2018屆數(shù)學大復習第七章立體幾何第四節(jié)直線、平面平行的判定與性質(zhì)理

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE22-學必求其心得，業(yè)必貴于專精第四節(jié)直線、平面平行的判定與性質(zhì)☆☆☆2017考綱考題考情☆☆☆考綱要求真題舉例命題角度1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點,認識和理解空間中線面平行的有關性質(zhì)與判定定理；2.能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些有關空間圖形的平行關系的簡單命題。2016，全國卷Ⅰ，11，5分(面面平行性質(zhì)、線線角）2016，全國卷Ⅱ，14，5分（線面平行性質(zhì)）2016，北京卷，17,14分（線面平行、垂直的判定)2014，全國卷Ⅱ，18（Ⅰ)，12分(線面平行的判定與性質(zhì))1。直線、平面平行的判定及其性質(zhì)是高考中的重點考查內(nèi)容,涉及線線平行、線面平行、面面平行的判定及其應用等內(nèi)容;2。題型主要以解答題的形式出現(xiàn),解題要求有較強的推理論證能力，廣泛應用轉化與化歸的思想.微知識小題練自|主|排｜查1．直線與平面平行(1）判定定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果平面外的一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行,那么這條直線和這個平面平行（簡記為線線平行?線面平行）。eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1（l?α；，a?α;,a∥l)）?l∥α（2）性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言性質(zhì)定理如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行(簡記線面平行?線線平行）。eq\b\lc\\rc\}（\a\vs4\al\co1(a∥α；,a?β;，α∩β＝b））?a∥b2.平面與平面平行（1）判定定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面內(nèi)有兩條相交的直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行（簡記為“線面平行?面面平行"）(2)兩平面平行的性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言性質(zhì)定理如果兩平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行3.平行關系中的兩個重要結論(1)垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β。（2)平行于同一平面的兩個平面平行,即若α∥β,β∥γ，則α∥γ。微點提醒1．推證線面平行時，一定要說明一條直線在平面外，一條直線在平面內(nèi).2．推證面面平行時，一定要說明一個平面內(nèi)的兩條相交直線平行于另一個平面。3．利用線面平行的性質(zhì)定理把線面平行轉化為線線平行時，必須說明經(jīng)過已知直線的平面與已知平面相交，則該直線與交線平行。小|題|快｜練一、走進教材1．（必修2P61A組T1(1)A．若a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面B．若直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行C．平行于同一條直線的兩個平面平行D．若直線a，b和平面α滿足a∥b,a∥α,b?α，則b∥α【解析】A錯誤，因a可能在經(jīng)過b的平面內(nèi);B錯誤，a與α內(nèi)的直線平行或異面;C錯誤，兩個平面可能相交；D正確，由a∥α，可得a平行于經(jīng)過直線a的平面與α的交線c，即a∥c,又a∥b，所以b∥c,b?α,c?α，所以b∥α.故選D。【答案】D2．(必修2P56練習T2)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點E是DD1的中點,則BD1與平面ACE【解析】連接BD，設BD∩AC＝O，連接EO,在△BDD1中，點E,O分別是DD1，BD的中點，則EO∥BD1,又因為EO?平面ACE，BD1?平面AEC,所以BD1∥平面ACE。【答案】平行二、雙基查驗1．若一直線上有相異三個點A,B，C到平面α的距離相等，那么直線l與平面α的位置關系是（)A．l∥α B．l⊥αC．l與α相交且不垂直 D．l∥α或l?α【解析】由于l上有三個相異點到平面α的距離相等，則l與α可以平行，l?α時也成立。故選D。【答案】D2．下列條件中,能作為兩平面平行的充分條件的是()A．