2023年初中數(shù)學競賽輔導資料七年級用

初中數(shù)學競賽輔導資料第一講數(shù)的整除一、內(nèi)容提綱:假如整數(shù)A除以整數(shù)B（B≠０)所得的商A/B是整數(shù),那么叫做Ａ被B整除．０能被所有非零的整數(shù)整除．一些數(shù)的整除特性除數(shù)能被整除的數(shù)的特性２或5末位數(shù)能被２或5整除４或25末兩位數(shù)能被4或２5整除8或125末三位數(shù)能被8或125整除3或9各位上的數(shù)字和被3或9整除（如７７１,５4324)1１奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位上的數(shù)和相減,其差能被１１整除(如１４３，1８５9,1２87，９0８27０等）7,11，13從右向左每三位為一段,奇數(shù)段的各數(shù)和與偶數(shù)段的各數(shù)和相減，其差能被7或11或1３整除．(如100１，2２7４3，17５67，２１281等)能被７整除的數(shù)的特性:①抹去個位數(shù)②減去原個位數(shù)的2倍③其差能被7整除。如1０0１１00-2＝98(能被7整除）又如７0077０0－14=68６,68-12=5６（能被7整除)能被11整除的數(shù)的特性:①抹去個位數(shù)②減去原個位數(shù)③其差能被１1整除如1０0110０－1＝99（能1１整除)又如10285１０28－5＝1023102-3=９9(能1１整除）二、例題例1已知兩個三位數(shù)328和的和仍是三位數(shù)且能被9整除。求x,y解：x,y都是０到9的整數(shù),∵能被9整除,∴ｙ＝6.∵328+＝56７，∴ｘ＝3例2已知五位數(shù)能被1２整除，求解：∵五位數(shù)能被1２整除，必然同時能被3和4整除,當1+2+3+4+能被3整除時,ｘ＝2，５，8當末兩位能被４整除時，＝0，4,8∴=8例3求能被1１整除且各位字都不相同的最小五位數(shù)解：五位數(shù)字都不相同的最小五位數(shù)是10２34,但（1+２＋4）－(０+3)=4,不能被11整除,只調(diào)整末位數(shù)仍不行調(diào)整末兩位數(shù)為30，４１，52，63,均可,∴五位數(shù)字都不相同的最小五位數(shù)是10263。練習一1、分解質(zhì)因數(shù):(寫成質(zhì)因數(shù)為底的冪的連乘積）①7５6②185９③1２8７④３276⑤1010１⑥102962、若四位數(shù)能被３整除,那么a＝___＿_＿_＿＿______3、若五位數(shù)能被1１整除,那么＝______＿＿＿_４、當m=________＿時，能被25整除5、當n＝___＿_＿＿＿＿_時,能被7整除6、能被1１整除的最小五位數(shù)是_＿＿＿____,最大五位數(shù)是__＿______7、能被4整除的最大四位數(shù)是_＿___＿___＿＿_,能被8整除的最大四位數(shù)是＿___＿＿___。8、８個數(shù):①125,②７56,③1０11,④2457,⑤7855,⑥81０4，⑦9152,⑧７0972中,能被下列各數(shù)整除的有（填上編號)：6＿_______,8_＿__＿_＿＿＿_,９＿_＿＿＿＿_＿＿,1１＿＿____＿___9、從1到１0０這100個自然數(shù)中,能同時被2和3整除的共__＿＿_個,能被３整除但不是５的倍數(shù)的共______個。10、由1,2，3,4，5這五個自然數(shù)，任意調(diào)換位置而組成的五位數(shù)中，不能被3整除的數(shù)共有幾個？為什么?11、已知五位數(shù)能被15整除,試求A的值。12、求能被９整除且各位數(shù)字都不相同的最小五位數(shù)。13、在十進制中,各位數(shù)碼是0或1，并能被２25整除的最小正整數(shù)是___＿__(198９年全國初中聯(lián)賽題)第二講倍數(shù)約數(shù)一、內(nèi)容提綱１、兩個整數(shù)Ａ和B(B≠0),假如B能整除Ａ(記作Ｂ｜A）,那么Ａ叫做Ｂ的倍數(shù),B叫做Ａ的約數(shù)。例如3|15,15是３的倍數(shù),3是１5的約數(shù)。２、由于０除以非０的任何數(shù)都得０,所以０被非0整數(shù)整除。0是任何非０整數(shù)的倍數(shù),非0整數(shù)都是0的約數(shù)。如0是7的倍數(shù)，7是0的約數(shù)。3、整數(shù)A（Ａ≠0）的倍數(shù)有無數(shù)多個，并且以互為相反數(shù)成對出現(xiàn),0，±A,±２A,……都是A的倍數(shù)，例如5的倍數(shù)有±5，±10,……。4、整數(shù)A(Ａ≠0）的約數(shù)是有限個的，并且也是以互為相反數(shù)成對出現(xiàn)的,其中必涉及±１和±A。例如6的約數(shù)是±1,±2，±3,±６。5、通常我們在正整數(shù)集合里研究公倍數(shù)和公約數(shù)，幾正整數(shù)有最小的公倍數(shù)和最犬的公約數(shù)。6、公約數(shù)只有1的兩個正整數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)(例如15與28互質(zhì))。7、在有余數(shù)的除法中,被除數(shù)=除數(shù)×商數(shù)＋余數(shù)。若用字母表達可記作:A＝BQ＋R,當A，B，Q，R都是整數(shù)且B≠0時,Ａ-Ｒ能被B整除。例如２3＝3×７＋2,則23-２能被3整除。二、例題例1寫出下列各正整數(shù)的正約數(shù),并記錄其個數(shù)，從中總結(jié)出規(guī)律加以應用：2,2２，23，2４,３，32，33,３4，2×3，22×3,22×32。解：列表如下正整數(shù)正約數(shù)個數(shù)計正整數(shù)正約數(shù)個數(shù)計正整數(shù)正約數(shù)個數(shù)計21，２2３1,3２2×３１,２，３,6４２21，2，４332１,3，32322×31，2,３,4,6,126２3１,2，４,84３31,3，３２,３３4２２×32１，２，3,4，6,９，１2,18,36９２４1，2,4,8,165341，３，32，33，345其規(guī)律是：設(shè)A=aｍbn(a，b是質(zhì)數(shù),ｍ,ｎ是正整數(shù))，那么合數(shù)A的正約數(shù)的個數(shù)是(m+1）(n+1）例如求360的正約數(shù)的個數(shù)解：分解質(zhì)因數(shù)：360=23×32×5,360的正約數(shù)的個數(shù)是(3+1）×（２＋１)×（１+1）＝24（個）例2用分解質(zhì)因數(shù)的方法求24,9０最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)解:∵24=2３×３,9０=2×３2×5∴最大公約數(shù)是2×3,記作(24，90）=６最小公倍數(shù)是23×32×5=３6０，記作[24,9０］＝360例３已知32,4４除以正整數(shù)N有相同的余數(shù)2,求N解:∵32-2，4４-2都能被N整除，∴N是30，42的公約數(shù)∵(30,4２)＝６，而6的正約數(shù)有1,2，3，6經(jīng)檢查1和2不合題意,∴N＝6,３例4一個數(shù)被１0余９,被9除余8,被8除余７,求適合條件的最小正整數(shù)分析:依題意假如所求的數(shù)加上1,則能同時被10，9，8整除,所以所求的數(shù)是10，9，８的最小公倍數(shù)減去1。解:∵[10，9，8]=36０,∴所以所求的數(shù)是３5９練習二1、12的正約數(shù)有_＿_＿__＿＿＿，16的所有約數(shù)是________＿___＿_＿＿_2、分解質(zhì)因數(shù)300＝___＿____＿，３００的正約數(shù)的個數(shù)是_＿＿______3、用分解質(zhì)因數(shù)的方法求20和2５０的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)。4、一個三位數(shù)能被7，９，11整除，這個三位數(shù)是_______＿＿5、能同時被３,５，11整除的最小四位數(shù)是___＿___,最大三位數(shù)是＿＿_____＿6、已知14和23各除以正整數(shù)A有相同的余數(shù)2,則A＝_＿＿_＿＿__７、寫出能被2整除,且有約數(shù)5,又是3的倍數(shù)的所有兩位數(shù)。8、一個長方形的房間長1.３５丈，寬１.05丈,要用同一規(guī)格的正方形瓷磚鋪滿，問正方形最大邊長可以是幾寸?若用整數(shù)寸作為邊長,有哪幾種規(guī)格的正方形瓷磚適合？