有限單元法匯報(bào)

有限單元法/學(xué)習(xí)總結(jié)浙大巖土工程2014/12/15余啟致什么是有限單元法01有限單元法基礎(chǔ)02有限元單元和插值函數(shù)04等參元和數(shù)值積分05個(gè)人學(xué)習(xí)計(jì)劃06有限單元法表達(dá)格式031.什么是有限單元法？（FiniteElementMethod）離散插值集成解方程組什么是有限單元法01有限單元法基礎(chǔ)02有限元單元和插值函數(shù)04等參元和數(shù)值積分05個(gè)人學(xué)習(xí)計(jì)劃06有限單元法表達(dá)格式032.有限元法基礎(chǔ)2.1微分方程的等效積分形式和加權(quán)余量法2.1.1未知場函數(shù)u滿足的微分方程和邊界條件可表示為如下方程組：兩個(gè)微分方程的等效積分形式：a2.有限元法基礎(chǔ)2.1微分方程的等效積分形式和加權(quán)余量法兩式相加得到微分方程的等效積分形式：

在很多情況下對(duì)上式進(jìn)行分部積分，可以得到：等效積分的“弱”形式（更精確）a2.有限元法基礎(chǔ)2.1微分方程的等效積分形式和加權(quán)余量法2.1.2加權(quán)余量法在通常n取有限項(xiàng)數(shù)的時(shí)候，近似解不能滿足微分方程和邊界條件方程，將會(huì)分別產(chǎn)生殘差R1和R2（也即余量），然后對(duì)這兩個(gè)余量進(jìn)行加權(quán)積分，令其為零，就可以解出近似函數(shù)。對(duì)于微分方程式和邊界條件式所表達(dá)的物理問題，假設(shè)未知場函數(shù)u用一簇帶有待定參數(shù)的已知近似函數(shù)來近似，表示為：2.有限元法基礎(chǔ)2.1微分方程的等效積分形式和加權(quán)余量法舉例：伽遼金法解微分方程

代入余量R2.有限元法基礎(chǔ)2.1微分方程的等效積分形式和加權(quán)余量法2.有限元法基礎(chǔ)2.2虛功原理和彈性力學(xué)變分原理（1）虛位移原理（平衡方程和力邊界條件的等效積分弱形式）：

力學(xué)意義：若力系（包括內(nèi)力和外力）是平衡的，則它們在虛位移和虛應(yīng)變上所作功的總和為零。2.2.1變形體中，任意滿足平衡的力系在變形狀態(tài)上作的虛功為零，即體系外力的虛功與體系內(nèi)力的虛功之和等于零。虛功原理是虛位移原理和虛應(yīng)力原理的總稱。（2）虛應(yīng)力原理（幾何方程和位移條件的等效積分弱形式）：

2.有限元法基礎(chǔ)2.2虛功原理和彈性力學(xué)變分原理力學(xué)意義：如果位移是協(xié)調(diào)的，

則虛應(yīng)力和虛邊界約束反力在它們上面所作之功的總和為零。2.2.2彈性變分原理包括基于自然變分原理的最小位能原理和最小余能原理。（1）最小位能原理：

2.有限元法基礎(chǔ)2.2虛功原理和彈性力學(xué)變分原理（2）最小余能原理：

什么是有限單元法01有限單元法基礎(chǔ)02有限元單元和插值函數(shù)04等參元和數(shù)值積分05個(gè)人學(xué)習(xí)計(jì)劃06有限單元法表達(dá)格式033.有限元單元法表達(dá)格式3.1彈性力學(xué)平面問題的有限元格式3.1.1

