2022-2023學年河北省唐山市開灤高二年級上冊學期期末數學試題【含答案】

2022-2023學年河北省唐山市開灤第一中學高二上學期期末數學試題一、單選題1．直線的傾斜角為A． B． C． D．【答案】D【分析】利用直線的傾斜角與斜率的關系即可得出．【詳解】設直線x+y﹣1=0的傾斜角為α．直線x+y﹣1=0化為．∴tanα=﹣．∵α∈[0°，180°），∴α=150°．故選D．【點睛】本題考查了直線的傾斜角與斜率的關系，屬于基礎題．2．若不全相等的非零實數成等差數列且公差為，那么（

）A．可能是等差數列 B．一定不是等差數列C．一定是等差數列，且公差為 D．一定是等差數列，且公差為【答案】B【分析】利用等差中項的概念結合條件可得，進而即得.【詳解】若是等差數列，則，因為成等差數列，則，則，整理得，與非零實數不全相等矛盾，所以一定不是等差數列.故選：B.3．圓與圓的位置關系是（

）A．內切 B．相交 C．外切 D．外離【答案】D【分析】將兩圓的一般方程化為標準方程得到圓心坐標和半徑的長，然后利用圓與圓的位置關系判定.【詳解】將兩圓的一般方程化為標準方程得;,可知圓心,,半徑,，故兩圓外離，故選：D.4．在四面體中，，點在上，且為中點，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據空間向量的線性運算即可求解.【詳解】,故選：D5．已知點到雙曲線漸近線的距離為，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據點到漸近線的距離為，可得，的關系式，結合，可得離心率的值.【詳解】因為雙曲線的一條漸近線方程為，即，所以到漸近線的距離，所以，平方整理得，又因為，所以，離心率.故選：D6．已知是橢圓的左?右焦點，點在橢圓上.當最大時，求（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用橢圓的定義結合余弦定理可得時最大，利用三角形的面積公式即得.【詳解】由橢圓的方程可得，，，則，所以，當且僅當則時等號成立，即為橢圓短軸端點時最大，此時，.故選：C.7．在平行六面體中，底面是邊長為2的正方形，，，則異面直線與直線所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據定義作出異面直線所成的角，然后在三角形中由余弦定理計算．【詳解】連接，在平行六面體中，由與平行且相等得平行四邊形，因此，∴是異面直線與直線所成角或其補角，由已知，，，由余弦定理得，，，∴．故選：B．8．已知在等差數列中，，前7項的和等于28，數列中，點在直線上，其中是數列的前項和.設為數列的前項和，則下列正確的是（

）A． B．是等比數列，通項C． D．【答案】D【分析】根據等差數列的基本量的運算可得，根據與的關系可得，然后利用錯位相減法可得，即得.【詳解】設等差數列的公差為，則，解得，所以，因為點在直線上，所以，當時，，可得，當時，，所以，即，又，所以是首項為，公比為的等比數列，所以，故B錯誤；所以，所以，，所以，所以，故AC錯誤，D正確.故選：D.二、多選題9．已知空間中三點，，，則下列說法不正確的是（

）A．與是共線向量B．與同向的單位向量是C．與夾角的余弦值是D．平面的一個法向量是【答案】AC【分析】由給定條件求出，的坐標，借助向量共線的坐標表示即可判斷A，B，再求出的坐標，用向量夾角公式計算可判斷C，最后求出平面的一個法向量判斷D而得解.【詳解】依題意，不存在實數，使得成立，即與不共線，A不正確；與同方向的單位向量是，B正確；，則與夾角的余弦值是，C不正確；設平面的一個法向量，則，令，則，即，D正確.故選：AC10．已知拋物線的焦點為是拋物線上一個動點，點，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．過點與拋物線有唯一公共點的直線有2條C．的最小值為D．點到直線的最短距離為【答案】AD【分析】先求出拋物線的焦點坐標和準線方程，根據該拋物線的性質逐項分析.【詳解】由拋物線方程知：，焦點坐標為，準線方程為：；對于A，表示點M到焦點F的距離，等于M點到準線的距離，即，正確；對于B，如圖：過A點有和y軸與拋物線C有一個交點，錯誤；對于C，當M點在AF的連線上時，最小，錯誤；對于D，設，由點到直線距離公式得，當時，d最小，，正確；故選：AD.11．斐波那契數列，又稱黃金分割數列?兔子數列，是數學家列昂多·斐波那契于1202年提出的數列.斐波那契數列為，此數列從第3項開始，每一項都等于前兩項之和，記該數列為，則可以表示為（