9、一條長階梯，假如每步跨2階，那么最后剩１階；假如每步跨3階，那么最后剩2階；假如每步跨4階，那么最后剩3階;假如每步跨5階,那么最后剩4階；假如每步跨6階，那么最后剩5階；只有每步跨7階，才干正好走完不剩一階,這階梯最少有幾階?第三講質(zhì)數(shù)合數(shù)一、內(nèi)容提綱１、正整數(shù)的一種分類：質(zhì)數(shù)的定義：假如一個大于1的正整數(shù)，只能被1和它自身整除,那么這個正整數(shù)叫做質(zhì)數(shù)(質(zhì)數(shù)也稱素數(shù))。合數(shù)的定義：一個正整數(shù)除了能被1和自身整除外,還能被其他的正整數(shù)整除，這樣的正整數(shù)叫做合數(shù)。根椐質(zhì)數(shù)定義可知質(zhì)數(shù)只有1和自身兩個正約數(shù)。質(zhì)數(shù)中只有一個偶數(shù)2。假如兩個質(zhì)數(shù)的和或差是奇數(shù)，那么其中必有一個是２；假如兩個質(zhì)數(shù)的積是偶數(shù)，那么其中也必有一個是2。3、任何合數(shù)都可以分解為幾個質(zhì)數(shù)的積。能寫成幾個質(zhì)數(shù)的積的正整數(shù)就是合數(shù)。二、例題例１兩個質(zhì)數(shù)的和等于奇數(shù)ａ(ａ≥5),求這兩個數(shù)。解：∵兩個質(zhì)數(shù)的和等于奇數(shù)∴必有一個是2所求的兩個質(zhì)數(shù)是２和a-2。例2已知兩個整數(shù)的積等于質(zhì)數(shù)m,求這兩個數(shù)。解:∵質(zhì)數(shù)m只含兩個正約數(shù)1和ｍ,又∵(－1)(－ｍ)=ｍ∴所求的兩個整數(shù)是1和ｍ或者-１和-m.例３已知三個質(zhì)數(shù)a，b,c它們的積等于3０,求適合條件的a,b，ｃ的值。解:分解質(zhì)因數(shù):3０=2×3×5適合條件的值共有：,,，,,應注意上述六組值的書寫排列順序,本題假如改為4個質(zhì)數(shù)a,b，c,ｄ它們的積等于21０,即abcd=2×3×5×７,那么適合條件的a,b,c，d值共有24組,試把它寫出來。例4試寫出4個連續(xù)正整數(shù)，使它們個個都是合數(shù)。解:(本題答案不是唯一的)設(shè)N是不大于５的所有質(zhì)數(shù)的積,即N=2×3×5那么Ｎ+2，N＋3,N＋4,N＋5就是適合條件的四個合數(shù)即3２,３３,34,3５就是所求的一組數(shù)。本題可推廣到n個。令Ｎ等于不大于n+1的所有質(zhì)數(shù)的積,那么N＋２,N＋3,N＋4，……N+(n+1）就是所求的合數(shù)。練習三1、小于100的質(zhì)數(shù)共___個，它們是__________＿________＿__＿＿_____＿＿___2、已知質(zhì)數(shù)P與奇數(shù)Q的和是11，則P=＿___＿__，Q=__＿＿_＿＿3、已知兩個素數(shù)的差是41，那么它們分別是______＿_____＿＿4、假如兩個自然數(shù)的積等于19,那么這兩個數(shù)是_＿＿__＿_____＿_＿；假如兩個整數(shù)的積等于７3，那么它們是＿＿___＿＿_＿_____；假如兩個質(zhì)數(shù)的積等于１5，則它們是__＿__＿＿＿____＿_。５、兩個質(zhì)數(shù)x和y，已知xy=91,那么x=_______，y=__＿____,或ｘ＝__＿＿_＿_,y＝＿_＿____．6、三個質(zhì)數(shù)a,b，c它們的積等于１990,那么7、能整除3１１＋5１３的最小質(zhì)數(shù)是__＿___＿8、已知兩個質(zhì)數(shù)A和B適合等式A+B＝99,AB=M，求M及＋的值。９、試寫出6個連續(xù)正整數(shù),使它們個個都是合數(shù)。10、具有什么條件的最簡正分數(shù)可化為有限小數(shù)?1１、求適合下列三個條件的最小整數(shù)：大于1②沒有小于1０的質(zhì)因數(shù)③不是質(zhì)數(shù)12、某質(zhì)數(shù)加上６或減去6都仍是質(zhì)數(shù)，且這三個質(zhì)數(shù)均在30到50之間，那么這個質(zhì)數(shù)是______＿13、一個質(zhì)數(shù)加上10或減去14都仍是質(zhì)數(shù)，這個質(zhì)數(shù)是______＿。第四講零的特性一、內(nèi)容提綱（一）零既不是正數(shù)也不是負數(shù),是介于正數(shù)和負數(shù)之間的唯一中性數(shù)。零是自然數(shù)，是整數(shù),是偶數(shù)。1、零是表達具有相反意義的量的基準數(shù)。例如:海拔0米的地方表達它與基準的海平面同樣高收支平衡可記作結(jié)存０元。2、零是鑒定正、負數(shù)的界線。若a＞0則a是正數(shù)，反過來也成立,若a是正數(shù)，則a>0記作ａ>0ａ是正數(shù)讀作a＞0等價于a是正數(shù)b<0ｂ是負數(shù)c≥０c是非負數(shù)(即ｃ不是負數(shù)，而是正數(shù)或0)d0ｄ是非正數(shù)(即d不是正數(shù)，而是負數(shù)或0）e0e不是0(即e不是０，而是負數(shù)或正數(shù))３、在一切非負數(shù)中有一個最小值是0。例如絕對值、平方數(shù)都是非負數(shù)，它們的最小值都是０。記作：|a｜≥0，當a=0時，|a|的值最小,是０，a2≥0，a２有最小值0(當a=０時)。4、在一切非正數(shù)中有一個最大值是0。例如－||≤0，當＝0時，-｜|值最大,是０(∵≠0時都是負數(shù)）。0，當=２時,的值最大,是0。(二）零具有獨特的運算性質(zhì)1、乘方：零的正整數(shù)次冪都是零。2、除法：零除以任何不等于零的數(shù)都得零;零不能作除數(shù)。從而推出,０沒有倒數(shù)，分數(shù)的分母不能是０。3、乘法:零乘以任何數(shù)都得零。即ａ×０＝0,反過來，假如ab=0,那么a、ｂ中至少有一個是０。要使等式xy=0成立,必須且只需ｘ=0或y=0。４、加法:互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得零。反過來也成立。即a、b互為相反數(shù)a+b=05、減法:兩個數(shù)a和b的大小關(guān)系可以用它們的差的正負來鑒定，若a-b=0,則ａ=b；若ａ-b＞0,則a>b；若a-b<0,則a＜ｂ。反過來也成立，當a=ｂ時，a-ｂ=0；當a>b時,a-b>0;當a＜b時,a－b<0.（三）在近似數(shù)中,當０作為有效數(shù)字時，它表達不同的精確度。例如近似數(shù)１.6米與1.60米不同,前者表達精確到0.１米（即１分米),誤差不超過5厘米;后者表達精確到0.0１米（即１厘米），誤差不超過５毫米?？捎貌坏仁奖磉_其值范圍如下：1.55近似數(shù)1.6＜1.651.595≤近似數(shù)１.60<1605二、例題例1．兩個數(shù)相除，什么情況下商是１？是－1？答：兩個數(shù)相等且不是0時,相除商是1;兩數(shù)互為相反數(shù)且不是0時，相除商是－1。例２．絕對值小于3的數(shù)有幾個?它們的和是多少?為什么？答：絕對值小于３的數(shù)有無數(shù)多個，它們的和是0。由于絕對值小于3的數(shù)涉及大于－3并且小于3的所有數(shù)，它們都以互為相反數(shù)成對出現(xiàn),而互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得零。例3．要使下列等式成立、應取什么值？為什么？①(－１）=０,②｜-３｜+(+2)2＝０答：①根據(jù)任何數(shù)乘以0都得０，可知當＝0時，可取任何數(shù)；當＝1時，取任何數(shù)等式（－1）＝0都是能成立。②∵互為相反數(shù)相加得零，而｜-3|≥0,（＋２）2≥０,∴它們都必須是０,即-3=0且＋2＝0,故當=3且=-２時,等式｜-3｜+(+2）2＝０成立。練習四1、有理數(shù)ａ和b的大小如數(shù)軸所示:比較下列左邊各數(shù)與0的大小（用>、<、=號連接)2a＿___＿__0,－3b＿___＿__0，___＿___0,-__＿__＿_0,－a2____＿＿_0,－b3_____＿＿０，a+ｂ_＿_____0,a-b_＿_____0,ab_＿____＿０,(－2b)3_＿_____0,__＿____０,_______０2、a表達有理數(shù),下列四個式子,對的個數(shù)是幾個？答:＿＿_＿__＿個。>a,a2>-ａ２，ａ>-a，a+１＞ａ3、x表達一切有理數(shù)，下面四句話中對的的共幾句?答:_＿_____句。①(x－2)２有最小值０，③－｜ｘ+3|有最大值0，2-x2有最大值２，④3＋|x-１｜有最小值3。4、絕對值小于5的有理數(shù)有幾個？它們的積等于多少？為什么?