第8講圖形變換

第8講圖形變換

中南大學(xué)地學(xué)院GIS中心本講內(nèi)容齊次坐標(biāo)表示法常見的二維圖形幾何變換平移變換比例變換旋轉(zhuǎn)變換對稱變換錯(cuò)切變換變換矩陣的功能分區(qū)圖形的復(fù)合變換2圖形變換指將圖形的幾何信息經(jīng)過幾何變換后產(chǎn)生新的圖形坐標(biāo)系不動(dòng)而圖形變動(dòng)（幾何變換）圖形不動(dòng)而坐標(biāo)系變動(dòng)（坐標(biāo)變換）幾何變換通常是以點(diǎn)變換為基礎(chǔ)，即對圖形對象的每個(gè)點(diǎn)進(jìn)行變換；但作為線框圖形，可以取一系列頂點(diǎn)作幾何變換，連接新的頂點(diǎn)序列即可產(chǎn)生變換后的新圖形圖形的拓?fù)潢P(guān)系不變3齊次坐標(biāo)表示法將一個(gè)原本是n維的向量用一個(gè)n+1維向量表示一個(gè)向量的齊次表示不是唯一的當(dāng)齊次坐標(biāo)的h為1時(shí)，稱為規(guī)范化齊次方程

有n個(gè)分量的向量有n+1個(gè)分量的向量4齊次坐標(biāo)技術(shù)的優(yōu)點(diǎn)齊次坐標(biāo)可以表達(dá)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)對于h=0的齊次坐標(biāo)表示無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，如(a,b,0)表示ay=bx直線上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)采用齊次坐標(biāo)可以統(tǒng)一圖形變換的運(yùn)算形式圖形變換統(tǒng)一為圖形的點(diǎn)集矩陣與某一變換矩陣進(jìn)行矩陣相乘的單一形式5二維圖形幾何變換二維圖形的特點(diǎn)：可看成由若干小的直線段組成直線段由始、終端點(diǎn)連接而成實(shí)質(zhì)：在不改變圖形連線順序的情況下，對一個(gè)圖形的“點(diǎn)”作幾何變換6二維圖形幾何變換的齊次表示法某一點(diǎn)P(x,y)行向量[xy1]齊次表示法一個(gè)圖形的點(diǎn)集齊次表示法矩陣圖形幾何變換表示：變換后的點(diǎn)P’的坐標(biāo)為：x’=(ax+dy+g)/(cx+fy+i)y’=(bx+ey+h)/(cx+fy+i)7幾種常見的二維圖形幾何變換平移變換比例變換旋轉(zhuǎn)變換對稱變換錯(cuò)切變換8平移變換指不產(chǎn)生變形而移動(dòng)物體的剛性變換Tx平行于x軸的方向上的移動(dòng)量Ty平行于y軸的方向上的移動(dòng)量y平移變換x9平移變換的齊次坐標(biāo)表示平移矩陣：好處：采用齊次坐標(biāo)表示法，使得平移變換的處理由原本的加法變?yōu)榱司仃嚦朔?，從而與其余四種幾何變換運(yùn)算方式相統(tǒng)一簡寫為：10比例變換指圖形相對于坐標(biāo)原點(diǎn)，按比例系數(shù)(Sx,Sy)放大或縮小的變換Sx平行于x軸的方向上的縮放量Sy平行于y軸的方向上的縮放量yx相對于原點(diǎn)的比例變換11比例變換的齊次坐標(biāo)表示比例矩陣：簡寫為：12比例變換的性質(zhì)當(dāng)Sx=Sy時(shí)，變換前的圖形與變換后的圖形相似當(dāng)Sx=Sy=1時(shí)，圖形不變，稱為恒等變換當(dāng)Sx=Sy>1時(shí)，圖形將均勻放大，并遠(yuǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)當(dāng)0<Sx=Sy<1時(shí)，圖形將均勻縮小，并靠近坐標(biāo)原點(diǎn)當(dāng)Sx≠Sy時(shí)，圖形沿坐標(biāo)軸方向作非均勻縮放發(fā)生形變（如正方形變?yōu)殚L方形、圓形變?yōu)闄E圓）當(dāng)Sx<0時(shí)或Sy<0時(shí)，圖形不僅大小發(fā)生變化，而且將相對于y軸、x軸或原點(diǎn)作對稱變換13yxyxyxyx14整體比例變換整體比例變換，比例系數(shù)為1/S當(dāng)0<S≤1時(shí)，圖形等比例放大當(dāng)S>1時(shí)，圖形等比例縮小當(dāng)S<0時(shí)，為等比例變換再加上對原點(diǎn)的對稱變換整體比例矩陣：15旋轉(zhuǎn)變換x兩式合并可得：y指將圖形圍繞圓心逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)θ角度的變換（規(guī)定逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)方向?yàn)檎┬D(zhuǎn)變換16旋轉(zhuǎn)變換的齊次坐標(biāo)表示旋轉(zhuǎn)矩陣：簡寫為：17對稱變換指相對坐標(biāo)軸、原點(diǎn)、線的對稱變換（反射變換）相對于y軸對稱：oyxyox相對于x軸對稱：18相對于原點(diǎn)對稱（即中心對稱）yoxyox相對于直線y=x對稱19xyoy=-x相對于直線y=-x對稱簡寫為：20錯(cuò)切變換指用于產(chǎn)生彈性物體的變形處理（剪切、錯(cuò)位或錯(cuò)移變換）沿x軸方向關(guān)于y軸錯(cuò)切，即變換前后y坐標(biāo)不變，x坐標(biāo)呈線性變化 將圖形上關(guān)于y軸的平行線沿x方向推成θ角的傾斜線，而保持y坐標(biāo)不變。xy△x21沿y軸方向關(guān)于x軸錯(cuò)切，即變換前后x坐標(biāo)不變，y坐標(biāo)呈線性變化