）A．且B．C．D．【答案】AD【分析】對于A，根據斐波那契數列的性質即可判斷；對于B，由題意可得，即可判斷；對于C，由題意可得，即可判斷；對于D，由題意可得數列是等比數列，進而可得是以為首項，為公比的等比數列，即可得，從而即可判斷.【詳解】對于A，且，滿足斐波那契數列為此數列從第3項開始，每一項都等于前兩項之和；對于B，由，可得，故錯誤；對于C，由，可得，故錯誤；對于D，由，可得，所以數列是以為首項，為公比的等比數列，所以，所以，令，則，所以，所以是以為首項，為公比的等比數列，所以即，所以，故D正確.故選：AD.12．已知拋物線的焦點為，過焦點的直線交拋物線于兩點，為坐標原點，若，則下列說法正確的是（

）A． B．直線的斜率為C． D．【答案】AD【分析】依題意設，，聯(lián)立方程組，設而不求，利用韋達定理以及可求出直線的斜率，可判斷B的正誤，利用拋物線焦半徑公式可判斷C，D的正誤，再利用拋物線焦點三角形面積公式可判斷A的正誤.【詳解】依題意，焦點，易知，當的斜率不存在時，，與題意不符，故舍去，所以，設，，聯(lián)立方程組，①，消化簡得，，②，其中，所以，，所以，解得，故B選項錯誤，將代入②中，可得，解得，所以，故C選項錯誤，，故D選項正確，由①式，消化簡得，所以，，所以，把代入得，，故A選項正確，故選：AD.三、填空題13．若直線與直線平行，則__________.【答案】【分析】根據直線平行的條件即可求出.【詳解】由題意得，解得：，經檢驗符合題意.故答案為：.14．數列的通項公式為，是其前項和，則__________.【答案】【分析】根據分析出是偶數時，，從而分組求和即可.【詳解】，若是偶數，則為奇數，此時，故.故答案為：-1715．已知拋物線，在直線上任取一點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，則直線恒過定點__________.【答案】【分析】設，，，，由，利用導數的幾何意義推導出的方程為，由此能證明直線過定點．【詳解】設，，，，，，直線為，化簡得同理的方程，直線，過點，，．，滿足方程,故，是方程的兩個根，，，的方程為，化簡得將，代入得，直線過定點．故答案為：四、雙空題16．已知三棱錐中,平面,則該三棱錐的表面積與內切球的半徑分別為__________,__________.【答案】