５、要使下列等式成立,字母、應取什么值?①＝0,②=０,③+=06、下列說法對的嗎？為什么?①a的倒數(shù)是②方程(a－1)=3的解是＝n表達一切自然數(shù)，2ｎ－１表達所有的正奇數(shù)假如a>b,那么m2a＞m2７、取什么值時,下列代數(shù)式的值是正數(shù)?①(－1)②（+1)(＋2）第五講an的個位數(shù)一、內(nèi)容提綱1.整數(shù)ａ的正整數(shù)次冪an，它的個位數(shù)字與a的末位數(shù)的n次冪的個位數(shù)字相同。例如2０233與23的個位數(shù)字都是8。2．0，１，５，6,的任何正整數(shù)次冪的個位數(shù)字都是它們自身。例如５7的個位數(shù)是５，6２0的個位數(shù)是6。2，3,7的正整數(shù)次冪的個位數(shù)字的規(guī)律見下表：指數(shù)1２3４56７8９10……底數(shù)２2486248624……33９7１39７139……7７931793１79……其規(guī)律是:2的正整數(shù)次冪的個位數(shù)是按2、4、8、6四個數(shù)字循環(huán)出現(xiàn)，即24k+1與２1,24k+２與22，24k+3與23，２4k＋4與24的個位數(shù)是相同的(K是正整數(shù))。3和7也有類似的性質(zhì)。4.4，8，9的正整數(shù)次冪的個位數(shù),可仿照上述方法，也可以用４＝2２,8＝23，９＝32轉(zhuǎn)化為以2、3為底的冪。5.綜上所述，整數(shù)a的正整數(shù)次冪的個位數(shù)有如下的一般規(guī)律:a4k+m與am的個位數(shù)相同（k,m都是正整數(shù)）。二、例題2023202３的個位數(shù)是多少？解:20232０23與3202３的個位數(shù)是相同的,∵20２3＝４×500＋3,∴3２023與33的個位數(shù)是相同的，都是７,∴2０23的個位數(shù)是7。試說明6３2023＋１4７2023的和能被10整除的理由解:∵20２３＝4×５00,2023=4×500＋２∴6３2023與３4的個位數(shù)相同都是1，147２０23與72的個位數(shù)相同都是9,∴6３2023＋１４72023的和個位數(shù)是0,∴632023+1472023的和能被1０整除。k取什么正整數(shù)值時,3k+２k是5的倍數(shù)?解:列表觀測個位數(shù)的規(guī)律k=1234……3的個位數(shù)３971……2的個位數(shù)2486……3k+2ｋ的個位數(shù)55……從表中可知，當k＝1,3時，3ｋ＋2k的個位數(shù)是５,∵ａm與ａ4ｎ+m的個位數(shù)相同（m,n都是正整數(shù)，a是整數(shù)）；∴當ｋ為任何奇數(shù)時,3k＋2ｋ是5的倍數(shù)。練習五１、在括號里填寫各冪的個位數(shù)(k是正整數(shù))220的個位數(shù)是()45的個位數(shù)是(）330的個位數(shù)是(）８７的個位數(shù)是(）７４K＋1的個位數(shù)是（)３11＋7９的個位數(shù)是(）2１6×3１４的個位數(shù)是（)32k-1+72k-1的個位數(shù)是（）72k-3２k的個位數(shù)是（)７４k-1-64k-３的個位數(shù)是(）77１０×331５×2220×５525的個位數(shù)是(）2、目前知道的最大素數(shù)是221６091-1,它的個位數(shù)是____＿__。3、說明如下兩個數(shù)都能被1０整除的理由。①5353-３333②1987198９－19９３１99１4、正整數(shù)ｍ取什么值時，3m5、設(shè)n是正整數(shù),試說明2ｎ+7ｎ＋2能被5整除的理由。6、若a４的個位數(shù)是5，那么整數(shù)a的個位數(shù)是_＿____＿若ａ4的個位數(shù)是1,那么整數(shù)a的個位數(shù)是＿_____＿若ａ４的個位數(shù)是6，那么整數(shù)a的個位數(shù)是_＿___＿_若a2k-1的個位數(shù)是７，那么整數(shù)a的個位數(shù)是＿_＿____7、12＋22+32+……+９2的個位數(shù)是_＿___＿_,12+22+32+……+192的個位數(shù)是_____＿_，1２+２2+32＋……＋292的個位數(shù)是＿___＿＿_。8、a,b，c是三個連續(xù)正整數(shù)，a2＝1４884，c２=15376,那么b2是(）（A）1511６，(B)15129，(C)1５144，(D）15３21第六講數(shù)學符號一、內(nèi)容提綱數(shù)學符號是表達數(shù)學語言的特殊文字。每一個符號都有擬定的意義,即當我們把它規(guī)定為某種意義后，就不再表達其他意義。數(shù)學符號一般可分為：1、元素符號:通常用小寫字母表達數(shù),用大寫字母表達點，用⊙和△表達圓和三角形等。2、關(guān)系符號:如等號，不等號,相似∽，全等≌，平行∥,垂直⊥等。３、運算符號：如加、減、乘、除、乘方、開方、絕對值等。４、邏輯符號：略５、約定符號和輔助符號:例如我們約定正整數(shù)a和b中，假如ａ除以b的商的整數(shù)部分記作Ｚ（），而它的余數(shù)記作Ｒ（）,那么Z（）=３，R(）＝1;又如設(shè)表達不大于x的最大整數(shù)，那么=5，=-６，＝0，＝－３。對的使用符號的關(guān)健是明確它所表達的意義（即定義）對題設(shè)中臨時約定的符號,一定要扣緊定義，由簡到繁，由淺入深,由具體到抽象，逐步加深理解。在解題過程中為了簡明表述,需要臨時引用輔助符號時,必須先作出明確的定義，所用符號不要與常規(guī)符號混淆。二、例題例１設(shè)表達不大于Z的最大整數(shù)，＜ｎ>為正整數(shù)n除以3的余數(shù)計算:①＋－〈1３〉＋〈202３〉②〈〉+解:①原式=4＋(－3)－1＋０＝0②原式=<14＞+=2+０=2例2①求１98719８8的個位數(shù)②說明１９87１98９－19931991能被1０整除的理由解：設(shè)N（ｘ)表達整數(shù)x的個位數(shù)N(1９871988）=N(74×497）=N(７４)＝1②∵Ｎ（19８7１9８9)－N（19９３19９1）=N(7４×49７+１）-N(３４×497＋3)=N(71）－N(33)＝7－７=０∴198７１989-１９９31991能被１0整除由于引入輔助符號，解答問題顯得簡要明了。例3.定義一種符號★的運算規(guī)則為：a★ｂ=２ａ+b試計算:①5★3②(１★7）★4解：①5★3＝２×5+3=1３②（1★7)★4=（2×1＋7)★４=９★4＝2×９+４＝22設(shè)ａ※b=a(aｂ+7),求等式3※x=2※(－8)中的x解：由題設(shè)可知：等式3※x=２※（-8)就是3(３x+7)＝2〔２×(-8）＋7〕∴9x＋２1=－18 ∴x=－4練習六設(shè)Q<x>表達有理數(shù)x的整數(shù)部分,那么Ｑ＜2．1５＞=＿＿_＿＿__，Q<-12.3>＝__＿____,Q＜?－0.03＞＝__＿____,Q<＞＝＿_____＿。2、設(shè){n}表達不小于ｎ的最小整數(shù),那么{4．３}＝＿______,{－2.３}＝____＿__，｛-2｝＝_＿_＿_＿_，{-0.３}+｛０.3}＝_____＿_。3、設(shè)表達不大于ｍ的最大整數(shù)①若m=2，則=_______②若n=－3.5,則＝＿__＿_＿＿③若－1<<0，則＝______＿④若7≤b＜8，則＝______＿⑤若=４,則＿_＿＿_≤x<____＿_⑥若n≤C<ｎ+1則=__＿__＿_4、正整數(shù)a和b中,設(shè)a除以b的商的整數(shù)部分記作Z（）余數(shù)記作R()，ab的個位數(shù)記作n（ａb）,寫出下列各數(shù)的結(jié)果:①R(）＋R(）=_____＿_②Ｚ（)＋Z（)=＿_＿____③n(1９89１9９0）=＿__＿_＿_5、設(shè)n！表達自然數(shù)由1到n的連乘積，例如5?。?×2×3×4×５＝1２０計算:①120÷3!②6、設(shè)==a1b2-ａ2b1,計算：①；②7、定義一種符號#的運算法則為ａ＃b＝,那么3#２=_______②2＃３=＿_＿_＿__③(1#2)＃３＝＿___＿＿＿④（-3)#(1＃0)＝_______８、ａ,b都是正整數(shù)，設(shè)ab表達從a起b個連續(xù)正整數(shù)的和。例如23=2＋３＋4，５4=5＋6＋7＋8已知5＝２０２3,求9、設(shè)[x］表達不大于x數(shù)的最大整數(shù)且=ｘ-[x],求1０、設(shè)［ａ］表達不大于數(shù)a的最大整數(shù)，例如[]=1,[-］＝-2，那么[3ｘ+1］＝2x-的所有的根的和是___＿___(1９８7年全國初中聯(lián)賽題)第七講用字母表達數(shù)內(nèi)容提綱和例題1、用字母表達數(shù)最明顯的好處是能把數(shù)量間的關(guān)系簡明而普遍地表達出來，從具體的數(shù)字計算到用抽象的字母概括運算規(guī)律上，是一種奔騰。