第三章靜電場的邊值問題

第三章靜電場的邊值問題

主要內(nèi)容電位微分方程及其解的唯一性，鏡像法，分離變量法。分布型問題靜電場問題邊值型問題第一類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件1.電位微分方程已知，電位

與電場強度E

的關(guān)系為

對上式兩邊取散度，得對于線性各向同性的均勻介質(zhì)，電場強度E的散度為

該方程稱為泊松方程。

對于無源區(qū)，上式變?yōu)樯鲜椒Q為拉普拉斯方程。

泊松方程的求解。已知分布在V

中的電荷在無限大的自由空間產(chǎn)生的電位為因此，上式就是電位微分方程在自由空間的特解。

應(yīng)用格林函數(shù)，即可求出泊松方程的通解為式中格林函數(shù)為通常給定的邊界條件有三種類型：第二類邊界條件是給定邊界上物理量的法向?qū)?shù)值，這種邊值問題又稱為諾依曼問題。第三類邊界條件是給定一部分邊界上的物理量及另一部分邊界上物理量的法向?qū)?shù)值，這種邊界條件又稱為混合邊界條件。第一類邊界條件給定的是邊界上的物理量，這種邊值問題又稱為狄里赫利問題。因此，對于導(dǎo)體邊界的靜電場問題，當(dāng)邊界上的電位，或電位的法向?qū)?shù)給定時，或?qū)w表面電荷給定時，空間的靜電場即被惟一地確定。這個結(jié)論稱為靜電場惟一性定理。2.鏡像法

實質(zhì):是以一個或幾個等效電荷代替邊界的影響，將原來具有邊界的非均勻空間變成無限大的均勻自由空間，從而使計算過程大為簡化。依據(jù)：惟一性定理。因此，等效電荷的引入必須維持原來的邊界條件不變，從而保證原來區(qū)域中靜電場沒有改變，這是確定等效電荷的大小及其位置的依據(jù)。這些等效電荷通常處于鏡像位置，因此稱為鏡像電荷，而這種方法稱為鏡像法。關(guān)鍵：確定鏡像電荷的大小及其位置。局限性：僅僅對于某些特殊的邊界以及特殊分布的電荷才有可能確定其鏡像電荷。

（1）點電荷與無限大的導(dǎo)體平面。

介質(zhì)導(dǎo)體qrP介質(zhì)qrPhh介質(zhì)以一個處于鏡像位置的點電荷代替邊界的影響，使整個空間變成均勻的介電常數(shù)為的空間，則空間任一點P的電位由q

及q'共同產(chǎn)生，即考慮到無限大導(dǎo)體平面的電位為零，求得電場線與等位面的分布特性與第二章所述的電偶極子的上半部分完全相同。由此可見，電場線處處垂直于導(dǎo)體平面，而零電位面與導(dǎo)體表面吻合。電場線等位線z電荷守恒：當(dāng)點電荷q

位于無限大的導(dǎo)體平面附近時，導(dǎo)體表面將產(chǎn)生異性的感應(yīng)電荷，因此，上半空間的電場取決于原先的點電荷及導(dǎo)體表面上的感應(yīng)電荷。可見，上述鏡像法的實質(zhì)是以一個異性的鏡像點電荷代替導(dǎo)體表面上異性的感應(yīng)電荷的作用。根據(jù)電荷守恒原理，鏡像點電荷的電量應(yīng)該等于這些感應(yīng)電荷的總電量，讀者可以根據(jù)導(dǎo)體表面電荷密度與電場強度或電位的關(guān)系證明這個結(jié)論。半空間等效：上述等效性僅對于導(dǎo)體平面的上半空間成立，因為在上半空間中，源及邊界條件未變。q對于半無限大導(dǎo)體平面形成的劈形邊界也可應(yīng)用鏡像法。但是僅當(dāng)這種導(dǎo)體劈的夾角等于

的整數(shù)分之一時，才可求出其鏡像電荷。為了保證這種劈形邊界的電位為零，必須引入幾個鏡像電荷。例如，夾角為的導(dǎo)電劈需引入5

個鏡像電荷。

/3/3q連續(xù)分布的線電荷位于無限大的導(dǎo)體平面附近時，根據(jù)疊加原理得知，同樣可以應(yīng)用鏡像法求解。fqo（2）點電荷與導(dǎo)體球。

Padrq若導(dǎo)體球接地，導(dǎo)體球的電位為零。為了等效導(dǎo)體球邊界的影響，令鏡像點電荷q'位于球心與點電荷q的連線上。那么，球面上任一點電位為可見，為了保證球面上任一點電位為零，必須選擇鏡像電荷為為了使鏡像電荷具有一個確定的值，必須要求比值對于球面上任一點均具有同一數(shù)值。由上圖可見，若要求三角形△OPq與△

OqP相似，則常數(shù)。由此獲知鏡像電荷應(yīng)為鏡像電荷離球心的距離d應(yīng)為這樣，根據(jù)q及q'

即可計算球外空間任一點的電場強度。fqOPadrq若導(dǎo)體球不接地，則位于點電荷一側(cè)的導(dǎo)體球表面上的感應(yīng)電荷為負(fù)值，而另一側(cè)表面上的感應(yīng)電荷為正值。導(dǎo)體球表面上總的感應(yīng)電荷應(yīng)為零值。因此，對于不接地的導(dǎo)體球，若引入上述的鏡像電荷q'

