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第二十六章反比例函數(shù)26.1反比例函數(shù)26.1.1反比例函數(shù)學習目標1.了解反比例函數(shù)的相關(guān)概念,會確定自變量的取值范圍3.能夠根據(jù)實際問題寫出反比例函數(shù)的解析式.2.會求反比例函數(shù)的解析式(重點、難點)當路程s=100m時,時間t(s)與速度v(m/s)的關(guān)系是:問題1
2016年里約奧運會上,“閃電”博爾特延續(xù)傳奇,再度奪得百米金牌.那么他所用的時間t和速度v之間有著怎樣的數(shù)量關(guān)系呢?觀察與思考vt=100或觀察與思考問題2小明想要在家門前草原上圍一個面積約為15m2的矩形羊圈,那么羊圈的長y(單位:m)和寬x(單位:m)之間有著什么樣的關(guān)系呢?當面積S=15m2
時,長y(m)與寬x(m)的關(guān)系是:
xy=15或反比例函數(shù)的概念問題1:對于前面的兩個問題,變量間具有函數(shù)關(guān)系嗎?問題2:它們的解析式有什么共同特點?都具有______的形式,其中___是常數(shù).分式分子概念歸納形如(k≠0)也是反比例函數(shù);而類似(k≠0)不是反比例函數(shù).注意形如y=
(k為常數(shù),k≠0)的函數(shù),稱為反比例函數(shù)。其中x是自變量,y是函數(shù),自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數(shù)。下列函數(shù)是不是反比例函數(shù)?若是,請指出k的值.是,k=3不是,它是正比例函數(shù)不是不是是,歸納總結(jié)例1:若函數(shù)
是反比例函數(shù),求k的值,并寫出該反比例函數(shù)的解析式.解:由題意得4-k2=0,且k-2≠0
,解得k=-2.因此該反比例函數(shù)的解析式為
.
1.已知函數(shù)
是反比例函數(shù),則k必須滿足
.2.當m
時,
是反比例函數(shù).k≠2且k≠-1=±1做一做因為x作為分母,不能等于零,因此自變量x的取值范圍是所有非零實數(shù).
但是在實際問題中,應(yīng)該根據(jù)具體情況來確定該反比例函數(shù)自變量的取值范圍.例如,在前面得到的
中,v的取值范圍是v>0.思考反比例函數(shù)
(k≠0)的自變量x的取值范圍是什么呢?確定反比例函數(shù)的解析式例2.已知y是x的反比例函數(shù),并且當x=2時,y=6.(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式;(2)當x=4時,求y的值.解:(1)設(shè),因為當x=2時,y=6,所以有,解得k=12,因此(2)當x=4時,=3.
總結(jié)(1)求反比例函數(shù)的解析式常用待定系數(shù)法,先設(shè)其解析式為(k≠0),然后求出k
的值;(2)當反比例函數(shù)的解析式確定以后,已知x(或y)的值,將其代入解析式中即可求得相應(yīng)的y(或x)的值.
解:因為菱形的面積等于兩條對角線長乘積的一半,所以.所以,它是反比例函數(shù).例3.如圖,已知菱形ABCD的面積為180,設(shè)它的兩條對角線AC,BD的長分別為x,y.寫出變量y與x之間的關(guān)系式,并指出它是什么函數(shù).ABCD建立簡單的反比例函數(shù)模型例4.
人的視覺機能受運動速度的影響很大,行駛中司機在駕駛室內(nèi)觀察前方物體是動態(tài)的,車速增加,視野變窄.當車速為50km/h時,視野為80度,如果視野f(度)是車速v(km/h)的反比例函數(shù),求f關(guān)于v的函數(shù)解析式,并計算當車速為100km/h時視野的度數(shù).解:設(shè)(k≠0).由v=50,f=80,得k=4000,所以.當v=100km/h時,f=40度.反比例函數(shù)模型在物理學中應(yīng)用最為廣泛,一定條件下,公式中的兩個變量可能構(gòu)成反比例關(guān)系,進而可以構(gòu)建反比例函數(shù)的數(shù)學模型.列出反比例函數(shù)解析式后,注意結(jié)合實際問題寫出自變量的取值范圍.方法歸納1.生活中有許多反比例函數(shù)的例子,在下面的實例中,x和y成反比例函數(shù)關(guān)系的有幾個?
