廣東省惠州市惠陽區(qū)沙田中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析

廣東省惠州市惠陽區(qū)沙田中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如果函數(shù)y=3cos（2x+φ）的圖象關(guān)于點(diǎn)（，0）中心對稱，那么|φ|的最小值為(

)A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換；余弦函數(shù)的對稱性．【專題】計(jì)算題．【分析】先根據(jù)函數(shù)y=3cos（2x+φ）的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，令x=代入函數(shù)使其等于0，求出φ的值，進(jìn)而可得|φ|的最小值．【解答】解：∵函數(shù)y=3cos（2x+φ）的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱．∴∴由此易得．故選A【點(diǎn)評】本題主要考查余弦函數(shù)的對稱性．屬基礎(chǔ)題．2.若x，y滿足約束條件，則的最小值為（

）．A．0 B．2 C．4 D．13參考答案：C畫出可行域，數(shù)形結(jié)合可得在處取得最優(yōu)解，代入得最小值為4，故選C3.在區(qū)間[0，10]內(nèi)隨機(jī)取出兩個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)的平方和也在區(qū)間[0，10]內(nèi)的概率是(

)A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】等可能事件的概率．【專題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】首先分析題目求這兩個(gè)數(shù)的平方和也在區(qū)間[0，10]內(nèi)的概率，可以聯(lián)想到用幾何的方法求解，利用面積的比值直接求得結(jié)果．【解答】解：將取出的兩個(gè)數(shù)分別用x，y表示，則x，y∈[0，10]要求這兩個(gè)數(shù)的平方和也在區(qū)間[0，10]內(nèi)，即要求0≤x2+y2≤10，故此題可以轉(zhuǎn)化為求0≤x2+y2≤10在區(qū)域內(nèi)的面積比的問題．即由幾何知識可得到概率為；故選D．【點(diǎn)評】此題考查等可能時(shí)間概率的問題，利用幾何概型的方法解決本題，概率知識在高考中難度有所下降，對利用古典概型和幾何概型的基本方法要熟練掌握．4.已知點(diǎn)P在直線上，點(diǎn)Q在直線上，線段PQ的中點(diǎn)，且，則的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D試題分析：在平面直角坐標(biāo)系中畫出直線與,結(jié)合圖像可以看出的幾何意義是動(dòng)點(diǎn)是射線上點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的連線的斜率,因此其范圍是,故應(yīng)選答案D.考點(diǎn)：線性規(guī)劃的區(qū)域及運(yùn)用．【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題考查的是線性約束條件的與數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用問題,解答時(shí)先準(zhǔn)確的畫出直線與全,再搞清與的幾何意義,將問題轉(zhuǎn)化為求射線上動(dòng)點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的連線段的斜率的取值范圍問題.求解時(shí)借助動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,從軸的負(fù)半軸上起,將向左和向右轉(zhuǎn)動(dòng),借助圖象不難看出當(dāng)?shù)男甭蕰r(shí)符合題設(shè)；當(dāng)?shù)男甭蕰r(shí)也符合題設(shè)條件,故所求的范圍是.5.已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且滿足對任意的，都有，成立，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A6.已知角α終邊與單位圓x2+y2=1的交點(diǎn)為，則=（）A． B． C． D．1參考答案：A【考點(diǎn)】運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡求值；任意角的三角函數(shù)的定義．【分析】由條件利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得cosα的值，再利用誘導(dǎo)公式、二倍角的余弦公式求得的值．【解答】解：由題意可得，cosα=，則=cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=﹣，故選：A．7.過圓：的圓心P的直線與拋物線C：相交于A，B兩點(diǎn)，且，則點(diǎn)A到圓P上任意一點(diǎn)的距離的最大值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A由題，設(shè)，不妨設(shè)點(diǎn)A位于第一象限，則由可得解方程可得，則故點(diǎn)到圓上任意一點(diǎn)的距離的最大值為.

