廣東省惠州市東江高級(jí)中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析

廣東省惠州市東江高級(jí)中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若，有下面四個(gè)不等式：①|(zhì)a|＞|b|；②a＜b；③a+b＜ab，④a3＞b3，不正確的不等式的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3參考答案：C考點(diǎn)： 不等關(guān)系與不等式．

專題： 證明題．分析： 由條件可得0＞a＞b，代入各個(gè)選項(xiàng)，檢驗(yàn)各個(gè)選項(xiàng)是否正確．解答： 解：由，可得0＞a＞b，∴|a|＜|b|，故①②不成立；∴a+b＜0＜ab，a3＞b3都成立，故③④一定正確，故選C．點(diǎn)評(píng)： 本題考查不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是判斷出

0＞a＞b．2.直線y=m分別與曲線y=2x+3，交于A，B，則的最小值為

A.3

B．2

C.

D．參考答案：B3.如果a＞b＞0，且a+b=1，那么在不等式①；②；③；④中，一定成立的不等式的序號(hào)是（）A．① B．② C．③ D．④參考答案：D【考點(diǎn)】不等式的基本性質(zhì)．【分析】通過(guò)特殊值判斷①②，通過(guò)通分判斷③，通過(guò)基本不等式的性質(zhì)判斷④．【解答】解：如果a＞b＞0，且a+b=1，那么①，②，令a=0.8，b=0.2，顯然不成立，故①②錯(cuò)誤；③+==，故錯(cuò)誤；④1=a+b＞2，故，故④正確，故選：D．4.a，b，c分別為銳角△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A.(1,3) B. C. D.(1,2)參考答案：D【分析】由，所以，利用余弦定理，得，再由正弦定理，得，求得，結(jié)合銳角，求得，，根據(jù)，即可求解的取值范圍.【詳解】由題意，函數(shù)為偶函數(shù)且有唯一零點(diǎn)，則，所以.由余弦定理，得，整理得，即，所以，由正弦定理，得，即，所以，所以，所以或（舍），故，結(jié)合銳角，，則，，所以，由，又因?yàn)?，所以，即的取值范圍是，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用正弦定理和三角函數(shù)的恒等變換求解三角形問(wèn)題，對(duì)于解三角形問(wèn)題，通常利用正弦定理進(jìn)行“邊轉(zhuǎn)角”尋求角的關(guān)系，利用“角轉(zhuǎn)邊”尋求邊的關(guān)系，利用余弦定理借助三邊關(guān)系求角，利用兩角和差公式及二倍角公式求三角函數(shù)值.利用正、余弦定理解三角形問(wèn)題是高考高頻考點(diǎn)，經(jīng)常利用三角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式，結(jié)合正、余弦定理解題.5.若函數(shù)在區(qū)間（－∞，2上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．－，+∞）

B．（－∞，－

C．，+∞）

D．（－∞，參考答案：B略6.已知所在平面內(nèi)一點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，且那么（

）（A）

（B）

（C）

（D）

參考答案：A7.已知雙曲線的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，以線段F1F2為直徑的圓與雙曲線的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為M，若，該雙曲線的離心率為e，則（

）A.2 B. C. D.參考答案：D以線段為直徑的圓方程為,雙曲線經(jīng)過(guò)第一象限的漸近線方程為,聯(lián)立方程,求得,因?yàn)?所以有,又,平方化簡(jiǎn)得,由求根公式有(負(fù)值舍去).選D.點(diǎn)睛:本題主要考查雙曲線的離心率,計(jì)算量比較大,屬于中檔題.本題思路:由已知條件求出圓的方程和直線方程,聯(lián)立求出在第一象限的交點(diǎn)M坐標(biāo),由兩點(diǎn)間距離公式,求出離心率的平方.涉及的公式有雙曲線中,兩點(diǎn)間距離公式,求根公式等.8.等差數(shù)列中，，，則（

）

A

B

C

D

參考答案：B略9.已知向量、夾角為60°，且||=2，|﹣2|=2，則||=（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3參考答案：C【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】由|﹣2|=2得，展開(kāi)左邊后代入數(shù)量積公式，化為關(guān)于的一元二次方程求解．【解答】解：∵|﹣2|=2，∴，即60°，∴，即，解得．故選：C．10.在銳角三角形ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，已知，，，則△ABC的面積為（

）A． B．

C.

