浙江省玉環(huán)縣瀘浦鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)正數(shù)和負(fù)數(shù)同步輔導(dǎo)

正數(shù)和負(fù)數(shù)1．正數(shù)和負(fù)數(shù)(1)正數(shù)的概念小學(xué)學(xué)過(guò)的數(shù)除零以外，都是大于0的數(shù)，這樣的數(shù)叫做正數(shù)．如：3,，＋eq\f(3,4)，….正數(shù)前面加“＋”(正)號(hào)，有時(shí)根據(jù)需要“＋”可以省略不寫．(2)負(fù)數(shù)的概念在正數(shù)的前面加上符號(hào)“－”(負(fù))的數(shù)叫做負(fù)數(shù)．如：－5，－，－2eq\f(3,7)，….注意：負(fù)數(shù)前面的“－”(負(fù))號(hào)不能省略．(3)一個(gè)數(shù)前面的“＋”“－”號(hào)叫做它的符號(hào)．破疑點(diǎn)對(duì)正數(shù)和負(fù)數(shù)的理解要特別注意：“大于0”是正數(shù)的本質(zhì)，當(dāng)用字母表示數(shù)時(shí)，不能只看帶不帶“＋”號(hào)，不要誤認(rèn)為“a”前面是正號(hào)就是正數(shù)，也不要以為“－a”前面帶有“－”號(hào)就是負(fù)數(shù)，關(guān)鍵是看這個(gè)數(shù)是不是大于0.【例1】下面哪些是正數(shù)，哪些是負(fù)數(shù)？－11,，＋73，－，eq\f(1,6)，－eq\f(3,4)，－,100.分析：像，＋73，eq\f(1,6)，100等比0大的數(shù)是正數(shù)．像－11，－，－eq\f(3,4)，－等在正數(shù)前面帶有負(fù)號(hào)的數(shù)是負(fù)數(shù)．解：正數(shù)是：，＋73，eq\f(1,6)，100；負(fù)數(shù)是：－11，－，－eq\f(3,4)，－.2．零的性質(zhì)(1)零既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，是介于正數(shù)和負(fù)數(shù)之間的唯一中性數(shù)，零是正、負(fù)數(shù)的分界．(2)零是自然數(shù)，是整數(shù)，是偶數(shù)．(3)0的意義在計(jì)數(shù)時(shí)表示“沒(méi)有”．(4)零是表示具有相反意義量的基準(zhǔn)數(shù)．(此時(shí)它不能表示沒(méi)有．)例如：海拔0米的地方表示它與基準(zhǔn)的海平面一樣高，收支平衡可記作0元．【例2】判斷下列說(shuō)法是否正確．(1)零是正數(shù)；()(2)零是整數(shù)；()(3)零是非負(fù)數(shù)；()(4)零是偶數(shù)．()解析：(1)零既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，故不正確；(2)零是自然數(shù)，也是整數(shù)，故正確；(3)正數(shù)和零稱為非負(fù)數(shù)，故正確；(4)4,2,0，－2，－4，……都是偶數(shù)，故正確．答案：(1)×(2)√(3)√(4)√3．相反意義的量(1)含義：生產(chǎn)和生活中某件事情常常存在與其相反或相對(duì)的另一面，如：“向左”與“向右”、“增加”與“減少”等，當(dāng)它們與數(shù)字、單位結(jié)合在一起時(shí)就構(gòu)成相反意義的量．(2)應(yīng)用方法：相反意義的量可用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示．至于哪一種量為正，可以自由確定，當(dāng)已知一個(gè)量用正數(shù)表示時(shí)，與其相反意義的量就用負(fù)數(shù)表示，反之亦然．習(xí)慣上把“前進(jìn)、上升、零上溫度、增加”等規(guī)定為正，而把“后退、下降、零下溫度、減少”等規(guī)定為負(fù)．【例3－1】(1)如果零上3℃記為＋3℃，那么－(2)如果下降3米記為－3米，那么上升5米應(yīng)記為_(kāi)_________；(3)如果前進(jìn)5千米，記為＋5千米，那么后退6千米應(yīng)記為_(kāi)_________；(4)支出10元人民幣記賬為－10元，那么＋20元表示的意義是__________；(5)某倉(cāng)庫(kù)運(yùn)出貨物20千克記為－20千克，那么運(yùn)進(jìn)35千克貨物應(yīng)記為_(kāi)_________．解析：(1)零上3℃規(guī)定為＋3℃，即“＋”號(hào)表示“零上”，那么與它相反意義的量“零下”就規(guī)定為“(2)本小題的“－”號(hào)表示“下降”，因此，“上升”應(yīng)記為“＋”，也就是說(shuō)，具有相反意義的兩個(gè)量，把其中的一個(gè)規(guī)定為正時(shí)，那么另一個(gè)即為負(fù)．