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廣東省梅州市興寧寧中中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè),則的大小關(guān)系是()A.
B.
C.
D.參考答案:C2.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,記△ABC和四邊形ACC1A1的外接圓圓心分別為O1、O2,若AC=2,且三棱柱外接球體積為,則O1A+O2A的最大值為(
)A.
B.
C.
D.2參考答案:C3.下列函數(shù)中,既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為(
)A.
B.
C.
D.參考答案:D4.在銳角三角形中,a、b、c分別是內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊,設(shè)B=2A,則的取值范圍是(
) A.
B.
C.
D.(0,2)參考答案:A略5.在的二項(xiàng)展開式中,的系數(shù)為(
)(A)
10
(B)
-10
(C)
40
(D)
-40參考答案:D6.定義在R上的函數(shù)滿足,且時(shí),,則(
)A.1
B.
C.
D.參考答案:C7.
若是互不相同的空間直線,是不重合的平面,則下列命題中是真命題的是(
)
A.若,,,則
B.若,,則C.若,則 D.若,則參考答案:答案:D8.已知函數(shù)(其中)的部分圖象如下圖所示,為了得到的圖象,則只需將的圖象A.向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位B.向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位C.向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位D.向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位
參考答案:A略9.三棱錐V-ABC的底面ABC為正三角形,側(cè)面VAC垂直于底面,VA=VC,已知其主視圖的面積為,則其左視圖的面積為(
)(A)
(B)
(C)
(D)參考答案:B10.設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F,直線與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),則的值是(
)A.2 B. C.4 D.
參考答案:C分析:設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為連接則四邊形是平行四邊形,根據(jù)橢圓的定義得到=2a得解.詳解:設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為連接因?yàn)镺A=OB,OF=O,所以四邊形是平行四邊形.所以,所以=|AF|+=2a=4,故答案為:C點(diǎn)睛:(1)本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì),意在考查學(xué)生對(duì)橢圓基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力.(2)解答本題的關(guān)鍵是能觀察到對(duì)稱性,得到四邊形是平行四邊形,這一點(diǎn)觀察到了,后面就迎刃而解了.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一單位圓的圓心的初始位置在(0,1),此時(shí)圓上一點(diǎn)P的位置在(0,0),圓在x軸上沿正向滾動(dòng).當(dāng)圓滾動(dòng)到圓心位于(2,1)時(shí),的坐標(biāo)為____.參考答案:因?yàn)閳A心移動(dòng)的距離為2,所以劣弧,即圓心角,,則,所以,,所以,,所以.另解:根據(jù)題意可知滾動(dòng)制圓心為(2,1)時(shí)的圓的參數(shù)方程為,且,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為,即.
12.已知=(1,2),=(4,2),=m+(m∈R),且與的夾角等于與的夾角,則m=.參考答案:2【分析】根據(jù)夾角相等列出方程解出m.【解答】解:=(m+4,2m+2).=m+4+2(2m+2)=5m+8,=4(m+4)+2(2m+2)=8m+20.||=,||==2,∵與的夾角等于與的夾角,∴=,∴=,解得m=2.故答案為:2.13.已知△ABC中,a=,b=,B=60°,那么角A等于
面積為___
_
參考答案:略14.參考答案:x=0或x=略15.(極坐標(biāo)與參數(shù)方程)在極坐標(biāo)系中,曲線和的方程分別為和.以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),極軸為軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則曲線和交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為_____________參考答案:
【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化.N3解析:曲線C1的方程化為直角坐標(biāo)方程為,C2的方程即y=1,由,求得,∴曲線C1和C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為,故答案為:.【思路點(diǎn)撥】把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,再把兩條曲線的直角坐標(biāo)方程聯(lián)立方程組,求得兩條曲線的交點(diǎn)坐標(biāo).16.若α,β∈[﹣,],且αsinα﹣βsinβ>0,則下列關(guān)系式:①α>β;②α<β;③α+β>0;④α2>β2;⑤α2≤β2其中正確的序號(hào)是:.參考答案:④【考點(diǎn)】三角函數(shù)線.【分析】構(gòu)造函數(shù)f(x)=xsinx,x∈[﹣,],利用奇偶函數(shù)的定義可判斷其奇偶性,利用f′(x)=sinx+xcosx可判斷f(x)=xsinx,x∈[0,],與x∈[﹣,0]上的單調(diào)性,從而可選出正確答案.【解答】解:令f(x)=xsinx,x∈[﹣,],∵f(﹣x)=﹣x?sin(﹣x)=x?sinx=f(x),∴f(x)=xsinx,x∈[﹣,]為偶函數(shù).又f′(x)=sinx+xcosx,∴當(dāng)x∈[0,],f′(x)>0,即f(x)=xsinx在x∈[0,]單調(diào)遞增;同理可證偶函數(shù)f(x)=xsinx在x∈[﹣,0]單調(diào)遞減;∴當(dāng)0≤|β|<|α|≤時(shí),f(α)>f(β),即αsinα﹣βsinβ>0,反之也成立,∴α2>β2.故答案為④.17.(不等式選講選做題)若為正實(shí)數(shù),,則的最大值是______參考答案:三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.(本小題滿分12分)已知函數(shù)求的最大值;求的圖像在軸右側(cè)第二個(gè)最高點(diǎn)的坐標(biāo).參考答案:(1);(2)【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)恒等變換綜合【試題解析】(1)由已知,有f(x)=cosx·(sinx+cosx)-cos2x+
=sinx·cosx-cos2x+
=sin2x-(1+cos2x)+
=sin2x-cos2x=sin(2x-).
