向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)(二)

重要結(jié)論：行變換不改變列向量間的線性關(guān)系.可否由線性表示——豎排行變換，放末列.

例：判斷向量是否各為向量組的線性組合,若是，則寫出表示式。解施以初等行變換：1易見且容易看到其表示式為2例7判斷向量β能否由向量組α1,α2,α3,α4線性表出,若能,求出一組組合系數(shù)將其表示出來.其中解設(shè)k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=β則容易看到課本給出一個(gè)33.定義3.2.5:對(duì)于向量組α1,α2,…,αm,若存在m個(gè)不全為零的數(shù)k1,k2,…,km,使得k1α1+k2α2+…+kmαm=ο則稱向量組α1,α2,…,αm線性相關(guān)(lineardependence);否則稱向量組線性無關(guān)(linearindependence)。即：線性無關(guān)44.根據(jù)定義3.2.5很容易得到下面常用的結(jié)論:(1)一個(gè)向量α線性相關(guān)的充分必要條件是α=ο;線性無關(guān)的充分必要條件是α≠ο.(2)任意一個(gè)包含零向量的向量組必線性相關(guān).(3)兩個(gè)非零向量線性相關(guān)(線性無關(guān))的充分必要條件是它們的對(duì)應(yīng)分量成比例(不成比例).(4)若向量組中有一部分組線性相關(guān),則向量組必線性相關(guān).(5)若向量組線性無關(guān),則任何部分組必線性無關(guān).(6)若α1,α2,…,αm線性無關(guān),而α1,α2,…,αm,β線性相關(guān)，則β可由α1,α2,…,αm線性表出.5例8設(shè)向量組α1,α2,…,αm-1(m>2)線性相關(guān),向量組α2,α3,…,αm線性無關(guān),問α1能否由向量組α2,α3,…,αm-1線性表示？解方法一：因?yàn)棣?,α3,…,αm線性無關(guān),由上述結(jié)論(5)知α2,α3,…,αm-1線性無關(guān).又已知α1,α2,…,αm-1線性相關(guān),再由上述結(jié)論(6)知,α1能由向量組α2,α3,…,αm-1.6例8設(shè)向量組α1,α2,…,αm-1(m>2)線性相關(guān),向量組α2,α3,…,αm線性無關(guān),問α1能否由向量組α2,α3,…,αm-1線性表示？解方法二：由α1,α2,…,αm-1線性相關(guān)知,存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,…,km-1,使得k1α1+k2α2+…+km-1αm-1=ο.其中必有k1≠0,因?yàn)槿鬹1=0,則k2,…,km-1不全為零,使k2α2+k3α3+…+km-1αm-1=ο.成立,從而α2,α3,…,αm-1線性相關(guān),這與已知條件矛盾,故k1≠0,因此有73.2.3向量組的線性相關(guān)性的判定1.向量組線性相關(guān)的條件:設(shè)向量組它線性相關(guān)還是線性無關(guān),取決于齊次線性方程組是有非零解還是只有唯一零解.若線性方程組有非零解,則知向量組線性相關(guān),若線性方程組只有唯一零解,則向量組線性無關(guān).82.定理3.2.2:向量組線性相關(guān)(無關(guān))的充分必要條件是矩陣的秩小于(等于)向量組α1,α2,…,αm中向量的個(gè)數(shù).3.推論：n個(gè)n維向量線性相關(guān)(線性無關(guān))的充分必要條件是它們排成的n階行列式的值等于零(不為零).4.定理3.2.3:若n維向量組中向量的個(gè)數(shù)大于n,則該向量組必線性相關(guān).9例

基本單位向量組線性無關(guān)

例.判斷

是否線性相關(guān).解:設(shè)則∵r=2<3＝向量個(gè)數(shù)，

線性相關(guān)

重要結(jié)論：行變換不改變列向量間的線性關(guān)系.可否由線性表示——豎排行變換，放末列.

是否線性相關(guān)——豎排行變換.

10例9判斷下列向量組的線性相關(guān)性解:

(1)(2)(3),其中a,b,c,d各不相同.(4)(1)因?yàn)閞(A)=3,所以α1,α2,α3線性無關(guān).

