第8章系統(tǒng)的狀態(tài)空間

8.1狀態(tài)空間描述8.2連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間方程的建立8.3矩陣函數(shù)

8.4連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程求解8.5離散系統(tǒng)狀態(tài)空間方程的解8.6系統(tǒng)函數(shù)矩陣與系統(tǒng)穩(wěn)定性第八章系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析§8.1狀態(tài)空間描述一、輸入輸出描述1.系統(tǒng)模型：實際系統(tǒng)的基本特性的抽象化描述；2.輸入輸出模型：利用系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立的系統(tǒng)模型。

特點：用輸入輸出變量間的關(guān)系表征系統(tǒng)特性，不直接涉及系統(tǒng)內(nèi)部情況。3.描述方式：解析方式——代數(shù)、微分、差分方程圖示方式——電路圖、方框圖、信號流圖第一節(jié)4.描述方程（數(shù)學(xué)模型）

*LTI瞬時系統(tǒng)：線性常系數(shù)代數(shù)方程（變量為t或k）；

*LTI動態(tài)系統(tǒng)：線性常系數(shù)微分、差分方程。二、狀態(tài)描述1.單輸入單輸出一階LTI系統(tǒng)

無記憶部分：代數(shù)方程式中a、b、c、d為常量記憶元件：或微分方程：積分方程：x(0)已知

第一節(jié)系統(tǒng)描述方程

①②注意：*式①是x(t)的一階微分方程，若已知x(0)，可求x(t)。

*式②中，由x(t)和輸入f(t)?？汕蟮幂敵鰕(t)。

*按狀態(tài)變量定義可選擇記憶元件（積分器）輸出變量作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量。2.多輸入多輸出n階LTI系統(tǒng)

第一節(jié)狀態(tài)模型：將系統(tǒng)劃分為有記憶和無記憶兩部分，選取獨立記憶元件輸出變量作為狀態(tài)變量x(t)，并結(jié)合初始

狀態(tài)x(0)、輸入f(t)來確定其輸出y(t)的一種分析模型。三、狀態(tài)空間描述方程1.連續(xù)系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)形式

(狀態(tài)方程）（輸出方程）

狀態(tài)方程：x(t)的一階矢量微分方程，描述有記憶部分輸入輸出關(guān)系，著重體現(xiàn)系統(tǒng)的動態(tài)特性。

輸出方程：描述輸出與狀態(tài)變量和輸入之間的關(guān)系，方程由無記憶部分的輸入輸出關(guān)系導(dǎo)出，是一組代數(shù)方程。第一節(jié)2.離散系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)形式

(狀態(tài)方程）（輸出方程）四、狀態(tài)空間分析步驟

（1）選擇狀態(tài)變量：按狀態(tài)模型，可選記憶元件輸出變量為狀態(tài)變量；

（2）建立狀態(tài)空間方程；

（3）由狀態(tài)方程求得狀態(tài)向量解；

（4）由輸出方程求得系統(tǒng)輸出。第一節(jié)§8.2連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間方程的建立一、直接編寫法思路與步驟：①按狀態(tài)模型選各獨立uc,il為狀態(tài)變量；

狀態(tài)變量數(shù)目＝電系統(tǒng)階數(shù)＝獨立uc

,il數(shù)目②對與狀態(tài)變量相聯(lián)系的C、L列寫KCL、KVL方程③利用KCL、KVL、VCR消去“非法”變量，整理得狀態(tài)方程

④用觀察法寫出輸出方程。

第二節(jié)如左圖電路：①取uc、il

為狀態(tài)變量②對接C的節(jié)點b寫KCL方程對含L的回路l1寫KVL方程③消去非法變量i2④整理得狀態(tài)方程第二節(jié)⑤輸出方程第二節(jié)二、由信流圖、方框圖建立狀態(tài)空間方程步驟：

（1）按狀態(tài)模型，選積分器（或一階子系統(tǒng)）輸出為狀態(tài)變量；（2）在積分器（或一階子系統(tǒng)）輸入端寫出

狀態(tài)方程；（3）在信流圖（或方框圖）輸出端寫出輸出

方程。第二節(jié)例1：單輸入單輸出方程

因積分器輸出信號＝相應(yīng)輸出節(jié)點信號故直接選諸積分器輸出節(jié)點變量為狀態(tài)變量由積分器輸入端寫出狀態(tài)方程：

由系統(tǒng)輸出端寫出輸出方程第二節(jié)例2：二輸入二輸出系統(tǒng)

*視S域信流圖為t域信流圖*積分器輸出信號

＝輸出節(jié)點信號直接選為狀態(tài)變量

狀態(tài)方程：輸出方程：第二節(jié)例3：建立系統(tǒng)狀態(tài)空間方程

*視S域信流圖為t域信流圖*積分器輸出信號

≠輸出節(jié)點信號狀態(tài)方程：輸出方程：第二節(jié)例4：建立系統(tǒng)狀態(tài)空間方程*視S域方框圖為t域方框圖對應(yīng)為t域信流圖*選積分器或一階

子系統(tǒng)輸出為狀態(tài)變量，利用積分器，一階子系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系寫出狀態(tài)方程。子系統(tǒng)①：子系統(tǒng)②：子系統(tǒng)③：輸出方程：第二節(jié)三、由H(p)、H(s)建立狀態(tài)空間方程步驟：①由H(p)、H(s)畫出模擬信流圖；

