第四章目標(biāo)規(guī)劃

§4目標(biāo)規(guī)劃§4目標(biāo)規(guī)劃§4.1目標(biāo)規(guī)劃問題及其數(shù)學(xué)模型§4.2目標(biāo)規(guī)劃圖解法§4.3目標(biāo)規(guī)劃的單純形法4.1目標(biāo)規(guī)劃問題及其數(shù)學(xué)模型1.目標(biāo)規(guī)劃問題的提出例1某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，受到原材料供應(yīng)和設(shè)備工時(shí)的限制。在單件利潤(rùn)等有關(guān)數(shù)據(jù)已知的條件下，要求制訂一個(gè)獲利最大的生產(chǎn)計(jì)劃。具體數(shù)據(jù)見表。設(shè)產(chǎn)品I和II的產(chǎn)量分別為x1,x2；其線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型為產(chǎn)品ⅠⅡ限量原材料（kg/件）51060設(shè)備工時(shí)（h/件）4440利潤(rùn)（元/件）68從線性規(guī)劃的角度來看，問題已經(jīng)得到了圓滿解決。但從工廠領(lǐng)導(dǎo)進(jìn)行決策的立場(chǎng)上，問題沒有這么簡(jiǎn)單，決策時(shí)還需要考慮一系列其他問題：假設(shè)計(jì)劃人員被要求考慮如下的意見：(1)由于產(chǎn)品Ⅱ銷售疲軟，故希望產(chǎn)品Ⅱ的產(chǎn)量不超過產(chǎn)品Ⅰ的一半(2)最好能節(jié)約4h設(shè)備工時(shí)(3)計(jì)劃利潤(rùn)不少于48元4.1目標(biāo)規(guī)劃問題及其數(shù)學(xué)模型由此可知：計(jì)劃問題實(shí)際上一個(gè)多目標(biāo)決策問題。由于需要用線性規(guī)劃來處理，所以計(jì)劃人員不得不從眾多目標(biāo)要求中硬性地選擇其一，作為線性規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)。線性規(guī)劃有最優(yōu)解的必要條件是其可行解集非空，即各約束條件彼此相容，而實(shí)際問題有時(shí)不能滿足這樣的要求。線性規(guī)劃并不是完美，在處理實(shí)際問題時(shí)，線性規(guī)劃存在著由其“剛性”本質(zhì)所注定的某些固有的局限性。4.1目標(biāo)規(guī)劃問題及其數(shù)學(xué)模型現(xiàn)代決策強(qiáng)調(diào)定量分析和定性分析的結(jié)合，強(qiáng)調(diào)硬技術(shù)和軟技術(shù)的結(jié)合，強(qiáng)調(diào)矛盾和沖突的合理性，強(qiáng)調(diào)妥協(xié)和讓步的必要性，線性規(guī)劃無法勝任這些要求。4.1目標(biāo)規(guī)劃問題及其數(shù)學(xué)模型1.目標(biāo)規(guī)劃問題的提出

1961年，查思斯和庫(kù)柏提出目標(biāo)規(guī)劃。目標(biāo)規(guī)劃在處理實(shí)際決策問題時(shí)，承認(rèn)各項(xiàng)決策要求的存在有其合理性；在作最終決策時(shí)，不強(qiáng)調(diào)其絕對(duì)意義上的最優(yōu)性。在一定程度上彌補(bǔ)了線性規(guī)劃的局限性，是一種較之線性規(guī)劃更接近于實(shí)際決策過程的決策工具。4.1目標(biāo)規(guī)劃問題及其數(shù)學(xué)模型2.目標(biāo)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型涉及的基本概念

(1)偏差變量對(duì)每一個(gè)決策目標(biāo)，引入正、負(fù)偏差變量d+和d-，分別表示決策值超過或不足目標(biāo)值的部分。按定義有三種情況d+＞0，d-=0；d->0，d+=0；d+=0,d-=0。三種情況只能有一種實(shí)際發(fā)生，故d+×d-=0。

