第五節(jié)奈奎斯特穩(wěn)定判1

第五節(jié)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)第三章已經(jīng)得出結(jié)論：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：其特征方程所有的根都具有負實部，即都位于[s]平面的左半部。前面也介紹了兩種判斷系統(tǒng)穩(wěn)定的方法，即勞斯穩(wěn)定判據(jù)和赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)，它們都是代數(shù)判據(jù)。代數(shù)判據(jù)是根據(jù)特征方程根和系數(shù)的關(guān)系判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。而這一小節(jié)另外介紹一種重要而實用的方法--奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)。這種方法可以根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性來判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并能確定系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性一、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)簡稱奈斯判據(jù)。奈斯判據(jù)利用復變函數(shù)的幅角原理，提出了根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)頻率特性判別閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的準則。我們知道如果閉環(huán)系統(tǒng)的特征根全部在[s]平面的左半部，那么閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。我們要用開環(huán)頻率特性判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，怎樣將開環(huán)傳遞函數(shù)與閉環(huán)傳遞函數(shù)聯(lián)系起來，這是奈斯判據(jù)的關(guān)鍵。奈奎斯特(Nyqust)穩(wěn)定判據(jù)該判據(jù)這樣告訴我們：一閉環(huán)控制系統(tǒng)為G(s)H(s)R(s)C(s)-該系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是：系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G(jw)H(jw)，當w從時，G(jw)H(jw)曲線逆時針包圍(-1，j0)點P圈，則系統(tǒng)穩(wěn)定。

P---為G(s)H(s)在[s]平面右半面的極點個數(shù)舉例例1:如圖所示系統(tǒng)-R(s)C(s)試用奈斯判據(jù)判斷該閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性S平面的虛軸上無開環(huán)極點的情況解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為開環(huán)頻率特性為

由G(s)H(s)可見，該系統(tǒng)為0型系統(tǒng)，且m=0，n=3，所以G(jw)H(jw)起始于（20，j0)點，沿2700方向趨近于原點又知：P=0，根據(jù)Nyqust判據(jù)可知，G(jw)H(jw)曲線不包圍(-1，j0)點，系統(tǒng)才是穩(wěn)定的，要判斷該曲線是否包圍(-1，j0)，則要知A點與虛軸的距離是否大于1G(s)H(s)A求G(jw)H(jw)曲線于實軸的交點A模取代入實部u(w)=-0.275從圖中可見，G(jw)H(jw)曲線在w從變化到時，包圍（-1，jo)點零圈，所以閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。所以得：令虛部等于0即：1、引入輔助函數(shù)F(s)設(shè)典型反饋系統(tǒng)的方框圖如下圖所示、G(s)H(s)_R(s)C(s)第二版168頁，開環(huán)特征方程閉環(huán)特征方程引入輔助函數(shù)F(s)閉環(huán)特征方程開環(huán)特征方程

由此可見，輔助函數(shù)F(s)將開、閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性聯(lián)系起來了。結(jié)論：F(s)的零點，就是閉環(huán)系統(tǒng)的極點；F(s)的極點，也就是開環(huán)系統(tǒng)的極點F(s)的零、極點的數(shù)目相等。F(s)與開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)，只差常數(shù)“1”，兩者間的幾何關(guān)系為：[F][GH]

這樣，從輔助函數(shù)F(s)的角度看，控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是，F(xiàn)(s)的零點都必須具有負實部。下面討論，F(xiàn)(s)的零點都必須具有負實部即位于[s]平面左半邊的條件與開環(huán)頻率特性的Gk(jw)的關(guān)系。先介紹復變函數(shù)的一個重要定理“幅角定理”二、幅角定理輔助函數(shù)F(s)用零極點表示:頻率特性寫成模和幅角的形式

S是復數(shù)，F(xiàn)(s)是復變函數(shù)，它們分別可用復平面上的矢量來表示，其所對應(yīng)的復平面分別稱為[s]平面和[F]平面。由復變函數(shù)理論可知，若在[s]平面上選一點（設(shè)為a)，通過復變函數(shù)F(s)的映射關(guān)系，在[F]平面上找到相應(yīng)的一點（設(shè)為a`,并稱a`為a的映象）；同理，對于[s]平面上任一條不通過F(s)任何奇異點的封閉曲線，也可以在[F]平面上找到一條與相對應(yīng)的封閉曲線(為的映象）幅角定理