后，為了滿足電荷守恒原理，必須再引入一個鏡像電荷q"，且必須令顯然，為了保證球面邊界是一個等位面，鏡像電荷q“必須位于球心。事實上，由于導(dǎo)體球不接地，因此，其電位不等零。由q及q‘在球面邊界上形成的電位為零，因此必須引入第二個鏡像電荷q“以提供一定的電位。l（3）線電荷與帶電的導(dǎo)體圓柱。Pafdr-lO在圓柱軸線與線電荷之間，離軸線的距離d

處，平行放置一根鏡像電荷。已知無限長線電荷產(chǎn)生的電場強度為因此，離線電荷r處，以為參考點的電位為若令鏡像線電荷產(chǎn)生的電位也取相同的作為參考點，則及在圓柱面上P點共同產(chǎn)生的電位為已知導(dǎo)體圓柱是一個等位體，因此，為了滿足這個邊界條件，必須要求比值為常數(shù)。與前同理，可令，由此得

（4）點電荷與無限大的介質(zhì)平面。E

1

1qr0E'EtEnq'

2

2q"E"

1

2qeten=+為了求解上半空間的場可用鏡像電荷q'等效邊界上束縛電荷的作用，將整個空間變?yōu)榻殡姵?shù)為1的均勻空間。對于下半空間，可用位于原點電荷處的q"等效原來的點電荷q

與邊界上束縛電荷的共同作用，將整個空間變?yōu)榻殡姵?shù)為2的均勻空間。但是，必須迫使所求得的場符合原先的邊界條件，即電場切向分量保持連續(xù)，電位移的法向分量應(yīng)該相等，即

已知各個點電荷產(chǎn)生的電場強度分別為代入上述邊界條件，求得鏡像電荷如下：

例已知同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，電位為V，外導(dǎo)體接地，其內(nèi)半徑為b。試求內(nèi)外導(dǎo)體之間的電位分布函數(shù)以及電場強度。

解對于這種邊值問題，鏡像法不適用，只好求解電位方程。為此，選用圓柱坐標(biāo)系。由于場量僅與坐標(biāo)r

有關(guān)，因此，電位所滿足的拉普拉斯方程在圓柱坐標(biāo)系中的展開式只剩下包含變量r的一項，即電位微分方程為求得VbaO利用邊界條件：求得最后求得由上例可見，為了利用給定的邊界條件以便確定求解過程中出現(xiàn)的積分常數(shù)，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是非常重要的。對于平面邊界，圓柱邊界及圓球邊界必須分別選用直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系及球坐標(biāo)系。此外，由于同軸線中的電位函數(shù)僅與一個坐標(biāo)變量r有關(guān)，因此原先的三維拉普拉斯方程簡化為一維微分方程，因而可采用直接積分方法求解這類邊值問題。但一般說來，靜電場的邊值問題與空間三個坐標(biāo)變量有關(guān)。為了求解三維拉普拉斯方程，一種有效的方法就是分離變量法。分離變量法是將原先的三維偏微分方程通過變量分離簡化為三個獨立的常微分方程，從而使求解過程比較簡便。分離變量法對于11種坐標(biāo)系都是行之有效的。3.直角坐標(biāo)系中的分離變量法

無源區(qū)中電位滿足的拉普拉斯方程在直角坐標(biāo)系中的展開式為令代入上式，兩邊再除以X(x)Y(y)Z(z)，得

顯然，式中各項僅與一個變量有關(guān)。因此，將上式對變量x求導(dǎo)，第二項及第三項均為零，求得第一項對x

的導(dǎo)數(shù)為零，說明了第一項等于常數(shù)。同理，再分別對變量y

及z求導(dǎo)，得知第二項及第三項也分別等于常數(shù)。令各項的常數(shù)分別為，分別求得式中kx，ky，kz

稱為分離常數(shù)，它們可以是實數(shù)或虛數(shù)。顯然，三個分離常數(shù)并不是獨立的，它們必須滿足下列方程由上可見，經(jīng)過變量分離后，三維偏微分方程式被簡化為三個一維常微分方程。常微分方程的求解較為簡便，而且三個常微分方程又具有同一結(jié)構(gòu)，因此它們解的形式也一定相同。例如，含變量x的常微分方程的通解為或者式中A,B,C,D為待定常數(shù)。分離常數(shù)也可為虛數(shù)。當(dāng)kx為虛數(shù)時，令，則上述通解變?yōu)榛蛘吆兞縳或y的常微分方程的解具有完全相同的形式。這些解的線性組合仍然是方程的解。解的形式的選擇是非常重要的，它完全決定于給定的邊界條件。解中各個待定常數(shù)也取決于給定的邊界條件。

例兩個相互平行的半無限大接地導(dǎo)體平面，間距為d

，其有限端被電位為0

的導(dǎo)電平面封閉，且與無限大接地導(dǎo)體平面絕緣，如圖所示。試求三個導(dǎo)體平面形成的槽中電位分布。Odxy=0=0=0解選取直角坐標(biāo)系。由于導(dǎo)電平面沿z

軸無限延伸，槽中電位分布函數(shù)一定與z無關(guān)，因此，這是一個二維場的問題。電位所滿足的拉普拉斯方程變?yōu)閼?yīng)用分離變量法，令根據(jù)題意，槽中電位應(yīng)滿足的邊界條件為為了滿足及邊界條件，應(yīng)選Y(y)的解為因為y=0時，電位=0，因此上式中常數(shù)B=0。為了滿足邊界條件，分離常數(shù)ky應(yīng)為

求得已知，求得可見，分離常數(shù)kx為虛數(shù)，故X(x)的解應(yīng)為因為x=0時，電位，因此，式中常數(shù)C=0，即那么，式中常數(shù)C=AD。由邊界條件獲知，當(dāng)x=0時，電位