2018屆數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第一章集合與常用邏輯用語第一節(jié)集合學(xué)案文

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精eq\o（\s\up7(第一節(jié)），\s\do5(）)eq\o（\s\up7（集合），\s\do5(）)1.了解集合的含義、體會(huì)元素與集合的從屬關(guān)系．2．能用自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述不同的具體問題．3．理解集合之間包含與相等的含義,能識(shí)別給定集合的子集．4．在具體情境中，了解全集與空集的含義．5．理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，會(huì)求兩個(gè)簡單集合的并集與交集．6．理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，會(huì)求給定子集的補(bǔ)集．7．能使用韋恩(Venn）圖表達(dá)集合的基本關(guān)系及集合的基本運(yùn)算．知識(shí)點(diǎn)一元素與集合1．集合元素的特性：________、________、無序性．2．集合與元素的關(guān)系：若a屬于A，記作________；若b不屬于A，記作________．3．集合的表示方法：________、________、圖示法．4．常用數(shù)集及其符號(hào)表示數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)________________________ 答案1．確定性互異性2。a∈Ab?A3．列舉法描述法4.NN＊或N＋ZQR1．（2016·天津卷）已知集合A＝｛1，2，3,4｝，B＝｛y|y＝3x－2,x∈A}，則A∩B＝（）A．{1}B．{4}C．｛1,3｝D．｛1，4}解析：由題意B＝{1,4，7,10}，A∩B＝{1,4｝,選D。答案：D2．設(shè)A＝｛－1,1，5｝，B＝{a＋2,a2＋4},A∩B＝{5}，則實(shí)數(shù)a的值為（）A．3 B．1C．±1 D．1或3解析：因?yàn)锳∩B＝{5}，所以a＋2＝5或a2＋4＝5.當(dāng)a＋2＝5時(shí)，a＝3；當(dāng)a2＋4＝5時(shí)，a＝±1，又a＝－1時(shí)，B＝{1，5｝，而此時(shí)A∩B＝{1，5}≠{5}，故a＝1或3.答案：D知識(shí)點(diǎn)二集合間的基本關(guān)系表示關(guān)系文字語言符號(hào)語言相等集合A與集合B中的所有元素________A__B且B__A?A＝B子集A中任意一個(gè)元素均為B中的元素______或______真子集A中任意一個(gè)元素均為B中的元素，且B中至少有一個(gè)元素不是A中的元素______或______空集空集是________的子集，是___________的真子集?__A?__B(B≠?）答案都相同??A?BB?AABBA任何集合任何非空集合?3．(必修①P12習(xí)題1。1A組第5（2）題改編)若集合A＝｛x∈N|x≤eq\r(10）}，a＝2eq\r(2），則下面結(jié)論中正確的是（)A．｛a}?A B．a(chǎn)?AC．{a}∈A D．a(chǎn)?A解析：因?yàn)?eq\r（2）不是自然數(shù)，所以a?A.答案:D4．滿足{0，1，2｝A?{0,1,2,3,4,5｝的集合A的個(gè)數(shù)為____.解析:集合A除含元素0,1,2外,還至少含有3,4,5中的一個(gè)元素,所以集合A的個(gè)數(shù)等于{3,4，5｝的非空子集的個(gè)數(shù)，即為23－1＝7.答案：7知識(shí)點(diǎn)三集合的基本運(yùn)算1．集合的三種基本運(yùn)算并集交集補(bǔ)集符號(hào)表示________________若全集為U，則集合A的補(bǔ)集為?UA圖形表示意義{x｜__________｝{x｜__________}{x|__________｝2。活用集合的三類運(yùn)算性質(zhì)并集的性質(zhì)：A∪?＝A;A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?