廣東省佛山市東洲中學2021-2022學年高一數(shù)學理下學期期末試題含解析

廣東省佛山市東洲中學2021-2022學年高一數(shù)學理下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)f（x）=，方程f（x）=k恰有兩個解，則實數(shù)k的取值范圍是（）A．（，1） B．[，1） C．[，1] D．（0，1）參考答案：A【考點】根的存在性及根的個數(shù)判斷．【分析】利用數(shù)學結(jié)合畫出分段函數(shù)f（x）的圖形，方程f（x）=k恰有兩個解，即f（x）圖形與y=k有兩個交點．【解答】解：利用數(shù)學結(jié)合畫出分段函數(shù)f（x）的圖形，如右圖所示．當x=2時，=log2x=1；方程f（x）=k恰有兩個解，即f（x）圖形與y=k有兩個交點．∴如圖：＜k＜1故選：A2.已知定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，滿足，給出下列結(jié)論:①；②對于定義域內(nèi)的任意實數(shù)且，恒有；③對于定義域內(nèi)的任意實數(shù)且，；④其中正確結(jié)論的個數(shù)為（

）A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：D，所以，得，①，所以，正確；②易知單調(diào)遞增，所以正確；③由奇偶性可知圖象的凹凸性，所以正確；④，正確；所以正確的有4個。故選D。

3.已知,，記，要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個單位長度

B．向右平移個單位長度

C．向左平移個單位長度

D．向右平移個單位長度參考答案：C略4.若，且，則（）A．既有最大值，也有最小值

B．有最大值，無最小值C．有最小值，無最大值

D．既無最大值，也無最小值參考答案：D5.如圖，在△ABC中，，BC=4，點D在邊AC上，，，E為垂足.若，則（

）A．

B．

C.

D．參考答案：C在中，在中，由正弦定理得，

即，整理得故選：C．

6.已知點，向量，則向量A.(－7,－4) B.(7,4)C.(－1,4) D.(1,4)參考答案：A試題分析：,選A.考點：向量運算7.函數(shù)的最值情況是（）A．有最小值

B．有最大值C．有最小值

D．有最大值參考答案：B略8.函數(shù)的圖象的大致形狀是(

)參考答案：D9.（5分）在空間中，下列結(jié)論正確的是（） A． 平行于同一直線的兩直線平行 B． 垂直于同一直線的兩直線平行 C． 平行于同一平面的兩直線平行 D． 垂直于同一平面的兩直線垂直參考答案：A考點： 空間中直線與直線之間的位置關系．專題： 空間位置關系與距離．分析： 利用空間線線關系和線面關系的判定定理對選項分別分析選擇．解答： 對于A，平行于同一直線的兩直線平行；滿足平行線的傳遞性；是正確的；對于B，垂直于同一直線的兩直線平行；此結(jié)論在空間不成立；如墻角的三條棱；故B是錯誤的；對于C，平行于同一平面的兩直線平行，是錯誤的；因為平行于同一平面的兩直線位置關系是平行、相交或者異面；對于D，垂直于同一平面的兩直線平行，故D錯誤；故選A．點評： 本題考查了空間兩條直線的位置關系的判斷；關鍵是要有較好空間想象能力．10.設P、Q是兩個集合，定義集合P﹣Q={x|x∈P且x?Q}為P、Q的“差集”，已知P={x|1﹣＜0}，Q={x||x﹣2|＜1}，那么P﹣Q等于（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|0＜x≤1} C．{x|1≤x＜2} D．{x|2≤x＜3}參考答案：B【考點】元素與集合關系的判斷；絕對值不等式的解法．【分析】首先分別對P，Q兩個集合進行化簡，然后按照P﹣Q={x|x∈P，且x?Q}，求出P﹣Q即可．【解答】解：∵化簡得：P={x|0＜x＜2}而Q={x||x﹣2|＜1}化簡得：Q={x|1＜x＜3}∵定義集合P﹣Q={x|x∈P，且x?Q}，∴P﹣Q={x|0＜x≤1}故選B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知菱形ABCD的邊長為1，，，，則__________．參考答案：由題意得=，填.

12.已知集合.若中至多有一個元素，則的取值范圍是___________參考答案：13.在三棱錐A﹣BCD中，側(cè)棱AB，AC，AD兩兩垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面積分別為，，，則該三棱錐外接球的表面積為．參考答案：6π【考點】球的體積和表面積．【分析】三棱錐A﹣BCD中，側(cè)棱AB、AC、AD兩兩垂直，補成長方體，兩者的外接球是同一個，長方體的對角線就是球的直徑，求出長方體的三度，轉(zhuǎn)化為對角線長，即可求三棱錐外接球的表面積．【解答】解：三棱錐A﹣BCD中，側(cè)棱AB、AC、AD兩兩垂直，補成長方體，兩者的外接球是同一個，長方體的對角線就是球的直徑，∵側(cè)棱AC、AC、AD兩兩垂直，△ABC、△ACD、△ADB的面積分別為，，，∴AB?AC=，AD?AC=，AB?AD=，∴AB=，AC=1，AD=，∴球的直徑為：=，∴半徑為，∴三棱錐外接球的表面積為=6π，故答案為：6π．【點評】本題考查三棱錐外接球的表面積，三棱錐轉(zhuǎn)化為長方體，兩者的外接球是同一個，以及長方體的對角線就是球的直徑是解題的關鍵所在．14.