(
)
(1)x人共飲水10kg,平均每人飲水ykg;(2)底面半徑為xm,高為ym的圓柱形水桶的體積為10m3;(3)用鐵絲做一個圓,鐵絲的長為xcm,做成圓的半徑為ycm;(4)在水龍頭前放滿一桶水,出水的速度為x,放滿一桶水的時間y.A.1個
B.2個
C.3個
D.4個B當堂練習2.下列函數(shù),y是x的反比例函數(shù)的是()A26.1.2反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)反比例函數(shù)的圖象又會是什么樣子呢?你還記得作函數(shù)圖象的一般步驟嗎?給反比例函數(shù)“照相”
回顧與思考2用圖象法表示函數(shù)關(guān)系時,首先在自變量的取值范圍內(nèi)取一些值,列表、描點、連線(按自變量從小到大的順序,用一條平滑的曲線連接起來).當容積為1000
m3時,時間t與每小時水流量v之間的關(guān)系是:
(t>0)問題某游泳池容積為1000m3,現(xiàn)在需要注滿水,每小時水流量v(m3/h)與時間t(h)之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系?你能在平面直角坐標系中畫出這個函數(shù)圖象嗎?觀察與思考123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-6-556yx123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-6-556xy觀察這兩個函數(shù)圖象,它們有哪些共同特征.(1)每個函數(shù)圖象分別位于哪些象限?(2)在每一個象限內(nèi),隨著x的增大,y如何變化?思考:1.反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)總結(jié)歸納2.反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)由兩條曲線組成,且分別位于第一、三象限它們與x軸、y軸都不相交由兩條曲線組成,且分別位于第二、四象限它們與x軸、y軸都不相交在每個象限內(nèi),y隨x的增大而減小在每個象限內(nèi),y隨x的增大而增大圖象性質(zhì)圖象性質(zhì)C反比例函數(shù)y=
的圖象大致是()yA.xyoB.xoD.xyoC.xyo當堂練習例1.已知反比例函數(shù)
的圖象過點(-2,-3),函數(shù)圖象上有兩點A(
),B(5,y2),則y1與y2的大小關(guān)系為()A.y1>y2B.y1=y2C.y1<y2D.無法確定C典例精析
例2.點(2,y1)和(3,y2)在函數(shù)
上,則y1
y2(填“>”“<”或“=”).<例3.已知反比例函數(shù),y隨x的增大而增大,求a的值.解:由題意得a2+a-7=-1,且a-1<0.
解得a=-3.2.下列關(guān)于反比例函數(shù)的三個結(jié)論:
(1)它的圖象經(jīng)過點(-1,12)和點(10,-1.2);
(2)它的圖象在每一個象限內(nèi),y隨x的增大而減??;
(3)它的圖象在第二、四象限內(nèi).其中正確的是(填序號).(1)(3)
1.已知反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限內(nèi),則m的取值范圍是________.3.在反比例函數(shù)(k>0)的圖象上有兩點A(x1,
y1),B(x2,y2)且x1>x2>0,則y1-y2
0.<反比例函數(shù)kk>0k<0圖象性質(zhì)圖象位于第一、三象限圖象位于第二、四象限在每個象限內(nèi),y隨x的增大而減小在每個象限內(nèi),y隨x的增大而增大課堂小結(jié)第二十六章反比例函數(shù)26.2實際問題與反比例函數(shù)圓柱的煩惱----怎樣減肥
有一個圓柱王國,住滿了形形色色的圓柱,其中有一個底面積為10平方米,高為0.4米的圓柱A,膀大腰圓,威風八面,自己以粗壯為美,可近來卻憂心忡忡,忽然變得自卑起來,探問何因?原來其他苗條的圓柱都在嘲笑它。說它太胖,愛美的圓柱A即想讓自己的空間優(yōu)勢不變(體積不變),又想讓自己變瘦,想變成10米高,它使出了渾身解數(shù),也沒實現(xiàn)自己的愿望,聰明的同學,你能幫圓柱A解除煩惱嗎?A
某??萍夹〗M進行野外考察,途中遇到一片十幾米寬的爛泥濕地。為安全迅速通過這片濕地,他們沿著前進路線鋪墊了若干木板,構(gòu)筑成一條臨時通道,從而順利完成任務(wù)。
當人和木板對濕地的壓力一定時,隨著木板面積S(㎡)的變化,人和木板對地面的壓強P(Pa)將隨著變化。如果人和木板對濕地地面的壓力合計為600N,那么:
1.用含S的代數(shù)式表示P(Pa).2.當木板面積為0.2㎡時,壓強是多少?3.如果要求壓強為6000Pa,木板面積要多少?壓強=
市煤氣公司要在地下修建一個容積為104m3
的圓柱形煤氣儲存室.(1)儲存室的底面積S(單位:m2)與其深度d(單位:m)有怎樣的函數(shù)關(guān)系?
