醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)二項(xiàng)分布

bjlcn@163.com流行病與衛(wèi)生統(tǒng)計(jì)學(xué)系Medicalstatistics醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)2020/12/191主要內(nèi)容

數(shù)據(jù)分布二項(xiàng)分布2020/12/192數(shù)據(jù)分布對(duì)于一組變量值，若以該變量為橫軸，數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻數(shù)(或頻率)為縱軸作圖，該數(shù)據(jù)在坐標(biāo)系中呈一定的圖形，稱為數(shù)據(jù)的分布。2020/12/193數(shù)據(jù)分布分布是統(tǒng)計(jì)方法產(chǎn)生的基礎(chǔ)常用的數(shù)據(jù)分布有正態(tài)分布、二項(xiàng)分布、Poisson分布等2020/12/194二項(xiàng)分布(binomialdistribution)二分類資料：觀察對(duì)象的結(jié)局只有相互對(duì)立的兩種結(jié)果。

例如：生存、死亡陽(yáng)性、陰性發(fā)病、不發(fā)病治愈、未愈2020/12/195先看一個(gè)例子已知：小白鼠接受某種毒物一定劑量時(shí)，死亡概率=80%

生存概率=20%每只鼠獨(dú)立做實(shí)驗(yàn)，相互不受影響若每組各用3只小白鼠（甲、乙、丙）

3只小白鼠的存亡方式符合二項(xiàng)分布2020/12/196你認(rèn)為實(shí)驗(yàn)結(jié)果將會(huì)出現(xiàn)多少種可能的情況?所有可能結(jié)果死亡數(shù)生存數(shù)甲乙丙Ｘn-Ｘ生生生03生生死生死生12死生生生死死死生死21死死生死死死30如果計(jì)算生與死的順序，則共有8種排列方式；如果只計(jì)生存與死亡的數(shù)目，則只有4種組合方式。2020/12/197概率的乘法法則幾個(gè)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，等于各獨(dú)立事件的概率之積。一個(gè)事件發(fā)生(的概率)對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生(的概率)沒有影響，這兩個(gè)事件就是獨(dú)立事件。2020/12/198例子甲、乙射擊命中目標(biāo)的概率分別是1/2與1/3，求甲、乙各射擊一次，同時(shí)命中目標(biāo)的概率是多少?

已知： A＝{甲命中目標(biāo)}，則P(A)=1/2

B＝{乙命中目標(biāo)}，則P(B)=1/3

求A、B同時(shí)發(fā)生的概率P(AB)?

P(AB)＝P(A)*P(B)＝1/2*1/3＝1/62020/12/199概率的加法法則互不相容事件和的概率等于各事件的概率之和。不可能同時(shí)發(fā)生的事件是互不相容事件，又稱互斥事件。2020/12/1910例子投擲一枚質(zhì)地均勻的馓子，求“數(shù)字4朝上”或“數(shù)字6朝上”的概率?

已知： A＝{數(shù)字4朝上}，則P(A)=1/6

B＝{數(shù)字6朝上}，則P(B)=1/6

求A或者B發(fā)生的概率?

P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1/6＋1/6＝1/32020/12/1911出現(xiàn)每一種可能結(jié)果的概率是多少?3只小白鼠均生存的概率

P==0.0083只小白鼠2生1死的概率

P1==0.032

P2==0.032P=0.096

P3==0.0322020/12/1912出現(xiàn)每一種可能結(jié)果的概率是多少?3只小白鼠2死1生的概率

P1==0.128

P2==0.128P=0.384

P3==0.1283只小白鼠均死亡的概率

P==0.512

2020/12/1913所有可能結(jié)果每種結(jié)果的概率死亡數(shù)生存數(shù)不同死亡數(shù)的概率甲乙丙Ｘn-Ｘ生生生0.2×0.2×0.2030.008生生死0.2×0.2×0.8生死生0.2×0.8×0.2120.096死生生0.8×0.2×0.2生死死0.2×0.8×0.8死生死0.8×0.2×0.8210.384死死生0.8×0.8×0.2死死死0.8×0.8×0.8300.51211.000三只小白鼠存亡的排列和組合方式及其概率的計(jì)算2020/12/1914二項(xiàng)展開(0.2+0.8)3=0.23+3×0.22×0.8+3×0.2×0.82+0.83生存概率死亡概率

