微專題六　最值問題模型

第七章圖形的變化微專題六最值問題模型1.在平面幾何的動態(tài)問題中，當某幾何元素在給定條件變動時，求某幾何量（如線段的長度、圖形的周長或面積、角的度數(shù)以及它們的和與差）的最大值或最小值問題，稱為最值問題.最值問題是全國中考的熱點問題，考查形式多樣化.本專題主要通過“軸對稱求解最值”、“輔助圓求解最值”兩個模型進行講解.2.解決平面幾何最值問題的基本思路是共線取最值，常用的方法有：（1）應用兩點間線段最短的公理（含應用三角形的三邊關系）求最值；（2）應用垂線段最短的性質(zhì)求最值；（3）應用軸對稱的性質(zhì)求最值；（4）利用點圓的判定條件和性質(zhì)求最值.

類型基本原理已知作圖軸對稱求解最值三角形的三邊關系在直線l同側有A，B兩點，在直線l上找一點P使得｜AP－BP｜最大（三角形中兩邊之差小于第三邊）類型基本原理已知作圖軸對稱求解最值兩點之間線段最短在直線l同側有A，B兩點，在直線l上找一點P使得AP＋BP最?。ㄝS對稱構建三點共線）在直線l同側有A，B兩點，在直線l上找兩點C和D（其中CD的長度固定，等于所給線段a），使得｜AC＋CD＋DB｜最小（平移構建平行四邊形，轉(zhuǎn)化為軸對稱求解最值問題）類型基本原理已知作圖軸對稱求解最值兩點之間線段最短在∠MON中有一點P，在邊OM，ON上分別找點Q，R，使得PQ＋PR＋QR最?。ㄝS對稱構建四點共線得三角形周長最小值）在∠MON中有兩點P，Q，在邊OM，ON上分別找點R，S，使得PQ＋PR＋RS＋QS最?。ㄋ狞c共線得四邊形周長最小值）類型基本原理已知作圖軸對稱求解最值垂線段最短在∠MON中有一點P，在邊OM，ON上分別找點Q，R，使得PQ＋QR最?。ㄈc共線且垂線段最短）類型基本原理已知作圖輔助圓求解最值動點到定點定長若有AB＝AC＝AD，則B，C，D三點在以點A為圓心，AB為半徑的圓上.（到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓）直角所對的弦是直徑若有AB是固定線段，且總有∠ACB＝90°，則點C在以AB為直徑的圓上

?類型1：軸對稱求解最值

作點C關于直徑AB的對稱點E，連接DE交AB于點F，連接CF↓

AB＝10↓∠CED＝30°，CE＝10｜

思路點拔↓

↓

?類型2：輔助圓求解最值

思路點撥由已知，得AE＝DF四邊形ABCD是正方形↓△ABE≌△DAF↓∠ABE＝∠DAF↓∠APB＝90°↓點P的運動軌跡是一段以AB為直徑的弧↓設圓心為G，連接DG交弧于點P，此時DP為最小值↓在Rt△AGD中，由勾股定理求DG，從而求得DP的長

思路點拔由翻折的性質(zhì)，得

由題意，得↓

↓

↓點P的運動軌跡是一段以點E為圓心，EC的長為半徑的弧，連接AE，交弧于點P，此時AP為最小值.↓在Rt△AEF中，由勾股定理，得AE的長，從而求得AP的長.

?類型