(3)～(5)小題類似．答案：(1)零下7℃；(2)＋5米；(3)－6千米；(4)收入20元人民幣；(5)＋35千克析規(guī)律相反意義的量的規(guī)定習(xí)慣題中的“零上、上升、前進(jìn)、收入、運(yùn)進(jìn)、增產(chǎn)”表示的量均為正數(shù)，與它們意義相反的量則都用負(fù)數(shù)表示．【例3－2】用正負(fù)數(shù)表示下列相反意義的量．(1)存入銀行100元，從銀行取出200元；(2)高出海平面500米，低于海平面200米；(3)超出正常體重5kg，不足正常體重3kg；(4)汽車向左行駛20千米，向右行駛300千米．分析：可人為規(guī)定相反意義量的一方為正，則另一方為負(fù)．如可規(guī)定“存入、高出海平面、超出正常體重、汽車向左行駛”為正，則“取出、低于海平面、不足正常體重、向右行駛”即為負(fù)．解：(1)存入銀行100元記為＋100元，則從銀行取出200元記為－200元；(2)高出海平面500米，記為＋500米，則低于海平面200米可記為－200米；(3)超出正常體重5kg，記為＋5kg，則不足正常體重3kg可記為－3kg；(4)汽車向左行駛20千米，記為＋20千米，則向右行駛300千米記為－300千米．4．運(yùn)用正負(fù)數(shù)表示相反意義的量在實(shí)際生活中，常常把零上的溫度、上升的高度、收入、買入物品等規(guī)定為正的，而把與它們相反意義的量規(guī)定為負(fù)，用負(fù)數(shù)表示．引入負(fù)數(shù)后，“0”不再僅僅表示沒(méi)有，而是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界線，具有初始位置的意義．(1)相反意義的量基準(zhǔn)明確就是說(shuō)變化過(guò)程方向明確，數(shù)量明確，不受其他數(shù)的影響，也不用關(guān)心起始點(diǎn)，此類問(wèn)題只要規(guī)定好一個(gè)方面為正，則另一個(gè)方面為負(fù)就可以．警誤區(qū)相反意義的量的理解相反意義的量并不唯一，如：增加5千克與減少10千克和減少3千克都是相反意義的量．(2)相反意義的量基準(zhǔn)不明確有些數(shù)據(jù)型的量，起點(diǎn)不是以0開(kāi)始，需要把某一個(gè)數(shù)值視為基準(zhǔn)點(diǎn)0，如平均數(shù)等．,【例4－1】小王騎車向東走了10千米，又向西走了5千米．怎樣用正負(fù)數(shù)表示？分析：有兩種表示方法，分向東或向西為正兩種情況．解：若規(guī)定向東為正，則小王騎車向東走了10千米，表示為＋10千米，向西走了5千米，可表示為－5千米．若規(guī)定向西為正，則小王騎車向東走了10千米，表示為－10千米，向西走了5千米，可表示為＋5千米．【例4－2】如圖，小王騎車從0點(diǎn)向東走了10千米到A點(diǎn)，接著又向西走了5千米到B點(diǎn)，規(guī)定向東為正，用正負(fù)數(shù)表示A，B兩點(diǎn)．分析：從0開(kāi)始，小王向東走了10千米，規(guī)定向東為正，則A點(diǎn)表示為＋10；小王又向西走了5千米后，與0點(diǎn)的距離為5千米，且在0點(diǎn)東側(cè)，于是B點(diǎn)表示＋5.解：A點(diǎn)表示＋10，B點(diǎn)表示＋5.【例4－3】某項(xiàng)科學(xué)研究，以45分鐘為一個(gè)時(shí)間單位，規(guī)定9：15記為－1,10：45記為1，則上午7：45應(yīng)該怎樣記？分析：關(guān)鍵是找到10時(shí)為基準(zhǔn)點(diǎn)0.因?yàn)?：45到10時(shí)共有3個(gè)45分鐘，故7：45記為－3.解：7：45應(yīng)記為－3.5.正、負(fù)數(shù)的判斷在正數(shù)的前面加上“＋”號(hào)，以強(qiáng)調(diào)它是正數(shù)，如正數(shù)3寫作＋3，通常“＋”號(hào)省略不寫；負(fù)數(shù)前面的“－”號(hào)不能省略，如負(fù)數(shù)5寫作－5.正數(shù)和負(fù)數(shù)是相對(duì)而言的，取決于作為基準(zhǔn)的量，但一般情況下，人們習(xí)慣上這樣來(lái)規(guī)定正數(shù)和負(fù)數(shù)：收入為正，支出為負(fù)；零上為正，零下為負(fù)；高出海平面為正，低于海平面為負(fù)．判斷一個(gè)數(shù)是否是負(fù)數(shù)，關(guān)鍵是看是否正數(shù)前面帶有“－”號(hào)，而不是看它是否有“－”號(hào)．例如：－(－3)就不是負(fù)數(shù)．