數(shù)學(xué)物理方法第二章復(fù)變函數(shù)的積分課件

數(shù)學(xué)物理方法復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分路積分柯西定理不定積分柯西公式本章小結(jié)路積分路積分的概念和性質(zhì)實(shí)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)定義性質(zhì)路積分例題1沿圖所示的三條曲線分別計(jì)算復(fù)變函數(shù)∫Czdz從O到B的定積分。解：路積分例題2沿圖所示的三條曲線分別計(jì)算復(fù)變函數(shù)∫Cz2dz從O到B的定積分。解：路積分例題3沿圖所示的三條曲線分別計(jì)算復(fù)變函數(shù)∫CRe(z)

dz從O到B的定積分。解：柯西定理積分規(guī)律的探究歸納如果函數(shù)f(z)在單連通區(qū)域內(nèi)解析，則路積分與路徑無(wú)關(guān)，完全由起點(diǎn)和終點(diǎn)決定。猜想如果函數(shù)f(z)在閉單連通區(qū)域B上解析，則沿B上任一分段光滑閉合曲線l的路積分有：證明（見(jiàn)教材）柯西定理推廣規(guī)律閉復(fù)連通區(qū)域上的解析函數(shù)沿外邊界線逆時(shí)針?lè)e分等于沿所有內(nèi)邊界線逆時(shí)針?lè)e分之和。公式統(tǒng)一表述解析函數(shù)沿所有邊界線正向積分為零；起點(diǎn)和終點(diǎn)固定時(shí)，積分路徑在解析區(qū)域中連續(xù)變形不改變路積分的值?？挛鞫ɡ砝}計(jì)算積分解：如a不在L內(nèi)，I=0當(dāng)a在L內(nèi)時(shí)，如n≥0，I=0；

如n<0，可以用柯西定理的推廣不定積分性質(zhì)設(shè)F(z)是f(z)的原函數(shù)，則F’(z)=f(z)如果允許相差一個(gè)任意常數(shù)，則不定積分可以寫(xiě)成F(z)=∫f(z)dz求原函數(shù)在原函數(shù)存在的情況下，復(fù)積分與實(shí)積分只是變量不同，形式上沒(méi)有任何區(qū)別，其原函數(shù)的計(jì)算方法和結(jié)果與實(shí)數(shù)情況完全類(lèi)似。例如:∫zndz=zn+1/(n+1)∫cos(z)dz=sin(z)∫sin(z)dz=-cos(z)∫exp(z)dz=exp(z)柯西公式柯西公式公式如f(z)在單連通閉區(qū)域B上解析，L為B的邊界線，a為B內(nèi)的任意一點(diǎn)，則證明：柯西公式變形推廣：柯西公式應(yīng)用舉例例1問(wèn)題：計(jì)算回路積分分析：與柯西公式比較，可知f(z)=cosh(z),a=-1解：由柯西公式柯西公式例2問(wèn)題：計(jì)算回路積分分析：與推廣的柯西公式比較，可知f(z)=sinh(z)，a=0，n=1解：由推廣的柯西公式柯西公式例3問(wèn)題：計(jì)算回路積分分析：與柯西公式比