＜sin〔B+翡1,從而6+c的取值范圍為(4g,8].

28.(1)證明見解析

(2)當

【分析】(1)根據(jù)題意證明CDJ■平面例8出即可證明結(jié)論；

(2)取4片中點F,連接GF、DF,記。尸nAB=G,則G是DF中點，連接GE,進

而得E是CG中點，故以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，利用坐標法求解即可.

(1)

解：在直三棱柱中，AA，平面A8C,

因為CDu平面A8C,所以4兒_LCO,

因為AAfiC是等邊三角形，。是4B的中點，所以43_L8,

因為A41nA8=A,44,,A8u平面AAg8,

所以8,平面

又因為CDu平面CDE,

所以，平面CDEL平面A4$B.

(2)

解：取44中點F,連接C/、DF,

記。尸nAB=G,則G是。F中點，連接GE,則平面CQF￡n平面ABE=GE,

答案第14頁，共19頁

因為C。//平面ABE,COu平面COFG，

所以CD//GE,

因為G是￡)尸中點，

所以E是CG中點.

所以，以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，如圖,

則A(0,0,0),8(6,1,0),E(0,2,2),4(0,0,4),

所以麗=(0,0,4),平=(6,1,Y),平=(0,2,-2)

設(shè)平面ABE的一個法向量為;;=(%y,z),

無卒=0y/3x+y-4z=0即卜二任

則所以＜令z=l,得3=(6,1,1),

n-\E=o2y-2z=0Iy=z

因為A4,_L平面ABC,

所以平面ABC的一個法向量為麗'=((),0,4),

所以平面A.BE與平面ABC所成的銳二面角Q的余弦值為

卜刊_|GX0+1X0+1X4|__4__立

cos6=

,^(>/3)2+12+12X>/o2+02+424石5

所以，平面ABE與平面A8C所成的銳二面角的余弦值g.

29?⑴裝

答案第15頁，共19頁

(2)分布列見解析，潦

【分析】(1)根據(jù)題意列出“P)的解析式，通過求導即可得到〃P)的最大值.

(2)由(1)得到P。的值，再根據(jù)X的可能取值為3,4,5,分別求出其所對應(yīng)概率即可得

出分布列，再由公式求得期望即可.

(1)

甲以3：1獲勝，則前三局中甲勝兩局敗一局，第四局甲必須獲勝，

所以/(0)=《?/?(>p)=3"-3",O<P<1,尸(p)=9p2-12p3=3p2(3-4p),

令;(p)=。，得〃=7；令f(p)>0,wo<p<-；令/(p)<。，得:<P<1.

444

在(jl)上單調(diào)遞減，所以當p=:時，/(P)取得最大值

所以/(〃)在［OqJ上單調(diào)遞增，

為生.

256

(2)

3

由(1)知2=〃。=^，由題意,知X的所有可能取值為3、4、5,相應(yīng)的概率為

/、3z、3

_一<3Y<1￥271

-I+1-I=-----1-----=----，

4)⑷646416

P(X=4)=C；x(；Jxg+C；xjx1Y_81945

4J-256+256-128'

P(X=5)=C；

所以X的分布列為

X345

74527

P

16128128

74577

X的數(shù)學期望E(X)=3x，+4x衛(wèi)+5x2=蝮

16128128128

3°?⑴蓑

答案第16頁，共19頁

(2)分布列見解析，潦

【分析】(1)根據(jù)題意列出“P)的解析式，通過求導即可得到〃P)的最大值.

(2)由(1)得到P。的值，再根據(jù)X的可能取值為3,4,5,分別求出其所對應(yīng)概率即可得

出分布列，再由公式求得期望即可.

(1)

甲以3：1獲勝，則前三局中甲勝兩局敗一局，第四局甲必須獲勝，

所以/(0)=《?/?(>p)=3"-3",O<P<1,尸(p)=9p2-12p3=3p2(3-4p),

令;(p)=。，得〃=7；令f(p)>0,wo<p<-；令/(p)<。，得:<P<1.

444

在(jl)上單調(diào)遞減，所以當p=:時，/(P)取得最大值

所以/(〃)在［OqJ上單調(diào)遞增，

為生.

256

(2)

3

由(1)知2=〃。=^，由題意,知X的所有可能取值為3、4、5,相應(yīng)的概率為

/、3z、3

_一<3Y<1￥271

-I+1-I=-----1-----=----，

4)⑷646416

P(X=4)=C；x(；Jxg+C；xjx1Y_81945

4J-256+