
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
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廣東省佛山市南邊中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.極坐標(biāo)方程r=2sinq和參數(shù)方程(t為參數(shù))所表示的圖形分別為(
)A.圓,圓
B.圓,直線
C.直線,直線
D.直線,圓參考答案:B略2.如圖,A,B,C,O1,O2∈平面α,AB=BC=,∠ABC=90°,D為動(dòng)點(diǎn),DC=2,且DC丄BC,當(dāng)點(diǎn)D從O1,順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)到O2的過(guò)程中(D與O1、O2不重合),異面直線AD與BC所成角()A.一直變小 B.一直變大C.先變小,后變大 D.先變小,再變大,后變小參考答案:A【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角.【專題】計(jì)算題;轉(zhuǎn)化思想;向量法;立體幾何.【分析】以C為原點(diǎn),CB為x軸,CO2為y軸,過(guò)C作平面ABC的垂線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出結(jié)果.【解答】解:以C為原點(diǎn),CB為x軸,CO2為y軸,過(guò)C作平面ABC的垂線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,B(,0,0),C(0,0,0),A(,﹣,0),設(shè)O1O2=2t,∠O2CD=θ,0°≤θ≤180°,則CD=t,D(0,tcosθ,tsinθ),=(,0,0),=(﹣,tcosθ+,tsinθ),設(shè)異面直線AD與BC所成角為α,則cosα===,∵當(dāng)點(diǎn)D從O1,順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)到O2的過(guò)程中(D與O1、O2不重合),cosθ從﹣1增加到1,cosα在(0,1)內(nèi)遞減,∴異面直線AD與BC所成角一直變?。蔬x:A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線所成角的變化范圍的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.3.盒中有10只螺絲釘,其中有3只是壞的,現(xiàn)從盒中隨機(jī)地抽取4個(gè),那么概率是的事件為()A.恰有1只是壞的
B.4只全是好的
C.恰有2只是好的
D.至多有2只是壞的參考答案:CX=k表示取出的螺絲釘恰有k只為好的,則P(X=k)=(k=1、2、3、4).∴P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=,∴選C.4.雙曲線虛軸上的一個(gè)端點(diǎn)為,兩個(gè)焦點(diǎn)為、,,則雙曲線的離心率(
)A. B.
C. D.參考答案:B
5.平面α外有兩條直線m和n,如果m和n在平面α內(nèi)的射影分別是m1和n1,給出下列四個(gè)命題:①m1⊥n1?m⊥n;②m⊥n?m1⊥n1③m1與n1相交?m與n相交或重合④m1與n1平行?m與n平行或重合其中不正確的命題個(gè)數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.4參考答案:D【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用;空間中直線與直線之間的位置關(guān)系.【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)判斷命題的真假,根據(jù)空間中特定的線線關(guān)系,分析它們?cè)谄矫嬷猩溆暗奈恢藐P(guān)系,或是由射影的位置關(guān)系,分析原直線的位置關(guān)系,根據(jù)直線的放置特點(diǎn),逐一進(jìn)行判斷,可以得到正確結(jié)論.【解答】解:因?yàn)橐粋€(gè)銳角在一個(gè)平面上的投影可以為直角,反之在平面內(nèi)的射影垂直的兩條直線所成的角可以是銳角,故①不正確.兩條垂直的直線在一個(gè)平面內(nèi)的射影可以是兩條平行直線,也可以是一條直線和一個(gè)點(diǎn)等其他情況,故②不正確.兩條異面直線在同一平面上的射影可以相交,所以射影相交的兩條直線可以是異面直線,故③不正確.兩條異面直線在同一平面內(nèi)的射影也可以平行,所以兩直線的射影平行不一定有兩直線平行或重合.故④不正確.故選D.6.已知數(shù)列{an}滿足log3an+1=log3an+1(n∈N*)且,則的值是()A.-5
B.-
C.5
D.參考答案:A7.(文科)是方程為的曲線表示橢圓時(shí)的
A.充分條件
B.必要條件
C.充分必要條件
D.非充分非必要條件參考答案:B8.設(shè)曲線y=x2+1在點(diǎn)(x,f(x))處的切線的斜率為g(x),則函數(shù)y=g(x)cosx的部分圖象可以為()A. B. C. D.參考答案:A【考點(diǎn)】3O:函數(shù)的圖象.【分析】先研究函數(shù)y=g(x)cosx的奇偶性,再根據(jù)在某點(diǎn)處的函數(shù)值的符號(hào)進(jìn)一步進(jìn)行判定.【解答】解:g(x)=2x,g(x)?cosx=2x?cosx,g(﹣x)=﹣g(x),cos(﹣x)=cosx,∴y=g(x)cosx為奇函數(shù),排除B、D.令x=0.1>0.故選:A.9.已知向量,則下列選項(xiàng)中與共線的一個(gè)向量為
A.