若在封閉曲線內(nèi)有z個F(s)的零點和p個F(s)極點，則曲線上的一點s沿著順時針轉(zhuǎn)一圈時，在F平面上，封閉曲線饒原點逆時針轉(zhuǎn)過的圈數(shù)N為p和z之差，即

N=P-ZN若為負，表示曲線饒原點順時針轉(zhuǎn)過的圈數(shù)。例zz2[s][F]Fp幅角原理證明較復雜，這里簡單解析一下。在[s]平面取一閉合路徑，且在上沒有零、極點，zz2p[s]在外的無論是零點還是極點，當s從s1順時針沿一圈回到s1時，矢量的幅角變化為00s1Nyqust判據(jù)證明方法1

而在內(nèi)的無論是零點還是極點，當s從s1順時針沿一圈回到s1時，矢量的幅角變化為實際上：所有在外的零點和極點，當s沿順時針一圈后，它們的幅角變化均為零，即對的幅角無影響。所有在內(nèi)的零點和極點，當s沿順時針一圈時，即對的幅角的變化均為。由此可知：當內(nèi)有z個F(s)的零點和p個F(s)的極點時，當s沿順時針一圈時，F(xiàn)(s)的幅角變化值為：[F]F根據(jù)Nyqust判據(jù)

我們選擇在[s]平面取一閉合路徑，且在上沒有零、極點，讓其順時針包圍[s]平面的整個右半面。此時F(s)的幅角變化應(yīng)為P---為G(s)H(s)在[s]平面右半面的極點個數(shù)

而我們通常作系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性（G(jw)H(jw)曲線，而不做F(jw)的特性曲線，我們知道輔助函數(shù)與開環(huán)傳遞函數(shù)有以下關(guān)系[F][GH]可見：判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性轉(zhuǎn)化為G(s)H(s)對(-1，j0)點的包圍情況進行判別了。Nyqust判據(jù)證明方法2：引入輔助函數(shù)F(s)閉環(huán)特征方程開環(huán)特征方程

由此可見，輔助函數(shù)F(s)將開、閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性聯(lián)系起來了。將F(s)化為零、極點形式F(s)的零、極點均可在[s]平面相應(yīng)的表示RejwF(s)的幅角為

閉環(huán)系統(tǒng)要穩(wěn)定，其閉環(huán)極點必須在[s]平面的左半面。即z1，z2，…Zn全部在[s]平面的左邊。設(shè)開環(huán)極點有p個在[s]平面的右邊，則有（n-p)個極點在左邊，此時，F(xiàn)(s)的幅角為：可見：閉環(huán)系統(tǒng)要穩(wěn)定，當w從-∞變化到+∞時，F(xiàn)(jw)曲線逆時針方向包圍原點P圈。而我們通常作的是系統(tǒng)的G(jw)H(jw)特性曲線，它與F(jw)的關(guān)系為一、

主持人基本情況[F][GH]

可見在[GH]平面，對[F]平面的原點包圍情況就成了對（-1，j0）的包圍情況來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性例2：系統(tǒng)的框圖為下圖所示-R(s)C(s)試用奈斯判據(jù)判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性原點處又開環(huán)極點的奈斯判據(jù)解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：頻率特性由開環(huán)傳遞函數(shù)可見，系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng)。即V=1，m=0，n=2.當w從0變化到+∞時，G(jw)H(jw)曲線起始于（∞，-900），當w趨于∞時，曲線從-1800方向趨近于原點因為，G(jw)H(jw)在“0”點出現(xiàn)斷點，使得曲線不閉合。為使曲線閉合需找出當G(jw)h(jw)的閉合走向abc由此可知：由此可見，當s=jw沿著abc半圓取值時，G(jw)H(jw)曲線在[GH]平面對應(yīng)的映射為[GH]abca’b’c’故，w從0-沿r0半圓取值到0+時，G(jw)H(jw)的軌跡對應(yīng)從∞∠900(a’)順時針沿R∞園周轉(zhuǎn)1800到∞∠-900(c’)abc(-1,j0)以此類推，當開環(huán)系統(tǒng)中含有兩個積分環(huán)節(jié)時，w從0-沿r0半圓取值到0+時，G(jw)H(jw)的軌跡對應(yīng)從∞∠900(a‘)順時針沿R∞園周轉(zhuǎn)2×1800到∞∠-900(c’)類推下去