三生二生一死一生二死

三死對(duì)應(yīng)于二項(xiàng)展開式：二項(xiàng)式展開式中的各項(xiàng)對(duì)應(yīng)于各死亡數(shù)(X)的概率P(X)，二項(xiàng)分布由此得名。

2020/12/1915二項(xiàng)分布的定義二項(xiàng)分布是指在只會(huì)產(chǎn)生兩種可能結(jié)果如“陽(yáng)性”或“陰性”之一的n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)每次試驗(yàn)“陽(yáng)性”概率保持不變時(shí)，出現(xiàn)“陽(yáng)性”的次數(shù)

X=0，1，2，…，n的一種概率分布。2020/12/1916Page17二項(xiàng)分布的定義從陽(yáng)性率為的總體中隨機(jī)抽取含量為n的樣本，恰有X例陽(yáng)性的概率為：

則稱X服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布(BinomialDistribution)，記為：X~B(n,)。其中參數(shù)常常是未知的，而n由實(shí)驗(yàn)者確定。2020/12/1917如已知n=3，=0.8，則恰有1例陽(yáng)性的概率P(1)為：2020/12/1918

例已知某種動(dòng)物關(guān)于某毒物的50%致死劑量(LD50)，現(xiàn)有5只這樣的動(dòng)物注射了該劑量，試分別計(jì)算死亡動(dòng)物數(shù)X＝0，l，2，3，4，5的概率。二項(xiàng)分布的概率2020/12/1919二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布的概率2020/12/1920二項(xiàng)分布的性質(zhì)如果X~B(n,)，則：

X的均數(shù)：

X的方差：

X的標(biāo)準(zhǔn)差：2020/12/1921二項(xiàng)分布的性質(zhì)

若均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差不用絕對(duì)數(shù)而用率表示時(shí)

2020/12/1922從陽(yáng)性率為的總體中隨機(jī)抽取n個(gè)個(gè)體，則①最多有k例陽(yáng)性的概率：

二項(xiàng)分布的累計(jì)概率2020/12/1923從陽(yáng)性率為的總體中隨機(jī)抽取n個(gè)個(gè)體，則②最少有k例陽(yáng)性的概率：二項(xiàng)分布的累計(jì)概率其中，X=0，1，2，…，k，…，n。2020/12/1924二項(xiàng)分布的累計(jì)概率例據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，用某藥治療小兒上呼吸道感染、支氣管炎，有效率為85%，今有5個(gè)患者用該藥治療，問：①最多1人有效的概率為多少?②至少3人有效的概率為多少?2020/12/1925本例

=0.85，l-

=0.15，n=5，依題意，最多1人有效的概率為：至少3人有效的概率為：

P(X≥3)=P(3)+P(4)+P(5)則P(X≥3)=0.138178125＋0.391504688＋0.443705313=0.9733881262020/12/1926三只小白鼠死亡的二項(xiàng)分布(n=3,

=0.8)二項(xiàng)分布的圖形2020/12/1927某毒物的50%致死劑量后5只動(dòng)物死亡數(shù)的二項(xiàng)分布(n=5,=0.5)二項(xiàng)分布的圖形2020/12/1928二項(xiàng)分布的圖形2020/12/1929二項(xiàng)分布的圖形當(dāng)=0.5，分布對(duì)稱；當(dāng)

