廣東省惠州市飛鵝中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

廣東省惠州市飛鵝中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.雙曲線的漸近線方程是A. B.C. D.參考答案：B【分析】由雙曲線方程求得，由漸近線方程求得結(jié)果.【詳解】由雙曲線方程得：，漸近線方程為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線漸近線的求解，屬于基礎(chǔ)題.

2.點(diǎn)P是曲線x2﹣y﹣2ln=0上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線4x+4y+1=0的最小距離是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算；兩條直線平行的判定；兩條平行直線間的距離．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)等于已知直線的斜率求出x的值，即與直線4x+4y+1=0平行的切線的切點(diǎn)橫坐標(biāo)，代入曲線方程求出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出切點(diǎn)到直線的距離，即最小距離．【解答】解：即∴又4x+4y+1=0即為y=﹣x令得與直線4x+4y+1=0平行的切線的切點(diǎn)為∴點(diǎn)P到直線4x+4y+1=0的最小距離是故選B3.有以下命題：①命題“使”的否定是“”；②橢圓的離心率為，則越接近于1，橢圓越扁；越接近于0，橢圓越圓；③不是奇函數(shù)的函數(shù)的圖像不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.其中，錯(cuò)誤的命題的個(gè)數(shù)是（

）A．3 B．2 C．1 D．0參考答案：D略4.已知函數(shù)則下列圖象錯(cuò)誤的是

(

)參考答案：B5.是的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如右圖所示，則的圖象只可能是（

）A

B

C

D參考答案：D略6.若命題p:0是偶數(shù)，命題q:2是3的約數(shù).則下列命題中為真的是

(

)A.p且q

B.非p且非qC.非p

D.p或q參考答案：C略7.過(guò)球心的10個(gè)平面，其中任何三個(gè)平面都不交于同一條直線，它們將球面分成（

）（A）92部分

（B）1024部分

（C）516部分

（D）100部分參考答案：A8.我國(guó)發(fā)射的“神舟七號(hào)”飛船的運(yùn)行軌道是以地球的中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，近地點(diǎn)A距地面為千米，遠(yuǎn)地點(diǎn)B距地面為千米，地球半徑為千米，則飛船運(yùn)行軌道的短軸長(zhǎng)為（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：A9.函數(shù)的定義域?yàn)镈，若滿足①在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②存在使在上的值域?yàn)?，那么就稱為“成功函數(shù)”，若函數(shù)，（）是“成功函數(shù)”，則t的取值范圍是

（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】由，（）是“成功函數(shù)”，知在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，由題意得，故，由此能求出t的取值范圍．【詳解】∵，（）是“成功函數(shù)”，當(dāng)時(shí)，f（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，f（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，∴f（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，由題意得，∴，，令，∴有兩個(gè)不同的正數(shù)根，∴，解得．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了方程解的個(gè)數(shù)判斷，函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．10.已知雙曲線中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為，直線與其相交于M，N兩點(diǎn)，且MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,則此雙曲線的方程式為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，則點(diǎn)恰好落在第二象限的概率為

.參考答案：12.設(shè)，若向量，，且，則點(diǎn)的軌跡C的方程為__________________.參考答案：略13.設(shè)實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為____________．參考答案：略14.圓x2+y2-2x-2y+1=0上的動(dòng)點(diǎn)Q到直線3x+4y+8=0距離的最小值為______.參考答案：2略15.若函數(shù)f（x）=loga（4﹣ax）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，則a的范圍為．參考答案：（1，2）【考點(diǎn)】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性．【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；分析法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由對(duì)數(shù)式的底數(shù)大于0可得內(nèi)函數(shù)t=4﹣ax為減函數(shù)，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得a＞1，求出內(nèi)函數(shù)在[1，2]上的最小值，再由最小值大于0求得a的范圍，取交集得答案．【解答】解：∵a＞0，∴函數(shù)t=4﹣ax為減函數(shù)，要使函數(shù)f（x）=loga（4﹣ax）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，則外函數(shù)y=logat為定義域內(nèi)的增函數(shù)，∴a＞1，又內(nèi)函數(shù)t=4﹣ax為減函數(shù)，∴內(nèi)函數(shù)t=4﹣ax在[1，2]上的最小值為4﹣2a．由4﹣2a＞0，得a＜2．∴a的范圍為（1，2）．故答案為：（1，2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，復(fù)合的兩個(gè)函數(shù)同增則增，同減則減，一增一減則減，注意對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域是求解的前提，考查學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力，是中檔題．16.若輸入8，則下列程序執(zhí)行后輸出的結(jié)果是________。參考答案：0.7無(wú)17.若，則