____。交集的性質(zhì)：A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?____。補(bǔ)集的性質(zhì)：A∪(?UA)＝____;A∩（?UA）＝____；?U(?UA）＝A.答案1．A∪BA∩Bx∈A,或x∈Bx∈A，且x∈Bx∈U，且x?A2．B?AA?BU?5．(2016·新課標(biāo)全國卷Ⅰ)設(shè)集合A＝｛x|x2－4x＋3〈0｝,B＝{x|2x－3>0}，則A∩B＝()A．（－3，－eq\f（3,2)) B．(－3,eq\f（3，2））C．（1,eq\f（3,2)） D．(eq\f（3,2），3）解析：由題意得,A＝{x|1〈x〈3｝,B＝｛x|x〉eq\f（3，2)｝,則A∩B＝（eq\f(3,2)，3），選D。答案：D6．(必修①P12習(xí)題1.1B組第1題)已知集合A＝｛1,2｝，集合B滿足A∪B＝｛1，2},則集合B有________個(gè)．解析:因?yàn)榧螦＝{1,2}有兩個(gè)元素,且A∪B＝{1,2｝，則B?A.故滿足條件的集合B有22＝4(個(gè))．答案:4熱點(diǎn)一集合的含義及表示【例1】已知集合A＝{x｜y＝eq\r(1－x2），x∈Z}，B＝{p－q|p∈A，q∈A},則集合B中元素的個(gè)數(shù)為（)A．1 B．3C．5 D．7(2）已知集合A＝{x－2，2x2＋5x,12}，若－3∈A,則x的值為________。【解析】（1）易知A＝{x|y＝eq\r(1－x2）,x∈Z}＝｛－1，0，1}，B＝｛p－q｜p∈A，q∈A｝＝｛－2,－1，0,1，2},故集合B中元素的個(gè)數(shù)為5.（2）由題意可知x－2＝－3或2x2＋5x＝－3.當(dāng)x－2＝－3時(shí)，x＝－1，則x－2＝2x2＋5x＝－3，不滿足集合中元素的互異性，故舍去；當(dāng)2x2＋5x＝－3時(shí),x＝－eq\f（3，2）(x＝－1舍去）,經(jīng)檢驗(yàn)x＝－eq\f（3，2)滿足題意．綜上可知x＝－eq\f(3,2）。【答案】（1）C（2)－eq\f（3，2)【總結(jié)反思】（1）研究集合問題時(shí),一定要抓住元素這一要素,看元素應(yīng)滿足的屬性．對于含有字母的集合，在求出字母的值后,要注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿足互異性．（2)對于集合相等的問題,首先要分析已知元素與另一個(gè)集合中哪一個(gè)元素相等，分幾種情況列出方程(組)進(jìn)行求解，要注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿足互異性。（1)(2017·邢臺(tái)模擬）已知集合A＝｛x∈N|x2＋2x－3≤0}，B＝{C|C?A｝，則集合B中元素的個(gè)數(shù)為（）A．2 B．3C．4 D．5（2）已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，則解析：(1)A＝{x∈N|（x＋3）(x－1）≤0}＝｛x∈N|－3≤x≤1}＝｛0，1｝，共有22＝4個(gè)子集，因此集合B中元素的個(gè)數(shù)為4，選C.(2）由題意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，則m＝1或m＝－eq\f(3，2），當(dāng)m＝1時(shí)，m＋2＝3且2m2＋m＝3,根據(jù)集合中元素的互異性可知不滿足題意；當(dāng)m＝－eq\f(3,2）時(shí)，m＋2＝eq\f(1,2），而2m2＋m＝3，故m＝－eq\f（3，2).答案:(1)C(2）－eq\f(3，2)熱點(diǎn)二集合間的關(guān)系【例2】(1）設(shè)P＝{y|y＝－x2＋1,x∈R}，Q＝｛y|y＝2x，x∈R｝，則（）A．P?Q B．Q?PC．?RP?Q D．Q??RP(2)已知集合A＝{x｜－2≤x≤5｝，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1｝,若B?A，則實(shí)數(shù)m【解析】(1)因?yàn)镻＝｛y|y＝－x2＋1，x∈R}＝{y|y≤1｝，Q＝{y｜y＝2x，x∈R｝＝{y|y〉0｝，所以?RP＝｛y|y>1｝，所以?RP?Q，選C。