所以f(x)的最大值為;
(2)令2x-=,得,
令,得.
所以f(x)的圖象在軸右側(cè)第二個(gè)最高點(diǎn)的坐標(biāo)是.19.已知函數(shù)f(x)=ex+ax﹣1(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),求過點(diǎn)(1,f(1))處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;(Ⅱ)若f(x)≥x2在(0,1)上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案:【分析】(I)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=ex+x﹣1,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得在點(diǎn)(1,f(1))處的切線的斜率,再由點(diǎn)斜式即可得切線方程,分別求出切線與x軸、y軸的交點(diǎn)A、B,利用直角三角形的面積公式即可求得;(II)將f(x)≥x2在(0,1)上恒成立利用參變量分離法轉(zhuǎn)化為在(0,1)上恒成立,再利用導(dǎo)數(shù)研究不等式右邊的函數(shù)的單調(diào)性,從而求出函數(shù)的最大值,即可求出a的取值范圍.【解答】解:(I)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=ex+x﹣1,f(1)=e,f'(x)=ex+1,f'(1)=e+1,函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y﹣e=(e+1)(x﹣1),即y=(e+1)x﹣1,設(shè)切線與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A、B,∴A,B(0,﹣1),∴,∴過點(diǎn)(1,f(1))處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為.(II)由f(x)≥x2得,令h(x)=,,令k(x)=x+1﹣ex…k'(x)=1﹣ex,∵x∈(0,1),∴k'(x)<0,∴k(x)在(0,1)上是減函數(shù),∴k(x)<k(0)=0.因?yàn)閤﹣1<0,x2>0,所以,∴h(x)在(0,1)上是增函數(shù).所以h(x)<h(1)=2﹣e,所以a≥2﹣e…【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,以及函數(shù)恒成立問題,解決函數(shù)恒成立問題常常利用參變量分離法求出參數(shù)范圍,屬于中檔題.20.(本小題滿分10分)選修4-4:已知直線經(jīng)過點(diǎn),傾斜角。(1)寫出直線的參數(shù)方程;(4分)(2)設(shè)與圓相交于兩點(diǎn)、,求點(diǎn)到、兩點(diǎn)的距離之積(6分)參考答案:解:(1)直線的參數(shù)方程為,……………5(2)因?yàn)锳、B都在直線上,所以可設(shè)它們對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為則,。以直線的參數(shù)方程代入圓的方程整理得到
①因?yàn)槭欠匠挞俚慕?,從而…………?所以,……………10
略21.已知,且.設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減;曲線與軸交于不同的兩點(diǎn),如果“”為真命題,“”為假命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案:.試題分析:,.,所以一真一假,分別求出“真假”和“假真”對(duì)應(yīng)的值,再取并集就得到的取值范圍.考點(diǎn):含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假性.22.(本小題滿分14分)如圖,已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)且與軸相切,點(diǎn)關(guān)于圓心的對(duì)稱點(diǎn)為,動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.(1)求曲線的方程;(2)設(shè)是曲線上的一個(gè)定點(diǎn),過點(diǎn)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線,分別與曲線相交于另外兩點(diǎn)、,證明:直線的斜率為定值.參考答案:(1)(法1)設(shè),因?yàn)辄c(diǎn)在圓上,且點(diǎn)關(guān)于圓心的對(duì)稱點(diǎn)為,所以,
…………1分且圓的直徑為.…………2分由題意,動(dòng)圓與軸相切,所以,兩邊平方整理得:,所以曲線的方程.
……6分(法2)因?yàn)閯?dòng)圓過定點(diǎn)且與軸相切,所以動(dòng)圓在軸上方,連結(jié),因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于圓心的對(duì)稱點(diǎn)為,所以為圓的直徑.過點(diǎn)作軸,垂足為,過點(diǎn)作軸,垂足為(如圖6-1).在直角梯形中,,即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到軸的距離1.…3分又動(dòng)點(diǎn)位于軸的上方(包括軸上),所以動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等.故動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn),以直線為準(zhǔn)線的拋物線.所以曲線的方程.
……………6分(2)①(法1)由題意,直線的斜率存在且不為零,如圖6-2.設(shè)直線的斜率為(),則直
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