B.
C.
D.參考答案:D10.曲線:(為參數(shù))上的點(diǎn)到曲線:(t為參數(shù))上的點(diǎn)的最短距離為(
)A.1 B.2 C.3 D.4參考答案:A【分析】分別將圓和直線轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程,然后利用圓上的點(diǎn)到直線的距離與圓心到直線距離的關(guān)系從而求出最短距離?!驹斀狻繉⑥D(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為,所以曲線是以為圓心,1為半徑的圓。將轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為,由點(diǎn)到直線的距離公式得圓心到直線的距離為,所以圓上的點(diǎn)到直線的最小距離為,故選A。【點(diǎn)睛】本題考查圓上的點(diǎn)到直線的距離,若圓心距為,圓的半徑為且圓與直線相離,則圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值為,最小值為。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知點(diǎn)A(-3,1,4),則點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為
;AB的長(zhǎng)為
.參考答案:(3,-1,-4);;12.如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面都是正方形,且AA1⊥底面ABC,M是側(cè)棱BB1的中點(diǎn),則異面直線AC1和CM所成的角為
。參考答案:13.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,且,則=_______.參考答案:-32
設(shè),則,所以,,
令,求得,故,
因此,,
則有,得.14.若拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是▲.
參考答案:
15.正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,E為A1B1的中點(diǎn),則下列五個(gè)命題:①點(diǎn)E到平面ABC1D1的距離為;②直線BC與平面ABC1D1所成的角為450;③空間四邊形ABCD1在正方體六個(gè)面內(nèi)形成的六個(gè)射影平面圖形,其中面積最小值是;④AE與DC1所成的角的余弦值為;⑤二面角A-BD1-C的大小為?.其中真命題是
.(寫出所有真命題的序號(hào))參考答案:②③④16.已知函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是
個(gè).參考答案:217.在△ABC中,D為BC邊上一點(diǎn),,,.若,則BD=
▲
.參考答案:略三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟18.已知{an}是公比為q的等比數(shù)列,且a1,a3,a2成等差數(shù)列.(Ⅰ)求q的值;(Ⅱ)設(shè){bn}是以2為首項(xiàng),q為公差的等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,當(dāng)n≥2時(shí),比較Sn與bn的大小,并說(shuō)明理由.參考答案:【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.【分析】(1)由題意可知2a3=a1+a2,根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式代入a1和q,進(jìn)而可求得q.(II)討論當(dāng)q=1和q=﹣,時(shí)分別求得Sn和bn,進(jìn)而根據(jù)Sn﹣bn與0的關(guān)系判斷Sn與bn的大小,【解答】解:(1)由題意可知,2a3=a1+a2,即a(2q2﹣q﹣1)=0,∴q=1或q=﹣;(II)q=1時(shí),Sn=2n+=,∵n≥2,∴Sn﹣bn=Sn﹣1=>0當(dāng)n≥2時(shí),Sn>bn.若q=﹣,則Sn=,同理Sn﹣bn=.∴2≤n≤9時(shí),Sn>bn,n=10時(shí),Sn=bn,n≥11時(shí),Sn<bn.19.函數(shù)f(x)=loga(x2-4ax+3a2),0<a<1,當(dāng)x∈[a+2,a+3]時(shí),恒有|f(x)|≤1,試確定a的取值范圍.
