高中數(shù)學(xué)人教A版本冊總復(fù)習(xí)總復(fù)習(xí) 全國獲獎4

高中同步測試卷(十五)模塊綜合檢測(時間：120分鐘，滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．若a<b<c，則下列結(jié)論中正確的是()A．a(chǎn)|c|<b|c|B．a(chǎn)b<acC．a(chǎn)－c<b－c\f(1,a)>eq\f(1,b)>eq\f(1,c)2．等比數(shù)列x，3x＋3，6x＋6，…的第四項等于()A．－24B．0C．12D．243．當x>1時，不等式x＋eq\f(1,x－1)≥a恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，2]B．[2，＋∞)C．[3，＋∞)D．(－∞，3]4．等差數(shù)列{an}滿足aeq\o\al(2,4)＋aeq\o\al(2,7)＋2a4a7＝9，則其前10項之和為()A．－9B．－15C．15D．±155．已知△ABC中，三內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，邊a、b、c依次成等比數(shù)列，則△ABC是()A．直角三角形B．等邊三角形C．銳角三角形D．鈍角三角形6．設(shè)變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋2≤0，,x＋y－7≤0，,x≥1))則eq\f(y,x)的最大值為()A．6B．3\f(9,5)D．17．已知數(shù)列{an}滿足(n＋2)an＋1＝(n＋1)an，且a2＝eq\f(1,3)，則an等于()\f(1,n＋1)\f(1,2n－1)\f(n－1,2n－1)\f(n－1,n＋1)8．已知f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(－2x＋1,x2)，x>0,\f(1,x)，x<0))，則f(x)>－1的解集為()A．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0，1)∪(1，＋∞)C．(－1，0)∪(1，＋∞) D．(－1，0)∪(0，1)9．函數(shù)y＝eq\f(x2＋2,x－1)(x＞1)的最小值是()A．2eq\r(3)＋2B．2eq\r(3)－2C．2eq\r(3)D．210．已知數(shù)列{an}共有m項，定義{an}的所有項和為S(1)，第二項及以后所有項和為S(2)，第三項及以后所有項和為S(3)，…，第n項及以后所有項和為S(n)．若S(n)是首項為2，公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列的前n項和，則當n＜m時，an等于()A．－eq\f(1,2n－2)\f(1,2n－2)C．－eq\f(1,2n－1)\f(1,2n－1)11．在使f(x)≥M成立的所有常數(shù)M中，把M的最大值叫做f(x)的“下確界”，例如f(x)＝x2＋2x≥M，則Mmax＝－1，故－1是f(x)＝x2＋2x的下確界，那么eq\f(a2＋b2,（a＋b）2)(其中a，b∈R，且a，b不全為0)的下確界是()A．2\f(1,2)C．4\f(1,4)12．在△ABC中，若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|＝8，則△ABC的面積的最大值為()A．8B．16C．10eq\r(3)D．8eq\r(6)題號123456789101112答案二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．在△ABC中，∠C＝90°，M是BC的中點．若sin∠BAM＝eq\f(1,3)，則sin∠BAC＝________.14．(2023·高考廣東卷)在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，則a2＋a8＝________．15．在平面直角坐標系xOy中，M為不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y－6≤0，,x＋y－2≥0，,y≥0，))所表示的區(qū)域上一動點，則|OM|的最小值是________．16．(2023·高考全國卷Ⅰ)若x，y滿足約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,x－y≤0，,x＋y－4≤0，))則eq\f(y,x)的最大值為________．三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)(2023·高考湖南卷)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a＝btanA，且B為鈍角．(1)證明：B－A＝eq\f(π,2)；(2)求sinA＋sinC的取值范圍．18．(本小題滿分12分)公差不為零的等差數(shù)列{an}中，a3＝7，且a2，a4，a9成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)bn＝2an，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.19.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝x2－2x－8，g(x)＝2x2－4x－16.(1)求不等式g(x)<0的解集；(2)若對一切x>2，均有f(x)≥(m＋2)x－m－15成立，求實數(shù)m的取值范圍．20．(本小題滿分12分)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝2n2，{bn}為等比數(shù)列，且a1＝b1，b2(a2－a1)＝b1.(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；(2)設(shè)cn＝eq\f(an,bn)，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.21.