警誤區(qū)正負(fù)數(shù)的有關(guān)名稱顧名思義，非負(fù)數(shù)表示不是負(fù)數(shù)的數(shù)，就是0或正數(shù)，同樣非正數(shù)表示不是正數(shù)的數(shù)，雖然0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，但屬于非負(fù)數(shù)或非正數(shù)．【例5－1】指出下列各數(shù)中，哪些是正數(shù)，哪些是負(fù)數(shù)．－2，＋2eq\f(1,3)，0,3eq\f(1,5)，204，－，＋，－5eq\f(1,7).分析：根據(jù)正數(shù)和負(fù)數(shù)的意義來(lái)判斷．還要特別注意0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)．解：＋2eq\f(1,3)，3eq\f(1,5)，204，＋是正數(shù)；－2，－，－5eq\f(1,7)是負(fù)數(shù)．解技巧負(fù)數(shù)的判定認(rèn)為凡是不帶“－”號(hào)的數(shù)都是正數(shù)是錯(cuò)誤的，“一個(gè)數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)”這是初學(xué)正負(fù)數(shù)概念時(shí)容易出現(xiàn)錯(cuò)誤的地方．只有在正數(shù)的前面添上“－”號(hào)才是負(fù)數(shù)．【例5－2】判斷下列說(shuō)法是否正確．(1)任意一個(gè)正數(shù)，前面加上“－”號(hào)，就是一個(gè)負(fù)數(shù)．(2)大于零的數(shù)都是正數(shù)．(3)字母a既是正數(shù)，又是負(fù)數(shù)．分析：(1)負(fù)數(shù)就是正數(shù)前面加上負(fù)號(hào)的數(shù)，故正確；(2)正數(shù)都是大于0的數(shù)，故正確；(3)字母既可以表示正數(shù)也可以表示負(fù)數(shù)，它是個(gè)未知數(shù)，故錯(cuò)誤．解：(1)對(duì)；(2)對(duì)；(3)錯(cuò)．6．正負(fù)數(shù)計(jì)算時(shí)差的應(yīng)用在地理學(xué)中，經(jīng)常用正數(shù)和負(fù)數(shù)來(lái)計(jì)算比較一個(gè)城市時(shí)間的早和晚．通常是把某一城市定為標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間0，比它早的為正，比它晚的為負(fù)．解技巧時(shí)間轉(zhuǎn)換時(shí)間轉(zhuǎn)換時(shí)要注意每晝夜是24小時(shí)．【例6】下面是幾個(gè)城市與北京的時(shí)差，紐約：－13，巴黎：－7，東京：＋1.如果北京現(xiàn)在是早上7：00，那么紐約、巴黎、東京分別是幾時(shí)？分析：關(guān)鍵：負(fù)數(shù)表示比北京晚的時(shí)間數(shù)．解：紐約：－13表示比北京晚13小時(shí)，當(dāng)北京是早上7：00時(shí)，紐約是前一天的18：00；巴黎比北京晚7小時(shí)，現(xiàn)在正好是前一天的24：00.東京比北京早1小時(shí)，現(xiàn)在是早上8：00.7.正負(fù)數(shù)在股票交易中的應(yīng)用日常生活中水位的變化，股市行情變化，溫度升降等都可以用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示，不僅能表示出變化的方向，而且還能表示出變化幅度的大?。纾涸诠墒猩希蠞q記為“＋”，下跌記為“－”，不漲不跌記為“0”．【例7】王先生上周五買進(jìn)某種股票3000股，每股16元，下表為本周五個(gè)交易日的漲跌情況(單位：元)：星期一二三四五每股漲跌－－相對(duì)于前一個(gè)交易日，哪天股票是上漲的，哪天是下跌的？分析：根據(jù)股票交易表示法，正數(shù)表示上漲，負(fù)數(shù)表示下跌．解：周一、周二、周五這三天是上漲的，周三、周四是下跌的．8.正負(fù)數(shù)在產(chǎn)品檢測(cè)中的應(yīng)用某一產(chǎn)品質(zhì)量是否合格，都有一定的指標(biāo)數(shù)值，而實(shí)際生產(chǎn)的產(chǎn)品，可能在這一標(biāo)準(zhǔn)上下波動(dòng)，波動(dòng)值在規(guī)定的范圍內(nèi)稱為合格，超出了規(guī)定值，則不合格．一般把產(chǎn)品的標(biāo)準(zhǔn)值記為0，在標(biāo)準(zhǔn)值以上的記為正，以下的記為負(fù)．