廣東省廣州市大敦中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)文月考試題含解析

廣東省廣州市大敦中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知F1，F(xiàn)2是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M（2，3），則∠的角平分線的斜率為A.1

B.

C.2

D.參考答案：C由橢圓+=1，則F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），則直線AF1的方程為y=（x+2），即3x﹣4y+6=0，直線AF2的方程為x=2，由點(diǎn)A在橢圓C上的位置得直線l的斜率為正數(shù)，設(shè)P（x，y）為直線l上一點(diǎn)，則=|x﹣2|，解得2x﹣y﹣1=0或x+2y﹣8=0（斜率為負(fù)，舍），∴直線l的方程為2x﹣y﹣1=0，故選：C

2.設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z=3x+5y的最大值為（A）6 （B）19（C）21 （D）45參考答案：C分析：由題意首先畫出可行域，然后結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的解析式整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.詳解：繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A處取得最大值，聯(lián)立直線方程：，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為：，據(jù)此可知目標(biāo)函數(shù)的最大值為：.本題選擇C選項(xiàng).

3.七巧板是我們祖先的一項(xiàng)創(chuàng)造，被譽(yù)為“東方魔板”，它是由五塊等腰直角三角形（兩塊全等的小三角形、一塊中三角形和兩塊全等的大三角形）、一塊正方形和一塊平行四邊形組成的．如圖是一個(gè)用七巧板拼成的正方形中任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A由七巧板的構(gòu)造可知，，故黑色部分的面積與梯形的面積相等，則所求的概率為，故選A.4.在等比數(shù)列中，若是方程的兩根，則的值是

A．

B．

C．

D．參考答案：B根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系得，由，所以，即，由，所以，選B.5.命題“對(duì)任意R，都有”的否定是

A．存在R，使得

B．不存在R，使得

C．存在R，使得

D．對(duì)任意R，都有參考答案：C6.設(shè)集合，，則（

）A．B．C．D．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】交集的運(yùn)算.A1A

解析：因?yàn)榧?，化?jiǎn)為，所以，故選A.【思路點(diǎn)撥】先化簡(jiǎn)集合M，再求其交集即可。7.函數(shù)的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間為

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A8.從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名同學(xué)，將他們的身高（單位：厘米）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖）．若要從身高在[120,130），[130，140）,[140,150]三組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取18人參加一項(xiàng)活動(dòng)，則從身高在[140，150]內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為

（

） A． B．

C． D．參考答案：B9.已知中心在原點(diǎn)的橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，且左右焦點(diǎn)分別為，兩條曲線在第一象限的交點(diǎn)為P，是以為底邊的等腰三角形.若，橢圓與雙曲線的離心率分別為的取值范圍是A. B. C. D.參考答案：B10.已知下列四個(gè)命題：p1：若f（x）=2x﹣2﹣x，則?x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）；p2：若函數(shù)f(x)=為R上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，+∞）；p3：若函數(shù)f（x）=xlnx﹣ax2有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，）；p4：已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f（x）滿足f(x)=且f（x）=f（x+2），g(x)=，則方程f（x）=g（x）在區(qū)間[﹣5，1]上所有實(shí)根之和為﹣7．其中真命題的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：C【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用；根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【分析】p1：根據(jù)奇函數(shù)的定義判定即可；p2：求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可；p3：先求導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)f（x）=x（lnx﹣ax）有兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于f′（x）=lnx﹣2ax+1有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)y=lnx與y=2ax﹣1的圖象由兩個(gè)交點(diǎn)，在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出它們的圖象．由圖可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍p4：將方程根的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，由圖象讀出即可．【解答】解：關(guān)于命題p1：根據(jù)奇函數(shù)的定義可知，f（﹣x）=2﹣x﹣2x=﹣f（x），故?x∈R，f（﹣x）=﹣f（x），故命題p1正確；關(guān)于命題p2：f′（x）=；∴（1）若a＞0，x≥0時(shí)，f′（x）≥0，即函數(shù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，且ax2+1≥1；要使f（x）在R上為單調(diào)函數(shù)則x＜0時(shí)，a（a+2）＞0，∵a＞0，∴解得a＞0，并且（a+2）eax＜a+2，∴a+2≤1，解得a≤﹣1，不符合a＞0，∴這種情況不存在；（2）若a＜0，x≥0時(shí)，f′（x）≤0，即函數(shù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，且ax2+1≤1；要使f（x）在R上為單調(diào)函數(shù)，則x＜0時(shí)，a（a+2）＜0，解得﹣2＜a＜0，并且（a+2）eax＞a+2，∴a+2≥1，解得a≥﹣1，∴﹣1≤a＜0；綜上得a的取值范圍為[﹣1，0）；故命題p2是假命題；關(guān)于命題p3：由題意，y′=lnx+1﹣2ax令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，函數(shù)y=xlnx﹣ax2有兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于f′（x）=lnx﹣2ax+1有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)y=lnx與y=2ax﹣1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出它們的圖象（如圖）當(dāng)a=時(shí)，直線y=2ax﹣1與y=lnx的圖象相切，由圖可知，當(dāng)0＜a＜時(shí)，y=lnx與y=2ax﹣1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，）；故命題p3正確，關(guān)于命題p4：∵，且f（x+2）=f（x），∴f（x﹣2）﹣2=；又，∴g（x﹣2）﹣2=，當(dāng)x≠2k﹣1，k∈Z時(shí)，上述兩個(gè)函數(shù)都是關(guān)于（﹣2，2）對(duì)稱，；由圖象可得：方程f（x）=g（x）在區(qū)間[﹣5，1]上的實(shí)根有3個(gè)，x1=﹣3，x2滿足﹣5＜x2＜﹣4，x3滿足0＜x3＜1，x2+x3=﹣4；∴方程f（x）=g（x）在區(qū)間[﹣5，1]上的所有實(shí)根之和為﹣7．故命題p4正確；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查均值不等式，主要考查函數(shù)的零點(diǎn)以及數(shù)形結(jié)合方法，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問(wèn)題便迎刃而解，且解法簡(jiǎn)捷二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)函數(shù)，若存在這樣的實(shí)數(shù)，對(duì)任意的，都有成立，則的最小值為