2、用字母表達數(shù)時，字母所取的值,應使代數(shù)式故意義,并使它所表達的實際問題故意義。例如①寫出數(shù)a的倒數(shù)②用字母表達一切偶數(shù)解:①當a≠０時，a的倒數(shù)是②設(shè)n為整數(shù)，2n可表達所有偶數(shù)。３、命題中的字母，一般要注明取值范圍,在沒有說明的情況下,它表達所學過的數(shù)，并且能使題設(shè)故意義。例題①化簡：⑴｜x-3|(x<3)⑵|x+５|解:⑴∵ｘ＜３,∴x-３<0，∴|x-3｜=－(x-3)＝－x＋3⑵當x≥－5時,|x+5｜=ｘ+5,當x＜－5時,｜ｘ+5｜=－x-5(本題x表達所有學過的數(shù)）已知十位上的數(shù)是ａ，個位數(shù)是b,試寫出這個兩位數(shù)解:這個兩位數(shù)是１0a+b(本題字母a、ｂ的取值是默認題設(shè)故意義,即a表達１到９的整數(shù)，b表達0到9的整數(shù))4、用字母等式表達運算定律、性質(zhì)、法則、公式時,一般左邊作為題設(shè),所用的字母是使左邊代數(shù)式故意義的,所以只對變形到右邊所增長的字母的取值加以說明。例如用字母表達:①分數(shù)的基本性質(zhì)②分數(shù)除法法則解:①分數(shù)的基本性質(zhì)是（m≠0)，(m≠０)a作為左邊的分母不另說明a≠0;②(d≠0)d在左邊是分子到了右邊變分母，故另加說明。5、用字母等式表達運算定律、性質(zhì)、法則、公式，不僅可從左到右順用,還可從右到左逆用;公式可以變形,變形時字母取值范圍有變化時應加說明。例如:乘法分派律,順用a(b+c）=ab+ac,2=逆用5a+５b=５(a＋b)，6.２５×3.14-5.2５×３．1４＝3.14(６.２5－5.２5)=3．14路程S=速度V×時間T,V=(Ｔ≠０）,Ｔ=(V≠0）6、用因果關(guān)系表達的性質(zhì)、法則,一般不能逆用。例如：加法的符號法則假如ａ＞0,b>０，那么ａ+b＞０,不可逆絕對值性質(zhì)假如ａ＞0,那么|a|＝a，也不可逆(若|a｜＝ａ則a≥０)7、有規(guī)律的計算,?？捎米帜副磉_其結(jié)果，或概括成公式。例1:正整數(shù)中不同的五位數(shù)共有幾個?不同的ｎ位數(shù)呢？解：不同的五位數(shù)可從最大五位數(shù)99999減去最小五位數(shù)10000前的所有正整數(shù),即99999－9９9９=90０00.推廣到n位正整數(shù),則要觀測其規(guī)律一位正整數(shù),從１到９共9個，記作９×１二位正整數(shù)從10到99共９0個，記作9×10三位正整數(shù)從100到999共9００個，記作９×１０2四位正整數(shù)從1０0０到99９９共9000個,記作9×１0３(指數(shù)3=４－１)…………∴n位正整數(shù)共9×１０n－1個例2在線段AB上加了3個點C、D、Ｅ后，圖中共有幾條線段？加n點呢？解：以A為一端的線段有：ＡC、AD、ＡE、AＢ共４條以C為一端的線段有:（除CＡ外)CD、CE、CＢ共3條以D為一端的線段有:(除DC、DA外)DE、DＢ共2條以E為一端的線段有：(除ED、EC、EA外）EB共１條共有線段1＋2+3+4＝１0（條）注意:3個點時，是從1加到4,因此假如是n個點,則共有線段1+2+3+……+ｎ+１=＝條練習七1、右邊代數(shù)式中的字母應取什么值？①②S正方形=a2③3的倍數(shù)3ｎ2、用字母表達：①一切奇數(shù)；②所有正偶數(shù);③一個三位數(shù)；④n個a相乘的結(jié)果；⑤負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)。3、寫出:⑴從1開始,n個自然數(shù)的和是____＿_____＿＿_＿＿_______⑵從１１開始到2n＋1連續(xù)奇數(shù)的和(ｎ＞5）是__＿__＿＿＿__⑶m個球隊進行單循環(huán)賽所需場數(shù)是________＿________4、已知９99=1０3-1,９999=104-1，那么各位數(shù)都是9的ｎ位數(shù)=_____5、計算１12=_____，1112＝_＿__＿,=__＿＿__＿＿_＿___＿______６、寫出圖中所有三角形并計算其個數(shù)，假如線段上有個點呢？第八講抽屜原則一、內(nèi)容提綱1、４個蘋果放進3個抽屜，有一種必然的結(jié)果:至少有一個抽屜放進的蘋果不少于2個(即等于或多于2個);假如７個蘋果放進3個抽屜，那么至少有一個抽屜放進的蘋果不少于3個(即等于或多于3個），這就是抽屜原則的例子。2、假如用表達不小于的最小整數(shù),例如=3，。那么抽屜原則可定義為：m個元素提成n個集合(m、ｎ為正整數(shù)m>n）,則至少有一個集合里元素不少于個。３、根據(jù)的定義，已知m、n可求;己知，則可求的范圍,例如已知＝3,那么2＜≤３；已知=2，則1＜≤2，即3＜x≤６，x有最小整數(shù)值４。二、例題例1某校有學生2023人，問至少有幾個學生生日是同一天?分析:我們把2023名學生看作是蘋果，一年365天(閏年3６6天）看作是抽屜，即把m(2０２3）個元素,提成n(３6６)個集合，至少有一個集合的元素不少于個解：∵5∴＝６答:至少有6名學生的生日是同一天例2從１到10這十個自然數(shù)中，任意取出6個數(shù),其中至少有兩個是倍數(shù)關(guān)系,試說明這是為什么。解：我們把１到1０的奇數(shù)及它們的倍數(shù)放在同一集合里,則可分為5個集合,它們是:{1，2，４,8，｝，{3,6，｝,｛5，１0｝,{7}，｛９｝?！咭?個集合里取出6個數(shù),∴至少有兩個是在同一集合,而在同一集合里的任意兩個數(shù)都是倍數(shù)關(guān)系。(本題的關(guān)鍵是劃分集合，想一想為什么９不能放在3和6的集合里）。例3袋子中有黃、紅、黑、白四種顏色的小球各6個，請你從袋中取出一些球，規(guī)定至少有3個顏色相同，那么至少應取出幾個才有保證。分析:我們可把4種球當作4個抽屜（４個集合),至少有3個球同顏色,當作是至少有一個抽屜不少于3個（有一個集合元素不少于3個)。解：設(shè)至少應取出x個,用｛｝表達不小于的最小整數(shù)，那么{｝=3，∴2<≤3，即８<ｘ≤１2,最小整數(shù)值是9。答:至少要取出9個球,才干保證有三個同顏色。例4等邊三角形邊長為2，在這三角形內(nèi)部放入5個點,至少有２個點它們的距離小于1,試說明理由。解：取等邊三角形各邊中點，并連成四個小三角形,(如圖）它們邊長等于1，∵5個點放入4個三角形,∴至少有2個點放在同一個三角形內(nèi),而同一個三角形內(nèi)的2個點之間的距離必小于邊長１。練習八１、初一年新生從全縣１７個鄉(xiāng)鎮(zhèn)招收５0名,則至少有_＿___人來自同一個鄉(xiāng)鎮(zhèn)。2、任取30個正整數(shù)分別除以7,那么它們的余數(shù)至少有＿_＿_＿個是相同的。3、在2０２3m中,指數(shù)ｍ任意?。?個正整數(shù),那么這10個冪的個位數(shù)中相同的至少有_____4、暗室里放有四種不同規(guī)格的祙子各３０只，為保證取出的祙子至少有1雙(2只同規(guī)格為１雙),那么至少要取幾只？若要保證10雙呢？5、袋子里有黑、白球各一個，紅、藍、黃球各6個，請你拿出一些球,要保證至少有4個同顏色，那么最少要取幾個？6、任意取11個正整數(shù)，至少有兩個它們的差能被10整除,這是為什么?7、右圖有3行9列的方格,若用紅、藍兩種顏色涂上,則至少有2列的涂色方式是同樣的，試說明這是為什么。8、任意?。硞€正整數(shù),其中必有兩個數(shù)它們的平均數(shù)也是正整數(shù)。試說明理由。9、90粒糖果分給13個小孩,每人至少分１粒，不管如何分,總有兩人分得同樣多,這是為什么?10、１１個互不相同的正整數(shù)，它們都小于2０,那么一定有兩個是互質(zhì)數(shù)。(最大公約數(shù)是1的兩個正整數(shù)叫互質(zhì)數(shù))１1、任意6個人中，或者有3個人他們之間都互相結(jié)識，或者有３個人他們之間都互不相識，兩者必居其一，這是為什么？第九講一元一次方程解的討論一、內(nèi)容提綱1、方程的解的定義:能使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。一元方程的解也叫做根。例如:方程2x+6＝0，ｘ（x-1）=0,｜x|＝6,0x=0,０x=2的解分別是x=－3，ｘ=0或ｘ=1,ｘ=±６,所有的數(shù)，無解。2、關(guān)于ｘ的一元一次方程的解（根）的情況:化為最簡方程ax=ｂ后,討論它的解：當ａ≠0時,有唯一的解ｘ=;當a＝0且b≠0時,無解；當a=0且ｂ＝0時，有無數(shù)多解。