參考答案:解:f(x)=loga(x2-4ax+3a2)=loga(x-3a)(x-a)∵|f(x)|≤1恒成立,∴
-1≤loga(x-3a)(x-a)≤1
………………2分∵
0<a<1.
∴a≤(x-3a)(x-a)≤對(duì)x∈[a+2,a+3]恒成立.
………………5分
令h(x)=(x-3a)(x-a),
其對(duì)稱軸x=2a.
又2a<2,
2<a+2,∴當(dāng)x∈[a+2,a+3]時(shí),h(x)min=h(a+2),h(x)max=h(a+3).
……………8分∴.
………………12分
20.如圖,要設(shè)計(jì)一張矩形廣告,該廣告含有大小相等的左右兩個(gè)矩形欄目(即圖中陰影部分),這兩欄的面積之和為18000cm2,四周空白的寬度為10cm,兩欄之間的中縫空白的寬度為5cm,怎樣確定廣告的高與寬的尺寸(單位:cm),能使矩形廣告面積最???參考答案:解法1:設(shè)矩形欄目的高為acm,寬為bcm,則ab=9000.
①?gòu)V告的高為a+20,寬為2b+25,其中a>0,b>0.廣告的面積S=(a+20)(2b+25)=2ab+40b+25a+500=18500+25a+40b≥18500+2=18500+當(dāng)且僅當(dāng)25a=40b時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)b=,代入①式得a=120,從而b=75.即當(dāng)a=120,b=75時(shí),S取得最小值24500.故廣告的高為140cm,寬為175cm時(shí),可使廣告的面積最小.解法2:設(shè)廣告的高為寬分別為xcm,ycm,則每欄的高和寬分別為x-20,其中x>20,y>25兩欄面積之和為2(x-20),由此得y=廣告的面積S=xy=x()=x,整理得S=因?yàn)閤-20>0,所以S≥2當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)有(x-20)2=14400(x>20),解得x=140,代入y=+25,得y=175,即當(dāng)x=140,y=175時(shí),S取得最小值24500,故當(dāng)廣告的高為140cm,寬為175cm時(shí),可使廣告的面積最小.21.已知函數(shù)().(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)f(x)的極值;(2)若函數(shù)f(x)有三個(gè)不同的零點(diǎn),求c的取值范圍.參考答案:(Ⅰ)當(dāng)時(shí),∴
令,解得,或
∴當(dāng)變化時(shí),的變化情況如下表:
0
-
0
+
單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增
所以,當(dāng)時(shí),有極大值;當(dāng)時(shí),有極小值.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)只須
解得,
∴當(dāng)時(shí),函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)
22.已知函數(shù)f(x)=ex﹣ax﹣a(其中a∈R,e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),e=2.71828…).(Ⅰ)當(dāng)a=e時(shí),求函數(shù)f(x)的極值;(Ⅱ)若f(x)≥0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案:【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值;利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值.【專題】計(jì)算題;函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用;導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.【分析】(Ⅰ)當(dāng)a=e時(shí),f(x)=ex﹣ex﹣e,f'(x)=ex﹣e,由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性及極值;(Ⅱ)由f(x)=ex﹣ax﹣a,f'(x)=ex﹣a,從而化恒成立問(wèn)題為最值問(wèn)題,討論求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解答】解:(Ⅰ)當(dāng)a=e時(shí),f(x)=ex﹣ex﹣e,f'(x)=ex﹣e,當(dāng)x<1時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x>1時(shí),f'(x)>0.所以函數(shù)f(x)在(﹣∞,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,所以函數(shù)f(x)在x=1處取得極小值f(1)=﹣e,函數(shù)f(x)無(wú)極大值.(Ⅱ)由f(x)=ex﹣ax﹣a,f'(x)=ex﹣a,若a<0,則f'(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x趨近于負(fù)無(wú)窮大時(shí),f(x)趨近于負(fù)無(wú)窮大;當(dāng)x趨近于正無(wú)窮大時(shí),f(x)趨
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