微專題六　最值問題模型

第七章圖形的變化微專題六最值問題模型1.在平面幾何的動(dòng)態(tài)問題中，當(dāng)某幾何元素在給定條件變動(dòng)時(shí)，求某幾何量（如線段的長(zhǎng)度、圖形的周長(zhǎng)或面積、角的度數(shù)以及它們的和與差）的最大值或最小值問題，稱為最值問題.最值問題是全國中考的熱點(diǎn)問題，考查形式多樣化.本專題主要通過“軸對(duì)稱求解最值”、“輔助圓求解最值”兩個(gè)模型進(jìn)行講解.2.解決平面幾何最值問題的基本思路是共線取最值，常用的方法有：（1）應(yīng)用兩點(diǎn)間線段最短的公理（含應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系）求最值；（2）應(yīng)用垂線段最短的性質(zhì)求最值；（3）應(yīng)用軸對(duì)稱的性質(zhì)求最值；（4）利用點(diǎn)圓的判定條件和性質(zhì)求最值.

類型基本原理已知作圖軸對(duì)稱求解最值三角形的三邊關(guān)系在直線l同側(cè)有A，B兩點(diǎn)，在直線l上找一點(diǎn)P使得｜AP－BP｜最大（三角形中兩邊之差小于第三邊）類型基本原理已知作圖軸對(duì)稱求解最值兩點(diǎn)之間線段最短在直線l同側(cè)有A，B兩點(diǎn)，在直線l上找一點(diǎn)P使得AP＋BP最?。ㄝS對(duì)稱構(gòu)建三點(diǎn)共線）在直線l同側(cè)有A，B兩點(diǎn)，在直線l上找兩點(diǎn)C和D（其中CD的長(zhǎng)度固定，等于所給線段a），使得｜AC＋CD＋DB｜最?。ㄆ揭茦?gòu)建平行四邊形，轉(zhuǎn)化為軸對(duì)稱求解最值問題）類型基本原理已知作圖軸對(duì)稱求解最值兩點(diǎn)之間線段最短在∠MON中有一點(diǎn)P，在邊OM，ON上分別找點(diǎn)Q，R，使得PQ＋PR＋QR最小（軸對(duì)稱構(gòu)建四點(diǎn)共線得三角形周長(zhǎng)最小值）在∠MON中有兩點(diǎn)P，Q，在邊OM，ON上分別找點(diǎn)R，S，使得PQ＋PR＋RS＋QS最小（四點(diǎn)共線得四邊形周長(zhǎng)最小值）類型基本原理已知作圖軸對(duì)稱求解最值垂線段最短在∠MON中有一點(diǎn)P，在邊OM，ON上分別找點(diǎn)Q，R，使得PQ＋QR最?。ㄈc(diǎn)共線且垂線段最短）類型基本原理已知作圖輔助圓求解最值動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)定長(zhǎng)若有AB＝AC＝AD，則B，C，D三點(diǎn)在以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑的圓上.（到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做圓）直角所對(duì)的弦是直徑若有AB是固定線段，且總有∠ACB＝90°，則點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上

?類型1：軸對(duì)稱求解最值

作點(diǎn)C關(guān)于直徑AB的對(duì)稱點(diǎn)E，連接DE交AB于點(diǎn)F，連接CF↓

AB＝10↓∠CED＝30°，CE＝10｜

思路點(diǎn)拔↓

↓

?類型2：輔助圓求解最值

思路點(diǎn)撥由已知，得AE＝DF四邊形ABCD是正方形↓△ABE≌△DAF↓∠ABE＝∠DAF↓∠APB＝90°↓點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是一段以AB為直徑的弧↓設(shè)圓心為G，連接DG交弧于點(diǎn)P，此時(shí)DP為最小值↓在Rt△AGD中，由勾股定理求DG，從而求得DP的長(zhǎng)

思路點(diǎn)拔由翻折的性質(zhì)，得

由題意，得↓

↓

↓點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是一段以點(diǎn)E為圓心，EC的長(zhǎng)為半徑的弧，連接AE，交弧于點(diǎn)P，此時(shí)AP為最小值.↓在Rt△AEF中，由勾股定理，得AE的長(zhǎng)，從而求得AP的長(zhǎng).

?類型