第4講：曲線曲面的插值與擬合方法(第1次課)

第四講插值與擬合之插值(上)內容：插值是離散函數(shù)逼近的重要方法，利用它可通過函數(shù)在有限個點處的取值狀況，估算出函數(shù)在其他點處的近似值目的：學習插值的基本思想和方法，掌握Matlab的一維/二維等距和非等距插值函數(shù)要求：掌握Matlab插值函數(shù)，處理插值應用問題了解拉格朗日和分段線性插值的基本思想了解三次樣條插值的提法和思路(條件數(shù))掌握插值函數(shù)interp

interp1

interp2

griddata掌握水塔用水量的計算(水位-體積-流速-積分)關于插值與擬合的區(qū)別…面對工程實踐和科學計算中的采集得到數(shù)據(jù)(xi,yi)，我們總是試圖去揭示x與y之間的關系，即用近似的y=f(x)來表示，那么我們通常可以采用兩種方法：插值與擬合(均要求自變量單調)插值與擬合的區(qū)別在于——插值試圖去通過已知點了解未知點處的函數(shù)值；而擬合則在于在整體上用某種已知函數(shù)去擬合數(shù)據(jù)點列所在未知函數(shù)的性態(tài)。

關鍵區(qū)別在于插值要求必須經(jīng)過已知點列，擬合只求盡量靠近不必經(jīng)過！擬合將在本講下介紹~引例1函數(shù)查表問題：已知標準正態(tài)分布函數(shù)表，求表中沒有的值(2.34)=0.99036(2.35)=0.99061求~(2.3457)≈(2.35-2.3457)/(2.35-2.34)*(2.34)+(2.3457-2.34)/(2.35-2.34)*(2.35)引例2地圖繪制問題：假如我們在地圖邊界獲取了一些邊界點的坐標，連接這些邊界點形成閉合曲線，可以用來近似表示真實邊界線，如何更準確地逼近真實邊界線？函數(shù)查表與地圖邊界線繪制(2.3457)=？如何更準確地逼近真實邊界線？插值在數(shù)碼圖像放大中的應用引例3圖像插值放大：數(shù)碼相機運用插值的方法可以創(chuàng)造出比傳感器實際像素更多的圖像，這種處理稱為“數(shù)碼變焦”。106*40原始圖像：左邊：最近鄰插值放大450%右邊：雙三次插值放大450%插值在圖像三維重建中的應用Surfacerecostructionfromscatteredpointscloud

分段線性插值和拉格朗日插值分段線性插值：用直線(線性)連接數(shù)據(jù)點列上相鄰的兩點。比如~在兩點[xi-1,xi]上線性插值函數(shù)為~拉格朗日插值：用n次拉格朗日插值多項式連接數(shù)據(jù)點列上相鄰的n+1個點。Pszjs71拉格朗日插值基函數(shù)的構造比如在三個點[x0,x1,x2]上lagrange插值函數(shù)為(線性插值是拉格朗日插值最簡單的情形)拉格朗日插值基函數(shù)的構造題例

f(x)=ln(x)的數(shù)值表為用Lagrange插值計算ln(0.54)的近似值x=[0.4,0.5,0.6,0.7,0.8];xi=0.54;y=[-0.916291,-0.693147,-0.510826,-0.357765,-0.223144];n=length(x);L=zeros(n,1);yi=0;fori=1:nL(i)=1;forj=1:nifj~=i

L(i)=L(i)*[(xi-x(j))/(x(i)-x(j))];endend

yi=yi+y(i)*L(i);endx0.40.50.60.70.8ln(x)-0.916291-0.693147-0.510826-0.357765-0.223144分段三次埃爾米特插值條件數(shù)分段三次埃爾米特插值：線性插值在每一小段上(兩點之間)，用到2個條件q(xi)=yi，所以確定了一個線性插值函數(shù)；三次埃爾米特插值在每一小段上，用到4個條件q(xi)=yi，q'(xi)=y'i,所以確定一個3次多項式插值函數(shù)。分段插值主要是為了避免高次插值可能出現(xiàn)的大幅度振蕩現(xiàn)象，在實際應用中通常采用分段低次插值來提高近似程度，比如可用分段線性插值或分段三次埃爾米特插值來逼近已知函數(shù)，但它們的總體光滑性較差，為了克服這一缺點，三次樣條插值成為比較理想的工具。三次樣條(spline)插值的概念樣條的概念出自工程設計和機械加工(飛機、船舶外形曲線設計)中的繪圖工具(曲線尺)，簡單說就是具有連續(xù)二階導數(shù)的三次插值多項式函數(shù)。