(2)∵B?A，∴①若B＝?，則2m－1<m此時(shí)m〈2。②若B≠?，則eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（2m－1≥m＋1，，m＋1≥－2,，2m－1≤5。)）解得2≤m≤3.由①、②可得,符合題意的實(shí)數(shù)m的取值范圍為（－∞，3］．【答案】（1）C（2)(－∞，3]1．在本例(2）中,若A?B，如何求解?解：若A?B,則eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（m＋1≤－2,，2m－1≥5，）)即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≤－3，,m≥3。)）所以m的取值范圍為?.2．若將本例(2)中的集合A，B分別更換為A＝｛1，2},B＝｛x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，如何求解？解:①若B＝?，則Δ＝m2－4<0，解得－2<m<2;②若1∈B，則12＋m＋1＝0，解得m＝－2，此時(shí)B＝{1｝，符合題意；③若2∈B，則22＋2m＋1＝0,解得m＝－eq\f（5,2)，此時(shí)B＝{2，eq\f（1,2)｝，不合題意．綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為[－2,2）。【總結(jié)反思】根據(jù)兩集合的關(guān)系求參數(shù)的方法已知兩個(gè)集合之間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，要明確集合中的元素，對子集是否為空集進(jìn)行分類討論,做到不漏解．（1)若集合元素是一一列舉的，依據(jù)集合間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為解方程(組）求解，此時(shí)注意集合中元素的互異性；（2）若集合表示的是不等式的解集，常依據(jù)數(shù)軸轉(zhuǎn)化為不等式(組）求解,此時(shí)需注意端點(diǎn)值能否取到.(1）（2017·保定模擬)已知集合A＝{x|ax＝1｝，B＝{x｜x2－1＝0｝，若A?B,則a的取值構(gòu)成的集合是(）A．{－1｝ B．{1}C．{－1，1} D．{－1，0,1}（2)已知集合A＝{x｜x2－2015x－2016≤0}，B＝{x|x<m＋1}，若A?B，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．解析：(1）由題意，得B＝｛－1，1}，因?yàn)锳?B，所以當(dāng)A＝?時(shí),a＝0；當(dāng)A＝{－1}時(shí),a＝－1；當(dāng)A＝｛1｝時(shí)，a＝1。又A中至多有一個(gè)元素,所以a的取值構(gòu)成的集合是{－1，0，1}．(2)因?yàn)锳＝｛x｜－1≤x≤2016｝，B＝｛x｜x〈m＋1}，A?B,所以m＋1>2016，即m>2015.答案:(1)D(2)(2015,＋∞)熱點(diǎn)三集合的運(yùn)算考向1集合的基本運(yùn)算【例3】（1）（2016·山東卷）設(shè)集合A＝｛y|y＝2x，x∈R｝，B＝{x｜x2－1<0},則A∪B＝(）A．(－1,1) B．(0，1）C．（－1，＋∞) D．(0，＋∞）（2）設(shè)全集U＝｛1,2,3,4，5，6}，集合M＝{1，4｝，N＝{2，3｝,則集合{5,6｝等于（)A．M∪N B．M∩NC．（?UM)∪(?UN） D．（?UM）∩（?UN)【解析】(1)集合A表示函數(shù)y＝2x的值域，故A＝（0，＋∞）．由x2－1〈0，得－1<x〈1,故B＝(－1,1），所以A∪B＝（－1,＋∞)．故選C。(2)由題知M∪N＝｛1,2，3，4}，M∩N＝?。(?UM)∪（?UN)＝｛1,2，3,4，5，6｝，（?UM）∩(?UN）＝｛5,6}，故選D?！敬鸢浮浚?)C（2)D考向2含參數(shù)的集合運(yùn)算【例4】設(shè)U＝R，集合A＝{x｜x2＋3x＋2＝0}，B＝｛x｜x2＋(m＋1)x＋m＝0｝,若（?UA)∩B＝?,則m＝________.【解析】A＝{－2，－1}，由（?UA)∩B＝?，得B?A。∵方程x2＋（m＋1）x＋m＝0的判別式Δ＝(m＋1）2－4m＝（m－1)2≥0，∴B≠?