0.5，分布呈偏態(tài)；當(dāng)<0.5時(shí)分布呈正偏態(tài)；當(dāng)>0.5時(shí)分布呈負(fù)偏態(tài)；特別是當(dāng)n值不是很大時(shí)，偏離0.5愈遠(yuǎn)，分布愈偏。隨著n的增大，二項(xiàng)分布逐漸逼近正態(tài)分布。一般地說，如果n和n(1-)大于5時(shí)，?？捎谜龖B(tài)近似原理處理二項(xiàng)分布問題。2020/12/1930二項(xiàng)分布的應(yīng)用條件

各觀察單位只能有互相對(duì)立的一種結(jié)果，如陽(yáng)性或陰性，生存或死亡等。已知發(fā)生某一結(jié)果(如陰性)的概率不變，其對(duì)立結(jié)果(如陽(yáng)性)的概率則為1-。

n次試驗(yàn)在相同條件下進(jìn)行，且各觀察單位的結(jié)果互相獨(dú)立。2020/12/1931率的抽樣誤差

=0.30101100001

p=0.42020/12/1932率的抽樣誤差樣本號(hào)x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10Xp1001001010030.32010011100150.53001000000010.14010110000140.45100000010020.26000010011030.37100010100140.48000000101020.29111101001170.710010000000010.1從

=0.3中隨機(jī)抽樣，樣本含量為10的10份獨(dú)立樣本的樣本率2020/12/1933率的抽樣誤差從

=0.3中隨機(jī)抽樣，樣本含量為10的10000個(gè)樣本率的頻率分布圖2020/12/1934率的抽樣誤差從

=0.3中隨機(jī)抽樣，樣本含量為100的10000個(gè)樣本率的頻率分布圖2020/12/1935率的抽樣分布特點(diǎn)當(dāng)總體率<0.5時(shí)為正偏態(tài)；當(dāng)>0.5時(shí)為負(fù)偏態(tài)，當(dāng)=0.5時(shí)為對(duì)稱分布。在n較大，且率和(1-)都不太小時(shí)即n和n(1-)均大于5，率的抽樣分布近似正態(tài)分布。2020/12/1936率的標(biāo)準(zhǔn)誤樣本率的均數(shù)樣本率的標(biāo)準(zhǔn)差率的標(biāo)準(zhǔn)誤2020/12/1937率的可信區(qū)間估計(jì)=?n,Xp=X/n2020/12/1938n

較大時(shí),可用正態(tài)近似法：率的95%的CI:例4.4n=144,p=9.02%，X=13

9.02%±1.96×2.388%=(0.0435,0.1371)

(4.35%,13.71%)

2020/12/1939n

較小時(shí),查表法(直接計(jì)算概率法)例4.5n=29,X=1。p=3.4%.

查附表6.1百分率的可信區(qū)間

n=29行

X=1列95%可信區(qū)間：0.1－17.8(%)2020/12/1940n

較小時(shí),查表法(直接計(jì)算概率法)例n=10,X=8。p=80%.

先查n=10,X1=2。p1=20%.

得95%可信區(qū)間為：(3%,56%)

從而：

(1-56%,1-3%)=(44%,97%)2020/12/1941率的可信區(qū)間的不對(duì)稱性

p＝10% p＝30% p＝50%n＝10 0.3~44.5 6.7~65.2 18.7~81.3n＝20 1.2~31.7 11.9~54.3 27.2~72.8n＝30 2.1~26.5 14.7~49.4 31.3~68.7 n＝40 2.8~23.7 16.6~46.5 33.8~66.2n＝50 3.3~21.8 17.9~44.6 35.5~64.5

2020/12/1942率的可信區(qū)間的性質(zhì)只有=0.5時(shí)是對(duì)稱的；n越大，區(qū)間越窄；對(duì)同一n，越接近0.5，分布越寬，越接近0或1，分布越窄。2020/12/1943樣本率與總體率的比較(n

較大時(shí))2020/12/1944樣本率與總體率的比較(n

較大時(shí))例7.10＝20%,n=306,X=96，p=31.58%H0：=0，老年胃潰瘍病患者的胃出血率