廣東省梅州市平安中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

廣東省梅州市平安中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】根據(jù)角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，利用三角函數(shù)的定義求得，再利用誘導(dǎo)公式求.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的定義及誘導(dǎo)公式，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.2.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為

、是方程的兩個(gè)根，則（

）A． B． C． D．參考答案：D考點(diǎn)：等差數(shù)列試題解析：由題知：所以在等差數(shù)列中，故答案為：D3.橢圓+=1的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】由橢圓方程求得a，b，結(jié)合隱含條件求得c，則橢圓離心率可求．【解答】解：由+=1，得a2=16，b2=9，∴a=4，，則e=．故選：A．4.正四面體中，、分別是棱、的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值為

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B略5.如圖所示，由函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上的圖象所圍成的封閉圖形的面積為A．

B．

C．

D．參考答案：D6.已知向量，若，則最小值（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C略7.一個(gè)體積為的正三棱柱的三視圖如圖所示，則這個(gè)三棱柱的側(cè)(左)視圖的面積為A．

B．

C．

D．參考答案：D8.函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致范圍是

（

）A．（1,2）

B．（2,3）

C．（，1）和（3,4）

D．（e，+）參考答案：B9.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．參考答案：C10.（5分）（2015?澄海區(qū)校級(jí)二模）已知直線l和兩個(gè)不同的平面α，β，則下列命題中，真命題的是（）A．若l∥α，且l∥β，則α∥βB．若l⊥α．且l⊥β，則α∥βC．若lα，且α⊥β，則l⊥βD．若l∥α，且α∥β，則l∥β參考答案：【考點(diǎn)】：命題的真假判斷與應(yīng)用；空間中直線與平面之間的位置關(guān)系；平面與平面之間的位置關(guān)系．【專題】：規(guī)律型．【分析】：對(duì)于A，若l∥α，且l∥β，則α∥β或α與β相交，所以A錯(cuò)；對(duì)于B，根據(jù)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即若l⊥α．且l⊥β，則α∥β對(duì)；對(duì)于C，若lα，α⊥β，則l⊥β或l∥β或l?β，所以C錯(cuò)；對(duì)于D，若l∥α，且α∥β則l∥β或lβ，所以D錯(cuò)．解：對(duì)于A，若l∥α，且l∥β，則α∥β或α與β相交，所以A錯(cuò)；對(duì)于B，根據(jù)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即若l⊥α．且l⊥β，則α∥β對(duì)；對(duì)于C，若lα，α⊥β，則l⊥β或l∥β或lβ，所以C錯(cuò)；對(duì)于D，若l∥α，且α∥β則l∥β或lβ，所以D錯(cuò)故選B．【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，以及空間中直線與平面之間的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.從1=1，1﹣4=﹣（1+2），1﹣4+9=1+2+3，1﹣4+9﹣16=﹣（1+2+3+4），…，推廣到第n個(gè)等式為

．參考答案：1﹣4+9﹣16+…+（﹣1）n+1?n2=（﹣1）n+1?（1+2+3+…+n）考點(diǎn)：歸納推理．分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是歸納推理，解題的步驟為，由1=1，1﹣4=﹣（1+2），1﹣4+9=1+2+3，1﹣4+9﹣16=﹣（1+2+3+4），…，中找出各式運(yùn)算量之間的關(guān)系，歸納其中的規(guī)律，并大膽猜想，給出答案．解答： 解：∵1=1=（﹣1）1+1?11﹣4=﹣（1+2）=（﹣1）2+1?（1+2）1﹣4+9=1+2+3=（﹣1）3+1?（1+2+3）1﹣4+9﹣16=﹣（1+2+3+4）=（﹣1）4+1?（1+2+3+4）…所以猜想：1﹣4+9﹣16+…+（﹣1）n+1?n2=（﹣1）n+1?（1+2+3+…+n）故答案為：1﹣4+9﹣16+…+（﹣1）n+1?n2=（﹣1）n+1?（1+2+3+…+n）點(diǎn)評(píng)：歸納推理的一般步驟是：（1）通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．12.已知為的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，向量，．若，且，則角