∴B＝{－1｝或B＝{－2}或B＝｛－1，－2}．①若B＝｛－1｝，則m＝1；②若B＝｛－2｝,則應(yīng)有－（m＋1）＝(－2)＋（－2）＝－4，且m＝(－2）·（－2）＝4，這兩式不能同時(shí)成立，∴B≠{－2}；③若B＝{－1,－2｝，則應(yīng)有－（m＋1）＝（－1)＋（－2)＝－3,且m＝（－1)·（－2)＝2,由這兩式得m＝2.經(jīng)檢驗(yàn)知m＝1和m＝2符合條件，∴m＝1或2.【答案】1或2【總結(jié)反思】（1）一般來講，集合中的元素若是離散的，則用Venn圖表示；集合中的元素若是連續(xù)的實(shí)數(shù),則用數(shù)軸表示，此時(shí)要注意端點(diǎn)的情況．（2)已知集合的運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)，要注意分類討論思想的靈活應(yīng)用。(1)（2017·遼寧沈陽質(zhì)檢)設(shè)全集U＝R,集合A＝｛x|y＝lgx}，B＝｛－1,1｝，則下列結(jié)論正確的是()A．A∩B＝{－1｝B．（?RA）∪B＝（－∞，0）C．A∪B＝（0，＋∞）D．（?RA)∩B＝｛－1｝(2)已知集合A＝{x|x2－2x－8≤0｝,B＝{x｜x2－(2m－3)x＋m（m－3）≤0｝，若A∩B＝[2，4］，則實(shí)數(shù)m解析：(1）集合A＝{x|x〉0｝，?RA＝｛x|x≤0}．則(?RA)∩B＝{－1｝，故選D。(2)由題知A＝[－2，4]，B＝[m－3,m］．因?yàn)锳∩B＝[2，4］，所以eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(m－3＝2，m≥4)），∴m＝5答案：（1)D（2）5熱點(diǎn)四集合中的新定義問題【例5】若集合A具有以下性質(zhì)：（Ⅰ)0∈A，1∈A;(Ⅱ）若x∈A，y∈A，則x－y∈A，且x≠0時(shí)，eq\f(1,x）∈A.則稱集合A是“好集”．下列命題正確的個(gè)數(shù)是（)（1)集合B＝{－1,0，1}是“好集"；（2)有理數(shù)集Q是“好集”；（3）設(shè)集合A是“好集”，若x∈A,y∈A,則x＋y∈A。A．0 B．1C．2 D．3【解析】（1）集合B不是“好集”,假設(shè)集合B是“好集”,因?yàn)椋?∈B,1∈B，所以－1－1＝－2∈B，這與－2?B矛盾．(2）有理數(shù)集Q是“好集”，因?yàn)?∈Q,1∈Q，對任意的x∈Q，y∈Q，有x－y∈Q,且x≠0時(shí)，eq\f（1,x）∈Q，所以有理數(shù)集Q是“好集”．(3)因?yàn)榧螦是“好集"，所以0∈A,若x∈A,y∈A,則0－y∈A，即－y∈A,所以x－(－y）∈A，即x＋y∈A?！敬鸢浮緾【總結(jié)反思】解決以集合為背景的新定義問題，要抓住兩點(diǎn)：(1）緊扣新定義．首先分析新定義的特點(diǎn)，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題過程之中,這是破解新定義型集合問題難點(diǎn)的關(guān)鍵所在；(2）用好集合的性質(zhì)．解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之處用好集合的運(yùn)算與性質(zhì).設(shè)集合M＝eq\b\lc\{\rc\｝（\a\vs4\al\co1（x\b\lc\|\rc\（\a\vs4\al\co1(m≤x≤m＋\f(3,4））))），N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\｜\rc\(\a\vs4\al\co1（n－\f（1,3）≤x≤n））))，且M，N都是集合{x｜0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫作集合｛x|a≤x≤b｝的“長度”，那么集合M∩N的“長度”的最小值是（）A.eq\f（1,3) B.eq\f（2，3)C。