8.為各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列，為前項(xiàng)和，且,，那么（

）A．

B．

C．或

D．或參考答案：A略9.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積；由三視圖求面積、體積．【分析】由已知中的三視圖，可得該幾何體是一個(gè)以俯視圖左下角的三角形為底面的三棱錐和一個(gè)以俯視圖右上角的三角形為底面的三棱柱相加的組合體，代入棱錐和棱柱的體積公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三視圖，可得：該幾何體是一個(gè)以俯視圖左下角的三角形為底面的三棱錐和一個(gè)以俯視圖右上角的三角形為底面的三棱柱相加的組合體，棱錐和棱柱的底面面積均為：S==，高均為h=3，故組合體的體積V=Sh+Sh=4，故選：A10.已知，且7，則（

） A．

B．

C．

D．參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.數(shù)列滿足：，給出下述命題：①若數(shù)列滿足：，則成立；②存在常數(shù)，使得成立；③若，則；④存在常數(shù)，使得都成立．上述命題正確的是____．(寫出所有正確結(jié)論的序號)參考答案：①④考點(diǎn)：數(shù)列綜合應(yīng)用對①；因?yàn)椋杂梢阎?/p>

所以，即，正確

對②；假設(shè)存在在常數(shù)，使得，則有，所以應(yīng)有最大值，錯(cuò)。

對③，因?yàn)?，，所以假設(shè)，則應(yīng)有，即原數(shù)列應(yīng)為遞增數(shù)列，錯(cuò)

對④，不妨設(shè)，，則，若存在常數(shù)，使得，

應(yīng)有，顯然成立，正確

所以正確命題的序號為①④所以正確命題的序號為①④12.在數(shù)列{an}中，，則的值為______．參考答案：1【分析】由，可得，利用“累加法”可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)樗裕?,各式相加，可得，，所以，，故答案為1.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用遞推關(guān)系求數(shù)列中的項(xiàng)，屬于中檔題.利用遞推關(guān)系求數(shù)列中的項(xiàng)常見思路為：（1）項(xiàng)的序號較小時(shí)，逐步遞推求出即可；（2）項(xiàng)的序數(shù)較大時(shí)，考慮證明數(shù)列是等差、等比數(shù)列，或者是周期數(shù)列；（3）將遞推關(guān)系變形，利用累加法、累乘法以及構(gòu)造新數(shù)列法求解.13.已知雙曲線中，是左、右頂點(diǎn)，是右焦點(diǎn)，是虛軸的上端點(diǎn)．若在線段上（不含端點(diǎn)）存在不同的兩點(diǎn)，使得△構(gòu)成以為斜邊的直角三角形，則雙曲線離心率的取值范圍是

參考答案：略14.=．參考答案：π+2【考點(diǎn)】67：定積分．【分析】由和的積分等于積分的和展開，然后由定積分的幾何意義求得，再求得，作和得答案．【解答】解：=，令y=，得x2+y2=4（y≥0），則圓x2+y2=4的面積為4π，由定積分的幾何意義可得，，又，∴=π+2．故答案為：π+2．15.（+2x）dx=

．參考答案：1+ln2考點(diǎn)：定積分．專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：找出被積函數(shù)的原函數(shù)，然后代入上下限計(jì)算．解答： 解：（+2x）dx==1+ln2；故答案為：1+ln2．點(diǎn)評：本題考查了定積分的運(yùn)算，熟練找出被積函數(shù)的原函數(shù)是求定積分的關(guān)鍵．16.函數(shù)f（x）=，若方程f（x）=kx﹣恰有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是．參考答案：（，）【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【分析】設(shè)g（x）=kx﹣，則g（x）過點(diǎn)（0，﹣），作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．【解答】解：設(shè)g（x）=kx﹣，則g（x）過點(diǎn)（0，﹣），過點(diǎn)（1，0）和（0，﹣）的直線的斜率k=，此時(shí)函數(shù)f（x）與g（x）只有3個(gè)交點(diǎn)，過點(diǎn)（0，﹣）的直線與f（x）相切時(shí)，函數(shù)f（x）與g（x）只有3個(gè)交點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)為（a，lna），則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=，即切線斜率k=，則切線方程為y﹣lna=（x﹣a）=x﹣1，即y=x+lna﹣1，∵y=kx+，∴l(xiāng)na﹣1=﹣，得lna=，a=，此時(shí)k==，故要使程f（x）=kx﹣恰有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則＜k＜，故答案為：（，）17.設(shè)為正數(shù),且

則的最大值是___________.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知軸對稱平面五邊形ADCEF（如圖1），BC為對稱軸，ADCD，AD=AB=1，CD=BC=，將此圖形沿BC折疊成直二面角，連接AF、DE得到幾何體（如圖2）

(1)證明：AF//平面DEC；

（2）求二面角E—AD—B的正切值。參考答案：解：（Ⅰ）以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以射線BF、BC、BA為x軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示的坐標(biāo)系.由已知與平面幾何知識得，，