。參考答案：2略12.設(shè)函數(shù)_________.

參考答案：知識(shí)點(diǎn)：其他不等式的解法解析：由題意，得及，解得及，所以使得成立的的取值范圍是；故答案為：?！舅悸伏c(diǎn)撥】利用分段函數(shù)將得到兩個(gè)不等式組解之即可．

13.函數(shù)（）的最小值為

參考答案：2514.如圖為一個(gè)棱長(zhǎng)為2cm的正方體被過(guò)其中三個(gè)頂點(diǎn)的平面削去一個(gè)角后余下的幾何體，試畫出它的正視圖

．

參考答案：（所畫正視圖必須是邊長(zhǎng)為2cm的正方形才給分）略15.已知函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸為，記函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，，則的最小值為

．參考答案：

考點(diǎn)：函數(shù)的極值，三角函數(shù)圖象的對(duì)稱性．【名師點(diǎn)睛】由于正弦函數(shù)的對(duì)稱軸是，對(duì)稱軸與函數(shù)圖象交點(diǎn)為最低點(diǎn)或者是最高點(diǎn)，即對(duì)應(yīng)的函數(shù)值最大或最小，反之亦成立．（余弦函數(shù)也如此），因此的對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)的值就是函數(shù)的極值點(diǎn)，反之亦成立．利用此結(jié)論可以容易地解與三角函數(shù)的極值或?qū)ΨQ軸有關(guān)的問(wèn)題．類似地，函數(shù)的對(duì)稱中心就是函數(shù)的零點(diǎn)．16.已知實(shí)數(shù)x，y滿足則的最大值為

．參考答案：8畫出不等式組表示的可行域如圖陰影部分所示．由可得，平移直線，結(jié)合圖形可得當(dāng)直線經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)A時(shí)，直線在y軸上的截距最大，此時(shí)z取得最大值．由，解得，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,2）．∴．答案：8

17.設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F，直線過(guò)點(diǎn)F且與雙曲線C在第二象限的交點(diǎn)為P，O為原點(diǎn)，，則雙曲線C的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為__________；離心率為_________________.參考答案：（5,0）

5【分析】根據(jù)題意，畫出圖象結(jié)合雙曲線基本性質(zhì)和三角形幾何知識(shí)【詳解】如圖所示：直線過(guò)點(diǎn)，，半焦距，則右焦點(diǎn)為為中點(diǎn)，，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，，由勾股定理可得：，再由雙曲線定義可得：，則離心率故答案為：（5,0）

