高中數(shù)學(xué)新人教A版：必修二綜合測試卷(含答案)

PAGE必修二綜合測試卷(時間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖①所示(上面是一個圓，下面是個正方形)，則下面四個圖中可以作為該幾何體的俯視圖的是()圖①(1)(2)(3)(4)A．(1)(3) B．(1)(4)C．(2)(4) D．(1)(2)(3)(4)解析：由該幾何體的正視圖和側(cè)視圖，可知該幾何體可以為一個正方體上面放著一個球，也可以是一個圓柱上面放著一個球，則其俯視圖可以為(1)(3)．答案：A2．已知直線l的傾斜角為45°，直線l1經(jīng)過點A(3，2)，B(－a，1)，且l1與l垂直，直線l2：2x＋by＋1＝0與直線l1平行，則a＋b＝()A．－4 B．－2C．0 D．2解析：由題意知，直線l的斜率為1，則直線l1的斜率為－1，所以eq\f(2－1,3＋a)＝－1，所以a＝－4，又l1∥l2，所以－eq\f(2,b)＝－1，所以b＝2，所以a＋b＝－4＋2＝－2.答案：B3．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．16＋8π B．8＋8πC．16＋16π D．8＋16π解析：由三視圖可知，該幾何體是一個長方體和一個半圓柱組成的幾何體，所以體積為eq\f(1,2)π×22×4＋2×2×4＝16＋8π.答案：A4．已知點Q是點P(3，4，5)在平面xOy上的射影，則線段PQ的長等于()A．2 B．3C．4 D．5解析：由題意，得Q(3，4，0)，故線段PQ的長為5.答案：D5．如圖①所示，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中點，G是EF的中點，現(xiàn)在沿AE、AF及EF把這個正方形折成一個四面體，使B、C、D三點重合，重合后的點記為H，如圖②所示，那么，在四面體A-EFH中必有()圖①圖②A．AH⊥△EFH所在平面B．AG⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面D．HG⊥△AEF所在平面解析：折成的四面體中有AH⊥EH，AH⊥FH，所以AH⊥面HEF.答案：A6．已知直線l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的對稱軸．過點A(－4，a)作圓C的一條切線，切點為B，則|AB|＝()A．2 B．4eq\r(2)C．6 D．2eq\r(10)解析：由題設(shè)得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4，知圓C的圓心為(2，1)，半徑為2，因為直線l為圓C的對稱軸，所以圓心在直線l上，則2＋a－1＝0，解得a＝－1，所以|AB|2＝|AC|2－|BC|2＝[(－4－2)2＋(－1－1)2]－4＝36，所以|AB|＝6.答案：C7．一個球的內(nèi)接正方體的表面積為54，則球的表面積為()A．27π B．18πC．9π D．54π解析：設(shè)正方體的棱長為a，球的半徑為r，則6a2＝54，所以a＝3.又因為2r＝eq\r(3)a所以r＝eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(3\r(3),2)，所以S表＝4πr2＝4π×eq\f(27,4)＝27π.答案：A8.已知高為3的直棱柱ABC-A′B′C′的底面是邊長為1的正三角形(如圖所示)，則三棱錐B′-ABC的體積為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),6) D.eq\f(\r(3),4)解析：VB′-ABC＝eq\f(1,3)·S△ABC·h＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×3＝eq\f(\r(3),4).答案：D9．若圓(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有兩個點到直線4x－3y＝2的距離為1，則半徑r的取值范圍是()A．(4，6) B．[4，6)C．(4，6] D．[4，6]解析：因為圓心到直線的距離為eq\f(|12＋15－2|,\r(42＋（－3）2))＝5，所以半徑r的取值范圍是(4，6)．答案：A10．直線x＋ky＝0，2x＋3y＋8＝0和x－y－1＝0交于一點，則k的值是()A.eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．2 D．