．參考答案：因?yàn)?，所以，即，所以，所?又，所以根據(jù)正弦定理得，即，所以，即，所以，所以.13.已知函數(shù)，則，則a的取值范圍是

。參考答案：14.已知直線l：ax+2by+3c=0和兩定點(diǎn)A（0，13），B（5，10），若點(diǎn)B在l上的射影為C，且a，2b，3c成等差數(shù)列，則|AC|的取值范圍為．參考答案：[，5]【考點(diǎn)】數(shù)列與解析幾何的綜合．【分析】運(yùn)用等差數(shù)列中項(xiàng)的性質(zhì)，結(jié)合直線方程可得直線恒過(guò)定點(diǎn)（1，﹣2），討論直線l的斜率不存在和為0，求得C的坐標(biāo)，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，即可得到所求最值，進(jìn)而得到所求范圍．【解答】解：a，2b，3c成等差數(shù)列，可得a﹣4b+3c=0，即有直線l：ax+2by+3c=0恒過(guò)定點(diǎn)P（1，﹣2），若點(diǎn)B在l上的射影為C，當(dāng)直線l的斜率不存在，即方程為x=1，可得C（1，10），|AC|取得最小值為=；當(dāng)直線l的斜率為0，即方程為y=﹣2，可得C（5，﹣2），|AC|取得最大值為=5．則|AC、的取值范圍是[，5]．故答案為：[，5]．15.已知函數(shù)，則=________。參考答案：略16.如圖是某青年歌手大獎(jiǎng)賽上七位評(píng)委為甲、乙兩名選手打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖(其中m為數(shù)字0～9中的一個(gè))，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，甲、乙兩名選手得分的平均數(shù)分別為，則的大小關(guān)系是_____________(填，，)

．參考答案：去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，甲乙都有5組數(shù)據(jù)，此時(shí)甲乙的平均數(shù)為，，所以。17.記等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=2，且數(shù)列{}也為等差數(shù)列，則a13=．參考答案：50考點(diǎn)：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：由題意可得，，的值，由數(shù)列{}也為等差數(shù)列可得2=+，解方程可得d值，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得．解答：解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a1=2，∴=，∴=，=，∵數(shù)列{}也為等差數(shù)列，∴2=+，解得d=4，∴a13=2+12×4=50，故答案為：50．點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的求和公式，屬基礎(chǔ)題三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.設(shè)函數(shù)f（x）=2x+2ax+b且f（﹣1）=，f（0）=2．（1）求a，b的值；判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；（2）判斷函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性；（3）若關(guān)于x的方程mf（x）=2﹣x在[﹣1，1]上有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)奇偶性的判斷．【分析】（1）由已知中f（﹣1）=，f（0）=2，構(gòu)造方程求出a，b的值，進(jìn)而根據(jù)奇偶性的定義，可得結(jié)論；（2）證法一：設(shè)x1，x2是區(qū)間（0，+∞）上的兩個(gè)任意實(shí)數(shù)，且x1＜x2，作差判斷f（x1），f（x2）的大小，可得結(jié)論；證法二：求導(dǎo)，根據(jù)x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0恒成立，可得：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)；（3）若關(guān)于x的方程mf（x）=2﹣x在[﹣1，1]上有解，即m=在[﹣1，1]上有解，求出f（x）=的值域，可得答案．【解答】解：（1）∵f（﹣1）=，f（0）=2．∴+2﹣a+b=，1+2b=2，解得：a=﹣1，b=0，∴f（x）=2x+2﹣x；函數(shù)的定義域?yàn)镽，且f（﹣x）=2﹣x+2x=f（x），故函數(shù)為偶函數(shù)，（2）證法一：設(shè)x1，x2是區(qū)間（0，+∞）上的兩個(gè)任意實(shí)數(shù)，且x1＜x2，于是f（x2）﹣f（x1）=（）﹣（）=（）．因?yàn)閤2＞x1＞0，所以，，，所以f（x2）﹣f（x1）＞0，所以f（x1）＜f（x2），所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)．證法二：∵f（x）=2x+2﹣x．∴f′（x）=ln2?（2x+2﹣x）．當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0恒成立，故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)；（3）若關(guān)于x的方程mf（x）=2﹣x在[﹣1，1]上有解，即m=在[﹣1，1]上有解，令f（x）==，則f（x）∈[，]，故m∈[，]．19.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx(a，b∈R)．（1）若函數(shù)f（x）在（0，2）上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求3a+b的取值范圍；（2）當(dāng)a=0，b≥﹣1時(shí)，求證：對(duì)任意的實(shí)數(shù)x∈[0，2]，|f(x)|≤2b+恒成立．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）求出關(guān)于a，b的不等式組，令z=3a+b，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題；結(jié)合圖象求出即可；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的范圍，要證，只需證即可．【解答】（1）解：f'（x）=x2+ax+b，由已知可得f'（x）=0在（0，2）上存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，故有，即，令z=3a+b，如圖所示：由圖可知﹣8＜z＜0，故3a+b的取值范圍（﹣8，0）．（2）證明：，所以f'（x）=x2+b，當(dāng)b≥0時(shí)，f'（x）≥0在[0，2]上恒成立，則f（x）在[0，2]上單調(diào)遞增，故，所以；當(dāng)﹣1≤b＜0時(shí)，由f'（x）=0，解得，則f（x）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．因?yàn)?，要證，只需證，即證，因?yàn)椹?≤b＜0，所以，所以成立．綜上所述，對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立．20.（本小題滿分12分）已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底(1)求的最小值;(2)設(shè)不等式的解集為P，且,求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：（1）令，解得；令，解得………3分從而在內(nèi)單調(diào)遞減，內(nèi)單調(diào)遞增.所以，當(dāng)時(shí)取得最小值.