離散單元的位移插值3.有限元單元法表達(dá)格式3.1彈性力學(xué)平面問題的有限元格式離散單元的位移插值即，用單元上三個(gè)角結(jié)點(diǎn)的位移插值表示單元內(nèi)部各點(diǎn)的位移。求解下列方程組可以解出廣義坐標(biāo)：3.有限元單元法表達(dá)格式3.1彈性力學(xué)平面問題的有限元格式將求得的廣義坐標(biāo)代入可以將位移函數(shù)表示成結(jié)點(diǎn)位移的函數(shù)，如下：單元位移，單元應(yīng)變，單元應(yīng)力的矩陣形式分別如下：3.有限元單元法表達(dá)格式3.1彈性力學(xué)平面問題的有限元格式3.有限元單元法表達(dá)格式3.1彈性力學(xué)平面問題的有限元格式其中

為應(yīng)變矩陣，

為應(yīng)力矩陣3.1.2

利用最小位能原理建立有限元方程最小位能原理的泛函總位能在平面問題中的矩陣表達(dá)形式為：3.有限元單元法表達(dá)格式3.1彈性力學(xué)平面問題的有限元格式對(duì)于離散模型，系統(tǒng)位能是各單元位能的和，故可求得離散模型的總位能：引入轉(zhuǎn)換矩陣

，將單元結(jié)點(diǎn)位移列陣用結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)位移列陣

表示，即：3.有限元單元法表達(dá)格式3.1彈性力學(xué)平面問題的有限元格式我們令：單元變形總是令該泛函取駐值，即：3.有限元單元法表達(dá)格式3.1彈性力學(xué)平面問題的有限元格式得到有限元求解方程因此要求得有限元的解，關(guān)鍵在于根據(jù)子單元的插值函數(shù)矩陣求出子單元的應(yīng)力應(yīng)變矩陣，然后利用單元的最小位能原理求出子單元的剛度矩陣和等效節(jié)點(diǎn)荷載列陣，并在整個(gè)單元集成整體的剛度矩陣K，以及整體等效節(jié)點(diǎn)荷載列陣P，再利用邊界條件可以解出a。什么是有限單元法01有限單元法基礎(chǔ)02有限元單元和插值函數(shù)04等參元和數(shù)值積分05個(gè)人學(xué)習(xí)計(jì)劃06有限單元法表達(dá)格式034.有限元單元和插值函數(shù)4.1引言4.1.1

背景：在前面，我們已經(jīng)了解到有限元法的特點(diǎn)。首先，我們把場函數(shù)（如位移u）表示成多項(xiàng)式的形式，然后利用結(jié)點(diǎn)條件，將多項(xiàng)式中的待定參數(shù)表示成結(jié)點(diǎn)值和單元幾何的函數(shù)。4.1.2

改進(jìn)：由于多項(xiàng)式中的待定參數(shù)的求解比較麻煩同時(shí)廣義坐標(biāo)有限元的單元矩陣積分復(fù)雜，所以現(xiàn)在需要利用適合不同單元類型的局部坐標(biāo)系（自然坐標(biāo)系）建立各自單元插值函數(shù)的方法。a3.有限元單元法表達(dá)格式3.有限元單元法表達(dá)格式a4.有限元單元和插值函數(shù)4.2選擇合適單元和插值函數(shù)4.2.1

一維單元4.2.1.1

拉格朗日單元（只包含場函數(shù)結(jié)點(diǎn)值）對(duì)于具有n個(gè)結(jié)點(diǎn)的一維單元，如果結(jié)點(diǎn)參數(shù)中只包含場函數(shù)的結(jié)點(diǎn)值，則單元內(nèi)的場函數(shù)可插值表示為：具有右側(cè)的性質(zhì)：關(guān)于插值函數(shù)的構(gòu)造，可直接采用熟知的拉格朗日插值多項(xiàng)式，對(duì)于總體坐標(biāo)系下n個(gè)結(jié)點(diǎn)的一維單元，可令:4.有限元單元和插值函數(shù)4.2選擇合適單元和插值函數(shù)為了得到自然坐標(biāo)內(nèi)的位移插值函數(shù)，現(xiàn)在引入無量綱的局部坐標(biāo)：與總體坐標(biāo)下的拉格朗日插值函數(shù)類似，可以得到用自然坐標(biāo)