一個平面內(nèi)的一條直線平行于另一個平面B．一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面C．一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個平面D．一個平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個平面【解析】由面面平行的定義可知，一平面內(nèi)所有的直線都平行于另一個平面時，兩平面才能平行，故選D?！敬鸢浮緿3．已知直線a，b,平面α，則以下三個命題：①若a∥b，b?α，則a∥α；②若a∥b，a∥α，則b∥α；③若a∥α，b∥α，則a∥b。其中真命題的個數(shù)是(）A．0個 B．1個C．2個 D．3個【解析】對于命題①，若a∥b,b?α,則應有a∥α或a?α，所以①不正確；對于命題②，若a∥b，a∥α,則應有b∥α或b?α，因此②也不正確;對于命題③,若a∥α，b∥α,則應有a∥b或a與b相交或a與b異面，因此③也不正確。故選A?！敬鸢浮緼4．已知平面α∥β，直線a?α,有下列命題:①a與β內(nèi)的所有直線平行；②a與β內(nèi)無數(shù)條直線平行；③a與β內(nèi)的任意一條直線都不垂直。其中真命題的序號是________。【解析】由面面平行和線面平行的性質(zhì)可知，過a與β相交的平面與β的交線才與a平行，故①錯誤；②正確；平面β內(nèi)的直線與直線a平行，異面均可,其中包括異面垂直，故③錯誤.【答案】②5．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點，設Q是CC1上的點，則點Q滿足條件________時，平面D1BQ∥平面PAO【解析】如圖所示，假設Q為CC1的中點，因為P為DD1的中點，所以QB∥PA。連接DB，因為P,O分別是DD1，DB的中點，所以D1B∥PO，又D1B?平面PAO，QB?平面PAO，所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B,所以平面D1BQ∥平面PAO。故Q為CC1的中點時,有平面D1BQ∥平面PAO.【答案】Q為CC1的中點微考點大課堂考點一線面平行的判定及性質(zhì)【典例1】如圖,四棱錐P－ABCD中，AD∥BC,AB＝BC＝eq\f（1,2）AD,E,F，H分別為線段AD，PC，CD的中點，AC與BE交于O點，G是線段OF上一點。(1)求證:AP∥平面BEF；(2）求證:GH∥平面PAD?！咀C明】(1)連接EC，∵AD∥BC，BC＝eq\f（1，2）AD，∴BC綊AE,∴四邊形ABCE是平行四邊形，∴O為AC的中點。又∵F是PC的中點，∴FO∥AP，F(xiàn)O?平面BEF，AP?平面BEF,∴AP∥平面BEF.（2）連接FH，OH，∵F,H分別是PC，CD的中點，∴FH∥PD，∴FH∥平面PAD.又∵O是AC的中點,H是CD的中點,∴OH∥AD，∴OH∥平面PAD。又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD。又∵GH?平面OHF，∴GH∥平面PAD。反思歸納判斷或證明線面平行的常用方法1．利用線面平行的定義（無公共點）；2．利用線面平行的判定定理(a?α,b?α，a∥b?a∥α)；3．利用面面平行的性質(zhì)定理（α∥β，a?α?a∥β)；4．利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?α，a?β,a∥α?a∥β).【變式訓練】如圖所示,四邊形ABCD是平行四邊形，點P是平面ABCD外一點，M是PC的中點,在DM上取一點G，過G和AP作平面交平面BDM于GH。求證:AP∥GH?！咀C明】如圖所示,連接AC交BD于點O，連接MO，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點，又M是PC的中點，∴AP∥OM。又MO?平面BMD，PA?平面BMD，∴PA∥平面BMD?！咂矫鍼AHG∩平面BMD＝GH,且PA?平面PAHG，∴PA∥GH。考點二面面平行的判定與性質(zhì)【典例2】（2016·山東高考)在如圖所示的幾何體中，D是AC的中點,EF∥DB。(1）已知AB＝BC，AE＝EC.求證：AC⊥FB；（2）已知G，H分別是EC和FB的中點.求證：GH∥平面ABC.【證明】（1）因為EF∥DB，所以EF與DB確定平面BDEF,連接DE。因為AE＝EC，D為AC的中點，所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDEF，因為FB?平面BDEF，所以AC⊥FB。(2)設FC的中點為I,連接GI，HI。在△CEF中，因為G是CE的中點，所以GI∥EF。又EF∥DB，所以GI∥DB。在△CFB中,因為H是FB的中點，所以HI∥BC，又HI∩GI＝I，所以平面GHI∥平面ABC.因為GH?平面GHI，所以GH∥平面ABC。