－2解析：解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＋8＝0，,x－y－1＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－2，))則點(－1，－2)在直線x＋ky＝0上，得k＝－eq\f(1,2).答案：B11．在四面體A-BCD中，棱AB，AC，AD兩兩互相垂直，則頂點A在底面BCD上的投影H為△BCD的()A．垂心 B．重心C．外心 D．內(nèi)心解析：因為AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，因為AB⊥平面ACD，所以AB⊥CD.因為AH⊥平面BCD，所以AH⊥CD，AB∩AH＝A，所以CD⊥平面ABH，所以CD⊥BH.同理可證CH⊥BD，DH⊥BC，則H是△BCD的垂心．答案：A12.如圖所示，點P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，則PB與AC所成的角＝()A．90°B．60°C．45°D．30°解析：將其還原成正方體ABCD-PQRS，連接SC，AS，則PB∥SC，所以∠ACS(或其補角)是PB與AC所成的角．因為△ACS為正三角形，所以∠ACS＝60°，所以PB與AC所成的角是60°.答案：B二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．若點P在直線x＋y－4＝0上，O為原點，則|OP|的最小值是________．解析：|OP|的最小值即為點O到直線x＋y－4＝0的距離，d＝eq\f(|0＋0－4|,\r(1＋1))＝2eq\r(2).答案：2eq\r(2)14．若函數(shù)y＝ax＋8與y＝－eq\f(1,2)x＋b的圖象關(guān)于直線y＝x對稱，則a＋b＝________．解析：直線y＝ax＋8關(guān)于y＝x對稱的直線方程為x＝ay＋8，所以x＝ay＋8與y＝－eq\f(1,2)x＋b為同一直線，故得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝4，))所以a＋b＝2.答案：215．圓x2＋(y＋1)2＝3繞直線kx－y－1＝0旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的表面積為________．解析：由題意，圓心為(0，－1)，又直線kx－y－1＝0恒過點(0，－1)，所以旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體為球，球心即為圓心，球的半徑即是圓的半徑，所以S＝4π(eq\r(3))2＝12π.答案：12π16．設(shè)a，b，c是空間的三條直線，下面給出四個命題：①若a⊥b，b⊥c，則a∥c;②若a、b是異面直線，b、c是異面直線，則a、c也是異面直線；③若a和b相交，b和c相交，則a和c也相交；④若a和b共面，b和c共面，則a和c也共面．其中真命題的個數(shù)是________________．解析：因為a⊥b，b⊥c，所以a與c可以相交、平行、異面，故①錯．因為a、b異面，b、c異面．則a、c可能導(dǎo)面、相交、平行，故②錯．由a、b相交，b、c相交，則a、c可以異面、平行，故③錯．同理④錯，故真命題個數(shù)為0.答案：0三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(本小題滿分10分)如圖所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝6，異面直線BC1與AA1所成角的大小為30°，求該三棱柱的體積．解：因為CC1∥AA1.所以∠BC1C為異面直線BC1與AA1所成的角，即∠BC1C＝30°.在Rt△BCC1中，BC＝CC1·tan∠BC1C＝6×eq\f(\r(3),3)＝2eq\r(3)，從而S△ABC＝eq\f(\r(3),4)BC2＝3eq\r(3)，因此該三棱柱的體積V＝S△ABC·AA1＝3eq\r(3)×6＝18eq\r(3).18．(本小題滿分12分)已知一個幾何體的三視圖如圖所示．(1)求此幾何體的表面積；(2)如果點P，Q在正視圖中所處的位置為：P為三角形的頂點，Q為四邊形的頂點，求在該幾何體的側(cè)面上，從點P到點Q的最短路徑的長．解：(1)由三視圖可知，此幾何體是一個圓錐和一個圓柱的組合體，其表面積是圓錐的側(cè)面積、圓柱的側(cè)面積與圓柱的一個底面積之和．S圓錐側(cè)＝eq\f(1,2)(2πa)·(eq\r(2)a)＝eq\r(2)πa2，S圓柱側(cè)＝(2πa)·(2a)＝4πa2，S圓柱底＝πa2，所以此幾何體的表面積S表＝S圓錐側(cè)＋S圓柱側(cè)＋S圓柱底＝eq\r(2)πa2＋4πa2＋πa2＝(eq\r(2)＋5)πa2.