解:(1)根據(jù)圓柱體的體積公式,我們有S×d=變形得.
即儲存室的底面積S是其深度d的反比例函數(shù).例1把S=500代入
,得(2)公司決定把儲存室的底面積S定為500m2,施工隊施工時應(yīng)該向下掘進多深?解:
如果把儲存室的底面積定為500m2
,施工時應(yīng)向地下掘進20m深.解得d=20市煤氣公司要在地下修建一個容積為104m3
的圓柱形煤氣儲存室.(3)當施工隊按(2)中的計劃掘進到地下15m時,碰上了堅硬的巖石.為了節(jié)約建設(shè)資金,儲存室的底面積應(yīng)改為多少才能滿足需要(保留兩位小數(shù))?根據(jù)題意,把d=15代入,得解得S≈666.67
當儲存室的深為15m時,儲存室的底面積應(yīng)改為666.67m2
才能滿足需要.(3)當施工隊按(2)中的計劃掘進到地下15m時,碰上了堅硬的巖石.為了節(jié)約建設(shè)資金,儲存室的底面積應(yīng)改為多少才能滿足需要(保留兩位小數(shù))?解:
實際問題
(數(shù)學模型)
當S=500m2時求d
當d=15m時求S小結(jié)
拓展圓柱體的體積公式永遠也不會變
碼頭工人以每天30噸的速度往一艘輪船上裝載貨物,把輪船裝載完畢恰好用了8天時間.(1)輪船到達目的地后開始卸貨,卸貨速度v(單位:噸/天)與卸貨時間t(單位:天)之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系?
分析:根據(jù)裝貨速度×裝貨時間=貨物的總量,可以求出輪船裝載貨物的總量;再根據(jù)卸貨速度=貨物總量÷卸貨時間,得到v與t的函數(shù)關(guān)系式。例2
碼頭工人以每天30噸的速度往一艘輪船上裝載貨物,把輪船裝載完畢恰好用了8天時間.(1)輪船到達目的地后開始卸貨,卸貨速度v(單位:噸/天)與卸貨時間t(單位:天)之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系?
解:(1)設(shè)輪船上的貨物總量為k噸,則根據(jù)已知條件有k=30×8=240,
所以v與t的函數(shù)關(guān)系式為.
碼頭工人以每天30噸的速度往一艘輪船上裝載貨物,把輪船裝載完畢恰好用了8天時間.
(2)由于遇到緊急情況,船上的貨物必須在5日內(nèi)卸載完畢,那么平均每天要卸多少噸貨物?
結(jié)果可以看出,如果全部貨物恰好用5天卸完,則平均每天卸載48噸.
碼頭工人以每天30噸的速度往一艘輪船上裝載貨物,把輪船裝載完畢恰好用了8天時間.(2)由于遇到緊急情況,船上的貨物必須在5日內(nèi)卸載完畢,那么平均每天要卸多少噸貨物?
解:(2)把t=5代入
,得.
給我一個支點,我可以撬動地球!
——阿基米德情景引入阻力臂阻力動力臂動力情景引入杠桿原理:【例3】小偉欲用雪撬棍撬動一塊大石頭,已知阻力和阻力臂不變,分別為1200N和0.5m.(1)動力F與動力臂L有怎樣的函數(shù)關(guān)系?(2)當動力臂為1.5m時,撬動石頭至少需要多大的力?(3)若想使動力F不超過題(2)中所用力的一半,則動力臂至少要加長多少?在我們使用撬棍時,為什么動力臂越長就越省力?你知道了嗎?反比例函數(shù)在電學上,用電器的輸出功率P(瓦).兩端的電壓U(伏)及用電器的電阻R(歐姆)有如下的關(guān)系:PR=U2思考:1.上述關(guān)系式可寫成P=_____2.上述關(guān)系式可寫成R=___________例3:一個用電器的電阻是可調(diào)節(jié)的,其范圍為110~220Ω.已知電壓為220V,這個用電器的電路圖如圖.U(1)輸出功率P與電阻R有怎樣的函數(shù)關(guān)系?(2)用電器輸出功率的范圍多大?解:(1)根據(jù)電學知識,當U=220V時,有即輸出功率P是電阻R的反比例函數(shù).解:從①式可以看出,電阻越大則功率越小.把電阻的最大值R=220Ω代入①式,則得
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