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廣東省中山市南頭高級(jí)中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.將函數(shù)y=cosx+sinx(x∈R)的圖象向左平移m(m>0)個(gè)單位長(zhǎng)度后,所得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,則m的最小值是()A. B. C. D.參考答案:C【考點(diǎn)】HJ:函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換.【分析】利用函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律,三角函數(shù)的圖象的對(duì)稱性,求得m的最小值【解答】解:將函數(shù)y=cosx+sinx=2sin(x+)(x∈R)的圖象向左平移m(m>0)個(gè)單位長(zhǎng)度后得到y(tǒng)=2sin(x+m+),所得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,則m+=kπ+,k∈Z,即m=kπ+,故m的最小值為;故選C2.公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.若是的等比中項(xiàng),,則(
)((C
A.
2
B.
3
C.
D.
參考答案:D略3.設(shè),滿足約束條件,則的最小值為(
)A.6
B.
C.
D.-1參考答案:D4.設(shè)復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位),則z的虛部為A.-1 B.1 C.–i D.i參考答案:B5.某工廠一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計(jì)如圖所示,下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是A.收入最高值與收入最低值的比是3:1B.結(jié)余最高的月份是7月份
C.1至2月份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同D.前6個(gè)月的平均收入為40萬(wàn)元(注:結(jié)余=收入-支出)參考答案:D讀圖可知A、B、C均正確,對(duì)于D,前6個(gè)月的平均收入=45萬(wàn)元.6.在實(shí)數(shù)的原有運(yùn)算法則中,我們補(bǔ)充定義新運(yùn)算“”如下: 當(dāng)時(shí),; 當(dāng)時(shí),。 則函數(shù)的最大值等于(
) (“·”和“-”仍為通常的乘法和減法)A. B.1 C.6 D.12參考答案:C7.已知c是雙曲線的半焦距,則的取值范圍是
A.
B.(-2,-1)
C.
D.(-1,0)參考答案:D略8.已知命題p:xAB,則非p是
A.x不屬于AB
B.x不屬于A或x不屬于B
C.x不屬于A且x不屬于B
D.xAB參考答案:【知識(shí)點(diǎn)】命題的否定
A3C由知或,所以非p是:不屬于A且不屬于B.故選擇C【思路點(diǎn)撥】因即或.是由“或”連接的復(fù)合命題,它的否定是由“且”連接的復(fù)合命題.9.已知f(x)=sinωx﹣cosωx(ω>,x∈R),若f(x)的任何一條對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都不屬于區(qū)間(2π,3π),則ω的取值范圍是()A.[,]∪[,] B.(,]∪[,]C.[,]∪[,] D.(,]∪[,]參考答案:C【考點(diǎn)】三角函數(shù)的最值;三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用;三角函數(shù)的周期性及其求法.【分析】由題意可得,=≥3π﹣2π=π,求得<ω≤1,故排除A、D.檢驗(yàn)當(dāng)ω=時(shí),f(x)=sin(x﹣)滿足條件,故排除B,從而得出結(jié)論.【解答】解:f(x)=sinωx﹣cosωx=sin(ωx﹣)(ω>,x∈R),若f(x)的任何一條對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都不屬于區(qū)間(2π,3π),則=≥3π﹣2π=π,ω≤1,即<ω≤1,故排除A、D.當(dāng)ω=時(shí),f(x)=sin(x﹣),令x﹣=kπ+,求得x=kπ+,可得函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱軸為
x=kπ+,k∈Z.當(dāng)k=1時(shí),對(duì)稱軸為x=<2π,當(dāng)k=2時(shí),對(duì)稱軸為x==3π,滿足條件:任何一條對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都不屬于區(qū)間(2π,3π),故排除B,故選:C.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性和周期性,屬于中檔題.10.已知i為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)(
)A.1
B.-1
C.i
D.-i參考答案:D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.l1,l2是分別經(jīng)過(guò)A(1,1),B(0,﹣1)兩點(diǎn)的兩條平行直線,當(dāng)l1,l2間的距離最大時(shí),直線l1的方程是
.參考答案:x+2y﹣3=0【考點(diǎn)】?jī)蓷l平行直線間的距離.【分析】l1,l2間的距離最大時(shí),AB和這兩條直線都垂直.由斜率公式求得AB的斜率,取負(fù)倒數(shù)可得直線l1的斜率,用點(diǎn)斜式求直線l1的方程.【解答】解:由題意可得,l1,l2間的距離最大時(shí),AB和這兩條直線都垂直.由于AB的斜率為=2,故直線l1的斜率為﹣,故它的方程是y﹣1=﹣(x﹣1),化簡(jiǎn)為x+2y﹣3=0,故答案為x+2y﹣3=0,故答案為x+2y﹣3=0.12.設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,的值為
參考答案:-113.給出以下結(jié)論:
①;②已知函數(shù)f(x)=,則f(x)是偶函數(shù)③若表示中的最小值.則函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱④已知,若對(duì)區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)不等的實(shí)數(shù),都有恒成立,則的取值范圍是
⑤若等差數(shù)列{}前n項(xiàng)和為,則三點(diǎn)共線。其中正確的是
.(請(qǐng)?zhí)顚?xiě)所有正確選項(xiàng)的序號(hào))參考答案:14.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為_(kāi)__________.