反思歸納證明面面平行的方法(1)面面平行的定義；（2)面面平行的判定定理:如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行；（3）利用垂直于同一條直線的兩個平面平行；（4)兩個平面同時平行于第三個平面,那么這兩個平面平行；(5)利用“線線平行”、“線面平行”、“面面平行"的相互轉化。【變式訓練】（2016·衡水模擬）如圖所示的幾何體ABCDFE中，△ABC，△DFE都是等邊三角形，且所在平面平行，四邊形BCED是邊長為2的正方形，且所在平面垂直于平面ABC。（1）求幾何體ABCDFE的體積；(2）證明：平面ADE∥平面BCF.【解析】（1）取BC的中點O，ED的中點G，連接AO，OF,FG，AG?！逜O⊥BC，AO?平面ABC，平面BCED⊥平面ABC，∴AO⊥平面BCED.同理FG⊥平面BCED。∵AO＝FG＝eq\r（3）,∴VABCDFE＝2VF—BCED＝eq\f(1，3)×4×eq\r(3）×2＝eq\f（8\r(3),3)。(2）證明：由(1)知AO∥FG，AO＝FG，∴四邊形AOFG為平行四邊形，∴AG∥OF。又∵DE∥BC，DE∩AG＝G，DE?平面ADE，AG?平面ADE,FO∩BC＝O，F(xiàn)O?平面BCF，BC?平面BCF，∴平面ADE∥平面BCF?！敬鸢浮?1)eq\f(8\r(3),3）（2)見解析考點三平行關系中的探索性問題【典例3】(2016·北京高考)如圖，在四棱錐P－ABCD中,PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC。(1）求證:DC⊥平面PAC;（2）求證:平面PAB⊥平面PAC；(3)設點E為AB的中點。在棱PB上是否存在點F，使得PA∥平面CEF？說明理由?！窘馕觥?1）證明：因為PC⊥平面ABCD,所以PC⊥DC。又因為DC⊥AC，PC∩AC＝C,所以DC⊥平面PAC。（2)證明：因為AB∥DC，DC⊥AC，所以AB⊥AC.因為PC⊥平面ABCD，所以PC⊥AB，又∵PC∩AC＝C。所以AB⊥平面PAC，AB?平面PAB。所以平面PAB⊥平面PAC。（3）棱PB上存在點F，使得PA∥平面CEF。證明如下:如圖,取PB中點F，連接EF，CE,CF。又因為E為AB的中點，所以EF∥PA.又因為PA?平面CEF,且EF?平面CEF，所以PA∥平面CEF?！敬鸢浮浚?)(2)見解析(3）存在，理由見解析反思歸納解決探究性問題一般先假設求解的結果存在，從這個結果出發(fā)，尋找使這個結論成立的充分條件，如果找到了使結論成立的充分條件，則存在；如果找不到使結論成立的充分條件(出現(xiàn)矛盾）,則不存在。而對于探求點的問題，一般是先探求點的位置，多為線段的中點或某個三等分點，然后給出符合要求的證明?！咀兪接柧殹咳鐖D，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD(1)證明：平面AB1C∥平面DA1C（2)在直線CC1上是否存在點P，使BP∥平面DA1C1？若存在,確定點P【解析】(1）證明：由棱柱ABCD－A1B1C1D1的性質(zhì)知，AB1∥DC1，∵AB1?平面DA1C1，DC1?平面DA1C1，∴AB1∥平面DA同理可證B1C∥平面DA1C1，而AB1∩B1C＝由面面平行的判定定理知，平面AB1C∥平面DA1C(2)存在這樣的點P，使BP∥平面DA1C1∵A1B1綊AB綊DC，∴四邊形A1B1CD為平行四邊形。∴A1D∥B1C在C1C的延長線上取點P,使C1C＝CP，連接∵B1B綊C1C，∴B1B綊CP∴四邊形BB1CP為平行四邊形，則BP∥B1C，∴BP∥A1D，∴BP∥平面DA1C【答案】（1)見解析(2)存在P在C1C的延長線上，且C1C微考場新提升1．設α，β是兩個不同的平面，m，n是平面α內(nèi)的兩條不同直線，l1，l2是平面β內(nèi)的兩條相交直線，則α∥β的一個充分不必要條件是（)A．m∥l1且n∥l2 B．m∥β且n∥l2C．m∥β且n∥β D．m∥β且l1∥α解析由m∥l1，m?α,l1?β，得l1∥α,同理l2∥α，又l1,l2相交，所以α∥β，反之不成立，所以m∥l1且n∥l2是α∥β的一個充分不必要條件。故選A。答案A2．若平面α∥平面β，直線a∥平面α,點B∈β，則在平面β內(nèi)且過B點的所有直線中（）A．不一定存在與a平行的直線B．只有兩條與a平行的直線C．存在無數(shù)條與a平行的直線D．存在唯一與a平行的直線解析當直線a在平面β內(nèi)且過B點時，不存在與a平行的直線，故選A。答案A3．已知不重合的直線a，b和平面α，①若a∥α,b?α，則a∥b；②若a∥α,b∥α,則a∥b；③若a∥b，b?α，則a∥α;④若a∥b,a?α,則b∥α或b?α。其中命題正確的是________。(填序號）解析①若a∥α，b?α，則a，b平行或異面;②若a∥α，b∥α，則a，b平行、相交、異面都有可能;③若a∥b,b?α，則a∥α或a?α.答案④4．給出下列關于互不相同的直線l，m，n和平面α,β，γ的三個命題：①若l與m為異面直線，l?α,m?β，則α∥β；②若α∥β，l?α，m?β，則l∥m；③若α∩β＝l，β∩γ＝m,γ∩α＝n，l∥γ，則m∥n。其中真命題為________。解析①中當α與β不平行時，也能存在符合題意的l，m。②中