D．參考答案：A∵，，∴，即，，又∴,∵，∴,∴∴，∴由正弦定理可得：，解得：.故選：A

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足x+2xy﹣1=0，則x+y取值范圍是

．參考答案：∪

【考點(diǎn)】基本不等式．【分析】由x+2xy﹣1=0，可得y=，（x≠0）．則x+y=x+=x+﹣，對(duì)x分類討論，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．【解答】解：∵x+2xy﹣1=0，∴y=，（x≠0）．則x+y=x+=x+﹣，x＞0時(shí)，x+y≥﹣=﹣，當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)取等號(hào)．x＜0時(shí)，x+y=﹣≤﹣2﹣=﹣﹣，當(dāng)且僅當(dāng)x=﹣時(shí)取等號(hào)．綜上可得：x+y取值范圍是∪．故答案為：∪．12.已知集合表示的平面區(qū)域?yàn)?，若在區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)，若，則的取值范圍是

。參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．E5【答案解析】

解析：作出其平面區(qū)域如圖：u==2+，可看成點(diǎn)P（x，y）與點(diǎn)A（﹣1，﹣1）構(gòu)成的直線的斜率，∵kAC=1，kAB==5，∴1≤≤5，∴3≤2+≤7，故答案為[3，7]．【思路點(diǎn)撥】作出其平面區(qū)域，化簡(jiǎn)u==2+，可看成點(diǎn)P（x，y）與點(diǎn)A（﹣1，﹣1）構(gòu)成的直線的斜率，從而求u的取值范圍．13.若“”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

。參考答案：略14.設(shè)為實(shí)數(shù)，定義{}為不小于的最小整數(shù)，例如{5.3}=6，{-5.3}=-5，則關(guān)于的方程{3+4}=2+的全部實(shí)根之和為

．參考答案：-615.已知函數(shù)f（x）=|cosx|?sinx，給出下列四個(gè)說(shuō)法：①f（x）為奇函數(shù)；

②f（x）的一條對(duì)稱軸為x=；③f（x）的最小正周期為π；

④f（x）在區(qū)間[﹣，]上單調(diào)遞增；⑤f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（﹣，0）成中心對(duì)稱．其中正確說(shuō)法的序號(hào)是

．參考答案：①②④【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】先化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的奇偶性判斷①；根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)f（π﹣x）后，得到與f（x）的關(guān)系可判斷②；根據(jù)函數(shù)周期性的定義判斷③；由二倍角公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷④；根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)f（﹣π﹣x）后，得到與﹣f（x）的關(guān)系可判斷⑤．【解答】解：函數(shù)f（x）=|cosx|?sinx=（k∈Z），①、f（﹣x）=|cos（﹣x）|?sin（﹣x）=﹣|cosx|?sinx=﹣f（x），則f（x）是奇函數(shù)，①正確；②、∵f（π﹣x）=|cos（π﹣x）|?sin（π﹣x）=|﹣cosx|?sinx=f（x），∴f（x）的一條對(duì)稱軸為x=，②正確；③、∵f（π+x）=|cos（π+x）|?sin（π+x）=|﹣cosx|?（﹣sinx）=﹣f（x）≠f（x），∴f（x）的最小正周期不是π，③不正確；④、∵x∈[﹣，]，∴f（x）=|cosx|?sinx=sin2x，且2x∈[，]，∴f（x）在區(qū)間[﹣，]上單調(diào)遞增，④正確；⑤、∵f（﹣π﹣x）=|cos（﹣π﹣x）|?sin（﹣π﹣x）=|﹣cosx|?sinx=f（x）≠﹣f（x），∴f（x）的圖象不關(guān)于點(diǎn)（﹣，0）成中心對(duì)稱，⑤不正確；故答案為：①②④．16.設(shè)函數(shù),觀察:根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得：當(dāng)且時(shí)，

參考答案：17.設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)，則=

．參考答案：0三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)P在第四象限，A為左頂點(diǎn)，B為上頂點(diǎn)，PA交軸于點(diǎn)C，PB交軸于點(diǎn)D．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求面積的最大值．參考答案：（1）；（2）.【分析】（1）由條件可得，，從而可解得橢圓方程；（2）設(shè)P（m，n），m＞0，n<0，PA：，PB：，可得C（0，），D（），得，可設(shè)，可得，令,1，從而可得最值.【詳解】（1）由已知得，?，點(diǎn)（，）代入1可得．代入點(diǎn)（，）解得b2＝1，a=2∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：．（2）可得A（﹣2，0），B（0，1）．設(shè)P（m，n），m＞0，n<0，且.PA：，PB：，可得C（0，），D（）．.由，可設(shè).則.令,則，.則.又，當(dāng)時(shí)，.取得最大值，最大值為1．【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查橢圓和直線相交所形成的三角形的面積計(jì)算及面積最大值的求法，考查利用三角換元求最大值，綜合性較強(qiáng)，屬于較難的題目.求解橢圓中三角形的面積問(wèn)題，一方面要利用幾何關(guān)系表示面積，另一方面求出面積的表達(dá)后，要選擇合適的方法來(lái)求最值.