（∵不管x取什么值，0x＝０都成立)3、求方程ax＝ｂ(a≠0)的整數(shù)解、正整數(shù)解、正數(shù)解當ａ｜b時,方程有整數(shù)解;當a｜b,且a、b同號時,方程有正整數(shù)解；當ａ、b同號時，方程的解是正數(shù)。綜上所述，討論一元一次方程的解，一般應先化為最簡方程ax＝b二、例題例1a取什么值時，方程ａ(a－２)x＝４(a-2）①有唯一的解?②無解？③有無數(shù)多解？④是正數(shù)解?解：①當a≠0且a≠2時,方程有唯一的解，x＝②當a=０時,原方程就是0ｘ=－8,無解;③當a=2時，原方程就是０ｘ=0有無數(shù)多解④由①可知當ａ≠0且ａ≠2時,方程的解是x=,∴只要a與4同號,即當a>0且a≠2時，方程的解是正數(shù)。例２ｋ取什么整數(shù)值時,方程①k（x+１)=k－２(x－2）的解是整數(shù)?②(1－x)k=６的解是負整數(shù)?解：①化為最簡方程（k＋２)ｘ=4當k＋2能整除4，即k+2=±1，±2，±4時,方程的解是整數(shù)∴k=－1,-3,0，-4,2，－6時方程的解是整數(shù)。②化為最簡方程kx=k-６,當k≠0時x==1-,只要k能整除6,即k=±1,±２,±３，±６時,x就是整數(shù)當k＝１,2,3時,方程的解是負整數(shù)－5,－2,－1。例３已知方程a（x-２)=b(ｘ+１)－2a無解。問a和b應滿足什么關(guān)系？解:原方程化為最簡方程:(a-ｂ)x=b∵方程無解，∴a-b=0且ｂ≠０∴a和b應滿足的關(guān)系是ａ＝b≠0。例４a、b取什么值時,方程(3x-2)ａ＋(2x-3)b=8x-７有無數(shù)多解?解：原方程化為最簡方程：（3a＋2b-8)x=2a+3b-７,根據(jù)0ｘ=0時，方程有無數(shù)多解，可知當時，原方程有無數(shù)多解。解這個方程組得答:當ａ=2且b＝１時，原方程有無數(shù)多解。練習九1、根據(jù)方程的解的定義,寫出下列方程的解:=1\＊ＧB３①（ｘ+１)＝0,②x2=9,③|x｜=9,④|x｜=－３,⑤3x＋1＝3ｘ-1,⑥x＋2=2＋x2、關(guān)于x的方程ａx=x＋2無解，那么a_____＿＿___3、在方程ａ(a-3)x＝a中，當a取值為_＿＿_＿__＿時，有唯一的解；當a_______＿時無解；當a____＿_＿_時，有無數(shù)多解;當ａ________時，解是負數(shù)。４、ｋ取什么整數(shù)值時，下列等式中的x是整數(shù)？x=②x=③ｘ＝④x=5、k取什么值時,方程x-k=6x的解是①正數(shù)?②是非負數(shù)?6、ｍ取什么值時，方程3（ｍ+x）=２m－1的解①是零?②是正數(shù)?7、已知方程的根是正數(shù),那么a、b應滿足什么關(guān)系?8、ｍ取什么整數(shù)值時,方程的解是整數(shù)?9、已知方程有無數(shù)多解，求a、b的值。第十講二元一次方程的整數(shù)解一、內(nèi)容提綱1、二元一次方程整數(shù)解存在的條件：在整系數(shù)方程ax＋ｂy=c中，若a,b的最大公約數(shù)能整除ｃ，則方程有整數(shù)解。即假如（ａ,b）|c則方程ａx+ｂy=c有整數(shù)解顯然a,b互質(zhì)時一定有整數(shù)解。例如方程３x+５y=１,5x-２ｙ＝７,９x＋3y=6都有整數(shù)解。反過來也成立,方程９x＋3y=10和４ｘ-2y=１都沒有整數(shù)解，∵(９，3)=3，而３不能整除10；(4,2)=2,而２不能整除１。一般我們在正整數(shù)集合里研究公約數(shù),（ａ，b)中的ａ,b實為它們的絕對值。２、二元一次方程整數(shù)解的求法：若方程ａｘ+by=c有整數(shù)解,一般都有無數(shù)多個,常引入整數(shù)k來表達它的通解（即所有的解）。k叫做參變數(shù)。方法一:整除法：求方程5x+11y＝１的整數(shù)解解:x==(1),設(shè)是整數(shù)）,則y=１-５k(2）,把（２）代入(１)得x＝ｋ-2(1-５k)＝11k－2∴原方程所有的整數(shù)解是（ｋ是整數(shù)）方法二：公式法:設(shè)ａｘ+ｂy=c有整數(shù)解則通解是（x0,y0可用觀測法)求二元一次方程的正整數(shù)解:求出整數(shù)解的通解，再解x,y的不等式組，擬定k值用觀測法直接寫出。二、例題例1求方程5x-9y=１８整數(shù)解的通解解：x=設(shè)（ｋ為整數(shù))，y＝3-5k，代入得x=9-9ｋ∴原方程整數(shù)解是(ｋ為整數(shù)）又解：當x=ｏ時,y=-２,∴方程有一個整數(shù)解它的通解是（k為整數(shù))從以上可知整數(shù)解的通解的表達方式不是唯一的。例2求方程５x+6ｙ=100的正整數(shù)解解：x=(1)，設(shè)（k為整數(shù))，則y=5k,(2)把(2)代入（1)得x=20-6k,∵解不等式組得0<k<,k的整數(shù)解是1,2，3,∴正整數(shù)解是，，例3甲種書每本3元,乙種書每本５元，38元可買兩種書各幾本?解：設(shè)甲種書買x本,乙種書買y本，根據(jù)題意得３x+５y=38（x,y都是正整數(shù)）∵ｘ＝１時，y＝７,∴是一個整數(shù)解∴通解是（k為整數(shù)）解不等式組得解集是∴整數(shù)k＝0,1，2把k＝0,1,2代入通解,得原方程所有的正整數(shù)解,，答:甲、乙兩種書分別買１和7本或6和4本或1１和1本。練習十1、求下列方程的整數(shù)解①公式法：ｘ+7ｙ=４，5x-1１y=3②整除法：3x+10y＝1,11x+３y=42、求方程的正整數(shù)解：①5ｘ+７y=87②5x＋3y=11０3、一根長100０0毫米的鋼材，要截成兩種不同規(guī)格的毛坯，甲種毛坯長300毫米,乙種毛坯長２５0毫米，有幾種截法可百分之百地運用鋼材？4、兄弟三人，老大2０歲,老二年齡的2倍與老三年齡的5倍的和是9７,求兄弟三人的歲數(shù)。5、下列方程中沒有整數(shù)解的是哪幾個？答：＿＿_____＿（填編號）＝1＼＊ＧＢ3①４x+2ｙ=1１,②10x-５ｙ=70,③9x+3y=1１1,④1８x－9y=98,⑤９１x-13y=169，⑥1２0x+1２1y=324．6、一張試巻有２0道選擇題,選對每題得5分，選錯每題反扣2分,不答得0分，小軍同學得４8分，他最多得幾分？７、用觀測法寫出方程3ｘ＋7y=1幾組整數(shù)解：y=14-2x=第十一講二元一次方程組解的討論一、內(nèi)容提綱二元一次方程組的解的情況有以下三種:當時,方程組有無數(shù)多解。(∵兩個方程等效)當時，方程組無解。（∵兩個方程是矛盾的）當（即a1b２-ａ2b1≠０）時，方程組有唯一的解：（這個解可用加減消元法求得）方程的個數(shù)少于未知數(shù)的個數(shù)時,一般是不定解,即有無數(shù)多解，若規(guī)定整數(shù)解,可按二元一次方程整數(shù)解的求法進行。求方程組中的待定系數(shù)的取值,一般是求出方程組的解（把待定系數(shù)當已知數(shù))，再解含待定系數(shù)的不等式或加以討論。(見例2、３)二、例題例1.選擇一組a,c值使方程組有無數(shù)多解，②無解,③有唯一的解解:①當5∶ａ＝1∶2=7∶c時,方程組有無數(shù)多解解比例得a=10,c=14。當5∶a＝1∶２≠7∶ｃ時，方程組無解。解得a=10,c≠14。③當5∶a≠1∶2時,方程組有唯一的解，即當ａ≠10時,ｃ不管取什么值,原方程組都有唯一的解。例2．ａ取什么值時,方程組的解是正數(shù)?解:把a作為已知數(shù)，解這個方程組得∵∴解不等式組得解集是６答：當a的取值為6時，原方程組的解是正數(shù)。例3.m取何整數(shù)值時，方程組的解x和y都是整數(shù)？解：把ｍ作為已知數(shù),解方程組得∵x是整數(shù)，∴m－8取8的約數(shù)±1,±2,±4,±8?！遹是整數(shù),∴m-8取2的約數(shù)±1,±2。取它們的公共部分，m-８=±1，±2。解得m=９，7,１０,6。經(jīng)檢查m＝9，７,10,6時，方程組的解都是整數(shù)。例4（古代問題)用１00枚銅板買桃，李,欖橄共１00粒,己知桃，李每粒分別是3，4枚銅板,而欖橄７粒1枚銅板。問桃,李，欖橄各買幾粒？解：設(shè)桃,李,欖橄分別買x,y,z粒,依題意得由(1)得x=100－y－z（3)把（3）代入（2）,整理得y=－200+3ｚ-設(shè)(k為整數(shù)）得ｚ＝7k,ｙ＝-2００+2０k,x=30０?-27k∵x,y，z都是正整數(shù)∴解得(k是整數(shù))∴10＜k<，∵k是整數(shù)，∴ｋ=11即x=3(桃),y＝２0(李)，ｚ=７7（欖橄）（答略）練習十一不解方程組,鑒定下列方程組解的情況:①②③ａ取什么值時方程組的解是正數(shù)?a取哪些正整數(shù)值,方程組的解x和y都是正整數(shù)？