表示的插值函數(shù)：舉例：用一條直線上的三個(gè)點(diǎn)進(jìn)行插值4.有限元單元和插值函數(shù)4.2選擇合適單元和插值函數(shù)代入到插值函數(shù)公式中，有：4.2.1.2Hermite單元（還包含場函數(shù)導(dǎo)數(shù)結(jié)點(diǎn)值）函數(shù)采用Hermite多項(xiàng)式的插值表達(dá)式可以寫成：4.有限元單元和插值函數(shù)4.2選擇合適單元和插值函數(shù)4.2.2

二維單元4.2.2.1

三角形單元如同一維單元的情形，也可以利用無量綱的局部自然自然坐標(biāo)以構(gòu)造三角形單元的插值函數(shù)?，F(xiàn)介紹三角形域的面積坐標(biāo)的確定。如圖：三角形中任一點(diǎn)P的位置可以由3個(gè)比值來確定，即：4.有限元單元和插值函數(shù)4.2選擇合適單元和插值函數(shù)（1）線性三角形單元對(duì)于線性單元，可以直接利用面積坐標(biāo)作為插值函數(shù)。即三角形的三個(gè)插值函數(shù)就是三角形的面積坐標(biāo)。（2）二次三角形單元（場函數(shù)包含其一階導(dǎo)數(shù)結(jié)點(diǎn)值）二次三角形單元不僅有角結(jié)點(diǎn)，而且有邊結(jié)點(diǎn)?，F(xiàn)在需要構(gòu)造的插值函數(shù)如下所示：4.有限元單元和插值函數(shù)4.2選擇合適單元和插值函數(shù)4.有限元單元和插值函數(shù)4.2選擇合適單元和插值函數(shù)構(gòu)造任意的拉格朗日矩形單元插值函數(shù)的一個(gè)簡便方法是利用兩個(gè)坐標(biāo)方向適當(dāng)方次拉格朗日多項(xiàng)式的乘積。如下所示單元：4.2.2.2

拉格朗日矩形單元4.有限元單元和插值函數(shù)4.2選擇合適單元和插值函數(shù)上式在第I列結(jié)點(diǎn)上等于1，而在其他列結(jié)點(diǎn)上等于0。同理，上式在第J行結(jié)點(diǎn)上等于1，而在其他行結(jié)點(diǎn)上等于0。同理，4.有限元單元和插值函數(shù)4.2選擇合適單元和插值函數(shù)構(gòu)造的插值函數(shù)為：4.2.3

三維單元三維單元構(gòu)造插值函數(shù)的方法是前面二維插值函數(shù)構(gòu)造方法的推廣。主要有以下幾種：4.2.3.1

四面體單元四面體單元和二維情況的三角形單元類似，插值函數(shù)是在三維坐標(biāo)內(nèi)的各次完全多項(xiàng)式。根據(jù)三維四面體單元的幾何特點(diǎn)，引進(jìn)的自然坐標(biāo)是體積坐標(biāo)，單元內(nèi)任一點(diǎn)P的體積坐標(biāo)如下圖所示：4.有限元單元和插值函數(shù)4.2選擇合適單元和插值函數(shù)4.有限元單元和插值函數(shù)4.2選擇合適單元和插值函數(shù)根據(jù)三維四面體單元的幾何特點(diǎn)，引進(jìn)的自然坐標(biāo)是體積坐標(biāo)，單元內(nèi)任一點(diǎn)P的體積坐標(biāo)是：四面體單元的插值函數(shù)可以仿照二維三角形單元的構(gòu)造方法得到：4.有限元單元和插值函數(shù)4.2選擇合適單元和插值函數(shù)（1）線性三維單元：（2）二次三維單元：（3）三次三維單元：什么是有限單元法01有限單元法基礎(chǔ)02有限元單元和插值函數(shù)04等參元和數(shù)值積分05個(gè)人學(xué)習(xí)計(jì)劃06有限單元法表達(dá)格式035.等參元和數(shù)值積分5.1引言：5.1.1