實際上，只需繪制w從零變化到正無窮大時的開環(huán)幅相特性曲線，然后按其逆時針包圍（-1,j0)點的圈數(shù)N`和開環(huán)傳遞函數(shù)在[s]右半部的極點數(shù)p,根據(jù)下式

2N`=P-Z或Z=P-2N`

用上式確定閉環(huán)特征方程在[s]平面右半部的個數(shù)，若Z為零，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。否則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。若順時針包圍，N`取負值，閉環(huán)系統(tǒng)也是不穩(wěn)定的。第六節(jié)控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性

為了使系統(tǒng)能很好的工作，不但要求系統(tǒng)穩(wěn)定，而且要有一定的穩(wěn)定裕量，即要求控制系統(tǒng)具有適當?shù)南鄬Ψ€(wěn)定性。一、相對穩(wěn)定的基本概念

在控制系統(tǒng)穩(wěn)定的基礎(chǔ)上，進一步表征其穩(wěn)定程度高低的概念，稱為控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性通常是以幅值裕度的形式表示的例；以控制系統(tǒng)的框圖如下圖所示-R(s)C(s)開環(huán)傳遞函數(shù)-0.275開環(huán)傳遞函數(shù)在[s]平面的右半邊的極點個數(shù)p=0曲線不包圍（-1，jo）點，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的G(s)H(s)1曲線過（-1，j0)點，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定，即在穩(wěn)定與不穩(wěn)定的交界面上G(s)H(s)(-1,j0)1G(s)H(s)曲線順時針包圍（-1，j0)兩圈，故系統(tǒng)不穩(wěn)定

由上式可知，G(jw)H(jw)越靠近（-1，j0)點，系統(tǒng)的穩(wěn)定程度降低。所以系統(tǒng)的穩(wěn)定程度可以用G(jw)H(jw)曲線與(-1,j0)點靠近的程度來表征（衡量）。穩(wěn)定程度的定量計算，可用kg、的概念G(jw)H(jw)曲線通過(-1，j0)必須滿足下列條件：當相角∠G(jw)H(jw)=-1800時使增大的增益倍數(shù)，稱為幅值裕度kg，其數(shù)學描述

當∠G(jw)H(jw)=-1800時，對應(yīng)的頻率，稱為相位交界頻率。幅值裕度一般用分貝(db)表示

當幅值，相角∠G(jw)H(jw)與-1800的角度差，稱為相位裕度?！唷螱(jw)H(jw)為負值，故為正值

當幅值時，對應(yīng)的頻率，稱為剪切頻率。工程上要求：系統(tǒng)穩(wěn)定（對最小相位系統(tǒng)）對數(shù)奈斯判據(jù)（bode判據(jù)）Bode判據(jù)實際上是奈斯判據(jù)在bode圖中的延伸，得以延伸，首先就要找他們在坐標上的聯(lián)系。奈斯圖中的單位園園周，對應(yīng)于bode圖的0分貝線奈斯圖的單位園外對應(yīng)于bode圖上的0分貝線之上Bode圖與Nyquist圖的坐標對應(yīng)關(guān)系ⅠⅠⅡⅡⅢⅢⅣⅣ逆時針（+）（+）順時針（-）（-）奈斯圖的單位園內(nèi)，對應(yīng)于bode圖上的0分貝線以下奈斯圖的負實軸對應(yīng)于bode圖上的對數(shù)相頻特性的-1800G(jw)H(jw)曲線要包圍（-1，j0)點，必須在負實軸的[-1，-∞]之間穿越，規(guī)定逆時針方向包圍（-1，j0)點稱為正穿越，此時幅角有小變大，G(jw)H(jw)順時針包圍（-1,j0)成為負穿越，此時幅角有大變?。ò鼑淮未┰揭淮?，包圍兩圈穿約兩次）所以，正穿越一次對應(yīng)在bode圖中為L(w)>0區(qū)域內(nèi)，對數(shù)相頻曲線從-1800線以下區(qū)域向上穿越一次同理，負穿越一次再bode圖中為L(w)>0區(qū)域內(nèi)，對數(shù)相頻曲線從-1800線以上區(qū)域向下穿越一次對照上述坐標關(guān)系，將奈斯判據(jù)延伸代bode圖中得到bode判據(jù)（對數(shù)奈斯判據(jù)）：在L(w)>0db的區(qū)域內(nèi)，對數(shù)相頻曲線正穿越次數(shù)（N+）與負穿越次數(shù)（N-）之差為p/2，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。P為開環(huán)傳遞函數(shù)在[s]平面右半邊的極點個數(shù)問題這里為什么是P/2?而不是P?是因為奈斯判據(jù)：w從-∞變化到+∞