要使方程組的解都是整數(shù),k應取哪些整數(shù)值？(古代問題)今有雞翁一，值錢五，雞母一，值錢三,雞雛三,值錢一,百錢買百雞，雞翁,雞母,雞雛都買，可各買多少？第十二講用交集解題一、內(nèi)容提綱某種對象的全體組成一個集合。組成集合的各個對象叫這個集合的元素。例如6的正約數(shù)集合記作{6的正約數(shù)}={1，２,3，６｝,它有４個元素1，2,3,6;除以3余1的正整數(shù)集合是個無限集,記作｛除以3余1的正整數(shù)}=｛1，４,7,１０……｝,它的個元素有無數(shù)多個。由兩個集合的所有公共元素組成的一個集合，叫做這兩個集合的交集例如6的正約數(shù)集合A=｛1，2,3,６}，10的正約數(shù)集合B=｛1,2，5，１０｝,６與10的公約數(shù)集合C＝｛1，2｝，集合C是集合A和集合Ｂ的交集。幾個集合的交集可用圖形形象地表達,右圖中左邊的橢圓表達正數(shù)集合,右邊的橢圓表達整數(shù)集合，中間兩個橢圓的公共部分,是它們的交集——正整數(shù)集。不等式組的解集是不等式組中各個不等式解集的交集。例如不等式組解的集合就是不等式(1）的解集x>3和不等式(2)的解集x>2的交集，ｘ＞3．如數(shù)軸所示:４．一類問題，它的答案要同時符合幾個條件,一般可用交集來解答。把符合每個條件的所有的解（即解的集合)分別求出來,它們的公共部分（即交集)就是所求的答案。有時可以先求出其中的一個(一般是元素最多)的解集,再按其他條件逐個篩選、剔除,求得答案。(如例２）二、例題例１.一個自然數(shù)除以3余２，除以5余3,除以7余2,求這個自然數(shù)的最小值。解：除以3余2的自然數(shù)集合A=｛2，5,8,1１，1４,17，20,2３,26，……｝除以5余3的自然數(shù)集B=｛３，8，13，18,23，28,……｝除以7余2自然數(shù)集合Ｃ=｛２,９,１6,23,30，……}集合A、B、Ｃ的公共元素的最小值23就是所求的自然數(shù)。有兩個二位的質(zhì)數(shù)，它們的差等于6,并且平方數(shù)的個位數(shù)字相同,求這兩個數(shù)。解：二位的質(zhì)數(shù)共21個，它們的個位數(shù)字只有1,3,７，9，即符合條件的質(zhì)數(shù)它們的個位數(shù)的集合是｛１,３,７,9｝；其中差等于6的有：１和7；３和9；１3和7,三組;平方數(shù)的個位數(shù)字相同的只有3和7;1和9二組。同時符合三個條件的個位數(shù)字是3和7這一組故所求質(zhì)數(shù)是:23,17；43,３7;5３,47;73，67共四組。例３．數(shù)學愛好小組中訂閱A種刊物的有28人,訂閱B種刊物的有21人,其中6人兩種都訂，只有一人兩種都沒有訂,問只訂Ａ種、只訂Ｂ種的各幾人?數(shù)學愛好小組共有幾人?解：如圖左、右兩橢圓分別表達訂閱A種、Ｂ種刊物的人數(shù)集合，則兩圓重疊部分就是它們的交集（A、B兩種都訂的人數(shù)集合）?！嘀挥啠练N刊物的人數(shù)是28-６＝22人;只訂B刊物的人數(shù)是21-6=1５人；小組總?cè)藬?shù)是22+1５+6+１＝４4人。設(shè)Ｎ，N（A)，N（B）,N（AＢ),分別表達總?cè)藬?shù),訂Ａ種、Ｂ種、AB兩種、都不訂的人數(shù)，則得［公式一]N＝+N(Ａ)+N(Ｂ)－N（ＡB）。例4．在4０名同學中調(diào)查，會玩乒乓球的有２４人，籃球有1８人,排球有10人，同時會玩乒乓球和籃球的有6人，同時會玩乒乓球和排球的有4人，三種球都會的只有1人,問:有多少人①只會打乒乓球②同時會打籃球和排球③只會打排球?解:仿公式一,得[公式二]:Ｎ＝+N(A）+N(B)+N（C)-N(AB)-N(AC）-N(BC)+N（ＡBC）①只會打乒乓球的是２４－6－4＋1＝15(人）②求Ｎ（BC)可用公式二:∵４0=2４＋1８+1０-６-4-N(BC）＋1∴N(BC）＝3,即同時會打籃球和排球的是3人③只會打排球的是１0－３－1=6(人）例5.十進制中,六位數(shù)能被33整除，求x和ｙ的值解：∵0≤x，y≤９,∴０≤x+ｙ≤18，－9≤x-y≤9,x+y>x-y∵33＝3×11，∴1＋9+x＋y+8+７的和是3的倍數(shù),故x＋y=２,5，8,1１,14,1７（1＋ｘ+８)-（9+y+7)是11的倍數(shù),故x-y=-4,7∵x+y和x－ｙ是同奇數(shù)或同偶數(shù),∴它們的交集是下列四個方程組的解:，,,解得，,，(x＝１2不合題意舍去）答：ｘ=2,y=６或ｘ=５，y＝9或x=9,y＝2練習十二１、負數(shù)集合與分數(shù)集合的交集是__＿_____２、等腰直角三角形集合是______＿_三角形集合與_____＿__三角形集合的交集。3、12的正約數(shù)集合A＝｛｝,30的正約數(shù)集合B＝{}12和30的公約數(shù)集合C＝{}，集合Ｃ是集合A和集合Ｂ的__＿_＿___４、解下列不等式組并把解集(不是空集）表達在數(shù)軸上:①②③④5、某數(shù)除以3余１,除以5余1，除以7余2,求某數(shù)的最小值。6、九張紙各寫著1到9中的一個自然數(shù)（不反復)，甲拿的兩張數(shù)字和是10,乙拿的兩張數(shù)字差是１，丙拿的兩張數(shù)字積是24,丁拿的兩張數(shù)字商是3,問剩下的一張是多少？7、求符合如下三條件的兩位數(shù):①能被3整除②它的平方、立方的個位數(shù)都不變③兩個數(shù)位上的數(shù)字積的個位數(shù)與原兩位數(shù)的個位數(shù)字相同。8、據(jù)30名學生記錄,會打籃球的有22人,其中５人還會打排球；有2人兩種球都不會打。那么①會打排球有幾人?②只會打排球是幾人？9、１0０名學生代表選舉學生會正付主席，對侯選人A和Ｂ進行表決,贊成A的有５2票,贊成Ｂ的有60票,其中A、B都贊成的有36人，問對Ａ、B都不贊成的有幾人?10．數(shù)、理、化三科競賽,參與人數(shù)按單科記錄，數(shù)學２4人,物理１8人,化學10人;按兩科記錄，參與數(shù)理、數(shù)化、理化分別是13、4、5人,沒有三科都參與的人。求參賽的總?cè)藬?shù)，只參與數(shù)學科的人數(shù)。(本題假如改為有2人三科都參與呢？)11.12.十進制中，六位數(shù)能被21整除，求ｘ,ｙ的值（仿例5)第十三講用枚舉法解題一、內(nèi)容提綱有一類問題的解答,可依題意一一列舉,并從中找出規(guī)律。列舉解答要注意:按一定的順序，有系統(tǒng)地進行；分類列舉時，要做到既不反復又不違漏；碰到較大數(shù)字或抽象的字母，可從較小數(shù)字入手,由列舉中找到規(guī)律。二、例題1例1如圖由西向東走，從Ａ處到B處有幾種走法?1解:我們在交叉路上有順序地標上不同走法的數(shù)目,例如從Ａ到Ｃ有三種走法，在C處標上3,從Ａ到M(N)有3+1＝4種，從A到P有3+4+４=1１種，這樣逐步累計到B,可得1+1+11＝１3（種）走法寫出由字母X,Y，Z中的一個或幾個組成的非同類項(系數(shù)為1）的所有四次單項式。解法一:按X4,Ｘ3，X2,Ｘ，以及不含Ｘ的項的順序列出(如左)解法二:按Ｘ→Y→Z→X的順序輪換寫出(如右)X4,X4,Y4，Z4X3Y,Ｘ3Ｚ，X3Y，Y3Z，Z３ＸＸ2Ｙ２,X2Z2，X2YZ,X3Z,Y3X,Z３YXＹ3，XZ3,ＸＹ2Z,XYZ2，X2Y２,Y２Ｚ2，Ｚ２X2Y4,Z4Y3Z,Y２Z2,YZ3。X2ＹZ,Y2ZX,Z2ＸY解法三:還可按3個字母，2個字母，1個字母的順序輪換寫出(略）討論不等式ax<b的解集。解：把ａ、b、c都以正、負、零三種不同取值，組合成九種情況列表ax<０的解集b正負零ａ正負零當a>0時,解集是x<,當ａ<0時,解集是x＞，當a=０,ｂ>0時,解集是所有學過的數(shù),當a=0，b≤0時，解集是空集(即無解)例4如圖把等邊三角形各邊４等分,分別連結(jié)相應點，試計算圖中所有的三角形個數(shù)解:設(shè)原等邊三角形邊長為４個單位，則最小的等邊三角形邊長是1個單位,再按頂點在上△和頂點在下▽兩種情況,逐個記錄:邊長１單位，頂點在上的△有：1+2＋3＋４＝10邊長1單位，頂點在下的▽有：１+２+3＝6邊長２單位,頂點在上的△有:１+2+3=6邊長２單位,頂點在下的▽有:1邊長3單位,頂點在上的△有：１＋2=3邊長4單位，頂點在上的△有：1合計共２７個練習十三1、已知x，y都是整數(shù),且xy=6,那么適合等式解共＿__個,它們是______＿＿2、a+b=3７,適合等式的非負整數(shù)解共__＿組,它們是___＿＿___________＿_＿＿__3、xyz＝６,寫出所有的正整數(shù)解有:__＿__＿＿__＿＿__＿___4、如圖線段AF上有B,Ｃ,D，E四點,試分別寫出以A，Ｂ,C，Ｄ,E為一端且不反復的所有線段,并記錄總條數(shù)。