解技巧正負(fù)數(shù)的應(yīng)用技巧抓住標(biāo)準(zhǔn)數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)以上記為“＋”，標(biāo)準(zhǔn)以下記為“－”，即比標(biāo)準(zhǔn)數(shù)量多多少記為“＋”的多少，少多少記為“－”的多少．【例8】某品牌奶粉標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量454克．超出2克的記為＋2克，若低于標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量3克以上，則視為不合格．現(xiàn)抽取10袋進(jìn)行檢測(cè)，結(jié)果如下：袋號(hào)12345678910記作－203－4－3－5＋4＋4－5－3(1)這10袋中，有幾袋不合格？(2)質(zhì)量最大的是哪袋？實(shí)際質(zhì)量是多少？(3)質(zhì)量最小的是哪袋，實(shí)際質(zhì)量是多少？分析：是在基準(zhǔn)數(shù)基礎(chǔ)上的波動(dòng)，所以在基準(zhǔn)數(shù)基礎(chǔ)上加減．解：(1)有3袋不合格，分別是第4袋、第6袋、第9袋．(2)質(zhì)量最大的是第7,8袋，實(shí)際質(zhì)量均是454＋4＝458(克)；(3)質(zhì)量最小的是第6,9袋，實(shí)際質(zhì)量均為454－5＝449(克)．9.用正負(fù)數(shù)表示誤差范圍生產(chǎn)中，雖然對(duì)產(chǎn)品的尺寸、質(zhì)量等都設(shè)計(jì)了標(biāo)準(zhǔn)規(guī)格，但是，一般在實(shí)際加工中，每個(gè)產(chǎn)品不可能都做得與標(biāo)準(zhǔn)規(guī)格完全一樣，通常在某個(gè)范圍內(nèi)，只要不影響使用，產(chǎn)品比標(biāo)準(zhǔn)規(guī)格稍大一點(diǎn)，或稍小一點(diǎn)，都屬于合格品，而超出這個(gè)范圍的產(chǎn)品就是不合格的了．在生產(chǎn)和檢驗(yàn)產(chǎn)品時(shí)，通常在生產(chǎn)圖紙上，對(duì)每個(gè)產(chǎn)品的合格范圍有明確的規(guī)定．例如，圖紙上注明一個(gè)零件的直徑是(30±m(xù)m，這樣標(biāo)注表示零件直徑的標(biāo)準(zhǔn)尺寸是30mm，實(shí)際產(chǎn)品的直徑最大可以是(30＋mm，最小可以是(30－mm，在這個(gè)范圍內(nèi)的產(chǎn)品都是合格的，這里給出了允許誤差的大?。试S誤差一般用正負(fù)數(shù)的形式寫出．【例9－1】某糧店出售的三種品牌的面粉袋上分別標(biāo)有質(zhì)量為(25±kg、(25±kg、(25±kg的字樣，從中任意取出兩袋，它們的質(zhì)量最多相差()．A．0.8kg B．0.6kg C．0.5kg D．0.4kg解析：從條件中可以看出，在三袋面粉中，最多可以超出標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量0.3kg，最低可以低于標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量0.3kg，所以從中任意取出兩袋，它們的質(zhì)量最多相差0.6kg.要正確地解答本題，不僅要知道面粉袋上標(biāo)有質(zhì)量為(25±m(xù))kg的意義，還要考慮到兩袋面粉如何搭配才能使差值最大，顯然考慮到最大的可能與最小的可能的差值．答案：B【例9－2】工廠要加工一種軸，直徑在299.5mm到300.2mm之間的產(chǎn)品都是合格的，生產(chǎn)圖紙通常用Φ300＋－表示直徑的長(zhǎng)度，＋表示最大可比300mm多0.2mm，－表示最小可比300mm少0.5mm，加工一根軸，圖上標(biāo)明的加工要求是Φ450＋－，則下列零件合格的是()．A．448mm B．449mmC．450.01mm D．451.0mm答案：C10.用正負(fù)數(shù)探索數(shù)列研究數(shù)字的排列規(guī)律，要從兩方面入手，一是要觀察符號(hào)的排列規(guī)律；二是數(shù)字本身與序號(hào)及其他數(shù)字之間的順序關(guān)系．析規(guī)律正負(fù)數(shù)的表示規(guī)律解決這類題目要充分考查所給數(shù)據(jù)，關(guān)鍵在于抓住序號(hào)與對(duì)應(yīng)數(shù)字之間的規(guī)律，找出能準(zhǔn)確反映變化規(guī)律的關(guān)系，由特殊到一般，并注意驗(yàn)證．【例10】觀察下列按次序排成的一列數(shù)，你能發(fā)現(xiàn)它的排列有什么規(guī)律？它后面的三個(gè)數(shù)是什么數(shù)？試把它寫出來(lái)．(1)2，－4,6