(2)分別沿點P與點Q所在的母線剪開圓柱的側(cè)面，并展開鋪平，如圖所示，則|PQ|＝eq\r(|AP|2＋|AQ|2)＝eq\r(（2a）2＋（πa）2)＝aeq\r(4＋π2).所以P，Q兩點在該幾何體的側(cè)面上的最短路徑的長為aeq\r(4＋π2).19．(本小題滿分12分)如圖，已知在平行四邊形ABCD中，邊AB所在直線方程為2x－y－2＝0，點C(2，0)．求：(1)直線CD的方程；(2)AB邊上的高CE所在直線的方程．解：(1)因為四邊形ABCD為平行四邊形，所以AB∥CD，所以kCD＝kAB＝2.故CD的方程為y＝2(x－2)，即2x－y－4＝0.(2)因為CE⊥AB，所以kCE＝－eq\f(1,kAB)＝－eq\f(1,2).所以直線CE的方程為y＝－eq\f(1,2)(x－2)，即x＋2y－2＝0.20．(本小題滿分12分)已知圓x2＋y2＝4上一定點A(2，0)，B(1，1)為圓內(nèi)一點，P，Q為圓上的動點．(1)求線段AP中點的軌跡方程；(2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ中點的軌跡方程．解：(1)設(shè)AP中點為M(x，y)，由中點坐標(biāo)公式可知，P點坐標(biāo)(2x－2，2y)．因為P點在圓x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故線段AP中點的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1.(2)設(shè)PQ的中點為N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，設(shè)O為坐標(biāo)原點，連接ON(圖略)，則ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故線段PQ中點的軌跡方程為x2＋y2－x－y－1＝0.21．(本小題滿分12分)(2015·北京卷)如圖所示，在三棱錐V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB為等邊三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝eq\r(2)，O，M分別為AB，VA的中點．(1)求證：VB∥平面MOC；(2)求證：平面MOC⊥平面VAB；(3)求三棱錐V-ABC的體積．(1)證明：因為O，M分別AB，VA的中點，所以O(shè)M∥VB.又因為VB?平面MOC.所以VB∥平面MOC(2)證明：因為AC＝BC，O為AB的中點，所以O(shè)C⊥AB.又因為平面VAB⊥平面ABC，且OC?平面ABC，所以O(shè)C⊥平面VAB.又OC?平面MOC.所以平面MOC⊥平面VAB.(3)解：在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝eq\r(2)，所以AB＝2，OC＝1.所以等邊三角形VAB的面積S△VAB＝eq\r(3).又因為OC⊥平面VAB，所以三棱錐C-VAB的體積等于eq\f(1,3)OC·S△VAB＝eq\f(\r(3),3).又因為三棱錐V-ABC的體積與三棱錐C-VAB的體積相等，所以三棱錐V-ABC的體積為eq\f(\r(3),3).22．(本小題滿分12分)已知圓C過點A(1，2)和B(1，10)，且與直線x－2y－1＝0相切．(1)求圓C的方程；(2)設(shè)P為圓C上的任意一點，定點Q(－3，－6)，當(dāng)點P在圓C上運動時，求線段PQ中點M的軌跡方程．解：(1)圓心顯然在線段AB的垂直平分線y＝6上，設(shè)圓心為(a，6)，半徑為r，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－6)2＝r2，由點B在圓上得：(1－a)2＋(10－6)2＝r2，又圓C與直線x－2y－1＝0相切，則r＝eq\f(|a－13|,\r(5)).于是(a－1)2＋16＝eq\f(（a－13）2,5)，解得：a＝3，r＝2eq\r(5)或a＝－7，r＝4eq\r(5).所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋(y－6)2＝20或(x＋7)2＋(y－6)2＝80.(2)設(shè)點M的坐標(biāo)為(x，y)，點P的坐標(biāo)為(x0，y0)，由M為PQ的中點，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x0－3,2)，,y＝\f(y0－6,2)，))即：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(