背景：5.1.2

方法：前一章的目的是使單元及其插值函數(shù)的構(gòu)造規(guī)范化，為了將它們用于實(shí)際工程問題和物理問題的分析。需要將上一章討論規(guī)則形狀的單元轉(zhuǎn)化為其邊界為曲線的相應(yīng)單元。此時(shí)要用到的就是等參元法。為了使實(shí)際問題物理坐標(biāo)系內(nèi)的單元?jiǎng)偠?、質(zhì)量、阻尼、荷載等特性矩陣的計(jì)算也能在局部的自然坐標(biāo)表示的規(guī)則域內(nèi)進(jìn)行計(jì)算，還要研究這些矩陣積分式內(nèi)被積函數(shù)中所涉及的導(dǎo)數(shù)、體積微元、面積微元、線段微元的變換及積分限的置換。實(shí)現(xiàn)了這種變換和置換，則不管各個(gè)積分式中的被積函數(shù)如何復(fù)雜，都可以采用標(biāo)準(zhǔn)化的數(shù)值積分方法進(jìn)行計(jì)算。所以還必須學(xué)習(xí)幾種數(shù)值積分方法。5.等參元和數(shù)值積分5.1引言：5.等參元和數(shù)值積分5.2數(shù)值積分方法：5.2.1

一維數(shù)值積分（用近似函數(shù)的積分來近似）5.2.1.1Newton-Cotes積分：在這種積分方案中，包括積分域在內(nèi)的積分點(diǎn)按等間距分布。對(duì)于N個(gè)積分點(diǎn)（或者稱為取樣點(diǎn)），根據(jù)積分點(diǎn)上的被積函數(shù)值可以構(gòu)造一個(gè)近似多項(xiàng)式，使在積分點(diǎn)上有：這個(gè)近似多項(xiàng)式可以通過拉格朗日多項(xiàng)式表示：n-1階拉格朗日插值函數(shù)為：5.等參元和數(shù)值積分5.2數(shù)值積分方法：所以由所以近似函數(shù)的積分可以表示為：可知：（稱為權(quán)系數(shù)）則有：（稱為余項(xiàng)）5.等參元和數(shù)值積分5.2數(shù)值積分方法：5.2.1.2Gauss積分：在Gauss積分方案中，積分點(diǎn)是不等間距分布的。積分點(diǎn)的位置由以下方法確定。首先定義一個(gè)n次多項(xiàng)式：根據(jù)下列條件確定n個(gè)積分點(diǎn)的位置：在積分點(diǎn)上有，同時(shí)也是方程的解。被積函數(shù)可由2n-1次多項(xiàng)式來近似，即：5.等參元和數(shù)值積分5.2數(shù)值積分方法：5.2.1.2Gauss積分：則有：由于優(yōu)化了積分點(diǎn)的位置，高斯積分能達(dá)到較高的精度。5.等參元和數(shù)值積分5.2數(shù)值積分方法：5.2.1.2Gauss積分：5.等參元和數(shù)值積分5.2數(shù)值積分方法：5.2.2

二維和三維高斯積分當(dāng)Gauss積分用于二維或三維數(shù)值積分時(shí)，可以用與解析方法計(jì)算多重積分相同的方法。即在計(jì)算積分號(hào)內(nèi)層的積分時(shí)，將外層積分的變量看做常量。這樣，可以很簡單得到二維和三維問題的數(shù)值積分。5.3等參元數(shù)值積分階次選擇：積分階次的選擇應(yīng)遵循兩個(gè)原則：一、保證積分的精度高二、保證結(jié)構(gòu)總剛度矩陣K是非奇異的什么是有限單元法01有限