；

參考答案：，15.等差數(shù)列中，，記數(shù)列的前n項和為，若對任意恒成立，則正整數(shù)m的最小值為

.參考答案：5

略16.函數(shù)，若方程恰有三個不同的解，記為，則的取值范圍是

▲

．參考答案：17.（5分）已知sin（+α）=，那么cosα=

．參考答案：考點： 運用誘導公式化簡求值．專題： 三角函數(shù)的求值．分析： 已知等式左邊利用誘導公式化簡，即可求出cosα的值．解答： sin（+α）=sin（2π++α）=sin（+α）=cosα=，故答案為：點評： 此題考查了運用誘導公式化簡求值，熟練掌握誘導公式是解本題的關鍵．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知一四棱錐P﹣ABCD的三視圖如圖所示，E是側(cè)棱PC上的動點．（Ⅰ）求四棱錐P﹣ABCD的體積．（Ⅱ）若點E為PC的中點，AC∩BD=O，求證：EO∥平面PAD；（Ⅲ）是否不論點E在何位置，都有BD⊥AE？證明你的結(jié)論．參考答案：【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）四棱錐的底面是一個邊長是1的正方形，一條側(cè)棱與底面垂直，由這條側(cè)棱長是2知四棱錐的高是2，求四棱錐的體積只要知道底面大小和高，就可以得到結(jié)果．（Ⅱ）利用三角形中位線的性質(zhì)證明OE∥PA，由線面平行的判定定理可證EO∥平面PAD；（Ⅲ）不論點E在何位置，都有BD⊥AE，證明BD⊥平面PAC即可．【解答】（Ⅰ）解：由該四棱錐的三視圖可知，該四棱錐P﹣ABCD的底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱PC⊥底面ABCD，且PC=2．…∴VP﹣ABCD=S?ABCD?PC=．…（Ⅱ）證明：∵E、O分別為PC、BD中點∴EO∥PA，…又EO?平面PAD，PA?平面PAD．…∴EO∥平面PAD．…（Ⅲ）不論點E在何位置，都有BD⊥AE，…證明如下：∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，…∵PC⊥底面ABCD且BD?平面ABCD，∴BD⊥PC，…又∵AC∩PC=C，∴BD⊥平面PAC，…∵不論點E在何位置，都有AE?平面PAC，∴不論點E在何位置，都有BD⊥AE．…19.設Sn為數(shù)列{an}的前n項和，已知a2＝3，Sn＝2Sn﹣1+n（n≥2）（1）求出a1，a3的值，并證明：數(shù)列{an+1}為等比數(shù)列；（2）設bn＝log2（a3n+1），數(shù)列{}的前n項和為Tn，求證：1≤18Tn＜2．參考答案：（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）可令求得的值；再由數(shù)列的遞推式，作差可得，可得數(shù)列為首項為2，公比為2的等比數(shù)列；（2）由（1）求得，，再由數(shù)列的裂項相消求和，可得，再由不等式的性質(zhì)即可得證．【詳解】（1）當時，，即，∴，當時，，即，∴，∵，∴，，∴

，∴，又∵，，∴，∴，∴數(shù)列是首項為，公比為2的等比數(shù)列.（2）由（1）可知，所以，所以，，，,所以,所以,即．【點睛】本題主要考查了數(shù)列的遞推式的運用，考查等比數(shù)列的定義和通項公式、求和公式的運用，考查數(shù)列的裂項相消求和，化簡運算能力，屬于中檔題．20.如圖，四棱錐P-ABCD，側(cè)面PAD是邊長為2的正三角形，且與底面垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的棱形，M為PC的中點.（1）求證：PC⊥AD；（2）求.參考答案：解：（1）取中點連接，依題意可知均為正三角形，又平面平面平面又平面（2）由（1）可知，又平面平面平面平面平面平面即為三棱錐的高又是邊長為的正三角形，由又又為的中點.21.已知||=2，||=3，||與||的夾角為120°，求（1）（2）﹣（3）（2）（）（4）||參考答案：【考點】9R：平面向量數(shù)量積的運算．【分析】（1）直接由已知結(jié)合數(shù)量積公式得答案；（2）由運算得答案；（3）展開多項式乘以多項式，代入數(shù)量積得答案；（4）求出，開方后得答案．【解答】解