．參考答案：，.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.設(shè)關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù)（1）求；（2）是否存在常數(shù)a，b，c使得對(duì)一切自然數(shù)n都成立？并證明你的結(jié)論參考答案：（1），，（2）根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法思想，先利用特殊值來(lái)得到參數(shù)的a,b,c的值，然后對(duì)于解題的結(jié)果運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。試題分析：解：（1），，3分（2）假設(shè)存在a,b,c使題設(shè)的等式成立，這時(shí)，n=1,2,3得6分于是，對(duì)n=1,2,3下面等式成立：8分記假設(shè)n=k時(shí)上式成立，即10分那么也就是說(shuō)，等式對(duì)n=k+1也成立

3分綜上所述，當(dāng)a=3,b=11,c=10時(shí)，題設(shè)的等式對(duì)一切自然數(shù)n成立

14分考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用點(diǎn)評(píng)：主要是考查了運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)相關(guān)的命題，以及歸納猜想思想的運(yùn)用。屬于中檔題。19.(9分)已知函數(shù)．

（Ⅰ）若，求函數(shù)的極小值；

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，試問：在定義域內(nèi)是否存在三個(gè)不同的自變量使得的值相等，若存在，請(qǐng)求出的范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由？參考答案：（Ⅰ）定義域?yàn)?，由已知得?/p>

………2分則當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，

故函數(shù)的極小值為．

…………6分（Ⅱ）若存在，設(shè)，則對(duì)于某一實(shí)數(shù)方程在上有三個(gè)不等的實(shí)根，設(shè)，則函數(shù)的圖象與x軸有三個(gè)不同交點(diǎn)，即在有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．……9分顯然在上至多只有一個(gè)零點(diǎn)

則函數(shù)的圖象與x軸至多有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則這樣的不存在。

……13分20.已知函數(shù)，g（x）=（1+a）x，（a∈R）．（Ⅰ）設(shè)h（x）=f（x）﹣g（x），求h（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若對(duì)?x＞0，總有f（x）≥g（x）成立．（1）求a的取值范圍；（2）證明：對(duì)于任意的正整數(shù)m，n，不等式恒成立．參考答案：考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：（Ⅰ），先求出導(dǎo)函數(shù)，再分情況①當(dāng)a≤0時(shí)②當(dāng)0＜a＜1時(shí)③當(dāng)a=1時(shí)④當(dāng)a＞1時(shí)進(jìn)行討論（Ⅱ）（1）由題意得到即h（x）≥0恒成立，分離參數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)函數(shù)最小值即可．（2）當(dāng)時(shí)，，轉(zhuǎn)化為，分別令x=m+1，m+2，…，m+n，利用放縮法，從而證得結(jié)論．解答：解：（Ⅰ）h（x）=f（x）﹣g（x）=x2+alnx﹣（1+a）x，定義域?yàn)閧x|x＞0}，∴h′（x）=x+﹣（1+a）=，…（1分）①當(dāng)a≤0時(shí)，令h′（x）＞0，∵x＞0，∴x＞1，令h′（x）＜0，∴0＜x＜1；②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，令h′（x）＞0，則x＞1或0＜x＜a，令h′（x）＜0，∴a＜x＜1；