………5分（2）因?yàn)椴坏仁降慕饧癁镻，且，所以，對(duì)任意的，不等式恒成立，

………6分由得.當(dāng)時(shí)，上述不等式顯然成立，故只需考慮的情況.

………7分將變形得

………8分令，令，解得；令，解得

………10分從而在（0,1）內(nèi)單調(diào)遞減，在（1，2）內(nèi)單調(diào)遞增.所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值，從而所求實(shí)數(shù)的取值范圍是.………12分21.以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正方向?yàn)闃O軸，已知曲線C1的方程為，的方程為，C3是一條經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且斜率大于0的直線.（1）求C1與C2的極坐標(biāo)方程；（2）若C1與C3的一個(gè)公共點(diǎn)A（異于點(diǎn)O），C2與C3的一個(gè)公共點(diǎn)為B，求的取值范圍.參考答案：（1）的極坐標(biāo)方程為，的極坐標(biāo)力程為（2）【分析】（1）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式求解即可；（2）設(shè)的極坐標(biāo)方程為，，分別與和的極坐標(biāo)方程聯(lián)立，可得和，進(jìn)而看化簡(jiǎn)求值.【詳解】解：（1）曲線的方程為，的極坐標(biāo)方程為，的方程為，其極坐標(biāo)力程為.（2）是一條過(guò)原點(diǎn)且斜率為正值的直線，的極坐標(biāo)方程為，，聯(lián)立與的極坐標(biāo)方程，得，即，聯(lián)立與的極坐標(biāo)方程，得，即，所以，又，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)互化及極坐標(biāo)應(yīng)用解長(zhǎng)度問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.22.已知函數(shù).（Ⅰ）求函數(shù)的極值點(diǎn)；（Ⅱ）若直線過(guò)點(diǎn)，并且與曲線相切，求直線的方程；（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，其中，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）參考答案：解：（Ⅰ），，

……………2分由得，

……3分所以，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.

………………4分所以，是函數(shù)的極小值點(diǎn)，極大值點(diǎn)不存在.

…5分（Ⅱ）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則，

…………6分切線的斜率為，所以，，

…7分解得，，

……………8分所以直線的方程為.