而bode判據(jù)：w從0變化到+∞所以在bode判據(jù)中只取奈斯判據(jù)的一半，既P/2問題當p=1、3、5…..時，此時P/2出現(xiàn)班次穿越，如何處理？這里有規(guī)定半次正穿越半次負穿越在L(w)>0區(qū)域內(nèi)，對數(shù)相頻曲線從-1800開始向上為半次正穿越，若從-1800向下為半次負穿越已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)舉例1試用對數(shù)判據(jù)判別閉環(huán)穩(wěn)定性。解：繪制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性如圖。

由開環(huán)傳遞函數(shù)可知P=0。所以閉環(huán)穩(wěn)定利用Matlab分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性num=10;den=[0.110];figure(1)bode(num,den);[numb,denb]=cloop(num,den);figure(2)step(numb,denb)已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)試用對數(shù)判據(jù)判別閉環(huán)穩(wěn)定性。舉例1解：繪制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性如圖在L(w)>0區(qū)域內(nèi)正穿越次數(shù)：N+=0負穿越次數(shù)：N-=1開環(huán)傳遞函數(shù)在[s]平面的極點個數(shù)：

P=0故

N+-N-≠P/2所以系統(tǒng)不穩(wěn)定閉環(huán)不穩(wěn)定的極點個數(shù)利用Matlab分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性num=300;den=[121000];figure(1)bode(num,den);[numb,denb]=cloop(num,den);figure(2)step(numb,denb)在bode圖上的表示例5-5

已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試應(yīng)用奈氏判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性解:由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù),得幅頻特性相頻特性令虛部等于0即：取w=4.12，故曲線于實軸的交點為：9.12，根據(jù)奈斯判據(jù)，開環(huán)系統(tǒng)的p=0,曲線包圍了（-1，j0）點，所以閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定利用Matlab繪制Nyquist曲線num=1000;p1=conv([11],[12]);den=conv(p1,[15]);figure(1)nyquist(num,den)title('nyquistpolt')[numb,denb]=cloop(num,den);figure(2)step(numb,denb)title('stepResponse')例5-6

已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試應(yīng)用奈氏判據(jù)判別k=0.5和k=2時的閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性解:由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù),得幅頻特性相頻特性w0k-1800-1-1350∞0-900k1=0.5;k2=2;den=[1-1];figure(1)nyquist(k1,den);holdonnyquist(k2,den);[numb,denb]=cloop(k1,den);[numb1,denb1]=cloop(k2,den);figure(2)step(numb,denb)holdonstep(numb1,denb1)利用Matlab繪制Nyquist曲線實驗證明G(jw)H(jw)曲線遠離（-1,j0)點，系統(tǒng)穩(wěn)定程度好，階躍響應(yīng)較平緩，無大的超調(diào)。G(jw)H(jw)曲線靠近(-1,j0)，系統(tǒng)穩(wěn)定程度下降，階躍響應(yīng)超調(diào)量大、振蕩加劇。G(jw)H(jw)通過(-1,j0)點，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定，階躍響應(yīng)為等幅振蕩。由此可見：穩(wěn)定裕度的大小與系統(tǒng)的動態(tài)性能有關(guān)第七節(jié)頻域指標與時域指標之間的關(guān)系（教材§5-7的內(nèi)容）

在第三章介紹的時域的五個性能指標在當前的系統(tǒng)分析和設(shè)計中占有越來越重要的位置。這里需要進一步探討頻域指標與時域指標之間的關(guān)系。一、開環(huán)頻率特性與時域穩(wěn)態(tài)誤差之間的關(guān)系從第三章的時間響應(yīng)分析中得知：閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess取決于其對應(yīng)的開環(huán)傳遞函數(shù)中含積分環(huán)節(jié)的個數(shù)v（誤差度)和開環(huán)增益K。也就是說我們知道了v，K（Kp,Kv,Ka)，就可以方便的計算比環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess。由開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線可知：其低頻段的斜率由系統(tǒng)的誤差度（v）和開環(huán)增益K決定，即低頻段的高度由開環(huán)增益K決定。所以我們可以根據(jù)低頻段曲線確定系統(tǒng)的誤差度(v)和開環(huán)增益K(Kp，Kv，Ka)