…（3分）③當(dāng)a=1時(shí)，恒成立；④當(dāng)a＞1時(shí)，令h′（x）＞0，則x＞a或0＜x＜1，令h′（x）＜0，∴1＜x＜a；

…（4分）綜上：當(dāng)a≤0時(shí)，h（x）的增區(qū)間為（1，+∞），h（x）的減區(qū)間為（0，1）；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，h（x）的增區(qū)間為（0，a）和（1，+∞），h（x）的減區(qū)間為（a，1）；當(dāng)a=1時(shí)，h（x）的增區(qū)間為（0，+∞）；當(dāng)a＞1時(shí)，h（x）的增區(qū)間為（0，1）和（a，+∞），h（x）的減區(qū)間為（1，a）．…（5分）（Ⅱ）（1）由題意，對(duì)任意x∈（0，+∞），f（x）﹣g（x）≥0恒成立，即h（x）≥0恒成立，只需h（x）min≥0．…（6分）由第（Ⅰ）知：∵，顯然當(dāng)a＞0時(shí)，h（1）＜0，此時(shí)對(duì)任意x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）不能恒成立；

…（8分）當(dāng)a≤0時(shí)，，∴；綜上：a的取值范圍為．…（9分）（2）證明：由（1）知：當(dāng)時(shí)，，…（10分）即lnx≤x2﹣x，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立．當(dāng)x＞1時(shí)，可以變換為，…（12分）在上面的不等式中，令x=m+1，m+2，…，m+n，則有==∴不等式恒成立．…（14分）點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，不等式的證明，滲透了分類討論的思想，屬于難題．21.如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=9，D，E分別為AC、AB上的點(diǎn)，且DE∥BC，DE=4，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如圖2．（1）求證：A1C⊥平面BCDE；（2）若M是A1D的中點(diǎn)，求CM與平面A1BE所成角的正弦值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面所成的角；直線與平面垂直的判定．【分析】（1）推導(dǎo)出DE⊥AC，DE⊥A1D，DE⊥CD，從而DE⊥A1C．再由A1C⊥CD，能證明A1C⊥平面BCDE．（2）以C為原點(diǎn)，CB為x軸，CD為y軸，CA1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由此能求出CM與平面A1BE所成角的正弦值．【解答】證明：（1）∵AC⊥BC，DE∥BC，∴DE⊥AC．∴DE⊥A1D，DE⊥CD，∴DE⊥平面A1DC．∴DE⊥A1C．又∵A1C⊥CD，∴A1C⊥平面BCDE．解：（2）以C為原點(diǎn)，CB為x軸，CD為y軸，CA1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，C（0，0，0），A1（0，0，3），D（0，3，0），M（0，，），B（6，0，0），E（4，3，0），=（0，），=（﹣6，0，3），=（﹣2，3，0），設(shè)平面A1BE的法向量=（x，y，z），則，取x=1，=（1，，），設(shè)CM與平面A1BE所成角為θ，sinθ===．∴CM與平面A1BE所成角的正弦值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面垂直，考查線面角，考查面面垂直，既有傳統(tǒng)方法，又有向量知識(shí)的運(yùn)用，要加以體會(huì)．22.根據(jù)2012年初發(fā)布的《環(huán)境空氣質(zhì)量指數(shù)AQI技術(shù)規(guī)定（試行）》，AQI共分為六級(jí)，其中：0到50為一級(jí)優(yōu)，51到100為二級(jí)良，101到150為三級(jí)輕度污染，151到200為四級(jí)中度污染，201到300為五級(jí)重度污染，300以上為六級(jí)嚴(yán)重污染．自2013年11月中旬北方啟動(dòng)集中供暖后北京市霧霾天氣明顯增多，有人質(zhì)疑集中供暖加重了環(huán)境污染，以下數(shù)據(jù)是北京市環(huán)保局隨機(jī)抽取的供暖前15天和供暖后15天的AQI數(shù)據(jù)：AQI（0,50]（50,1