②采用二中方法建立狀態(tài)空間方程。注意：①不同模擬信流圖（直接、串并形式）將導(dǎo)致

不同形式的方程；

②應(yīng)用直接形式Ⅱ時，積分器輸出信號≠輸出節(jié)點信號四、由微分（算子）方程建立狀態(tài)空間方程步驟：①確定H(p)或H(s)；

②采用三中方法建立狀態(tài)空間方程。

第二節(jié)五、離散系統(tǒng)狀態(tài)空間方程的建立步驟如下

差分方程算子方程信流圖方框圖h(k)、H(E)H(z)選移位器輸出為狀態(tài)變量在移位器輸入端寫狀態(tài)方程在系統(tǒng)輸出端寫出輸出方程第二節(jié)例5：由方框圖建立系統(tǒng)狀態(tài)空間方程

(狀態(tài)方程）（輸出方程）第二節(jié)例6：由差分方程建立系統(tǒng)狀態(tài)空間方程見教材P375

第二節(jié)§8.3矩陣函數(shù)一、矩陣的特征多項式、特征方程、特征根設(shè)n階方陣A，則有特征多項式：

式中I為單位陣，λ為標(biāo)量，det[·]表示取行列式。

特征方程：q(λ)=0特征根（值）：特征方程的根例：若設(shè)則有特征多項式特征方程：特征根：第三節(jié)二、凱萊－哈密頓定理內(nèi)容：任一方陣A恒滿足它的特征方陣，即驗證：三、矩陣函數(shù)

1.定義：設(shè)標(biāo)量函數(shù)f(x)可展開為收斂的冪級數(shù)第三節(jié)則稱為矩陣A的函數(shù)，簡稱矩陣函數(shù)。正弦標(biāo)量函數(shù)：正弦矩陣函數(shù)：指數(shù)矩陣函數(shù)：指數(shù)標(biāo)量函數(shù)：2.重要定理：

n階方陣A的矩陣函數(shù)f(A)可表示為一個次數(shù)不超過(n-1)的A的多項式，即式中βk

為標(biāo)量。與f(A)相應(yīng)的標(biāo)量表達(dá)式：

式中各系數(shù)按下面兩種情況確定：

case1.

A具有相異特征根

設(shè)n階方陣A的特征根為λ1、λ2、…λn

。在式(3)中，分別令x＝λ1、λ2、…λn。得

聯(lián)立求得β0、

β1、…、βn-1。case2.

A具有多重特征根設(shè)n階方陣A在x＝λ1

處具有m重特征根，其余(n-m)個一階特征根分別為

λm＋1、λm＋2、…λn。

在式(3)中，令x=λm+1，…λn得到(n-m)個獨立方程。其余m個方程為：

聯(lián)立求得β0、

β1、…、βn-1。3.f(A)計算步驟：

(1)求方陣A的特征根；(2)確定系數(shù)βk

(3)例1.已知求。解（1）A的特征根（2）計算系數(shù)

（3）例2.已知求。解（1）A的特征根（2）計算系數(shù)

（3）四、eAt的性質(zhì)（P為非奇異矩陣）

§8.4連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程求解狀態(tài)空間方程的標(biāo)準(zhǔn)形式一、時域解

1.狀態(tài)方程時域解

狀態(tài)方程左乘e-At并移項整理得第四節(jié)0-～t積分

第四節(jié)2.輸出方程時域解h(t):沖激響應(yīng)矩陣?yán)唬航滩腜395例二：教材P398第四節(jié)二、S域解

時域方程

設(shè)第四節(jié)1.狀態(tài)方程S域解整理得第四節(jié)2.輸出方程S域解H(s):系統(tǒng)函數(shù)矩陣第四節(jié)3.狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣φ(t)與預(yù)解矩陣Φ(s)

eAt的S域計算方法其中第四節(jié)4.沖激響應(yīng)矩陣H(t)與系統(tǒng)函數(shù)矩陣H(s)

第四節(jié)§8.5離散系統(tǒng)狀態(tài)空間方程的解一、時域解

1.狀態(tài)方程時域解用迭代法求解差分方程第五節(jié)式中

離散系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

2.輸出方程時域解式中

單位響應(yīng)矩陣

第五節(jié)二、Z域解設(shè)

1.狀態(tài)方程S域解整理得第五節(jié)式中

預(yù)解矩陣

狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

?提供一種Ak的z域求解方法第五節(jié)2.輸出方程Z域解式中

系統(tǒng)函數(shù)矩陣

單位響應(yīng)矩陣

?第五節(jié)§8.6系統(tǒng)函數(shù)矩陣與系統(tǒng)穩(wěn)定性一、連續(xù)系統(tǒng)

在輸入輸出描述中，對因果連續(xù)系統(tǒng)，當(dāng)H(s)全部極點位于S平面左半平面時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

在狀態(tài)空間描述中，系統(tǒng)函數(shù)矩陣可見，H(s)極點取決于系數(shù)矩陣A的特征值。

結(jié)論：當(dāng)連續(xù)因果系統(tǒng)系數(shù)