下面我們通過一些例題分別討論，如何根據(jù)開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線確定系統(tǒng)的誤差度（v）和開環(huán)系統(tǒng)的增益K（一）、0型系統(tǒng)例1：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)頻率特性其開環(huán)特性曲線對應(yīng)的轉(zhuǎn)折頻率為AwT2wT1-20db/dec-40db/dec可見：w<wTmin時，L(w)=20lgk=20db0型系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性有以下特點對數(shù)幅頻特性曲線低頻段為一水平線，其高度為20lgk0型系統(tǒng)的開環(huán)增益K為靜態(tài)位置誤差系統(tǒng)Kp，既可根據(jù)L(w)曲線在低頻段的高度求出Kp.（二）、Ⅰ型系統(tǒng)例2：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)頻率特性其開環(huán)特性曲線對應(yīng)的轉(zhuǎn)折頻率為L(w)在w<wT時，是一斜率為-20db/dec的直線討論1）當wT>kAwT-20db/dec-40db/dec在w<wT時，慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性曲線尚為一“0”的直線此時：2）當wT<kAwT-20db/dec-40db/dec此時-20db/dec線不穿越“0”分貝線，此時延長低頻段使之與“0”分貝線相交，其交點w=KⅠ型系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性有以下特點低頻段斜率為-20db/dec斜率為-20db/dec的低頻段（或延長線）與“0”分貝線的相交頻率w=K斜率為-20db/dec的低頻段在w=1處的高度為20lgKⅠ型系統(tǒng)得開環(huán)增益K=Kv（靜態(tài)速度誤差系數(shù)）

可根據(jù)②和③求出系統(tǒng)的Kv（三）、Ⅱ型系統(tǒng)例3：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)頻率特性當wT>1，K>1時AwT-40db/dec-60db/dec當wT>1，K<1時wTA-40db/dec-60db/dec當wT<1，K>1時AwT-40db/dec-60db/dec當wT<1，K<1時AwT-40db/dec-60db/decⅡ型系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性有以下特點低頻段斜率為-40db/dec；斜率為-40db/dec的低頻段（或延長線）與“0”分貝線相交處的頻率w2=k斜率為-40db/dec的低頻段（或延長線）在w=1處的高度為20lgKⅡ型系統(tǒng)的開環(huán)增益k=Ka(靜態(tài)加速度誤差系數(shù)）可根據(jù)②和③求出系統(tǒng)的Ka下面舉例：通過例題介紹如何從對數(shù)幅頻特性曲線中確定K值由右圖可見：AB線段高度為20lgK根據(jù)幾何關(guān)系A(chǔ)B線段表示A點至B點得分貝數(shù)。BC線段表示B點至C點的對數(shù)值-20db/decABCwcL(w)w1例1：AB=20lgK，BC=lgWc-lgW1例2：ABCDW1wcW=K-20db/dec-40db/dec由右圖可知：故有：例3：ABCDW1wcW=K-20db/dec-40db/decFGE-60db/decW2從圖中可知：總結(jié)以上例題我們可以得出結(jié)論

開環(huán)增益K與0分貝以上的開環(huán)幅頻特性曲線的各個轉(zhuǎn)折頻率wi及幅值穿越頻率wc之間有著既定的關(guān)系……k1k2k3knKn-1Kn-2w1w2w3wnWn-1Wn-2Wn-3推廣這種方法也可用來在已知K的條件下，求Wc。或在已知K、Wc的條件下求任意轉(zhuǎn)折頻率二、開環(huán)頻率特性與系統(tǒng)動態(tài)性能的關(guān)系

前面討論了如何應(yīng)用系統(tǒng)開環(huán)頻率特性分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性能和ess，下面討論如何通過頻率來分析閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)性能。1、頻域動態(tài)性能的提出對控制系統(tǒng)的設(shè)計有兩種方法用開環(huán)頻率特性設(shè)計系統(tǒng)時常用的動態(tài)指標用閉環(huán)頻率特性設(shè)計系統(tǒng)時常用的動態(tài)指標反映了過渡過程的平穩(wěn)性，與時域指標中超調(diào)量（）相對應(yīng)。反應(yīng)系統(tǒng)響應(yīng)的快速性，與時域指標中的調(diào)整時間（）相對應(yīng)。注最小相位系統(tǒng)----若系統(tǒng)G(s)的所有零、極點均在[s]平面的左半邊，則稱為最小相位系統(tǒng)。反之稱為“非最小相位系統(tǒng)”2、開環(huán)頻率特性曲線參數(shù)與階躍響應(yīng)的關(guān)系