【分析】根據三棱錐中的長度和垂直關系,求出其他棱長,根據所求棱長，判斷各個面的形狀,進而求出各個面的面積,相加即可;根據,求出三棱錐體積及求出的表面積代入上式,解出半徑即可.【詳解】解:由題知,因為,所以,即為直角三角形,因為平面所以,因為,所以,所以為等邊三角形,故三棱錐的表面積;設三棱錐的內切球的半徑為,因為平面,所以,因為,即,解得:.綜上三棱錐的表面積為:,內切球的半徑為.故答案為:;五、解答題17．已知直線恒過定點，圓經過點和點，且圓心在直線上.(1)求定點的坐標與圓的方程；(2)過的直線被圓截得的弦長為8，求直線方程.【答案】(1)，(2)或【分析】（1）直線變形為，列出方程組，求出定點的坐標，設出圓心坐標，根據半徑相等列出方程，求出，從而確定圓心和半徑，寫出圓的方程；（2）分直線斜率不存在和斜率存在兩種情況，結合垂徑定理，求出直線方程.【詳解】（1）變形為，令，解得：，故定點的坐標為，由圓心在直線上可設圓心坐標為，則，即，解得：，故圓心坐標為，半徑為，故圓的方程為；（2）當直線斜率不存在時，直線為，此時圓心到的距離為，由垂徑定理得：弦長為，滿足要求，當直線斜率存在時，設直線為，圓心到直線即距離為，由垂徑定理得：，解得：，故直線方程為：即綜上：直線方程為或18．等差數列的前項和為，已知為整數，且.(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前項和.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據題意得公差為整數，且分析求出即得；（2）利用裂項相消法即得.【詳解】（1）由為整數知，等差數列的公差為整數，又，故于是，解得，因此，故數列的通項公式為；（2）由題可知，于是．19．已知直三棱柱中，側面為正方形，，E，F分別為和的中點，D為棱上的點．（1）證明：；（2）當為何值時，面與面所成的二面角的正弦值最小?【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）方法二：通過已知條件，確定三條互相垂直的直線，建立合適的空間直角坐標系，借助空間向量證明線線垂直；（2）方法一：建立空間直角坐標系，利用空間向量求出二面角的平面角的余弦值最大，進而可以確定出答案；【詳解】（1）[方法一]：幾何法因為，所以．又因為，，所以平面．又因為，構造正方體，如圖所示，過E作的平行線分別與交于其中點，連接，因為E，F分別為和的中點，所以是BC的中點，易證，則．又因為，所以．又因為，所以平面．又因為平面，所以．[方法二]【最優(yōu)解】：向量法因為三棱柱是直三棱柱，底面，，，，又，平面．所以兩兩垂直．以為坐標原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖．，．由題設（）．因為，所以，所以．[方法三]：因為，，所以，故，，所以，所以．（2）[方法一]【最優(yōu)解】：向量法設平面的法向量為，因為，所以，即．令，則因為平面的法向量為，設平面與平面的二面角的平面角為，則．當時，取最小值為，此時取最大值為．所以，此時．[方法二]：幾何法如圖所示，延長交的延長線于點S，聯(lián)結交于點T，則平面平面．作，垂足為H，因為平面，聯(lián)結，則為平面與平面所成二面角的平面角．設，過作交于點G．由得．又，即，所以．又，即，所以．所以．則，所以，當時，．[方法三]：投影法如圖，聯(lián)結，在平面的投影為，記面與面所成的二面角的平面角為，則．設，在中，．在中，，過D作的平行線交于點Q．在中，．在中，由余弦定理得，，，，，當，即，面與面所成的二面角的正弦值最小，最小值為．【整體點評】第一問，方法一為常規(guī)方法，不過這道題常規(guī)方法較為復雜，方法二建立合適的空間直角坐標系，借助空間向量求解是最簡單，也是最優(yōu)解；方法三利用空間向量加減法則及數量積的定義運算進行證明不常用，不過這道題用這種方法過程也很簡單，可以開拓學生的思維.第二問：方法一建立空間直角坐標系，利用空間向量求出二面角的平面角是最常規(guī)的方法，也是最優(yōu)方法；方法二：利用空間線面關系找到，面與面所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，不是很容易找到；方法三：利用面在面上的投影三角形的面積與面積之比即為面與面所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，進而求出二面角的正弦值最小，非常好的方法，開闊學生的思維．20．設數列滿足.(1)求的通項公式；(2)求數列的前項和.【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用構造法證得是等比數列，從而求得的通項公式；（2）利用分組求和法與等差數列，等比數列的前項和公式即得.【詳解】（1）因為，所以，又因為，則，所以是首項為2，公比為3的等比數列，所以，即；（2）因為，所以.21．如圖，在三棱錐中，平面平面為的中點.(1)證明：；(2)若是邊長為2的等邊三角形，點在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)利用面面垂直的性質得到線面垂直，進而推出線線垂直，從而得證.(2)建立空間直角坐標系，設點坐標，然后利用已知的二面角的求法，可以求出的長，進而可求出三棱錐的體積.【詳解】（1）為中點，面，面面且面面，面，又平面，（2）以為坐標原點，為軸，為軸，垂直且過的直線為軸，取的中點，連接，因為為正三角形，所以，由邊長為2，即，，設，則，又因為設為面法向量，，令，，平面的法向量，解得，所以，，則22．設圓的圓心為A，點，點為圓上動點，線段的垂直平分線與線段交于點，設點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)設直線與曲線交于兩點，點關于軸的對稱點為（與不重合）