(2)絕對(duì)約束和目標(biāo)約束

絕對(duì)約束是必須嚴(yán)格滿足的約束條件，線性規(guī)劃中的約束條件都是絕對(duì)約束。絕對(duì)約束是硬約束。目標(biāo)約束是目標(biāo)規(guī)劃特有的，是一種軟約束，目標(biāo)約束中決策值和目標(biāo)值之間的差異用偏差變量表示。絕對(duì)約束：5x1+10x2≤6048861121=-++-ddxx＋目標(biāo)約束：

不同目標(biāo)的主次輕重有兩種差別。一種是絕對(duì)的，用優(yōu)先因子Pl來表示。只有在高級(jí)優(yōu)先因子對(duì)應(yīng)的目標(biāo)滿足的基礎(chǔ)上，才能考慮較低級(jí)優(yōu)先因子對(duì)應(yīng)的目標(biāo)；在考慮低級(jí)優(yōu)先因子對(duì)應(yīng)的目標(biāo)時(shí)，絕不允許違背已滿足的高級(jí)優(yōu)先因子對(duì)應(yīng)的目標(biāo)。優(yōu)先因子間的關(guān)系為Pl>>Pl+1。另一種是相對(duì)的，這些目標(biāo)具有相同的優(yōu)先因子，它們的重要程度用權(quán)系數(shù)的不同來表示。

(3)優(yōu)先因子和權(quán)系數(shù)

(4)目標(biāo)規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)由各目標(biāo)約束的偏差變量及相應(yīng)的優(yōu)先因子和權(quán)系數(shù)構(gòu)成。目標(biāo)規(guī)劃追求的是盡可能接近各既定目標(biāo)值，即各有關(guān)偏差變量盡可能小，所以其目標(biāo)函數(shù)只能是極小化。應(yīng)用時(shí)，有三種基本表達(dá)式：1)要求恰好達(dá)到目標(biāo)值。決策值超過或不足目標(biāo)值都是不希望的，有min{f(d++d-)}

(4)目標(biāo)規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)