5、寫出以a，b,c中的一個或幾個字母組成的非同類項(系數(shù)為1)的所有三次單項式。6、除以４余１兩位數(shù)共有幾個？7、從1到10這十個自然數(shù)中每次取兩個,其和要大于１0，共有幾種不同取法?8、把邊長等于4的正方形各邊４等分，連結(jié)各相應點成1６個小正方形，試用枚舉法,計算共有幾個正方形？假如改為5等分呢？10等分呢？9.右圖是街道的一部分，縱橫各有５條路,假如從Ａ到Ｂ(只能從北向南，從西向東),有幾種走法？10.列表討論不等式ax>b的解集.11.一個正整數(shù)加上3是5的倍數(shù),減去3是6的倍數(shù),則這個正整數(shù)的最小值是_＿________第十四講經(jīng)驗歸納法一、內(nèi)容提綱１.通常我們把“從特殊到一般”的推理方法、研究問題的方法叫做歸納法。通過有限的幾個特例,觀測其一般規(guī)律，得出結(jié)論,它是一種不完全的歸納法，也叫做經(jīng)驗歸納法。例如①由(－1)2＝1,（-1）3＝－1，(-1)4=1,……,歸納出－1的奇次冪是－1,而－1的偶次冪是1。②由兩位數(shù)從10到99共90個(９×１0),三位數(shù)從１0０到９99共９0０個(9×１02），四位數(shù)有９×10３=９000個(9×103）,…………歸納出ｎ位數(shù)共有9×１0ｎ-1(個）由1＋３=2２,１+3+５=32,1＋3+5+7=42……推斷出從1開始的n個連續(xù)奇數(shù)的和等于n2等?？梢钥闯鼋?jīng)驗歸納法是獲取新知識的重要手段，是知識攀緣前進的階梯。２.經(jīng)驗歸納法是通過少數(shù)特例的實驗,發(fā)現(xiàn)規(guī)律，猜想結(jié)論，要使規(guī)律明朗化，必須進行足夠次數(shù)的實驗。由于觀測產(chǎn)生的片面性,所猜想的結(jié)論，有也許是錯誤的,所以肯定或否認猜想的結(jié)論,都必須進行嚴格地證明。（到高中,大都是用數(shù)學歸納法證明)二、例題平面內(nèi)n條直線,每兩條直線都相交，問最多有幾個交點?解:兩條直線只有一個交點,１２第３條直線和前兩條直線都相交，增長了2個交點,得1+2３第4條直線和前3條直線都相交,增長了3個交點,得１＋2＋3第５條直線和前４條直線都相交,增長了４個交點,得1+2＋3＋4………第ｎ條直線和前n-１條直線都相交,增長了n－1個交點由此斷定n條直線兩兩相交，最多有交點１＋２＋3＋……+ｎ-1(個）,這里n≥２,其和可表達為[1＋（n－1)]×,即個交點。例2．符號n！表達正整數(shù)從１到n的連乘積,讀作n的階乘。例如5！＝１×2×３×4×5。試比較３ｎ與(n+1）！的大?。ǎ钍钦麛?shù))解：當n＝１時，3n＝3,（n＋1）!=１×2=2當n＝２時,３n=9，(n＋1）!=1×2×3＝6當n=3時,3n=２７，(n+1）！=1×2×3×4=24當n＝4時，3n=8１,(n＋1)?。?×2×3×4×5=１20當n=5時，３n＝243，(ｎ＋１)?。剑?=720……猜想其結(jié)論是：當n=1,２，3時,3n＞(ｎ＋1）!,當n>3時3n<（ｎ＋１）!。例３求適合等式x1+x２+x3＋…＋x20２3＝x１x2ｘ3…x２０２3的正整數(shù)解。分析：這２0２3個正整數(shù)的和正好與它們的積相等，要擬定每一個正整數(shù)的值,我們采用經(jīng)驗歸納法從2個，3個,４個……直到發(fā)現(xiàn)規(guī)律為止。解:ｘ1＋ｘ２=x１x2的正整數(shù)解是ｘ１＝x２=２x1+ｘ2+ｘ3=x1x２x３的正整數(shù)解是x１=１，x2＝２,x3=3ｘ1＋x2+x3+x4=x1x2x3ｘ4的正整數(shù)解是x1＝x2=１，x3=２,ｘ４=4x1+ｘ2+ｘ3+x４＋x5=x1x2x３x4x5的正整數(shù)解是x1=x2=x3=1，ｘ4＝2，x5＝5x1+ｘ2＋x3＋x4+x5+ｘ6=x1x2x3ｘ4x５ｘ6的正整數(shù)解是x１=x２=x3=ｘ4=1,x5=２,x6=6…………由此猜想結(jié)論是：適合等式x1+x２+ｘ3＋…＋x２０23=x１x2x3…ｘ2023的正整數(shù)解為x１＝x2=ｘ3＝……=x2023=1,x202３＝2,ｘ２0２3=2023。練習十四除以３余１的正整數(shù)中，一位數(shù)有____＿＿__＿_個，兩位數(shù)有____＿_____個，三位數(shù)有＿＿____＿_＿_個,n位數(shù)有＿_________個。十進制的兩位數(shù)可記作10a1+a２,三位數(shù)記作１0０a1+１0a2+a3，四位數(shù)記作__________,n位數(shù)_＿__＿＿_＿__記作__＿_______由１3＋２3=（1＋２）2,13＋23＋33=(1＋２＋３）2，1３+2３＋33＋43＝（＿_________）2,13＋______＿__＿=152,13+23+…+n3=(_＿_____＿__)2。用經(jīng)驗歸納法猜想下列各數(shù)的結(jié)論（是什么正整數(shù)的平方）①＝（____＿＿＿）２;－＝（__＿____)2。②=(__＿_＿___)２;=(__＿＿＿__＿＿_）2把自然數(shù)1到1０0一個個地排下去:１23……９1011……９９100這是一個幾位數(shù)？②這個數(shù)的各位上的各個數(shù)字和是多少？6．計算＋++…+=__＿___（提醒把每個分數(shù)寫成兩個分數(shù)的差)7.a是正整數(shù),試比較aa+1和(ａ+１)a的大小.８．如圖把長方形的四條邊涂上紅色,然后把寬3等分，把長８等分，提成24個小長方形，那么這24個長方形中，兩邊涂色的有___＿＿_個,一邊涂色的有_＿___＿個，四邊都不著色的有＿____個。本題假如改為把寬ｍ等分,長ｎ等分(m,n都是大于1的自然數(shù))那么這mn個長方形中,兩邊涂色的有__＿_＿個，一邊涂色的有____個，四邊都不著色的有__＿＿__個９.把表面涂有紅色的正方體的各棱都4等分,切成64個小正方體,那么這6４個中，三面涂色的有___＿_＿個，兩面涂色的有＿＿_____個，一面涂色的有___＿____個，四周都不涂色的有＿________個。本題假如改為把長m等分,寬n等分,高p等分,（m,n,p都是大于2的自然數(shù))那么這mnｐ個正方體中,三面涂色的有__＿_＿＿__＿個,兩面涂色的有__＿___＿_＿_個,一面涂色的有__＿_＿_＿_個,四周都不涂色的有＿＿_＿___＿_個。１0.一個西瓜按橫,縱，垂直三個方向各切三刀,共提成_＿_＿__＿_塊，其中不帶皮的有___＿＿____＿塊。11．已知兩個正整數(shù)的積等于1111２222，它們分別是＿___＿＿_＿,_＿_＿＿＿__＿。第十五講乘法公式一、內(nèi)容提綱乘法公式也叫做簡乘公式，就是把一些特殊的多項式相乘的結(jié)果加以總結(jié),直接應用。公式中的每一個字母，一般可以表達數(shù)字、單項式、多項式，有的還可以推廣到分式、根式。公式的應用不僅可從左到右的順用(乘法展開),還可以由右到左逆用（因式分解）,還要記住一些重要的變形及其逆運算――除法等?；竟骄褪亲畛Ｓ?、最基礎(chǔ)的公式，并且可以由此而推導出其他公式。完全平方公式:（a±b)2＝a２±2ａb+b2，平方差公式：（a+b）（a－ｂ)=a２－b2立方和(差）公式:（a±b)(a2ab+b２)=ａ3±b33.公式的推廣：多項式平方公式：(a+b+c+d）2=a2+b2+c2＋d2+2aｂ+2ac+２ad+２bｃ+２bd+2cd即:多項式平方等于各項平方和加上每兩項積的２倍。二項式定理:(ａ±b)3＝ａ3±3a２b＋３ab2±b3(a±ｂ）４=ａ4±4a3b＋６a2b２±4ａｂ3＋b4)(a±ｂ)5＝a５±5ａ4b+10ａ３b２±10a2b3＋5aｂ４±ｂ5)…………注意觀測右邊展開式的項數(shù)、指數(shù)、系數(shù)、符號的規(guī)律由平方差、立方和（差）公式引伸的公式（ａ＋ｂ）(a３－ａ2b＋ab2－b3)=a４-b4（ａ+b)（a4－a3b+a2b2-aｂ3＋b4)=a5＋b5(a+b)(ａ5-ａ4b+a3b2－ａ２b3+ａb4-ｂ5)=a6-b6…………注意觀測左邊第二個因式的項數(shù)、指數(shù)、系數(shù)、符號的規(guī)律在正整數(shù)指數(shù)的條件下,可歸納如下：設(shè)n為正整數(shù)(a+b)(a２n-1－a２n-2b＋ａ２n－3b2-…＋ａb2n－2-b2n－1)=a2n-b2ｎ(ａ＋b)(a2n－a2ｎ－1ｂ+a２n－2ｂ2－…－ab２n－１+b2n)=a2n+1+b2n+1類似地:(a－b）(an－1＋ａｎ－２b+an-３b2+…+abn-２+bn-1)=an－bn公式的變形及其逆運算由(a＋b）2=a2+2ab＋b2得a2+b２=(ａ＋ｂ)２－2ab由(a+b)３＝a3+3a2b+3ab２＋b3＝a３+b3+3ａb(a+ｂ)得a3+ｂ3=(a+b)3－3ａb(a+b)由公式的推廣③可知:當n為正整數(shù)時aｎ-bｎ能被ａ－b整除,a2n+1+ｂ2n+１能被a+b整除,a2n-b2n能被ａ＋b及a-b整除。