11例9判斷下列向量組的線性相關(guān)性解:

(1)(2)(3),其中a,b,c,d各不相同.(4)(2)因?yàn)閞(A)=3<4,所以α1,α2,α3,α4線性相關(guān).

12例9判斷下列向量組的線性相關(guān)性解:

(1)(2)(3),其中a,b,c,d各不相同.(4)(3)將四個(gè)向量排成一個(gè)四階行列式，恰是范德蒙行列式,當(dāng)a,b,c,d各不相同時(shí)有由推論知向量組α1,α2,α3,α4線性無關(guān).

解:

(4)由定理3.2.3知,5個(gè)四維向量必定線性相關(guān).13例.證明：若線性無關(guān),則也線性無關(guān)

證:設(shè)

(*)則(目標(biāo):ki=0)線性無關(guān)∴方程組只有零解ki=0即只有k1=k2=k3=0時(shí)(*)式才成立

.線性無關(guān)線性無關(guān)?

思考：線性無關(guān)×

(奇數(shù)個(gè)向量時(shí)結(jié)論成立)14例11設(shè)四維向量組線性無關(guān),試證:在每個(gè)向量中添加一個(gè)分量也線性無關(guān).證

因?yàn)榫€性無關(guān),所以相對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組只有零解.考慮相對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組,得到加長(zhǎng)向量組(3-14)(3-15)方程組(3-14)的每一個(gè)解都是方程組(3-15)的解.而方程組(3-14)只有零解,所以方程組(3-15)也只有零,故線性無關(guān).155.定理3.2.4:若n維向量組α1,α2,…,αm線性無關(guān),則在每個(gè)向量中添加m個(gè)分量,得到的n+m維“加長(zhǎng)”向量組β1,β2,…,βm也線性無關(guān)。6.定理3.2.5:向量組α1,α2,…,αm

(m≥2)線性相關(guān)的充分必要條件是其中至少有一個(gè)向量向量可被其余向量線性表出.7.定理3.2.6:向量組α1,α2,…,αm

(m≥2)線性無關(guān)的充分必要條件是其中任何一個(gè)向量都不能被其余向量線性表出.16結(jié)論1

若向量組中有一部分向量(稱為部分組)線性相關(guān)，則整個(gè)向量組線性相關(guān).(記：部分相關(guān)整體相關(guān)；注：向量組中向量?jī)蓛删€性無關(guān)，整個(gè)向量組未必線性無關(guān).例(1,0),(0,1),(1,1).結(jié)論2若向量組線性無關(guān)，則每個(gè)向量在相同位置添加一些分量后所得高維向量組線性無關(guān)；若向量組線性相關(guān)，則每個(gè)向量在相同位置去掉一些分量后所得低維向量組線性相關(guān).

（記：短無關(guān)長(zhǎng)無關(guān)；長(zhǎng)相關(guān)短相關(guān)）逆否命題：整體無關(guān)部分無關(guān))17例

設(shè)線性無關(guān)，線性相關(guān)證①線性相關(guān)

∴存在不全為0的數(shù)k,ki,使∴k≠0

(反證可得)線性無關(guān)可由唯一線性表示.②設(shè)線性無關(guān)則∴

ki=li(i=1,2,…,s)即：

β由α1,α2,…,αs線性表示法唯一.18設(shè)向量組線性相關(guān)，線性無關(guān),問:(1)能否由線性表出?證明你的結(jié)論；(2)能否由線性表出?證明你的結(jié)論.解:(1)∵線性無關(guān),∴而線性相關(guān)∴能由唯一線性表出(2)設(shè)由(1)代入上式整理得即可由表出,從而線性相關(guān),∴不能由線性表出線性無關(guān)矛盾!19(1)a≠－4時(shí)，D≠0，方程組有唯一解解:設(shè),則該方程組的系數(shù)行列式＝－(a＋4)即:a≠－4時(shí),可由線性表示,且表示唯一.不能由線性表示；(3)可由(00考研)設(shè)向量組件時(shí)，(1)可由線性表示，且表示唯一；試問a、b、c滿足什么條線性表示，但表示不唯一？并求出一般表達(dá)式.20(2)a＝－4時(shí)，對(duì)增廣矩陣作初等行變換，有x3=2b＋1x2