將圖形上關(guān)于x軸的平行線沿y方向推成φ角的傾斜線，而保持x坐標(biāo)不變。y△yx簡寫為：22變換矩陣的功能分區(qū)變換矩陣可用3×3矩陣來描述左上角的2×2子塊可實(shí)現(xiàn)比例、旋轉(zhuǎn)、對稱、錯(cuò)切四種基本變換；左下角的1×2子塊可實(shí)現(xiàn)平移變換；右上角的2×1子塊可實(shí)現(xiàn)投影變換；右下角的1×1子塊可實(shí)現(xiàn)整體比例變換。23

比例變換、旋轉(zhuǎn)變換對稱變換、錯(cuò)切變換

平移變換

投影變換

整體比例變換24復(fù)合變換對于任何一個(gè)比較復(fù)雜的變換，都可以轉(zhuǎn)換成若干個(gè)連續(xù)進(jìn)行的基本變換。這些基本幾何變換的組合稱為復(fù)合變換，也稱為級聯(lián)變換。設(shè)圖形經(jīng)過n次基本幾何變換，其變換矩陣分別為T1,T2,…,Tn

則經(jīng)T1變換后：經(jīng)T2變換后：```

經(jīng)Tn變換后：就為復(fù)合變換矩陣25復(fù)合變換矩陣對于計(jì)算復(fù)合變換時(shí)，可將各基本變換矩陣按序相乘，形成總的復(fù)合變換矩陣T，再將變換前的坐標(biāo)與T相乘，得到變換后的最終坐標(biāo)一般情況下，矩陣乘法不滿足交換率，復(fù)合變換應(yīng)嚴(yán)格按照一定的交換順序26復(fù)合變換的類型連續(xù)平移變換連續(xù)比例變換連續(xù)旋轉(zhuǎn)變換相對任一參考點(diǎn)的二維幾何變換以平面內(nèi)任一直線為對稱軸進(jìn)行對稱變換27連續(xù)平移變換設(shè)點(diǎn)P(x,y)經(jīng)過第一次平移變換T1(Tx1,Ty1)和第二次平移變換T2(Tx2,Ty2)后的坐標(biāo)為P’’(x’’,y’’)設(shè)點(diǎn)P(x,y)經(jīng)過第一次平移變換T1后的坐標(biāo)為P’(x’,y’)設(shè)點(diǎn)P’(x’,y’)經(jīng)第二次平移變換T2后的坐標(biāo)為P’’(x’’,y’’)28得到連續(xù)平移變換的復(fù)合矩陣T為：