∴，∴，∴AF∥DE，又∥…………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得四點(diǎn)共面，，設(shè)平面，，則，不妨令，故，由已知易得平面ABCD的一個(gè)法向量為，∴，∴二面角E-AD-B的正切值為.…………12分19.（本小題滿分12分）如圖，在梯形ABCD中，AB//CD,AD=DC=CB=1，，四邊形ACFE為矩形，平面平面ABCD，CF=1.（1）求證：平面ACFE；（2）點(diǎn)M在線段EF上運(yùn)動(dòng)，設(shè)平面MAB與平面FCB所成二面角的平面角為，試求的取值范圍.參考答案：20.已知橢圓C：過點(diǎn)A（﹣1，），B（），F(xiàn)為橢圓C的左焦點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）若點(diǎn)B為直線l1：x+y+2＝0與直線l2：2x﹣y+4＝0的交點(diǎn)，過點(diǎn)B的直線1與橢圓C交于D，E兩點(diǎn)，求△DEF面積的最大值，以及此時(shí)直線l的方程．參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）△DEF面積的最大值，直線l的方程．【分析】（Ⅰ）由橢圓所過定點(diǎn)，待定系數(shù)法列方程組能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．（Ⅱ）聯(lián)立方程得出B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直線過定點(diǎn)設(shè)出過B點(diǎn)的直線，與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理、弦長公式、不等式性質(zhì)，結(jié)合已知條件能求出△DEF面積的最大值S，并能求出相應(yīng)的直線方程．【詳解】（1）∵橢圓C：＝1（a＞b＞0）過點(diǎn)A（﹣1，），B（），F(xiàn)為橢圓C的左焦點(diǎn)．∴，解得a2＝2，b2＝1，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＝1．（Ⅱ）點(diǎn)B為直線l1：x+y+2＝0與直線l2：2x﹣y+4＝0的交點(diǎn)，聯(lián)立，得B（﹣2，0），設(shè)D（x1，y1），E（x2，y2），由題意設(shè)直線l的方程為x＝my﹣2，代入橢圓方程得（m2+2）y2﹣4my+2＝0，則△＝16m2﹣8（m2+2）＝8m2﹣16＞0，∴m2＞2，，y1y2＝，∴S△DEF＝S△BEF﹣S△BDF＝|BF||y1﹣y2|＝＝≤，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即m2＝6（滿足△＞0）時(shí)取得等號，∴△DEF面積的最大值S＝，此時(shí)直線1的方程為x＝，即y＝（x+2）．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．21.已知函數(shù)f（x）=2lnx﹣x2+ax（a∈R）．（1）若函數(shù)f（x）的圖象在x=2處切線的斜率為﹣1，且不等式f（x）≥2x+m在上有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）若函數(shù)f（x）的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A（x1，0），B（x2，0），且0＜x1＜x2，求證：（其中f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)）．參考答案：【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（1）通過求導(dǎo)得到函數(shù)f（x）的圖象在x=2處切線的斜率，由此求得a=2，得到函數(shù)解析式，然后利用分離變量法得到m≤2lnx﹣x2，利用導(dǎo)數(shù)求出g（x）=2lnx﹣x2在上的最大值得答案；（2）由f（x）的圖象與x軸交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A（x1，0），B（x2，0），可得方程2lnx﹣x2+ax=0的兩個(gè)根為x1，x2，把兩根代入方程后作差得到，求得，然后令換元，再通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出所構(gòu)造出函數(shù)的最大值小于等于0得答案．【解答】（1）解：由，得切線的斜率k=f'（2）=a﹣3=﹣1，∴a=2，故f（x）=2lnx﹣x2+2x，由f（x）≥2x+m，得m≤2lnx﹣x2，∵不等式f（x）≥2x+m在上有解，∴m≤（2lnx﹣x2）max．令g（x）=2lnx﹣x2，則，∵x∈，故g′（x）=0時(shí)，x=1．當(dāng)時(shí)，g'（x）＞0；當(dāng)1＜x＜e時(shí)，g'（x）＜0．故g（x）在x=1處取得最大值g（1）=﹣1，∴m≤﹣1；（2）證明：∵f（x）的圖象與x軸交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A（x1，0），B（x2，0），∴方程2lnx﹣x2+ax=0的兩個(gè)根為x1，x2，則，兩式相減得，