對一、二階系統(tǒng)來說，頻域指標與時域指標之間存在著確定的關(guān)系。通過分析可清楚地看出頻域指標的含義。一階系統(tǒng)一階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的標準形式其閉環(huán)結(jié)構(gòu)圖為—R(s)C(s)從圖中可得：開環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞函數(shù)其單位階躍響應(yīng)曲線開環(huán)頻率特性-20db/dec-20db/dec閉環(huán)頻率特性wT=wb=1/Twc

由開環(huán)對數(shù)頻率幅頻曲線可清楚地看出，一階系統(tǒng)的開環(huán)幅值穿越頻率wc=K（開環(huán)增益）即

從閉環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線中可見，其轉(zhuǎn)折頻率wT=1/T，當w=wT=1/T時，閉環(huán)頻率特性的幅值為，即為（w=0）時的幅值的0.707倍----稱此點的頻率值為一階系統(tǒng)的頻寬又一階系統(tǒng)的時域指標ts或可見ts可用系統(tǒng)的開環(huán)或閉環(huán)頻域指標來描述反應(yīng)系統(tǒng)的響應(yīng)速度二階系統(tǒng)其閉環(huán)結(jié)構(gòu)圖為—R(s)C(s)開環(huán)傳遞函數(shù)故有開環(huán)頻率特性與時域指標的關(guān)系情況1：wT=1/T<KwT-20db/dec-40db/decwcW2=k可見-20db/dec線段與0分貝線的交點頻率w2=k剪切頻率wc=?故有

可見系統(tǒng)的剪切頻率wc恰好是Wn與w=k的幾何中點。剪切頻率wc=?根據(jù)前面介紹的指示：情況2：wT=1/T>K-20db/decWc=k-40db/decWn=1/T

通過以上分析與推導可見，對數(shù)頻率特性可確定系統(tǒng)的相關(guān)參數(shù)。再看性能指標與參數(shù)之間的關(guān)系如何？幅值穿越頻率wc由wc的定義，有：即分子分母同除wn2,得：等式兩邊同時乘方，得從括號里提出wc2，得：得到一二次方程又不可能為負值故得：相位裕度ReImwc又

由二階系統(tǒng)時域指標與相比較，二者都僅與值有關(guān)。可見

的大小反映了系統(tǒng)的動態(tài)過程的平穩(wěn)性。

為了使二階系統(tǒng)在過渡過程中不要過大，調(diào)整時間ts短些一般有二階系統(tǒng)的調(diào)整時間顯然，當值為常數(shù)時，ts與wc成反比Wc的大小反映了系統(tǒng)過渡過程的快慢！3、閉環(huán)頻域指標與時域指標的關(guān)系諧振頻率—R(s)C(s)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)故二階系統(tǒng)的閉環(huán)幅頻特性：幅頻特性系統(tǒng)發(fā)生諧振時，幅頻特性達到最大值，故可得諧振頻率：由此可知，當時，wr才為實數(shù)，這說明時，系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性無峰值。在時，ts與wr成反比，即：所以，wr的大小反映了響應(yīng)速度的快慢！諧振峰值Mr將代入下式由此可見：Mr僅與有關(guān):頻帶寬度wb，根據(jù)wb的定義又上式解得：可見：當時，ts與wb成反比

通過以上分析可知：通過系統(tǒng)的開、閉環(huán)頻率特性能得到系統(tǒng)動態(tài)性能指標，但由于高階閉環(huán)頻率特性曲線不易得到，故通常用開環(huán)頻率特性來研究系統(tǒng)的動態(tài)性能更為方便。---表征過渡過程的平穩(wěn)性---表征系統(tǒng)響應(yīng)的快慢4、系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線的中頻段與階躍響應(yīng)的關(guān)系

從一階、二階系統(tǒng)的開環(huán)頻域指標分析中顯而易見，系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線的中頻段，即剪切頻率wc附近的區(qū)段，它集中反映了閉環(huán)系統(tǒng)的平穩(wěn)性和快速性。而---僅是比較簡單的指標，它們不能完全概括千變?nèi)f化的頻率特性曲線的形狀

所以有必要對系統(tǒng)的中頻段的情況進行進一步的分析。下面通過實例，來看看系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性曲線中頻段斜率對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響例

系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)試繪制系統(tǒng)的bode圖并分析系統(tǒng)的動態(tài)性能情況wcwg這里我們求w