eq\f(1,12) D.eq\f(5,12)解析：由已知,可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（m≥0，,m＋\f(3，4)≤1，）)即0≤m≤eq\f（1,4)；eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（n－\f（1,3)≥0，,n≤1,)）即eq\f（1,3)≤n≤1,取m的最小值0，n的最大值1，可得M＝eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1（0,\f（3,4）)），N＝eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1（\f(2,3)，1））,所以M∩N＝eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(0，\f（3,4)））∩eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（\f(2,3)，1))＝eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1（\f（2,3），\f（3，4))），此時(shí)集合M∩N的“長度”的最小值為eq\f(3，4)－eq\f（2，3)＝eq\f（1，12），故選C。答案：C1．解決集合問題應(yīng)注意的問題(1）認(rèn)清元素的屬性．解決集合問題時(shí)，認(rèn)清集合中元素的屬性（是點(diǎn)集、數(shù)集或其他情形）和化簡集合是正確求解的兩個(gè)先決條件．(2)注意元素的互異性．在解決含參數(shù)的集合問題時(shí)，要注意檢驗(yàn)集合中元素的互異性，否則很可能會(huì)因?yàn)椴粷M足“互異性"而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤．（3）防范空集．在解決有關(guān)A∩B＝?，A?B等集合問題時(shí)，往往忽略空集的情況，一定先考慮?是否成立,以防漏解．2．?dāng)?shù)形結(jié)合思想數(shù)軸和Venn圖是進(jìn)行交、并、補(bǔ)集運(yùn)算的有力工具，數(shù)形結(jié)合是解集合問題的常用方法，解題時(shí)要先把集合中各種形式的元素化簡，使之明確化,盡可能地借助數(shù)軸、直角坐標(biāo)系或Venn圖等工具,將抽象的代數(shù)問題具體化、形象化、直觀化,然后利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解題．集合背景下的新定義問題以集合為背景的新定義問題，集合只是一種表述形式，實(shí)質(zhì)上考查的是考生接受新信息、理解新情境、解決新問題的數(shù)學(xué)能力．解決此類問題，要從兩點(diǎn)入手:(1)正確理解創(chuàng)新定義．分析新定義的表述意義,把新定義所表達(dá)的數(shù)學(xué)本質(zhì)弄清楚，轉(zhuǎn)化成熟知的數(shù)學(xué)情境，并能夠應(yīng)用到具體的解題之中，這是解決問題的基礎(chǔ)．(2）合理利用集合性質(zhì)．運(yùn)用集合的性質(zhì)（如元素的性質(zhì)、運(yùn)算性質(zhì)等)是破解新定義型集合問題的關(guān)鍵．在解題時(shí)要善于從題設(shè)條件給出的數(shù)式中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，但關(guān)鍵之處還是合理利用集合的運(yùn)算與性質(zhì)．【例1】已知集合A＝｛(x，y）|x2＋y2≤1，x，y∈Z｝,B＝｛（x,y）｜｜x|≤2,|y|≤2，x，y∈Z}，定義集合A⊕B＝｛(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B｝，則A⊕B中元素的個(gè)數(shù)為(）A．77 B．49C．45 D．30【解析】A＝｛（0,0），(0,－1），(0，1），（1,0），（－1，0)｝,B＝｛（0,0），(0,1），（0，2)，(0,－1），(0，－2),（1,0)，(1,1)，(1，2)，（1，－1），（1，－2),（2，0),(2,1），（2，2)，（2，－1)，(2，－2），(－1，0），(－1,1)，（－1，2），（－1，－1），（－1，－2)，（－2,0），(－2,1）,(－2，2）,(－2,－1），(－2，－2）｝，則依題意知,A⊕B＝{(0，0）,(0,1),（0,2）,(0,－1),（0,－2)，(1,0)，（1，1），（1,2），(1，－1)，(1，－2)，(2,0），(2,1），（2,2)，