(本小題滿分12分)在銳角△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且acsinC＝(a2＋c2－b2)·sinB.(1)若C＝eq\f(π,4)，求A的大?。?2)若a≠b，求eq\f(c,b)的取值范圍．22.(本小題滿分12分)要制作一個如圖的框架(單位：m)，要求所圍成的總面積為m2，其中ABCD是一個矩形，EFCD是一個等腰梯形，梯形高h＝eq\f(1,2)|AB|，tan∠FED＝eq\f(3,4)，設(shè)|AB|＝xm，|BC|＝y(tǒng)m.(1)求y關(guān)于x的表達式；(2)如何設(shè)計x，y的長度，才能使所用材料最少？參考答案與解析1．【解析】選C.選項A中c＝0時不成立；選項B中a≤0時不成立；選項D中取a＝－2，b＝－1，c＝1驗證，不成立，故選C.2．【解析】選A.由題意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比數(shù)列的前3項是－3，－6，－12，則第四項為－24.3．【解析】選D.因為當x>1時，x＋eq\f(1,x－1)＝1＋(x－1)＋eq\f(1,x－1)≥3，所以x＋eq\f(1,x－1)≥a恒成立，只需a≤3.4．【解析】選D.由已知(a4＋a7)2＝9，所以a4＋a7＝±3，從而a1＋a10＝±3.所以S10＝eq\f(a1＋a10,2)×10＝±15.5．【解析】選B.由A、B、C成等差數(shù)列，可得B＝60°，不妨設(shè)A＝60°－α，C＝60°＋α(0°≤α<60°)，由a，b，c成等比數(shù)列，得b2＝ac，由正弦定理得sin2B＝sinAsinC，所以eq\f(3,4)＝sin(60°－α)sin(60°＋α)，所以eq\f(3,4)＝(sin60°cosα)2－(cos60°sinα)2，所以eq\f(3,4)＝eq\f(3,4)cos2α－eq\f(1,4)sin2α，eq\f(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－cos2α))＝－eq\f(1,4)sin2α，sin2α＝0，所以α＝0°，所以A＝B＝C，故選B.6.【解析】選A.不等式組表示的可行域如圖陰影部分所示，A(1，6)，eq\f(y,x)≤kOA＝6，故選A.7．【解析】選A.因為(n＋2)·an＋1＝(n＋1)an，所以eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n＋1,n＋2)，又當n＝1時，3a2＝2a1，所以a1＝eq\f(3,2)a2＝eq\f(1,2).所以an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×…×eq\f(n－1,n)×eq\f(n,n＋1)＝eq\f(1,n＋1).8．【解析】選B.依題意，若eq\f(－2x＋1,x2)>－1，則x>0且x≠1；若eq\f(1,x)>－1，則x<－1，綜上所述，x∈(－∞，－1)∪(0，1)∪(1，＋∞)．9．【解析】選A.因為x＞1，所以x－1＞0.所以y＝eq\f(x2＋2,x－1)＝eq\f(x2－2x＋2x＋2,x－1)＝eq\f(x2－2x＋1＋2（x－1）＋3,x－1)＝eq\f(（x－1）2＋2（x－1）＋3,x－1)＝x－1＋eq\f(3,x－1)＋2≥2eq\r(3)＋2.10．【解析】選C.因為n＜m，所以m≥n＋1.又S(n)＝eq\f(2（1－\f(1,2n)）,1－\f(1,2))＝4－eq\f(1,2n－2)，所以S(n＋1)＝4－eq\f(1,2n－1)，故an＝S(n)－S(n＋1)＝eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n－2)＝－eq\f(1,2n－1).11．【解析】選B.因為eq\f(a2＋b2,（a＋b）2)＝eq\f(a2＋b2,a2＋b2＋2ab)＝eq\f(1,1＋\f(2ab,a2＋b2))≥eq\f(1,2)，所以eq\f(a2＋b2,（a＋b）2)的下確界為eq\f(1,2).12．【解析】選△ABC＝eq\f(1,2)eq\r(（|AB→|·|AC→|）2－（\o(AB,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→))）2)＝eq\f(1,2)eq\r(（|AB→|·|AC→|）2－64)，因為|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|＝8，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝80，由均值不等式可得|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|≤40，所以S△ABC≤eq\f(1,2)eq\r(（40－8）（40＋8）)＝8eq\r(6)，當且僅當|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|時取等號．13．【解析】因為sin∠BAM＝eq\f(1,3)，所以cos∠BAM＝eq\f(2\r(2),3).如圖，在△ABM中，利用正弦定理，得eq\f(BM,sin∠BAM)＝eq\f(AM,sinB)，所以eq\f(BM,AM)＝eq\f(sin∠BAM,sinB)＝eq\f(1,3sinB)＝eq\f(1,3cos∠BAC).在Rt△ACM中，有eq\f(CM,AM)＝sin∠CAM＝sin(∠BAC－∠BAM)．由題意知BM＝CM，所以eq\f(1,3cos∠BAC)＝sin(∠BAC－∠BAM)．化簡，得2eq\r(2)sin∠BACcos∠BAC－cos2∠BAC＝1.所以eq\f(2\r(2)tan∠BAC－1,tan2∠BAC＋1)＝1，解得tan∠BAC＝eq\r(2).再結(jié)合sin2∠BAC＋cos2∠BAC＝1，∠BAC為銳角可解得sin∠BAC＝eq\f(\r(6),3).【答案】eq\f(\r(6),3)14．【解析】因為等差數(shù)列{an}中，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，所以5a5＝25，即a5＝5.所以a2＋a8＝2a5＝10.【答案】1015．