參考答案:略15.如圖是某算法的程序框圖,若任意輸入中的實(shí)數(shù),則輸出的大于的概率為
;參考答案:略16.雙曲線的漸近線方程為_(kāi)____;離心率為_(kāi)_____.參考答案:由雙曲線的方程可知雙曲線的焦點(diǎn)在軸,,所以,即,所以雙曲線的漸近線為,離心率。17.在△ABC中,內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,已知a2﹣b2=c,且sinAcosB=2cosAsinB,則c=.參考答案:3【考點(diǎn)】余弦定理;正弦定理.【分析】利用正弦定理、余弦定理,化簡(jiǎn)sinAcosB=2cosAsinB,結(jié)合a2﹣b2=c,即可求c.【解答】解:由sinAcosB=2cosAsinB得?=2??,所以a2+c2﹣b2=2(b2+c2﹣a2),即a2﹣b2=,又a2﹣b2=c,解得c=3.故答案為:3.三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟18.已知數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列,數(shù)列{bn}滿足,若n∈N*時(shí),anbn+1﹣bn+1=nbn.(Ⅰ)求{bn}的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)設(shè),求{Cn}的前n項(xiàng)和Sn.參考答案:【考點(diǎn)】數(shù)列的求和;數(shù)列遞推式.【分析】(Ⅰ)令n=1,可得a1=3,結(jié)合{an}是公差為2的等差數(shù)列,可得{an}的通項(xiàng)公式,將其代入已知條件anbn+1﹣bn+1=nbn來(lái)求{bn}的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)利用裂項(xiàng)相消法求和.【解答】解:(Ⅰ)∵anbn+1﹣bn+1=nbn.當(dāng)n=1時(shí),a1b2﹣b2=b1.∵,∴a1=3,又∵{an}是公差為2的等差數(shù)列,∴an=2n+1,則(2n+1)bn+1﹣bn+1=nbn.化簡(jiǎn),得2bn+1=bn,即=,所以數(shù)列{bn}是以1為首項(xiàng),以為公比的等比數(shù)列,所以bn=()n﹣1;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,an=2n+1,所以==(﹣),所以Sn=c1+c2+c3+…+cn=(﹣+﹣+…+﹣)=(﹣)=.19.已知點(diǎn)都在直線上,為直線與軸的交點(diǎn),數(shù)列成等差數(shù)列,公差為1.()(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;(2)求證:
……+
(2,)
參考答案:(Ⅰ)由余弦定理及已知條件得,,又因?yàn)榈拿娣e等于,所以,得.····················4分聯(lián)立方程組解得,.ks5u6分(Ⅱ)由題意得,即,··················································································8分當(dāng)時(shí),,,,,當(dāng)時(shí),得,由正弦定理得,聯(lián)立方程組解得,.所以的面積.ks5u
20.(13分)某工廠為了保障安全生產(chǎn),每月初組織工人參加一次技能測(cè)試.甲、乙兩名工人通過(guò)每次測(cè)試的概率分別是.假設(shè)兩人參加測(cè)試是否通過(guò)相互之間沒(méi)有影響.
(I)求甲工人連續(xù)3個(gè)月參加技能測(cè)試至少1次未通過(guò)的概率;
(II)求甲、乙兩人各連續(xù)3個(gè)月參加技能測(cè)試,甲工人恰好通過(guò)2次且乙工人恰好通過(guò)1次的概率;
(III)工廠規(guī)定:工人連續(xù)2次沒(méi)通過(guò)測(cè)試,則被撤銷上崗資格.求乙工人恰好參加4次測(cè)試后被撤銷上崗資格的概率.參考答案:解析:(I)記“甲工人連續(xù)3個(gè)月參加技能測(cè)試,至少有1次未通過(guò)”為事件A1,
………………5分
(II)記“連續(xù)3個(gè)月參加技能測(cè)試,甲工人恰好通過(guò)2次”為事件A2,“連續(xù)3個(gè)月參加技能測(cè)試,乙工人恰好通過(guò)1次”為事件B1,則
兩人各連續(xù)3月參加技能測(cè)試,甲工人恰好2次通過(guò)且乙工人恰好1次通過(guò)的概率為………………10分
(III)記“乙恰好測(cè)試4次后,被撤銷上網(wǎng)資格”為事件A3,
……13分21.已知函數(shù)(1)若.求證:;(2)若滿足試求實(shí)數(shù)的取值范圍ks5u參考答案:解:(Ⅰ)
..2分
...5分ks5u(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,在為單調(diào)增函數(shù).且..7分當(dāng)時(shí),;ks5u當(dāng)時(shí),;ks5u當(dāng)時(shí),綜上所述:
...10分略22.(本小題滿分12分)已知函數(shù)(為實(shí)常數(shù)).(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在上的最大值及相應(yīng)的值;(2)當(dāng)時(shí),討論方程根的個(gè)數(shù).(3)若,且對(duì)任意的,都有,求實(shí)數(shù)
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