2)要求不超過目標(biāo)值，但允許不足目標(biāo)值。這時(shí)，不希望決策值超過目標(biāo)值，因此有3)要求不低于目標(biāo)值，但允許超過目標(biāo)值。這時(shí)，不希望決策值低于目標(biāo)值，因此有min{f(d+)}min{f(d-)}假設(shè)計(jì)劃人員被要求考慮如下的意見：(1)由于產(chǎn)品Ⅱ銷售疲軟，故希望產(chǎn)品Ⅱ的產(chǎn)量不超過產(chǎn)品Ⅰ的一半(2)最好能節(jié)約4h設(shè)備工時(shí)(3)計(jì)劃利潤(rùn)不少于48元特點(diǎn)：1.多目標(biāo);不超過、最好、不少于等。2.有一定的有限順序產(chǎn)品ⅠⅡ限量原材料（kg/件）51060設(shè)備工時(shí)（h/件）4440利潤(rùn)（元/件）682.目標(biāo)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型涉及的基本概念目標(biāo)規(guī)劃的順序：先寫約束，再寫目標(biāo)函數(shù)(1)由于產(chǎn)品Ⅱ銷售疲軟，故希望產(chǎn)品Ⅱ的產(chǎn)量不超過產(chǎn)品Ⅰ的一半(2)原材料嚴(yán)重短缺，生產(chǎn)中應(yīng)避免過量消耗(3)最好能節(jié)約4h設(shè)備工時(shí)(4)計(jì)劃利潤(rùn)不少于48元(5)目標(biāo)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的一般形式gk為第k個(gè)目標(biāo)約束的預(yù)期目標(biāo)值。W-lk和W+lk為Pl優(yōu)先因子對(duì)應(yīng)各目標(biāo)的權(quán)系數(shù)已知某實(shí)際問題的線性規(guī)劃模型為假定重新確定這個(gè)問題的目標(biāo)為:(1):Z的值應(yīng)不低于1900(2):資源1必須全部利用將此問題轉(zhuǎn)換為目標(biāo)規(guī)劃問題，列出數(shù)學(xué)模型判斷下述說法是否正確?(1)目標(biāo)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型應(yīng)同時(shí)包括絕對(duì)約束和目標(biāo)約束。(2)正偏差變量應(yīng)取正值，負(fù)偏差應(yīng)取負(fù)值。4.2目標(biāo)規(guī)劃的圖解法用圖解表示的偏差變量圖解法只能解決只有兩個(gè)決策變量的目標(biāo)規(guī)劃問題，在用圖解法解目標(biāo)規(guī)劃時(shí)，首先必須滿足所有絕對(duì)約束。在此基礎(chǔ)上，再按照優(yōu)先級(jí)從高到低的順序，逐個(gè)地考慮各個(gè)目標(biāo)約束。968912ABDEF0CO968912063CDEF若優(yōu)先因子Pj對(duì)應(yīng)的解空間為Rj，則優(yōu)先因子Pj+1對(duì)應(yīng)的解空間只能在Rj中考慮。若Rj≠?，而Rj+1=?，則Rj中的解為目標(biāo)規(guī)劃的滿意解，它只能保證滿足P1，P2，…，Pj級(jí)目標(biāo)，而不保證滿足其后的各級(jí)目標(biāo)。4.2目標(biāo)規(guī)劃的圖解法圖解法解目標(biāo)規(guī)劃解情況的討論：（1）最后一級(jí)目標(biāo)的解空間非空。這時(shí)得到的解能滿足所有目標(biāo)的要求。當(dāng)解不惟一時(shí)，決策者在作實(shí)際決策時(shí)究競(jìng)選擇哪一個(gè)解，完全取決于決策者自身的考慮。（2）所得到的解不能滿足所有目標(biāo)。這時(shí)，我們要做的是尋找滿意解，使它盡可能滿足高級(jí)別的目標(biāo)，同時(shí)又使它對(duì)那些不能滿足的較低級(jí)別目標(biāo)的偏離程度盡可能地小。4.3目標(biāo)規(guī)劃的單純形法目標(biāo)規(guī)劃的單純形法求解的基本思路：在用單純形法解目標(biāo)規(guī)劃時(shí)，檢驗(yàn)數(shù)是各優(yōu)先因子的線性組合。在判別各檢驗(yàn)數(shù)的正負(fù)及大小時(shí)，必須注意P1>>P2>>P3>>…。當(dāng)所有檢驗(yàn)數(shù)都已滿足最優(yōu)性條件(cj-zj≥0)時(shí)，從最終單純形表上就可以得到目標(biāo)規(guī)劃的解。目標(biāo)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)與線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)形式上沒有本質(zhì)的區(qū)別，所以可用單純形法求解。但要根據(jù)目標(biāo)規(guī)劃的特點(diǎn)，作以下規(guī)定：(1)

因目標(biāo)規(guī)劃問題的目標(biāo)函數(shù)都是求最小化，所以以cj?zj≥0，j=1,2,…，n作為最優(yōu)性判別準(zhǔn)則。(2)因非基變量的檢驗(yàn)數(shù)中含有不同等級(jí)的優(yōu)先因子，即因?yàn)镻1>>P2>>…>>PK檢驗(yàn)數(shù)的正、負(fù)首先決定于P1的系數(shù)α1j的正、負(fù)；若α1j=0，則此檢驗(yàn)數(shù)的正、負(fù)就決定于P2的系數(shù)α2j的正、負(fù)；依此類推。用單純形法求解目標(biāo)規(guī)劃問題：用圖解法解下列目標(biāo)規(guī)劃模型§4－4目標(biāo)規(guī)劃應(yīng)用舉例解上