19.(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù).(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，設(shè)在處取得最小值，求證：.參考答案：(Ⅰ)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析.試題分析：(Ⅰ)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求解；（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)借助導(dǎo)數(shù)的知識(shí)分類求解即可.試題解析:（I）當(dāng)時(shí)，………1分因?yàn)閱握{(diào)遞增，單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞增，且，因此當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增…………5分令，得；令，得故在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，故.………………………12分考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)及運(yùn)用．【易錯(cuò)點(diǎn)晴】導(dǎo)數(shù)是解決函數(shù)問(wèn)題的重要工具.本題考查的是導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性中運(yùn)用問(wèn)題,第一問(wèn)中討論函數(shù)的單調(diào)性就是研究函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)問(wèn)題,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的值與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系,直接建立不等式就可求出其單調(diào)區(qū)間,從而確定函數(shù)在該區(qū)間的單調(diào)性；第二問(wèn)中證明不等式的問(wèn)題的求解思路是合理構(gòu)造出函數(shù)出,最后通過(guò)求該函數(shù)的最大值使得問(wèn)題獲證.20.本小題滿分12分）已知是邊長(zhǎng)為2的正三角形，P,Q依次是AB,AC邊上的點(diǎn)，且線段PQ將分成面積相等的兩部分，設(shè)（1）求t關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式：（2）求y的最值，并寫(xiě)出取得最值得條件。參考答案：21.（13分）設(shè)函數(shù)f（x）=lnx﹣ax，（Ⅰ）當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]內(nèi)的最大值；（Ⅱ）當(dāng)a=﹣1時(shí)，方程2mf（x）=x2有唯一實(shí)數(shù)解，求正數(shù)m的值．參考答案：【考點(diǎn)】：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】：（1）對(duì)a分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出；（2）方程2mf（x）=x2有唯一實(shí)數(shù)解，即x2﹣2mlnx﹣2mx=0有唯一實(shí)數(shù)解，設(shè)g（x）=x2﹣2mlnx﹣2mx，利用導(dǎo)數(shù)可得其最小值為g（x2）．則，即2lnx2+x2﹣1=0．設(shè)h（x）=2lnx+x﹣1（x＞0），再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．④解：（1）．令f'（x）=0得．∵時(shí)，f'（x）＞0，時(shí)，f'（x）＜0，∴f（x）在遞增，在遞減．①當(dāng)即a≥1時(shí)，f（x）在[1，e]上遞減，∴x=1時(shí)f（x）取最大值f（1）=﹣a．②當(dāng)即時(shí)，f（x）在遞增，在遞減，∴時(shí)，f（x）取最大值．③當(dāng)即時(shí)，f（x）在（1，e）遞增，∴x=e時(shí)f（x）取最大值f（e）=1﹣ae．（2）∵方程2mf（x）=x2有唯一實(shí)數(shù)解，即x2﹣2mlnx﹣2mx=0有唯一實(shí)數(shù)解，設(shè)g（x）=x2﹣2mlnx﹣2mx，則．令g'（x）=0，x2﹣mx﹣m=0．∵m＞0，x＞0，∴（舍去），．當(dāng)x∈（0，x2）時(shí)，g'（x）＜0，g（x）在（0，x2）上單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（x2，+∞）時(shí)，g'（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）上單調(diào)遞增．∴g（x）最小值為g（x2）．則，即∴2mlnx2+mx2﹣m=0即2lnx2+x2﹣1=0．設(shè)h（x）=2lnx+x﹣1（x＞0），恒成立，故h（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，h（x）=0至多有一解．又h（1）=0，∴x2=1，即，解得．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了問(wèn)題的轉(zhuǎn)化能力，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．22.如圖，矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)為G，AD⊥平面ABE，AE⊥EB，AE=EB=BC=2，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF⊥CE．（Ⅰ）求證：AE⊥平面BCE；（Ⅱ）求三棱錐C﹣GBF的體積．參考答案：【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面垂直的判定．【專題】綜合題；空間位置關(guān)系與距離．【分析】（Ⅰ）利用線面垂直的性質(zhì)及判定可得BC⊥平面ABE，可得BC⊥AE．再利用線面垂直的判定定理可得AE⊥平面BCE；（Ⅱ）由三角形的中位線定理可得：FG∥AE，．利用線面垂直的性質(zhì)可得FG⊥平面BCE．再利用“等體積變形”即可得出VC﹣GBF=VG﹣BCF計(jì)算出即可．【解答】