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文檔簡介
1.5
無窮小的比較
本節(jié)我們對一些尚未解決的極限問題做一點初步的討論.因為無窮大的倒數(shù)為無窮小,
我們用“0”和“
”分別表示無窮小和無窮大,則下列形式的極限都不能用極限運(yùn)算法則求解:所以,和都可以看做的變形.由也是的變形.
原因是這些形式的極限值可能是任意的實數(shù),也可能不存在.我們稱上述四種形式的極限為未定式的極限,例如,不存在.另外,對冪指函數(shù)(且不恒等于1),
由及指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的連續(xù)性,有如果為未定式的極限,為型未定式,即則也是未定式,且有以下三種形式:而且這三種形式經(jīng)過函數(shù)的恒等變形都可以化為的形式.
綜上所述,兩個無窮小之商的極限,在極限的討論中具有特別的地位.
實際上,這樣的極限是對兩個無窮小趨于零的速度進(jìn)行比較,簡稱無窮小的比較.
例如,當(dāng)不可比.下面我們對無窮小趨于零的速度進(jìn)行量化比較.觀察各極限極限不同,反映了趨向于零的“快慢”程度不同.不存在,定義1.11
(無窮小量階的比較)
記作記作注:在不太關(guān)心無窮小具體表示時,也把無窮小
記作例1證明當(dāng)
證(1)
(2)令故(2)成立.
(3)
由(1)有
再由(2)有
特別地,如果當(dāng)時,是無窮小,習(xí)慣將同冪函數(shù)進(jìn)行比較.
例2當(dāng)解常用等價無窮小:一個無窮小性質(zhì):例如,當(dāng)證定理1.22
(無窮小的等價代換)意義:利用等價無窮小代換,可以簡化極限的計算.
解注意:無窮小替換定理適用于乘、除情形,無窮小代數(shù)和的情形需慎用.例3求解解錯例4求解例5求解
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