二、例題例1．已知x+y＝axｙ=b求①x２+y２②x3+y3③ｘ4+ｙ4④x5+y5解：①x2+y2＝(x＋y)2-２ｘy=a2-2b②x3+y3=(ｘ+ｙ）3-3xy（x+y)＝a3－3ab③ｘ4+y4＝(x+y）４－４ｘy(ｘ2+y2）-６x2ｙ2=a４-4a2ｂ+2ｂ2④x５+y5＝(x＋y)（x4-x３ｙ+x２ｙ2-ｘy3+ｙ４）=（ｘ+y)[x4+ｙ４-ｘy（ｘ2+ｙ2）+x2y２］=ａ［a4－4a2b+２b2－b（ａ2-2b)＋b2］=a5－5a3b＋5ab2求證：四個連續(xù)整數(shù)的積加上1的和，一定是整數(shù)的平方。證明：設(shè)這四個數(shù)分別為a,a+1,a＋2,ａ+３（a為整數(shù))a(a+1)(a＋２)（ａ+3）+１=a(a+3)(a+１)(ａ+2)+１=（a２+3a)（a2+3ａ+2)＋1=(a2＋3ａ)2+2（a2+3a）+１=(a２+3a+1)2∵a是整數(shù)，整數(shù)的和、差、積、商也是整數(shù)∴a2+3a+1是整數(shù)證畢求證：2222+3１11能被7整除證明:2222＋3111=（2２）１１１＋3111=４1１1＋31１１根據(jù)a2n+1+b2ｎ+1能被a+b整除，(見內(nèi)容提綱4)∴41１1＋３111能被4＋3整除∴2222+311１能被７整除例４.由完全平方公式推導“個位數(shù)字為5的兩位數(shù)的平方數(shù)”的計算規(guī)律解：∵(10a+5)２＝1００a2＋２×１0a×５+２5＝100ａ（ａ+1)＋25∴“個位數(shù)字為5的兩位數(shù)的平方數(shù)”的特點是:冪的末兩位數(shù)字是底數(shù)個位數(shù)字5的平方，冪的百位以上的數(shù)字是底數(shù)十位上數(shù)字乘以比它大1的數(shù)的積。如：１５2＝2２5冪的百位上的數(shù)字(2＝1×２)，252＝6２5（6=２×3）,352=1225(１2=3×４）４52＝20２5(2０=4×5)……練習十五填空:①a2+b2=(ａ+ｂ)2-__＿__②(a+b）２=(ａ－ｂ)２+___③a3＋b3=(ａ+b）3－３aｂ(＿__)④ａ4+b4=(a２＋b2)2-＿__＿,⑤a5+ｂ5=(a+ｂ)（a4+b4)－＿＿＿_＿⑥a5+b5=（a２+ｂ2)(a3＋b3)-____填空：①(x+y)(__＿_＿_＿____）=x4－y4②（x－ｙ)(___＿＿_____)=x4－ｙ４③（ｘ+y）(_______＿___)＝x5+y5④(ｘ-y)（＿___＿___＿＿）=ｘ5-ｙ５3.計算：①55２＝②652=③７5２=④8５2=⑤952=4.計算下列各題，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律⑥1１×19＝⑦2２×28=⑧34×36=⑨43×４7=⑩76×74=5.已知ｘ+=３,求①x2+②x3+③x４＋的值化簡：①(a＋b）2（ａ－ｂ）2②(a＋b)（a2-ab+ｂ２)③（ａ－b)(a+b)３－２aｂ(ａ２－b２)④(a+b+c)(a＋b－ｃ）(a－b+c）(－a+b+c)7.已知a+ｂ=１,求證：a3+b３+３ab=18．已知a2＝a+1，求代數(shù)式a５－5ａ+2的值9．求證:233＋1能被9整除10．求證:兩個連續(xù)整數(shù)的積加上其中較大的一個數(shù)的和等于較大的數(shù)的平方1１．如圖三個小圓圓心都在大圓的直徑上，它們的直徑分別是a,b，ｃ求證:三個小圓周長的和等于大圓的周長求：大圓面積減去三個小圓面積和的差。第十六講整數(shù)的一種分類一、內(nèi)容提綱余數(shù)的定義：在等式A=ｍB+r中,假如A、Ｂ是整數(shù),m是正整數(shù),r為小于m的非負整數(shù)，那么我們稱r是A除以ｍ的余數(shù)。即：在整數(shù)集合中被除數(shù)＝除數(shù)×商+余數(shù)(0≤余數(shù)＜除數(shù)）例如：１３,０,-1,－９除以５的余數(shù)分別是3,０，4，1（∵-1=５(-1）+4。-9=5（－2）＋1。）顯然，整數(shù)除以正整數(shù)m,它的余數(shù)只有m種。例如整數(shù)除以2，余數(shù)只有0和1兩種，除以３則余數(shù)有0、1、２三種。整數(shù)的一種分類：按整數(shù)除以正整數(shù)m的余數(shù),分為ｍ類,稱為按模m分類。例如：ｍ＝２時，分為偶數(shù)、奇數(shù)兩類，記作｛２ｋ},{2k-１｝（k為整數(shù)）m＝3時，分為三類,記作{3ｋ｝,{3ｋ+１},｛３ｋ＋２}.或{3k｝,{3ｋ＋1}，｛３ｋ－1｝其中{3k－１｝表達除以3余2。ｍ=5時,分為五類，｛５k}.{5k＋1｝，｛5k+2},{５ｋ+3},｛5k+４}或｛５k}，{５ｋ±1},{5k±２｝，其中5k－2表達除以5余3。余數(shù)的性質(zhì):整數(shù)按某個模m分類，它的余數(shù)有可加,可乘，可乘方的運算規(guī)律。舉例如下:①（３k１+１）+(3k２+1）=3(k1+k2)+2(余數(shù)１＋1＝2)②(4k１＋1)（4ｋ2+3)=4(４k1k2+3k１＋k2)+3（余數(shù)1×3＝3）③（5k±2）２=２5ｋ2±2０k+４=5(5k2±４k)+４(余數(shù)22＝４)以上等式可敘述為：兩個整數(shù)除以3都余1，則它們的和除以3必余2。兩個整數(shù)除以4,分別余1和3,則它們的積除以4必余3。假如整數(shù)除以5，余數(shù)是２或3,那么它的平方數(shù)除以5，余數(shù)必是４或9。余數(shù)的乘方,涉及一切正整數(shù)次冪。如:∵17除以5余2∴17６除以5的余數(shù)是4(26＝64）運用整數(shù)分類解題時，它的關(guān)鍵是對的選用模m。二、例題例1.今天是星期日,99天后是星期幾?分析：一星期是7天，選用模m＝7,求9９除以7的余數(shù)解：99=（7+2)９,它的余數(shù)與29的余數(shù)相同,２9=（2３)３=８3＝（7＋1）3它的余數(shù)與1３相同，∴9９天后是星期一。又解：設(shè)｛Ａ｝表達A除以７的余數(shù),｛99}＝｛（7＋2）9｝={2９｝＝{83｝＝｛（7＋1）3}＝{13｝=1例２.設(shè)n為正整數(shù),求4３n+1除以９的余數(shù)。分析：設(shè)法把冪的底數(shù)化為９k+r形式解:43ｎ+1＝4×43n=4×（４3)n=４×（64）n=4×（９×7＋1)ｎ∵(9×7+1)n除以9的余數(shù)是1n＝１∴43n+１除以9的余數(shù)是4。例3.求證三個連續(xù)整數(shù)的立方和是９的倍數(shù)解:設(shè)三個連續(xù)整數(shù)為n－1,ｎ,n+１M=(n－１)3+n3+(n＋１)３=3n（n2+2)把整數(shù)n按模3,分為三類討論。當n=3k(k為整數(shù),下同）時,M＝3×3k［(3k）2+2]=9k(９k２＋2)當ｎ=3k+１時，M＝3(３k+1)［（3k+1)２+2］=3(3k＋１）(9k2+６k+3)=9（3k＋1）（3ｋ２＋2k＋1）當n＝３k+2時,Ｍ=3（３k+2）［(3k＋２）２+２］＝3（3k+2）（9k２＋１2k+６）=９(3k+2)（３k2+４k+２）∴對任意整數(shù)ｎ,Ｍ都是9的倍數(shù)。例4.求證：方程x２-３ｙ２＝1７沒有整數(shù)解證明：設(shè)整數(shù)x按模3分類討論,①當ｘ＝３ｋ時,（3k)2－3y２=17,3(3ｋ2－y2）=17=２\*GＢ3②當x=3k±１時,(３k±1)2－3ｙ２=173（3ｋ２±2k－y２）=16由①②左邊的整數(shù)是３的倍數(shù),而右邊的17和1６都不是3的倍數(shù)∴上述等式都不能成立，因此,方程ｘ2-3y２=17沒有整數(shù)解例5.求證：不管ｎ取什么整數(shù)值,n2+ｎ+1都不能被5整除證明:把n按模5分類討論，當n＝5k時,n２+n＋1=(5k)2＋5ｋ+１＝5(5k２+k)+1當n=5ｋ±1時,ｎ２＋n+1=（５k±1）2+5k±1＋1＝２5k2±１0k＋１+5ｋ±1+１＝5（５ｋ２±2k+k）+２±1當n＝5k±2時，n2+ｎ+1=(5k±2)２+5k±2+1＝2５k2±20ｋ+4+5k±２＋1=5(5k２±4k＋ｋ＋1)±2綜上所述，不管ｎ取什么整數(shù)值，ｎ2+ｎ+1都不能被５整除又證：n2+ｎ＋1＝ｎ(ｎ+1）+1∵ｎ（n+1)是兩個連續(xù)整數(shù)的積，其個位數(shù)只能是0,2,６∴n2＋n＋1的個位數(shù)只能是１，3，7,故都不能被５整除。練習十六已知a=３ｋ