即連續(xù)的平移變換是平移量的相加29連續(xù)比例變換設(shè)點(diǎn)P(x,y)經(jīng)過第一次比例變換T1(Sx1,Sy1)和第二次比例變換T2(Sx2,Sy2)后的坐標(biāo)為P’’(x’’,y’’)設(shè)點(diǎn)P(x,y)經(jīng)過第一次比例變換T1后的坐標(biāo)為P’(x’,y’)設(shè)點(diǎn)P’(x’,y’)經(jīng)第二次比例變換T2后的坐標(biāo)為P’’(x’’,y’’)30得到連續(xù)比例變換的復(fù)合矩陣T為：

即連續(xù)的比例變換是比例系數(shù)的相乘31連續(xù)旋轉(zhuǎn)變換設(shè)點(diǎn)P(x,y)經(jīng)過第一次旋轉(zhuǎn)變換T1(旋轉(zhuǎn)角度為θ1)和第二次旋轉(zhuǎn)變換T2(旋轉(zhuǎn)角度為θ2)后的坐標(biāo)為P’’(x’’,y’’)設(shè)點(diǎn)P(x,y)經(jīng)過第一次旋轉(zhuǎn)變換T1后的坐標(biāo)為P’(x’,y’)設(shè)點(diǎn)P’(x’,y’)經(jīng)第二次旋轉(zhuǎn)變換T2后的坐標(biāo)為P’’(x’’,y’’)32得到連續(xù)旋轉(zhuǎn)變換的復(fù)合矩陣T為：

即連續(xù)的旋轉(zhuǎn)變換是旋轉(zhuǎn)角度的相加33相對任一參考點(diǎn)的二維幾何變換相對任一參考點(diǎn)的比例變換平移變換，即將該參考點(diǎn)移到坐標(biāo)原點(diǎn)處作相對于原點(diǎn)的比例變換平移變換，即將參考點(diǎn)從坐標(biāo)原點(diǎn)移回原來的位置相對任一參考點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換平移變換，即將該參考點(diǎn)移到坐標(biāo)原點(diǎn)處作相對于原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換平移變換，即將參考點(diǎn)從坐標(biāo)原點(diǎn)移回原來的位置34Oxy相對于任意點(diǎn)(x0,y0)的比例變換Oxy相對于任意點(diǎn)(x0,y0)的旋轉(zhuǎn)變換(x0,y0)(0,0)θ(x0,y0)(0,0)35令任意點(diǎn)比例變換示意圖平移平移比例則有36任意點(diǎn)旋轉(zhuǎn)變換示意圖平移平移旋轉(zhuǎn)則有令37例：求點(diǎn)P(x,y)相對任一點(diǎn)M(x0,y0)作比例變換的變換矩陣。其中比例系數(shù)為(Sx,Sy)解：平移得平移矩陣T1為：

進(jìn)行比例變換得比例變換矩陣T2為：

反平移使坐標(biāo)系回到原來位置得平移矩陣T3為：38

因此，復(fù)合變換矩陣應(yīng)為：39以任一直線為對稱軸進(jìn)行對稱變換相對于平面內(nèi)的任意條直線進(jìn)行對稱變換平移，使對稱軸直線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使對稱軸直線的方向與某個(gè)坐標(biāo)軸（如X軸）重合關(guān)于某個(gè)坐標(biāo)軸（如X軸）進(jìn)行對稱變換繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使對稱軸直線回到原來的方向平移，使對稱軸直線回到原來的位置40oxy41例：求點(diǎn)P(x,y)關(guān)于直線ax+by+c=0進(jìn)行對稱變換的變換矩陣解：根據(jù)直線方程，直線在X軸上的截距為-c/a(a≠0),直線在Y軸上的截距為-c/b(b≠0)。則直線與X軸的夾角為θ，θ=arctg(-a/b)。

首先沿X軸方向平移c/a個(gè)距離長度：平移矩陣： 再繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角，使直線與X軸重合：旋轉(zhuǎn)矩陣：(-c/a,0)o(