5【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的求法，結(jié)合圓錐曲線基本性質(zhì)和幾何關(guān)系解題是近年來(lái)高考題中?？碱}型，往往在解題中需要添加輔助線，屬于中等題型.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.設(shè)a，b，n∈N*，且a≠b，對(duì)于二項(xiàng)式（1）當(dāng)n=3，4時(shí)，分別將該二項(xiàng)式表示為﹣（p，q∈N*）的形式；（2）求證：存在p，q∈N*，使得等式=﹣與（a﹣b）n=p﹣q同時(shí)成立．參考答案：考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用．專題：二項(xiàng)式定理．分析：（1）當(dāng)n=3，4時(shí)，利用二項(xiàng)式定理把二項(xiàng)式表示為﹣（p，q∈N*）的形式．（2）分n為奇數(shù)、n為偶數(shù)兩種情況，分別把展開，綜合可得結(jié)論；同理可得=+，從而證得p﹣q=（a﹣b）n．解答：（1）當(dāng)n=3時(shí)，=（a+3b）﹣（b+3a）=﹣；當(dāng)n=4時(shí)，=a2﹣4a+6ab﹣4b+b2=（a2+6ab+b2）﹣4（a+b）=﹣，顯然是﹣（p，q∈N*）的形式．（2）證明：由二項(xiàng)式定理得=?（﹣1）i???，若n為奇數(shù)，則=[?+??b+…+??]﹣[?+?+…+?]，分析各項(xiàng)指數(shù)的奇偶性易知，可將上式表示為μ﹣λ的形式，其中μ，λ∈N*，也即=﹣=﹣，其中p、q∈N*．若n為偶數(shù)，則=[?+??b+…+?]﹣[?+?+…++…+??]，類似地，可將上式表示為μ′﹣λ′的形式，其中μ′，λ′∈N*，也即=﹣=﹣，其中p、q∈N*．所以存在p，q∈N*，使得等式=﹣，同理可得可以表示為=+，從而有p﹣q=（﹣）（﹣）=?=（a﹣b）n，綜上可知結(jié)論成立．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．19.在平面直角坐標(biāo)系中，直線與曲線（為參數(shù)）相交于，兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng).參考答案：曲線的普通方程為.聯(lián)立解得或所以，，所以.20.（本小題滿分12分）空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）是衡量空氣質(zhì)量好壞的標(biāo)準(zhǔn)，下表是我國(guó)南方某市氣象環(huán)保部門從去年的每天空氣質(zhì)量檢測(cè)數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽取的40天的統(tǒng)計(jì)結(jié)果：空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）國(guó)家環(huán)保標(biāo)準(zhǔn)頻數(shù)（天）頻率[0,

50]一級(jí)（優(yōu)）4

(50,100］二級(jí)（良）20

(100,150］三級(jí)（輕度污染）8

(150,200］四級(jí)（中度污染）4

(200,300］五級(jí)（重度污染）3

(300,∞)六級(jí)（嚴(yán)重污染）1

（1）若以這40天的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)，一年中（365天）該市有多天的空氣質(zhì)量達(dá)到優(yōu)良？（2）若將頻率視為概率，某中學(xué)擬在今年五月份某連續(xù)的三天召開運(yùn)動(dòng)會(huì)，以上表的數(shù)據(jù)為依據(jù)，問(wèn)：①這三天空氣質(zhì)量都達(dá)標(biāo)（空氣質(zhì)量屬一、二、三級(jí)內(nèi)）的概率；②這三天恰好有一天空氣質(zhì)量不達(dá)標(biāo)（指四、五、六級(jí)）的概率．參考答案：設(shè)表示空氣質(zhì)量達(dá)到第級(jí)的概率則，，，，，（1）依題意得（天）…4分（2）①……………4分②…4分21.設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn滿足且，.（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；（2）求的前n項(xiàng)和Tn.參考答案：（1）,；（2）.【分析】（1）利用項(xiàng)和公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，再求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減法求的前項(xiàng)和.【詳解】（1）由，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，即，∴是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，又因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，且，，所以，可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）①②①-②得，整理得.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)的求法，考查項(xiàng)和公式求等比數(shù)列的通項(xiàng)，考查錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.22.（2017?貴州模擬）已知函數(shù)f（x）=xlnx+ax，函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)x=1處的切線與直線x+2y﹣1=0垂直．（1）求a的值和f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）求證：ex＞f′（x）．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（1）由f′（1）=1+a=2，解得：a=1，利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)區(qū)間．（2）要證ex＞f′（x），即證ex＞lnx+2，x＞0時(shí)，易得ex＞x+1，即只需證明x＞lnx+1即可【解答】解：（1）f′（x）=lnx+1+a，f′（1）=1+a=2，解得：a=1，故f（x）=xlnx+x，f′（x）=lnx+2，令f′（x）＞0，