【解析】如圖所示，M為圖中陰影部分區(qū)域上的一個動點，由于點到直線的距離最短，所以|OM|的最小值＝eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2).【答案】eq\r(2)16．【解析】畫出可行域如圖陰影所示，因為eq\f(y,x)表示過點(x，y)與原點(0，0)的直線的斜率，所以點(x，y)在點A處時eq\f(y,x)最大．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,x＋y－4＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3.))所以A(1，3)．所以eq\f(y,x)的最大值為3.【答案】317．【解】(1)證明：由a＝btanA及正弦定理，得eq\f(sinA,cosA)＝eq\f(a,b)＝eq\f(sinA,sinB)，在△ABC中，sinA≠0，所以sinB＝cosA，即sinB＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋A)).又B為鈍角，因此eq\f(π,2)＋A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，故B＝eq\f(π,2)＋A，即B－A＝eq\f(π,2).(2)由(1)知，C＝π－(A＋B)＝π－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A＋\f(π,2)))＝eq\f(π,2)－2A>0，所以A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4))).于是sinA＋sinC＝sinA＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2A))＝sinA＋cos2A＝－2sin2A＋sinA＋1＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinA－\f(1,4)))eq\s\up12(2)＋eq\f(9,8).因為0<A<eq\f(π,4)，所以0<sinA<eq\f(\r(2),2)，因此eq\f(\r(2),2)<－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinA－\f(1,4)))eq\s\up12(2)＋eq\f(9,8)≤eq\f(9,8).由此可知sinA＋sinC的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(9,8))).18．【解】(1)由數(shù)列{an}為公差不為零的等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，且d≠0.因為a2，a4，a9成等比數(shù)列，所以aeq\o\al(2,4)＝a2·a9，即(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋8d)，整理得d2＝3a1d.因為d≠0，所以d＝3a1.①因為a3＝7，所以a1＋2d＝7.②由①②解得a1＝1，d＝3，所以an＝1＋(n－1)×3＝3n－2.故數(shù)列{an}的通項公式是an＝3n－2.(2)由(1)知bn＝23n－2，因為eq\f(bn＋1,bn)＝eq\f(23（n＋1）－2,23n－2)＝8，所以{bn}是等比數(shù)列，且公比為8，首項b1＝2，所以Sn＝eq\f(2（1－8n）,1－8)＝eq\f(2（8n－1）,7).19．【解】(1)g(x)＝2x2－4x－16<0，所以(2x＋4)(x－4)<0，所以－2<x<4，所以不等式g(x)<0的解集為{x|－2<x<4}．(2)因為f(x)＝x2－2x－8.當x>2時，f(x)≥(m＋2)x－m－15恒成立，所以x2－2x－8≥(m＋2)x－m－15，即x2－4x＋7≥m(x－1)．所以對一切x>2，均有不等式eq\f(x2－4x＋7,x－1)≥m成立．而eq\f(x2－4x＋7,x－1)＝(x－1)＋eq\f(4,x－1)－2≥2eq\r(（x－1）×\f(4,x－1))－2＝2.(當且僅當x－1＝eq\f(4,x－1)即x＝3時等號成立)所以實數(shù)m的取值范圍是(－∞，2]．20．【解】(1)當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n2－2(n－1)2＝4n－2，當n＝1時，a1＝S1＝2滿足上式，故{an}的通項公式為an＝4n－2.設(shè){bn}的公比為q，由已知條件a1＝b1，b2(a2－a1)＝b1知，b1＝2，b2＝eq\f(1,2)，所以q＝eq\f(1,4)，所以bn＝b1qn－1＝2×eq\f(1,4n－1)，即bn＝eq\f(2,4n－1).(2)因為cn＝eq\f(an,bn)＝eq\f(4n－2,\f(2,4n－1))＝(2n－1)4n－1，所以Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝1＋3×41＋5×42＋…＋(2n－1)4n－1.4Tn＝1×4＋3×42＋5×43＋…＋(2n－3)4n－1＋(2n－1)4n.兩式相減得：3Tn＝－1－2(41＋42＋43＋…＋4n－1)＋(2n－1)4n＝eq\f(1,3)[(6n－5)4n＋5]．所以Tn＝eq\f(1,9)[(6n－5)4n＋5]．21．【解】(1)因為acsinC＝(a2＋c2－b2)sinB，所以eq\f(sinC,sinB)＝eq\f(a2＋c2－b2,ac)＝2eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝2cosB，所以sinC＝sin2B，所以C＝2B或C＋2B＝π.若C＝2B，C＝eq\f(π,4)，則A＝eq\f(5π,8)(舍去)．若C＋2B＝π，C＝eq\f(π,4)，則A＝eq\f(3π,8).故A＝eq\f(3π,8).(2)若三角形為非等腰三角形，則C＝2B且A＝π－B－C＝π－3B，又因為三角形為銳角三角形，因為0＜2B＜eq\f(π,2)，0＜π－3B＜eq\f(π,2)，故eq\f(π,6)＜B＜eq\f(π,4).而eq\f(