TypeCStreamliner三次樣條(spline)插值的條件數(shù)首先從段數(shù)n=2分析：我們知道在每一小段的三次多項式有4個系數(shù)，所以如下圖，總共需要有4*2=8個方程來確定；由q(xi)=yi可以確定2*2=4個方程，又由內部節(jié)點q1'(xi)=q2'(xi)和q1''(xi)=q2''(xi)可以確定2*(2-1)=2個方程，看來剩下的8-(4+2)=2個方程只有靠外部給定(邊界條件)了q1q2x0x1x2一維曲線等距插值函數(shù)interpinterp'ssyntaxOne-dimensionalrtimeslonger

datainterpolationy=interp(y,r)題例在原始數(shù)據(jù)點中增倍插值x=0:0.001:1;y=sin(2*pi*30*x)+sin(2*pi*60*x);yi=interp(y,4);subplot(1,2,1);stem(y(1:30));title('OriginalPoints');subplot(1,2,2);stem(yi(1:120));title('InterpolatedPoints');一維曲線等距插值函數(shù)interp1interp1'ssyntaxOne-dimensionaldatainterpolationyi=interp1(x,y,xi,method)'nearest'Nearestneighborinterpolation'linear'Linearinterpolation(default)'spline'Cubicsplineinterpolation'cubic'PiecewisecubicHermiteinterpolation題例在一天24小時內,從零點開始每間隔2小時測得的環(huán)境溫度，推測在15點6分的的溫度x=0:2:24;y=[12,9,9,10,18,24,28,27,25,20,18,15,13];plot(x,y,'-ro');holdon;xi=15.1;yi=interp1(x,y,xi,'spline'),xi=0:1/3600:24;yi=interp1(x,y,xi,'spline');plot(xi,yi,'b-');二維曲面等距插值函數(shù)interp2interp2'ssyntaxTwo-dimensionaldatainterpolationZI=interp2(X,Y,Z,XI,YI,method)'nearest'Nearestneighborinterpolation'linear'Bilinearinterpolation(default)'spline'Cubicsplineinterpolation'cubic'Bicubucinterpolation二維曲面等距插值函數(shù)interp2動畫展示：三維空間中的曲面等距格點二維曲面等距插值函數(shù)interp2題例粗糙山頂曲面的平滑處理(等距情形)loadmountain.mat

%載入山頂?shù)匦螖?shù)據(jù)mesh(x,y,z)%繪制原始山頂?shù)匦螆Dxi=linspace(0,5,50);yi=linspace(0,6,80);[xii,yii]=meshgrid(xi,yi);zii=interp2(x,y,z,xii,yii,'spline');

%三次樣條插值%zii=interp2(x,y,z,xii,yii,'nearest');%最近鄰插值%zii=interp2(x,y,z,xii,yii,'linear');%線性插值figure;surf(xii,yii,zii)%繪制平滑處理后的山頂曲面holdon;[xx,yy]=meshgrid(x,y);plot3(xx,yy,z+0.1,'ob');二維曲面等距插值函數(shù)interp2題例粗糙山頂曲面的平滑處理(等距情形)二維曲面散亂插值函數(shù)griddatagriddata'ssyntaxDatainterpolation

forscatteredpoints

ZI=griddata(x,y,z,XI,YI)[XI,YI,ZI]=griddata(x,y,z,xi,yi)[...]=griddata(...,method)'linear'Triangle-basedlinearinterpolation'cubic'Triangle-basedcubic(default)'nearest'Nearestneighbor'v4'MATLAB4griddatamethodMATLAB二維插值函數(shù)griddata，可以將平面或曲面上的散亂點插值為規(guī)則網(wǎng)格二維曲面散亂插值函數(shù)griddata題例

粗糙山頂曲面的平滑處理(散亂情形)rand('seed',0)x=rand(100,1)*4-2;y=rand(100,1)*4-2;z=x.*exp(-x.^2-y.^2);plot3(x,y,z,'o');holdonti=-2:.25:2;[XI,YI]=meshgrid(ti,ti);ZI=griddata(x,y,z,XI,YI);mesh(XI,YI,ZI);二維曲面散亂插值函數(shù)griddata題例

墨西哥草帽的平滑處理(散亂情形)

x=rand(100,1)*16-8;y=rand(100,1)*16-8;r=sqrt(x.^2+y.^2)+eps;z=sin(r)./r;plot3(x,y,z,'.','MarkerSize',15)holdonxlin=linspace(min(x),max(x),33);ylin